Operador de posición

En mecánica cuántica, el operador de posición es el operador que corresponde a la posición observable de una partícula.

Cuando se considera el operador de posición con un dominio suficientemente amplio (por ejemplo, el espacio de distribuciones templadas), sus valores propios son los posibles vectores de posición de la partícula.

En una dimensión, si por el símbolo $${\displaystyle ← }$$ denotamos el eigenvector unitario del operador de posición correspondiente al eigenvalue ${\displaystyle x}$Entonces, ${\displaystyle ← }$ representa el estado de la partícula en la que sabemos con certeza encontrar la partícula misma en posición ${\displaystyle x}$.

Por lo tanto, denotando el operador de posición por el símbolo ${\displaystyle X}$ – en la literatura encontramos también otros símbolos para el operador de posición, por ejemplo ${\displaystyle Q}$ (de la mecánica lagrangiana), ${\displaystyle {\hat {\mathrm}}}$ y así sucesivamente – podemos escribir $$################################################################################################################################################################################################################################################################$$ para cada posición real ${\displaystyle x}$.

Una posible realización del estado unitario con posición ${\displaystyle x}$ es la distribución Dirac delta (función) centrada en la posición ${\displaystyle x}$, a menudo denotado por ${\displaystyle \delta _{x}$.

En la mecánica cuántica, la familia ordenada (continua) de todas las distribuciones Dirac, es decir, la familia $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} }$$se llama la base de posición (unitary) (en una dimensión), sólo porque es un (unitary) eigenbasis del operador de posición ${\displaystyle X}$ en el espacio de las distribuciones dual al espacio de las funciones de onda.

Es fundamental observar que sólo existe un endomorfismo continuo lineal ${\displaystyle X}$ en el espacio de distribuciones templadas tal que $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x}$$para cada punto real ${\displaystyle x}$. Es posible probar que el endomorfismo único anterior es necesariamente definido por $${\displaystyle X(\psi)=\mathrm {x} \psi}$$para cada distribución templada ${\displaystyle \psi }$, donde ${\displaystyle \mathrm {x}$ denota la función de coordenadas de la línea de posición – definida desde la línea real al plano complejo por $${\displaystyle \mathrm {x}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}:x\mapsto x.}$$

En una dimensión – para una partícula confinada en una línea recta – el módulo cuadrado $${\displaystyle Silencio\psi Silencio}=\psi$$de una función de onda integrada cuadrada normalizada $${\displaystyle \psi:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$$representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en alguna posición ${\displaystyle x}$ de la línea real, en cierto momento.

En otros términos, si – en un momento determinado – la partícula está en el estado representado por una función de onda cuadrada ${\displaystyle \psi }$ y suponiendo la función de onda ${\displaystyle \psi }$ be of ${\displaystyle L^{2}$- norm igual 1, $${\displaystyle\fsi\psi\psi\psi\fnK}=\int _{-\infty }{+\infty }$$entonces la probabilidad de encontrar la partícula en el rango de posición ${\displaystyle [a,b]}$ es $${\displaystyle \pi _{X}(\psi)([a,b]=\int _{a}^{b} Silencio.$$

De ahí el valor esperado de una medición de la posición ${\displaystyle X}$ para la partícula es el valor $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R}\mathrm {x} _{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R}\psi ^{}\mathrm {x} \psi \,d\mathrm {x}$$Donde:

1. la partícula se supone que está en el estado ${\displaystyle \psi }$;
2. la función ${\displaystyle \mathrm {x}$ se supone integrador, es decir, de clase ${\displaystyle L^{1}$;
3. indicamos por ${\displaystyle \mathrm {x}$ la función de coordinación del eje de posición.

Adicionalmente, el operador mecánico cuántico correspondiente a la posición observable ${\displaystyle X}$ es denotado también por $${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x}}}}$$ y definidas $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x}}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ para cada función de onda ${\displaystyle \psi }$ y por cada punto ${\displaystyle x}$ de la línea real.

El circumflex sobre la función ${\displaystyle \mathrm {x}$ en el lado izquierdo indica la presencia de un operador, para que esta ecuación pueda ser leída:

El resultado del operador de posición ${\displaystyle X}$ actuando en cualquier función de onda ${\displaystyle \psi }$ iguala la función de coordenadas ${\displaystyle \mathrm {x}$ multiplicado por la función de onda ${\displaystyle \psi }$.

O más sencillamente:

El operador ${\displaystyle X}$ multiplica cualquier función de onda ${\displaystyle \psi }$ por la función de coordinación ${\displaystyle \mathrm {x}$.

Nota 1. Para ser más explícitos, hemos introducido la función de coordinación $${\displaystyle \mathrm {x}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}:x\mapsto x,}$$que simplemente incrusta la línea de posición en el plano complejo. No es nada más que el incrustación canónica de la línea real en el plano complejo.

Nota 2. El valor esperado del operador de posición, sobre una función de onda (estado) ${\displaystyle \psi }$ puede ser reinterpretado como un producto escalar: $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R}\mathrm {x} _{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi)\,d\mathrm {x} =\langle \psi tenciónX(\psi)\rangle}$$asumiendo la partícula en el estado ${\displaystyle \psi \in L^{2}$ y asumiendo la función ${\displaystyle \mathrm {x} \psi }$ ser de clase ${\displaystyle L^{2}$ – que implica inmediatamente que la función ${\displaystyle \mathrm {x}$ es integrador, es decir, de clase ${\displaystyle L^{1}$.

Nota 3. Strictly speaking, the observable position ${\displaystyle X}$ puede ser definido de forma puntual como $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x}}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$para cada función de onda ${\displaystyle \psi }$ y por cada punto ${\displaystyle x}$ de la línea real, sobre las funciones de onda que son precisamente funciones definidas en sentido de punto. En el caso de clases de equivalencia ${\displaystyle \psi \in L^{2}$ la definición lee directamente como sigue $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x}}\psi =\mathrm {x} \psi}$$para cada función de onda ${\displaystyle \psi \in L^{2}$.

En la definición anterior, como puede observar inmediatamente el lector atento, no existe ninguna especificación clara de dominio y codominio para el operador de posición (en el caso de una partícula confinada en una línea). En la literatura, de manera más o menos explícita, encontramos esencialmente tres direcciones principales para esta cuestión fundamental.

1. El operador de posición se define en el subespacio ${\displaystyle D_{X}$ de ${\displaystyle L^{2}$ formado por esas clases de equivalencia ${\displaystyle \psi }$ cuyo producto por la ropa interior ${\displaystyle \mathrm {x}$ vive en el espacio ${\displaystyle L^{2}$ también. En este caso el operador de posición $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ revela no continuo (sin límites con respecto a la topología inducida por el producto escalar canónico de ${\displaystyle L^{2}$), sin eigenvectores, sin eigenvalues, en consecuencia con eigenspectrum vacío (colección de sus eigenvalues).
2. El operador de posición se define en el espacio ${\displaystyle {\fnMithcal}_{1}}$ de funciones complejas de Schwartz (funciones complejas moderadas definidas en la línea real y rápidamente disminuyendo en el infinito con todos sus derivados). El producto de una función de Schwartz por la ropa interior ${\displaystyle \mathrm {x}$ vive siempre en el espacio ${\displaystyle {\fnMithcal}_{1}}$, que es un subconjunto de ${\displaystyle L^{2}$. En este caso el operador de posición $${\displaystyle X: {\fnMithcal {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} # Mathcal {S}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ revelaciones continuo (con respecto a la topología canónica de ${\displaystyle {\fnMithcal}_{1}}$), inyector, sin eigenvectores, sin eigenvalues, en consecuencia con eigenspectrum vacío (colección de sus eigenvalues). Es (totalmente) autoadjunto con respecto al producto escalar ${\displaystyle L^{2}$ en el sentido de que $${\displaystyle \langle X(\psi) arrest\phi \rangle =\langle \psi tenciónX(\phi)\rangle}$$ para todos ${\displaystyle \psi }$ y ${\displaystyle \phi }$ perteneciente a su dominio ${\displaystyle {\fnMithcal}_{1}}$.
3. Esta es, en la práctica, la opción más adoptada en la literatura Mecánica Cuántica, aunque nunca explícitamente subrayada. El operador de posición se define en el espacio ${\displaystyle {\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fn}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnK}}}}}}}} {\f}}}}}}$ de las distribuciones templadas complejas valoradas (base topológica del espacio de función Schwartz ${\displaystyle {\fnMithcal}_{1}}$). El producto de una distribución templada por la ropa interior ${\displaystyle \mathrm {x}$ vive siempre en el espacio ${\displaystyle {\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fn}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnK}}}}}}}} {\f}}}}}}$, que contiene ${\displaystyle L^{2}$. En este caso el operador de posición $${\displaystyle X:{\Mathcal {S}_{1}\to} # Mathcal {S}'_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ revelaciones continuo (con respecto a la topología canónica de ${\displaystyle {\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fn}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnK}}}}}}}} {\f}}}}}}$), subjetivo, dotado con familias completas de eigenvectores, eigenvalues reales, y con eigenspectrum (colección de sus eigenvalues) igual a la línea real. Es autoadjunto con respecto al producto escalar de ${\displaystyle L^{2}$ en el sentido de que su operador de transposición $${\displaystyle {}{t}X:{\mathcal {S}_{1}\to} {\fnMithcal {S}_{1}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi}$$ que es el operador de posición en el espacio de función Schwartz, es auto-adjunto: $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}X(\phi)\right privacy\psi \right \rangle =\left\langle \phi tención\,{t}X(\psi)\right\rangle}$$ para cada función (prueba) ${\displaystyle \phi }$ y ${\displaystyle \psi }$ pertenecientes al espacio ${\displaystyle {\fnMithcal}_{1}}$.

Las funciones propias del operador de posición (en el espacio de distribuciones templadas), representadas en el espacio de posición, son funciones delta de Dirac.

Pruebas oficiosas. Para demostrar que los posibles eigenvectores del operador de posición deben ser necesariamente Dirac delta distribuciones, supongamos que ${\displaystyle \psi }$ es un eigenstat del operador de posición con eigenvalue ${\displaystyle x_{0}$. Escribimos la ecuación eigenvalue en coordenadas de posición, $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x}}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$recordando que ${\displaystyle {\hat {\mathrm}}}$ simplemente multiplica las funciones de onda por la función ${\displaystyle \mathrm {x}$, en la representación de posición. Desde la función ${\displaystyle \mathrm {x}$ es variable mientras ${\displaystyle x_{0}$ es una constante, ${\displaystyle \psi }$ debe ser cero en todas partes excepto en el punto ${\displaystyle x_{0}$. Claramente, ninguna función continua satisface tales propiedades, y no podemos simplemente definir la función de onda para ser un número complejo en ese punto porque su ${\displaystyle L^{2}$- El ronmo sería 0 y no 1. Esto sugiere la necesidad de un "objeto funcional" concentrado en el punto ${\displaystyle x_{0}$ y con diferencia integral de 0: cualquier múltiplo delta Dirac centrado en ${\displaystyle x_{0}$. La solución normalizada de la ecuación $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$es $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$ o mejor $${\displaystyle \psi =\delta - ¿Qué?$$Prueba. Aquí demostramos rigurosamente que $${\displaystyle \mathrm {x} \delta ## {x_{0}=x_{0}\delta - ¿Qué?$$De hecho, recordando que el producto de cualquier función por la distribución Dirac centrado en un punto es el valor de la función en ese momento la distribución Dirac misma, obtenemos inmediatamente $${\displaystyle \mathrm {x} \delta ¿Por qué? ## {x_{0}=x_{0}\delta - ¿Qué?$$Significado de la onda Dirac delta. Aunque tales estados Dirac son físicamente irrealizable y, estrictamente hablando, no son funciones, Dirac distribución centrado en ${\displaystyle x_{0}$ se puede considerar como un "Estado ideal" cuya posición es conocida exactamente (cualquier medición de la posición siempre devuelve el valor eigenvalue ${\displaystyle x_{0}$). Por lo tanto, por el principio de incertidumbre, nada se sabe sobre el impulso de tal estado.

La generalización a tres dimensiones es sencilla.

La función de onda espacial es ahora ${\displaystyle \psi (\mathbf {r}t)}$ y el valor de expectativa del operador de posición ${\fnMicrosoft Sans Serif} }$ en el estado ${\displaystyle \psi }$ es $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }\derecha\rangle _{\psi }=\int\mathbf {r}$$donde la integral se toma sobre todo el espacio. El operador de posición es $${\displaystyle \mathbf {\hat {r} \psi =\mathbf {r} \psi.$$

Por lo general, en la mecánica cuántica, por representación en el espacio de impulso nos proponemos la representación de estados y observables con respecto a la base de impulso unitario canónico $${\displaystyle \eta =\left[(2\pi\hbar)^{-{\frac {1}{2}}e^{(\iota /\hbar)(\mathrm {x} Silencio)}\right)_{p\in \mathbb {R} }}$$

En el espacio de impulso, el operador de posición en una dimensión está representado por el operador diferencial siguiente $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x}}}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p}}=i{\frac} {\f}}=i{\f} {d}{d\mathrm {k}}}}$$

donde:

• la representación del operador de posición en la base del impulso se define naturalmente por ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x}}\right)_{P}(\psi)_{P}=\left({\hat {\mathrm {x}\}\psi\right)_{\f}}} {\f}}}} {\f} {\f}}}}}}\p}}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p}\p$, por cada función de onda (distribución templada) ${\displaystyle \psi }$;
• ${\displaystyle \mathrm {p}$ representa la función de coordinación en la línea de impulso y la función del vencedor de onda ${\displaystyle \mathrm {k}$ se define por ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$.

Considere, por ejemplo, el caso de una partícula sin columna que se mueve en una dimensión espacial (es decir, en una línea). El espacio estatal para tal partícula contiene el espacio L2 (Hilbert) ${\displaystyle L^{2}(Mathbb {R}\mathbb {C})}$ de funciones complejas y cuadradas (con respecto a la medida Lebesgue) en la línea real.

El operador de posición en ${\displaystyle L^{2}(Mathbb {R}\mathbb {C})}$, $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R}\mathbb {C}):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi}$$es el punto de vista definido por:

$${\displaystyle Q(\psi)(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$para cada clase cuadrada integradoramente definida ${\displaystyle \psi \in D_{Q}$ y para cada número real x, con dominio $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\in L^{2}(\mathbb {R})\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R})\right\}$$Donde ${\displaystyle \mathrm {q}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ es la función de coordinación que envía cada punto ${\displaystyle x\in \mathbb {R}$ a sí mismo.

Puesto que todas las funciones continuas con soporte compacto se encuentran ${\displaystyle D_{Q}$, Q se define densamente. Q, siendo simplemente multiplicación por x, es un operador autónomo, satisfaciendo así el requisito de un observable mecánico cuántico.

De la definición se deduce inmediatamente que el espectro está formado por toda la recta real y que Q tiene un espectro puramente continuo, por lo tanto no tiene valores propios discretos.

El caso tridimensional se define de forma análoga. En el análisis siguiente, mantendremos el supuesto unidimensional.

Como con cualquier observable mecánico cuántico, para discutir la medición de posición, necesitamos calcular la resolución espectral del operador de posición $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R}\mathbb {C}):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$que es $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda)=\int _{\mathbb {R}\mathrm {x}\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x}),}$$Donde ${\displaystyle \mu _{X}}$ es la llamada medida espectral del operador de posición.

Desde el operador ${\displaystyle X}$ es sólo el operador de multiplicación por la función de embedding ${\displaystyle \mathrm {x}$, su resolución espectral es simple.

Para un subconjunto Borel ${\displaystyle B}$ de la línea real, ${\displaystyle \chi _{B}$ denota la función indicadora ${\displaystyle B}$. Vemos que la medida valorada por la proyección $${\displaystyle \mu _{X}:{\mathcal {B}(\mathbb {R})\to \mathrm {Pr} ^{\perp }\left(L^{2}(\mathbb {R}\mathbb {C})\right)}$$es dado por $${\displaystyle \mu _{X}(B)(\psi)=\chi ¿Por qué?$$ es decir, la proyección ortogonal ${\displaystyle \mu _{X}(B)}$ es el operador de multiplicación por la función indicadora ${\displaystyle B}$.

Por lo tanto, si el sistema está preparado en un estado ${\displaystyle \psi }$, entonces la probabilidad de la posición medida de la partícula perteneciente a un conjunto Borel ${\displaystyle B}$ es $${\displaystyle\ turba _{X}(B)\pso)\fnMicrosoft Sans Serif ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{B}Sobrevivir\psi prehensi{2}\mu =\pi _{X}(B),}$$Donde ${\displaystyle \mu }$ es la medida Lebesgue en la línea real.

Después de cualquier medición con el objetivo de detectar la partícula dentro del subconjunto B, la función de onda se colapsa a cualquiera $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\fnción\mu _{X}(B)\psi {\fnK}={\frac {\chi ¿Por qué? ¿Por qué?$$o $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B}}{\fnuncio(1-\chi _{B}\psi\f}}}}$$Donde ${\displaystyle\fn\cdot\fn}$ es la norma espacial de Hilbert ${\displaystyle L^{2}(Mathbb {R}\mathbb {C})}$.

• Posición y espacio de impulso
• Momentum operator
• Operador de traducción (mecánica cuántica)