Operador de momento

En mecánica cuántica, el operador de momento es el operador asociado con el momento lineal. El operador de momento es, en la representación de posición, un ejemplo de operador diferencial. Para el caso de una partícula en una dimensión espacial, la definición es:

$${\displaystyle {\hat {\fnh}=-i\hbar {\fnMicroc {\fnMicrosoft} }{\partial x}}$$

${\displaystyle \partial /\partial x}$

$${\displaystyle {\hat {\fnh}\fnh}\fnMicrosoft}\fnh} =-i\hbar {\frac {\partial \psi}{\partial #$$

En una base del espacio de Hilbert que consta de estados propios de momento expresados en la representación del momento, la acción del operador es simplemente multiplicar por p, es decir, es un operador de multiplicación, al igual que el operador de posición es un operador de multiplicación en la representación de posición. Tenga en cuenta que la definición anterior es el momento canónico, que no es una invariante de calibre ni una cantidad física mensurable para partículas cargadas en un campo electromagnético. En ese caso, el momento canónico no es igual al momento cinético.

Cuando se desarrolló la mecánica cuántica en la década de 1920, muchos físicos teóricos, entre ellos Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin Schrödinger y Eugene Wigner, descubrieron el operador de momento. Su existencia y forma a veces se consideran uno de los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Origen de las ondas planas de De Broglie

Los operadores de impulso y energía se pueden construir de la siguiente manera.

Una dimensión

Comenzando en una dimensión, usando la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger de una sola partícula libre,

$${\displaystyle \psi (x,t)=e^{\frac {i} {\hbar }(px-Et)}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial #={\frac {\fnMicrosoft} {} {\hbar } {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$$

Esto sugiere la equivalencia del operador

$${\displaystyle {\hat {\fnh}=-i\hbar {\fnMicroc {\fnMicrosoft} }{\partial x}}$$

Dado que la derivada parcial es un operador lineal, el operador de momento también es lineal, y debido a que cualquier función de onda se puede expresar como una superposición de otros estados, cuando este operador de momento actúa sobre toda la onda superpuesta, produce los valores propios del momento. para cada componente de onda plana. Estos nuevos componentes luego se superponen para formar el nuevo estado, que en general no es un múltiplo de la antigua función de onda.

Tres dimensiones

La derivación en tres dimensiones es la misma, excepto que se utiliza el operador de gradiente del en lugar de una derivada parcial. En tres dimensiones, la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger es:

$${\displaystyle \psi =e^{\frac {i}{\hbar } {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi >\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}+\mathbf {e} {\fnMicroc {\partial \psi}{\partial ¿Qué? {} {\fn}\fnK}\m}\fnMitbf {\f}\fnMicrosoft} ¿Qué? ¿Por qué? Mathbf \psi \end{aligned}}$$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p} =-i\hbar \nabla }$$

Este operador de momento está en el espacio de posiciones porque las derivadas parciales se tomaron con respecto a las variables espaciales.

Definición (espacio de posición)

Para una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín, el operador de momento se puede escribir en base a la posición como:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p} =-i\hbar \nabla }$$

En una dimensión espacial, esto se convierte en

$${\displaystyle {\hat {\f}={\hat} {p}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}$$

Esta es la expresión del impulso canónico. Para una partícula cargada q en un campo electromagnético, durante una transformación de calibre, la función de onda espacial de posición experimenta una transformación del grupo U(1) local, y ${\textstyle {\hat {\fnh}\fnh}\fnh}\fnh} =-i\hbar {\frac {\partial \psi}{\partial #$ cambiará su valor. Por lo tanto, el impulso canónico no es medidor invariante, y por lo tanto no es una cantidad física mensurable.

El momento cinético, una cantidad física invariante de calibre, se puede expresar en términos del momento canónico, el potencial escalar φ y potencial vectorial A:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {P} =-i\hbar \nabla - Q\mathbf {A}$$

La expresión anterior se llama acoplamiento mínimo. Para partículas eléctricamente neutras, el momento canónico es igual al momento cinético.

Propiedades

Hermiticidad

El operador de momento es siempre un operador hermitiano (más técnicamente, en terminología matemática, un "operador autoadjunto") cuando actúa sobre estados cuánticos físicos (en particular, normalizables).

(En determinadas situaciones artificiales, como los estados cuánticos en el intervalo semiinfinito [0, ∞), no hay forma de convertir el operador de momento en hermitiano. Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que un intervalo semiinfinito no puede tener simetría traslacional; más específicamente, no tiene operadores de traducción unitarios. Vea abajo.)

Relación de conmutación canónica

Aplicando el conmutador a un estado arbitrario ya sea en base a la posición o al momento, se puede demostrar fácilmente que:

$${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}}}} {\f}}}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\fnMicrob}\f}\f}\f}\fnMicrob}\f}\f}\f}\fnMicrob}\f}\f}\fnK\f}\f}\fnMisoy\f}\fnK\fnMis\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\f}\fnK\f}\f}\fn$$

El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se pueden conocer a la vez el impulso y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas.

Transformada de Fourier

La siguiente discusión utiliza la notación bracket. uno puede escribir

$${\displaystyle \psi (x)=\langle x WordPress\psi \rangle =\int \!\dp~\langle x WordPressp\rangle \langle p paciencia\psi \rangle =\int \!\dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}}}}$$

$${\displaystyle {\hat {\fnh}=}in \! \! \! \! ################################################################################################################################################################################################################################################################ .$$

$${\displaystyle \langle x arrest{\hat {p}\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}}\psi (x).}$$

Un resultado análogo se aplica para el operador de posición en la base del impulso,

$${\displaystyle \langle p arrest{\hat {x}tuvo\psi \rangle =i\hbar {\frac {d} {dp}}\psi (p),}$$

$${\displaystyle \langle p arrest{\hat {x} arrestp'\rangle =i\hbar {\frac} {d} {dp}\delta (p-p'),}$$

$${\displaystyle \langle x sobrevivir {\hat {p}tuvos'\rangle =-i\hbar {\frac {d} {dx}}\delta (x-x'),}$$

Derivación de traducciones infinitesimales

El operador de traducción se denota T(ε), donde ε representa la longitud de la traducción. Satisface la siguiente identidad:

$${\displaystyle T(\varepsilon) arrest\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon)$$

$${\displaystyle \int dx habitx+\varepsilon \rangle x WordPress\psi \rangle =\int dx habitx\rangle \langle x-\varepsilon tención\psi \rangle =\int dx habitx\rangle \psi (x-\varepsilon)}$$

Asumiendo la función ↑ para ser analítico (es decir, diferenciable en algún dominio del plano complejo), se puede ampliar en una serie de Taylor sobre x:

$${\displaystyle \psi (x-\varepsilon)=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$$

$${\displaystyle T(\varepsilon)=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$$

Como se sabe por la mecánica clásica, el momento es el generador de la traslación, por lo que la relación entre los operadores de traslación y momento es:

$${\displaystyle T(\varepsilon)=1-{\frac {}{\hbar} }\varepsilon {\fnK}$$

$${\displaystyle {\hat {\f}=-i\hbar {\fnMicroc} {d}{dx}}$$

Operador de 4 momentos

Insertar el operador de impulso 3D arriba y el operador de energía en el impulso 4 (como una forma 1 con firma métrica (+ − − −)):

$${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c},-\mathbf {p}\right)}$$

obtiene el operador de 4 momentos:

$${\displaystyle {\hat {\f}_{\mu}=\left({\frac} {1}{c}}{\hat {E},-\mathbf {\hat {\p}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c}}} {\c} {\c} {\c} {\c}} {\c}} {\c}{\c}} {\c} {\c} {\c}}}}}\c}}}}}}}}}}\c}\c}}\c\c\c\c}}}}\c\c\c}\c\c\c}\c\c\c\c\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c\c}\c}\c\c}\c\c}\c}}\c}\c$$

donde ∂_μ es el gradiente de 4 y el −< i>iħ  se convierte en +iħ  que precede al operador de 3 momentos. Este operador ocurre en la teoría cuántica de campos relativista, como la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de onda relativistas, dado que la energía y el momento se combinan en el vector de 4 momentos anterior, los operadores de momento y energía corresponden a derivadas de espacio y tiempo, y deben ser primero. ordenar derivadas parciales para la covarianza de Lorentz.

El operador de Dirac y la barra de Dirac del impulso 4 se obtienen contrayendo las matrices gamma:

$${\displaystyle \gamma ^{\mu ♫{\hat {P}_{\m} #=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}=i\hbar \partial \!\!$$

Si la firma fuera (− + + +), el operador sería

$${\displaystyle {\hat {\f} {\fnh}=\left(-{\frac} {1}{c} {\hat {}},\mathbf {\hat {} {}\right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}} {\m} {\c} {\c} {\c} {\c}} {\c} {\c}} {\c} {\c}}} {\c} {\c}{\c}} {\c} {\c}}\c}}}}}}\c}}}}}}}\c}\c}}}}\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c}\c}\c\c}\c}\c\c}\c}\c\c}\c\c\c}}}}\c}\$$

en su lugar.