Operador de momento angular

En mecánica cuántica, el operador de momento angular es uno de varios operadores relacionados análogos al momento angular clásico. El operador del momento angular juega un papel central en la teoría de la física atómica y molecular y otros problemas cuánticos que involucran simetría rotacional. Un operador de este tipo se aplica a una representación matemática del estado físico de un sistema y produce un valor de momento angular si el estado tiene un valor definido. Tanto en los sistemas mecánicos clásicos como en los cuánticos, el momento angular (junto con el momento lineal y la energía) es una de las tres propiedades fundamentales del movimiento.

Existen varios operadores de momento angular: momento angular total (normalmente denominado J), momento angular orbital (normalmente denominado L ) y momento angular de giro (giro para abreviar, generalmente denominado S). El término operador de momento angular puede (de manera confusa) referirse al momento angular total o orbital. El momento angular total siempre se conserva; consulte el teorema de Noether.

Descripción general

En mecánica cuántica, el momento angular puede referirse a una de tres cosas diferentes, pero relacionadas.

Momento angular orbital

La definición clásica del impulso angular es ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$. Las contrapartes cuánticas-mecánicas de estos objetos comparten la misma relación: $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$Donde r es el operador de posición cuántica, p es el operador de impulso cuántico, × es producto cruzado, y L es operador de impulso angular orbital. L (como p y r) es un vector de operador (un vector cuyos componentes son operadores), es decir, ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$ Donde L_x, L_Sí., L_z son tres operadores cuánticos-mecánicos diferentes.

En el caso especial de una sola partícula sin carga eléctrica y sin giro, el operador de impulso angular orbital puede ser escrito en la base de posición como:$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla)}$$Donde Silencio es el operador diferencial vectorial, del.

Momento angular de giro

Hay otro tipo de impulso angular, llamado impulso angular del giro (más a menudo acortado a spin), representado por el operador de spin ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$. El giro se representa a menudo como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esto es sólo una metáfora: el análogo clásico más cercano se basa en la circulación de ondas. Todas las partículas elementales tienen un giro característico (los bosones escalares tienen cero giro). Por ejemplo, los electrones siempre tienen "spin 1/2" mientras que los fotones siempre tienen "spin 1" (detalles abajo).

Momento angular total

Finalmente, hay un impulso angular total ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$, que combina tanto el giro como el impulso angular orbital de una partícula o sistema: $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S}$$

La conservación del momento angular establece que se conserva J para un sistema cerrado, o J para todo el universo. Sin embargo, L y S generalmente no se conservan. Por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de un lado a otro entre L y S, manteniendo el J total constante.

Relaciones de conmutación

Relaciones de conmutación entre componentes

El operador de impulso angular orbital es un operador vectorial, lo que significa que puede ser escrito en términos de sus componentes vectoriales ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$. Los componentes tienen las siguientes relaciones de conmutación: $${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y}$$

Donde [ ] denota el conmutador $${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

Esto se puede escribir generalmente como $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum ¿Qué? ¿Qué?$$Donde l, m, n son los índices de componentes (1 para x2 para Sí., 3 para z), y ε_Imn denota el símbolo Levi-Civita.

Una expresión compacta como una ecuación vectorial también es posible: $${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L}$$

Las relaciones de conmutación pueden probarse como consecuencia directa de las relaciones de conmutación canónica ${\displaystyle [x_{l},p_{m}=i\hbar \delta _{lm}$, donde δ_lm es el Kronecker delta.

Hay una relación análoga en la física clásica: $${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right=\varepsilon ¿Qué?$$Donde L_n es un componente del clásico operador de impulso angular, y ${\displaystyle \{,\}}$ es el soporte de Poisson.

Las mismas relaciones de conmutación se aplican para los otros operadores de impulso angular (punto y impulso angular total): $${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum ¿Qué? - ¿Por qué? [J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum ¿Qué? ¿Qué?$$

Se puede asumir que son análogos a L. Alternativamente, se pueden derivar como se analiza a continuación.

Estas relaciones de conmutación significan que L tiene la estructura matemática de un álgebra de Lie, y ε_Imn son sus constantes de estructura. En este caso, el álgebra Lie es SU(2) o SO(3) en la notación física (${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$ o ${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$ respectivamente en la notación matemática), i.e. Álgebra de mentira asociada con rotaciones en tres dimensiones. Lo mismo es cierto J y S. La razón se examina a continuación. Estas relaciones de conmutación son pertinentes para la medición e incertidumbre, como se examina más adelante.

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N, el momento angular del espín del electrón S , y el momento angular de espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos, el momento angular rovibrónico se denota J en lugar de N. Como explica Van Vleck, Los componentes del momento angular rovibrónico molecular referidos a ejes fijos en moléculas tienen relaciones de conmutación diferentes a las dadas anteriormente, que son para los componentes alrededor de ejes fijos en el espacio.

Relaciones de conmutación que involucran magnitud vectorial

Como cualquier vector, el cuadrado de una magnitud se puede definir para el operador de impulso angular orbital, $${\displaystyle L^{2}\equiv ¿Qué?$$

${\displaystyle L^{2}$ es otro operador cuántico. Comienza con los componentes de ${\displaystyle \mathbf {L}$, $${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left [L^{2},L_{z}=0.}$$

Una forma de demostrar que estos operadores se desplazan es comenzar desde [L_ℓ, L< sub>m] relaciones de conmutación del apartado anterior:

Matemáticamente, ${\displaystyle L^{2}$ es un Casimir invariante del álgebra de Lie SO(3) azotado por ${\displaystyle \mathbf {L}$.

Como arriba, hay una relación análoga en la física clásica: $${\displaystyle \left\{2},L_{x}\right\}=\left\{2},L_{y}\right\}=\left\{2},L_{z}\right\0}=0}$$Donde ${\displaystyle L_{i}$ es un componente del clásico operador de impulso angular, y ${\displaystyle \{,\}}$ es el soporte de Poisson.

Volviendo al caso cuántico, las mismas relaciones de conmutación se aplican a los otros operadores de impulso angular (punto y impulso angular total), también, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right] caer=0,\\\\\\left[J^{2},J_{i}\right]$$

Principio de incertidumbre

En general, en mecánica cuántica, cuando dos operadores observables no conmutan, se denominan observables complementarios. Dos observables complementarios no se pueden medir simultáneamente; en cambio, satisfacen un principio de incertidumbre. Cuanto más exactamente se conoce un observable, menos exactamente se puede conocer el otro. Así como existe un principio de incertidumbre que relaciona la posición y el momento, existen principios de incertidumbre para el momento angular.

La relación Robertson-Schrödinger da el siguiente principio de incertidumbre: $${\displaystyle \sigma ¿Por qué? ¿Qué? {\fnMicroc {\hbar} } {2}\izquierda subida\langle L_{z}\rangle \right sobre la vida.}$$Donde ${\displaystyle \sigma _{X}$ es la desviación estándar en los valores medidos X y ${\displaystyle \langle X\rangle }$ denota el valor de la expectativa X. Esta desigualdad también es verdadera x, y, z son reorganizados, o si L es reemplazado por J o S.

Por lo tanto, dos componentes ortogonales del impulso angular (por ejemplo L_x y L_Sí.) son complementarios y no pueden ser conocidos o medidos simultáneamente, excepto en casos especiales tales como ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$.

Sin embargo, es posible medir o especificar simultáneamente L² y cualquier componente de L; por ejemplo, L² y L_z. Esto suele ser útil y los valores se caracterizan por el número cuántico azimutal (l) y el número cuántico magnético (m). En este caso, el estado cuántico del sistema es un estado propio simultáneo de los operadores L² y L_z, pero no de L_x o L_y. Los valores propios están relacionados con l y m, como se muestra en la siguiente tabla.

Cuantización

En mecánica cuántica, el impulso angular es cuantitativa – es decir, no puede variar continuamente, pero sólo en "pasos cuánticos" entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones a los resultados de medición, donde ${\displaystyle \hbar }$ se reduce Constante del planck:

Si mide...	...el resultado puede ser...	Notas
${\displaystyle L^{2}$	${\displaystyle \hbar ^{2}\ell (\ell +1)}$, Donde ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$	${\displaystyle \ell }$ a veces se llama número cuántico azimutal o número cuántico orbital.
${\displaystyle L_{z}$	${\displaystyle \hbar m_{\ell }$, Donde ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell(-\ell +1),\ldots(\ell -1),\ell }$	${\displaystyle #$ a veces se llama Número de cuántico magnético. Esta misma regla de cuantificación tiene para cualquier componente ${\displaystyle \mathbf {L}$; por ejemplo, ${\displaystyle L_{x}\, or\,L_{y}$. Esta regla a veces se llama cuantificación espacial.
${\displaystyle S^{2}$	${\displaystyle \hbar ^{2}s(s+1)}$, Donde ${\displaystyle s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}\ldots }$	s se llama número de espinacas o simplemente spin. Por ejemplo, una partícula espina-1⁄2 es una partícula donde s = 1.2.
${\displaystyle S_{z}$	${\displaystyle \hbar m_{s}$, Donde ${\displaystyle m_{s}=-s,(-s+1),\ldots(s-1),s}$	${\displaystyle m_{s}$ a veces se llama proyección de la columna número cuántico. Esta misma regla de cuantificación tiene para cualquier componente ${\displaystyle \mathbf {S}$; por ejemplo, ${\displaystyle S_{x}\, or\,S_{y}$.
${\displaystyle J^{2}$	${\displaystyle \hbar ^{2}j(j+1)}$, Donde ${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}\ldots }$	j a veces se llama total de impulso angular número cuántico.
${\displaystyle J_{z}$	${\displaystyle \hbar m_{j}$, Donde ${\displaystyle m_{j}=-j,(-j+1),\ldots(j-1),j}$	${\displaystyle m_{j}$ a veces se llama total de la proyección de impulso angular número cuántico. Esta misma regla de cuantificación tiene para cualquier componente ${\displaystyle \mathbf {J}$; por ejemplo, ${\displaystyle J_{x}\, or\,J_{y}$.

Derivación mediante operadores de escalera

Una manera común de derivar las reglas de cuantificación arriba es el método operadores de escaleras. Los operadores de escalera para el impulso angular total ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$ se definen como: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+} J_{x}+iJ_{y},\J_{-} J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$$

Suppose ${\displaystyle Н\psi \rangle }$ es un eigenstat simultáneo de ${\displaystyle J^{2}$ y ${\displaystyle J_{z}$ (es decir, un estado con un valor definido para ${\displaystyle J^{2}$ y un valor definido ${\displaystyle J_{z}$). Luego utilizando las relaciones de conmutación para los componentes ${\displaystyle \mathbf {J}$, uno puede probar que cada uno de los estados ${\displaystyle J_{+}$ y ${\displaystyle J_{-} sobrevivir\psi \rangle }$ es cero o un eigensta simultáneo de ${\displaystyle J^{2}$ y ${\displaystyle J_{z}$, con el mismo valor ${\displaystyle Н\psi \rangle }$ para ${\displaystyle J^{2}$ pero con valores para ${\displaystyle J_{z}$ que aumentan o disminuyen ${\displaystyle \hbar }$ respectivamente. El resultado es cero cuando el uso de un operador de escalera de otro modo resultaría en un estado con un valor para ${\displaystyle J_{z}$ que está fuera del rango permitido. Utilizando los operadores de escaleras de esta manera, los posibles valores y números cuánticos para ${\displaystyle J^{2}$ y ${\displaystyle J_{z}$ se puede encontrar.

Derivación de los posibles valores y números cuánticos para ${\displaystyle J_{z}$ y ${\displaystyle J^{2}$.

Vamos. ${\displaystyle \psi ({J^{2}'J_{z}'}$ ser una función estatal para el sistema con eigenvalue ${\displaystyle {J^{2}}$ para ${\displaystyle J^{2}$ and eigenvalue ${\displaystyle J_{z}$ para ${\displaystyle J_{z}$.

Desde ${\displaystyle - ¿Qué?$ se obtiene, $${\displaystyle J_{x} {2}+J_{y}=J^{2}-J_{z}{2}}$$Aplicar ambos lados de la ecuación anterior a ${\displaystyle \psi ({J^{2}'J_{z}'}$, $${\displaystyle (J_{x}{2}+J_{y}{2}\;\psi ({J^{2}'J_{z}')=({J^{2}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}'J_{z}').$$Desde ${\displaystyle J_{x}$ y ${\displaystyle J_{y}$ son verdaderos observables, ${\displaystyle {J^{2}-J_{z} {2}$ no es negativo ${\fnMicrosoft Sans Serif} {}}}$. Así ${\displaystyle J_{z}$ tiene un límite superior e inferior.

Dos de las relaciones de conmutación para los componentes ${\displaystyle \mathbf {J}$ son, $${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.$$Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones, que se escriben juntos utilizando ${\displaystyle \pm }$ signos en los siguientes: $${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y}=(J_{x}\pm iJ_{y}(J_{z}\pm \hbar),}$$donde una de las ecuaciones utiliza ${\displaystyle +}$ signos y el otro utiliza ${\displaystyle -}$ señales. Aplicar ambas partes de lo anterior a ${\displaystyle \psi ({J^{2}'J_{z}'}$, $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}'J_{z}' iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar)\;\psi ({J^{2}'J_{z}')\\\\\\\hbar](J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}$$Lo anterior muestra que ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}'J_{z}')}$ son dos eigenfunctions de ${\displaystyle J_{z}$ con los eigenvalues respectivos ${\displaystyle {J_{z}\pm \hbar }$ a menos que una de las funciones sea cero, en cuyo caso no es una función eigen. Para las funciones que no son cero, $${\displaystyle \psi ({J^{2}'J_{z}'\pm\hbar)=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}'J_{z}').$$Funciones adicionales de ${\displaystyle J_{z}$ y los eigenvalues correspondientes se pueden encontrar aplicando repetidamente ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}$ mientras la magnitud del eigenvalue resultante sea ${\displaystyle \leq {\sqrt {}}}$. Desde los eigenvalues ${\displaystyle J_{z}$ están atados, vamos ${\displaystyle J_{z} {0}$ ser el valor más bajo y ${\displaystyle J_{z} {1}$ Sé el más alto. Entonces... $${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}'J_{z} {0}=0}$$ y $${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}'J_{z} {1}=0,}$$ya que no hay estados donde el eigenvalue ${\displaystyle J_{z}$ es ${\displaystyle - No.$ o ${\displaystyle } {}} {\4}}$. Aplicando ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y}}$ a la primera ecuación, ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$ al segundo, utilizando ${\displaystyle J_{x} {2}+J_{y} {2}=J^{2}-J_{z}{2}}$, y el uso también ${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}{2}+J_{y} {2}-i [J_{x},J_{y}=J_{x} {x}{2}+J_{y}{2}+J_{z}$, se puede demostrar que $${\displaystyle {J^{2}'-(J_{0}} {2}+\hbar} J_{z} {0}=0}$$ y $${\displaystyle {J^{2}'-(J_{z}} {2}-\hbar J_{z} {1}=0}$$Retraer la primera ecuación del segundo y reorganizar, $${\displaystyle (J_{z}{1}+J_{z}{0} (J_{z} {0}-J_{z} {1}-\hbar)=0.}$$Desde ${\displaystyle J_{z} {1}\geq J_{z} {0}$El segundo factor es negativo. Entonces el primer factor debe ser cero y así ${\displaystyle J_{z} {0}=-J_{z} {1}$.

La diferencia ${\displaystyle J_{z} {1}-J_{z} {0}$ viene de la aplicación sucesiva de ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}$ o ${\displaystyle J_{x }+iJ_{y}$ que bajan o elevan el eigenvalue de ${\displaystyle J_{z}$ por ${\displaystyle \hbar }$ Así que... $${\displaystyle J_{z} {1}-J_{0}=0,\hbar2\hbar\dots$$Vamos. $${\displaystyle J_{z} {1}-J_{0}=2j\hbar}$$ Donde $${\displaystyle j=0,{\tfrac {2}},1,{\tfrac {3}{2}}}\dots \;.}$$Luego usar ${\displaystyle J_{z} {0}=-J_{z} {1}$ y lo anterior, $${\displaystyle J_{z} {0}=-j\hbar$$ y $${\displaystyle J_{z}=j\hbar}$$y los eigenvalues permitidos ${\displaystyle J_{z}$ son $${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar-j\hbar +\hbar +2\hbar\dotsj\hbar.}$$Expresando ${\displaystyle J_{z}$ en términos de un número cuántico ${\displaystyle #$, y sustitución ${\displaystyle J_{z} {0}=-j\hbar$ en ${\displaystyle {J^{2}'-(J_{0}} {2}+\hbar} J_{z} {0}=0}$ de arriba,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z} {\m_{j}\hbar {\cH00}\cHFF}\cHbar ^{2} {2}}}, {\tfrac {3}{2}}}}}}},\dots {0,{\dfrac {2}}}}}}, {\tfrac {3}{2}}}}}}}}},\dots \;.\end{aligned}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Desde ${\displaystyle \mathbf {S}$ y ${\displaystyle \mathbf {L}$ tienen las mismas relaciones de conmutación que ${\displaystyle \mathbf {J}$, el mismo análisis de escaleras se puede aplicar a ellos, excepto que para ${\displaystyle \mathbf {L}$ hay una restricción adicional a los números cuánticos que deben ser enteros.

derivación tradicional de la restricción a números cuánticos enteros para ${\displaystyle L_{z}$ y ${\displaystyle L^{2}$.

En la representación de Schroedinger, el componente z del operador de impulso angular orbital se puede expresar en coordenadas esféricas como, $${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial} }{\partial \phi }}$$Para ${\displaystyle L_{z}$ and eigenfunction ${\displaystyle \psi }$ con eigenvalue ${\displaystyle L_{z}$, $${\displaystyle - i\hbar {\frac {\cMicrosoft Sans Serif} }{\partial . =L_{z}'\psi.}$$Solving for ${\displaystyle \psi }$, $${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}\phi /\hbar }$$Donde ${\displaystyle A}$ es independiente de ${\displaystyle \phi }$. Desde ${\displaystyle \psi }$ se requiere para ser un valor único, y añadir ${\displaystyle 2\pi}$ a ${\displaystyle \phi }$ resultados en una coordenadas para el mismo punto en el espacio, $${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi)/\hbar } limit=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar } {==1.\end{aligned}}}}}}}$$Resolver el eigenvalue ${\displaystyle L_{z}$, $${\displaystyle L_{z}=m_{l}\hbar \,}$$Donde ${\displaystyle m_{l}$ es un entero. De lo anterior y la relación ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell(-\ell +1),\ldots(\ell -1),\ell \ }$, sigue que ${\displaystyle \ell }$ es también un entero. Esto muestra que los números cuánticos ${\displaystyle #$ y ${\displaystyle \ell }$ para el impulso angular orbital ${\displaystyle \mathbf {L}$ están restringidos a enteros, a diferencia de los números cuánticos para el impulso angular total ${\displaystyle \mathbf {J}$ y vuelta ${\displaystyle \mathbf {S}$, que puede tener valores medio enteros.

Una derivación alternativa que no asume funciones de onda de valor único sigue y otro argumento usando grupos Lie está abajo.

derivación alternativa de la restricción a números cuánticos enteros para ${\displaystyle L_{z}$ y ${\displaystyle L^{2}$

Una parte clave de la derivación tradicional anterior es que la función de onda debe ser valorada por sí sola. Esto ahora es reconocido por muchos como no ser completamente correcto: una función de onda ${\displaystyle \psi }$ no es observable y sólo la densidad de probabilidad ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ se requiere un valor único. Las posibles funciones de onda de doble valor tienen una densidad de probabilidad de un solo valor. Esto fue reconocido por Pauli en 1939 (citado por Japaridze et)

... no hay un argumento convincente a priori declarando que las funciones de onda que describen algunos estados físicos deben ser funciones únicas valoradas. Para cantidades físicas, que se expresan por cuadrados de funciones de onda, para ser valorado único es bastante suficiente que después de moverse alrededor de un contorno cerrado estas funciones ganar un factor exp(iα)

Se han encontrado funciones de onda de doble valor, como ${\displaystyle \left forever{\tfrac {1}{2} {\tfrac {1}{2}}\right\rangle ¿Qué?$ y ${\displaystyle \lefttención{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac} {1}{2}\theta }$. Estos no se comportan bien bajo los operadores de escaleras, pero se han encontrado útiles para describir partículas rígidas cuánticas

Ballentine da un argumento basado únicamente en el formalismo del operador y que no confía en que la función de onda sea de valor único. El impulso angular azimutal se define como $${\displaystyle ¿Qué?$$Definir nuevos operadores $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1} {\fnK}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Q_{x}-P_{y}{\sqrt {2}}\p_{1} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnK}} {\fnK}} {\fn}} {\fnK}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}} {\fnK}}}}}} {\fn}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$(La corrección dimensional se puede mantener insertando factores de masa y frecuencia angular unidad numéricamente iguales a uno). Entonces... $${\displaystyle L_{z}={\tfrac {1}{2}\left(p_{1}{2}+q_{1}{2}\right)-{\tfrac {1}{2}\left(p_{2}{2}+q_{2}{2}\right)}$$Pero los dos términos a la derecha son sólo los Hamiltonianos para el oscilador armónico cuántico con masa unitaria y frecuencia angular $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1} {1}{2}\left(p_{1}{2}+q_{2}\right)\\H_{2} limit={\tfrac {1}{2}\left(p_{2}{2}+q_{2}\right)\end{aligned}}$$y ${\displaystyle L^{2}$, ${\displaystyle L_{z}$, ${\displaystyle H_{1}$ y ${\displaystyle H_{2}$ todos al mando.

Para la conmutación de operadores ermitianos se puede elegir un conjunto completo de vectores de base que son eigenvectores para los cuatro operadores. (El argumento de Glorioso se puede generalizar fácilmente a cualquier número de operadores de conmutación.)

Para cualquiera de estos eigenvectores ${\displaystyle \psi }$ con $${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi '\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi=\hbar m\psi \\H_{1}\ps=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}\right)\psi \\H_{2}\psi '\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}\right)\psi \end{aligned}}}$$para algunos enteros ${\displaystyle No.$, encontramos $${\displaystyle m=\left(n_{1}+{1}{2}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}\right)=n_{1}-n_{2}$$Como diferencia de dos enteros, ${\displaystyle m}$ debe ser un entero, del cual ${\displaystyle \ell }$ es también integral.

Buchdahl ha dado una versión más compleja de este argumento utilizando los operadores de escaleras del oscilador armónico cuántico.

Interpretación visual

Puesto que el momenta angular son operadores cuánticos, no se pueden dibujar como vectores como en la mecánica clásica. Sin embargo, es común representarlos heurísticamente de esta manera. Depicted on the right is a set of states with quantum numbers ${\displaystyle \ell =2}$, y ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$ para los cinco conos de abajo a arriba. Desde ${\fnK}=\hbar {\fn} {\fn}}}}}$, los vectores se muestran con longitud ${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}$. Los anillos representan el hecho que ${\displaystyle L_{z}$ es conocido con certeza, pero ${\displaystyle L_{x}$ y ${\displaystyle L_{y}$ son desconocidos; por lo tanto, cada vector clásico con la longitud apropiada y z-El componente se dibuja, formando un cono. El valor esperado del impulso angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por ${\displaystyle \ell }$ y ${\displaystyle #$ podría estar en algún lugar en este cono mientras que no se puede definir para un sistema único (ya que los componentes de ${\displaystyle L.$ no se comunican entre sí).

Cuantización en sistemas macroscópicos

Se cree que las reglas de cuantificación son ciertas incluso para sistemas macroscópicos, como el impulso angular L de una rueda giratoria. Sin embargo no tienen ningún efecto observable por lo que esto no ha sido probado. Por ejemplo, si ${\displaystyle L_{z}/\hbar}$ es aproximadamente 100000000, no importa si el valor preciso es un entero como 100000000 o 100000001, o un no-integer como 100000000.2—los pasos discretos son actualmente demasiado pequeños para medir.

El momento angular como generador de rotaciones

La definición más general y fundamental del impulso angular es como generador de rotaciones. Más específicamente, vamos ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi)}$ ser un operador de rotación, que gira cualquier estado cuántico sobre el eje ${\displaystyle {\hat {n}}}$ por ángulo ${\displaystyle \phi }$. As ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$, el operador ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi)}$ se acerca al operador de identidad, porque una rotación de mapas de 0° todos los estados a sí mismos. Luego el operador de impulso angular ${\displaystyle J_{\hat {n}}$ sobre el eje ${\displaystyle {\hat {n}}}$ se define como: $${\displaystyle J_{\hat {n}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}}}\phi \right)-1}{\phi}{\fn} }=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n},\phi \right)}{\partial \phi } 'justo de la vida_{\phi =0}$$

donde 1 es el operador de identidad. También note que R es un morfismo aditivo: ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {\n},\phi _{2}\right)}}}}}}}}$; como consecuencia $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}{\hbar }\right)} {\fn}} {\fn}}}}}}}}}\$$donde exp es la matriz exponencial. La existencia del generador está garantizada por el teorema de la Piedra en grupos unitarios de un parámetro.

En términos más simples, el operador del momento angular total caracteriza cómo cambia un sistema cuántico cuando se gira. La relación entre los operadores de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas, como se analiza más adelante.

Como J es el generador para los operadores de rotación, L y S son generadores para operadores de rotación parcial modificados. El operador $${\displaystyle ¿Qué?$$gira la posición (en el espacio) de todas las partículas y campos, sin girar el estado interno (spin) de cualquier partícula. Del mismo modo, el operador $${\displaystyle ¿Qué?$$rota el estado interno (spin) de todas las partículas, sin mover partículas ni campos en el espacio. La relación J = L + S viene de: $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}\left({\hat {n}}},\phi \right)R_{\text{spatial}\left({\hat {n}},\phi \right)}}}}$$

es decir si se rotan las posiciones y luego se rotan los estados internos, entonces se ha rotado el sistema completo.

SU(2), SO(3) y rotaciones de 360°

Aunque uno podría esperar ${\displaystyle R\left({\hat {n},360^{\circ }\right)=1}$ (una rotación de 360° es el operador de identidad), esto es no asumido en la mecánica cuántica, y resulta que a menudo no es verdad: Cuando el número total de ímpetu angular es un medio entero (1/2, 3/2, etc.), ${\displaystyle R\left({\hat {n},360^{\circ }\right)=-1}$, y cuando es un entero, ${\displaystyle R\left({\hat {n},360^{\circ }\right)=+1}$. Matemáticamente, la estructura de las rotaciones en el universo es no SO(3), el grupo de rotaciones tridimensionales en la mecánica clásica. En cambio, es SU(2), que es idéntica a SO(3) para pequeñas rotaciones, pero donde una rotación de 360° se distingue matemáticamente de una rotación de 0°. (Sin embargo, una rotación de 720° es la misma que una rotación de 0°.)

Por otro lado, ${\displaystyle ¿Qué?$ en todas las circunstancias, porque una rotación de 360° espacial configuración es igual que ninguna rotación. (Esto es diferente a una rotación de 360° de la interna (spin) estado de la partícula, que podría o no ser el mismo que ninguna rotación en absoluto.) En otras palabras, ${\displaystyle R_{\text{spacial}}$ operadores llevan la estructura de SO(3), mientras ${\displaystyle R.$ y ${\displaystyle R_{\text{internal}}$ port the structure of SU(2).

De la ecuación ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$, uno elige un eigenstate ${\displaystyle L_{z} soporte\psi \rangle =m\hbar Silencio\psi \rangle }$ y sorteos $${\displaystyle e^{-2\pi I'=1}$$que es decir que los números cuánticos angulares del impulso orbital sólo pueden ser números enteros, no medio enteros.

Conexión con la teoría de la representación

Empezando con un determinado estado cuántico ${\displaystyle ← _{0}\rangle }$, considerar el conjunto de estados ${\displaystyle R\left({\hat {n},\phi \right)\left arrest\psi ¿Por qué?$ para todos los posibles ${\displaystyle {\hat {n}}}$ y ${\displaystyle \phi }$, es decir, el conjunto de estados que vienen de girar el estado de partida de todas las maneras posibles. El lazo lineal de ese conjunto es un espacio vectorial, y por lo tanto la forma en que los operadores de rotación mapean un estado sobre otro es una representación del grupo de operadores de rotación.

De la relación entre J y los operadores de rotación,

Cuando los operadores de impulso angular actúan en estados cuánticos, forma una representación del álgebra de Lie ${\displaystyle {\Mathfrak {}}(2)}$ o ${\displaystyle {\mathfrak}(3)}$.

(Las álgebras de Lie de SU(2) y SO(3) son idénticas.)

La derivación del operador de escalera anterior es un método para clasificar las representaciones del álgebra de Lie SU(2).

Conexión con relaciones de conmutación

Las rotaciones clásicas no conmutan entre sí: por ejemplo, rotar 1° sobre el eje x y luego 1° sobre el eje y da como resultado una rotación general ligeramente diferente que rotar 1° sobre el eje y y luego 1° sobre el eje x. Al analizar cuidadosamente esta no conmutatividad, se pueden derivar las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular.

(Este mismo procedimiento de cálculo es una forma de responder a la pregunta matemática "¿Cuál es el álgebra de Lie de los grupos de Lie SO(3) o SU(2)?")

Conservación del momento angular

El Hamiltonian H representa la energía y la dinámica del sistema. En una situación simétrica esférica, el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones: $${\displaystyle RHR^{-1}=H}$$Donde R es un operador de rotación. En consecuencia, ${\displaystyle [H,R]=0}$Y luego ${\displaystyle [H,\mathbf {J}=Mathbf {0}$ debido a la relación entre J y R. Por el teorema de Ehrenfest, sigue que J se conserva.

En resumen, si H es invariante en rotación (simétrica esférica), entonces el momento angular total J se conserva. Este es un ejemplo del teorema de Noether.

Si H es sólo el Hamiltonian para una partícula, el impulso angular total de esa partícula se conserva cuando la partícula está en un potencial central (es decir, cuando la función energética potencial depende solamente de ${\displaystyle \left sometida\mathbf {r}\right sometida}$). Alternativamente, H puede ser el Hamiltoniano de todas las partículas y campos en el universo, y luego H es siempre rotacionalmente invariable, ya que las leyes fundamentales de la física del universo son las mismas independientemente de la orientación. Esta es la base para decir que la conservación del impulso angular es un principio general de la física.

Para una partícula sin espín, J = L, por lo que el momento angular orbital se conserva en las mismas circunstancias. Cuando el espín no es cero, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de L a S o viceversa. Por lo tanto, L no se conserva por sí solo.

Acoplamiento del momento angular

A menudo, dos o más tipos de momento angular interactúan entre sí, de modo que el momento angular puede transferirse de uno a otro. Por ejemplo, en el acoplamiento espín-órbita, el momento angular puede transferirse entre L y S, pero solo se conserva el total J = L + S. En otro ejemplo, en un átomo con dos electrones, cada uno tiene su propio momento angular J₁ y J₂, pero solo se conserva el total J = J₁ + J₂.

En estas situaciones, a menudo es útil conocer la relación entre, por un lado, estados donde ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}}}}}}}$ todos tienen valores definidos, y por otro lado, estados donde ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$ todos tienen valores definidos, ya que los últimos cuatro son generalmente conservados (constantes de movimiento). El procedimiento para ir de ida y vuelta entre estas bases es utilizar coeficientes Clebsch-Gordan.

Un resultado importante en este campo es que una relación entre los números cuánticos para ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$: $${\displaystyle j\in \left\{1}-j_{1}-j_{2}\derecha,\left(\left habitj_{1}-j_{2}\derecha,\ldots\left(j_{1}+j_{2}\derecha)\derecha}$$

Para un átomo o molécula con J = L + S, el símbolo del término da los números cuánticos asociados con los operadores ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}$.

Momento angular orbital en coordenadas esféricas

Los operadores de impulso angular suelen ocurrir cuando se resuelve un problema con la simetría esférica en las coordenadas esféricas. El impulso angular de la representación espacial es $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\fnK} > i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$$

En las coordenadas esféricas la parte angular del operador Laplace puede ser expresada por el impulso angular. Esto conduce a la relación $${\displaystyle Delta ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}\right)-{\frac} Oh, Dios mío.$$

Al resolver para encontrar eigenstates del operador ${\displaystyle L^{2}$, obtenemos lo siguiente $${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\left forever\ellm\right\rangle "Estupendo" \\L_{z}\left durable\ellm\right\rangle >\hbar m\left arrest\ellm\right\rangle \end{aligned}}}$$Donde $${\displaystyle \left\langle \theta\phi Silencio\ellm\right\rangle =Y_{\ellm}(\theta\phi)}$$son los armónicos esféricos.