Operador de Laplace

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En matemáticas, la Laplace operator o Laplacian es un operador diferencial dado por la divergencia del gradiente de una función de escalar en el espacio Euclidean. Por lo general se denota por los símbolos ${displaystyle nabla cdot nabla }$ , ${displaystyle nabla ^{2}$ (donde) ${displaystyle nabla }$ es el operador de nabla, o ${displaystyle Delta }$ . En un sistema de coordenadas cartesianas, el Laplaciano es dado por la suma de segundos derivados parciales de la función con respecto a cada variable independiente. En otros sistemas de coordenadas, como coordenadas cilíndricas y esféricas, el Laplaciano también tiene una forma útil. Informalmente, el Laplacian $Δ f () p)$ de una función $f$ en un momento $p$ medidas por cuánto valor promedio $f$ sobre pequeñas esferas o bolas centradas en $p$ desvia de $f () p)$ .

El operador de Laplace lleva el nombre del matemático francés Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), quien aplicó por primera vez el operador al estudio de la mecánica celeste: el Laplaciano del potencial gravitacional debido a una distribución de densidad de masa dada es un múltiplo constante de esa distribución de densidad. Las soluciones de la ecuación de Laplace $Δ f = 0$ se denominan funciones armónicas y representan los posibles potenciales gravitatorios en regiones de vacío.

El laplaciano aparece en muchas ecuaciones diferenciales que describen fenómenos físicos. La ecuación de Poisson describe los potenciales eléctricos y gravitacionales; la ecuación de difusión describe el calor y el flujo de fluidos, la ecuación de onda describe la propagación de onda y la ecuación de Schrödinger describe la función de onda en la mecánica cuántica. En el procesamiento de imágenes y la visión artificial, el operador laplaciano se ha utilizado para diversas tareas, como la detección de manchas y bordes. El laplaciano es el operador elíptico más simple y está en el centro de la teoría de Hodge, así como en los resultados de la cohomología de De Rham.

Definición

El operador Laplace es un operador diferencial de segundo orden en el n-dimensional Espacio euclidiano, definido como la divergencia ( ${displaystyle nabla cdot }$ ) del gradiente ( ${displaystyle nabla f}$ ). Así si ${displaystyle f}$ es una función de valor real dos veces diferente, luego el Laplaciano de ${displaystyle f}$ es la función de valor real definida por:

{displaystyle Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f}

()1)

donde las últimas notaciones se derivan de la escritura formal:

{displaystyle nabla =left({frac {partial }{partial x_{1}}}}ldots{frac {partial }{partial x_{n}}right).}}

f

unmixed

x i

{displaystyle Delta f=sum {fn} {fn} {fn} {fnf}} {f}}} {fn} {fn}f}}fn} {fn}f}fn}fnfnf}\\fn\fn}\fn\fnf}\f}\\f}\\fn\\\\\\\fn\\\\\\fn}\\\cH00f}\\\\fn}\\\\f}\\f}\fnf}\fn}\\f}\\\\\f}\\f}\\\\\\\\\\\\\\\\fn} #

()2)

Como operador diferencial de segundo orden, el operador de Laplace asigna funciones $Ck$ a $C k -2$ funciones para $k \geq 2$ . Es un operador lineal $Δ: C k (R n) \to C k -2 (R n)$ , o más generalmente, un operador $Δ: C k (Ω) \to C k - 2 (Ω)$ para cualquier conjunto abierto $Ω \subseteq R n $ .

Motivación

Difusión

En la teoría física de la difusión, el operador de Laplace surge naturalmente en la descripción matemática del equilibrio. Específicamente, si $u$ es la densidad en equilibrio de alguna cantidad como una concentración química, entonces el flujo neto de $u$ a través del límite $\partial V$ de cualquier región uniforme $V$ es cero, siempre que no haya una fuente o sumidero dentro de $V$ :

{displaystyle int _{partial V}nabla ucdot mathbf {n} ,dS=0,}

n

V

{displaystyle int _{V}operatorname {div} nabla u,dV=int _{partial V}nabla ucdot mathbf {n} ,dS=0.}

Dado que esto es válido para todas las regiones uniformes $V$ , se puede demostrar que implica:

{displaystyle operatorname {div} nabla u=Delta u=0.}

Δ u = 0

El propio operador de Laplace tiene una interpretación física para la difusión fuera del equilibrio como la medida en que un punto representa una fuente o un sumidero de concentración química, en un sentido precisado por la ecuación de difusión. Esta interpretación del laplaciano también se explica por el siguiente hecho sobre los promedios.

Promedios

Dada una función dos veces distintiva ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R}$ , un punto ${displaystyle pin mathbb {R} {fn}$ y un número real ${displaystyle h confía0}$ , lo dejamos ${displaystyle {f}_{B}(p,h)}$ ser el valor promedio de ${displaystyle f}$ sobre la bola con radio ${displaystyle h}$ centrado en ${displaystyle p}$ , y ${displaystyle {f}_{S}(p,h)}$ ser el valor promedio de ${displaystyle f}$ sobre la esfera (el límite de una bola) con radio ${displaystyle h}$ centrado en ${displaystyle p}$ . Entonces tenemos:

{displaystyle {f}_{B}(p,h)=f(p)+{frac {Delta f(p)}{2(n+2)}h^{2}+o(h^{2})quad {text{for};;hto 0}

{displaystyle {overline {f}_{S}(p,h)=f(p)+{frac {Delta f(p)}{2n}h^{2}+o(h^{2})quad {text{for};;hto 0}

Densidad asociada a un potencial

Si $φ$ denota el potencial electrostático asociado a una distribución de carga $q , entonces la distribución de carga en sí viene dada por el negativo del Laplaciano de φ :$

{displaystyle q=-varepsilon Delta varphi

ε 0

Esta es una consecuencia de la ley de Gauss. De hecho, si $V$ es cualquier región uniforme con límite $\partial V$ , entonces, según la ley de Gauss, el flujo del campo electrostático $E$ a través del límite es proporcional a la carga encerrada:

{displaystyle int _{partial V. {E} cdot mathbf {n} ,dS=int _{V}operatorname {div} mathbf {E} ,dV={frac {1}{varepsilon ¿Qué? _{V}q,dV.}

{displaystyle -int _{V}operatorname {div} (operatorname {grad} varphi),dV={frac {1}{varepsilon ¿Qué? _{V}q,dV.}

Dado que esto es válido para todas las regiones $V$ , debemos tener

{displaystyle operatorname {div} (operatorname {grad} varphi)=-{frac {1}{varepsilon ¿Qué?

El mismo enfoque implica que el negativo del laplaciano del potencial gravitacional es la distribución de masa. A menudo se da la distribución de carga (o masa) y se desconoce el potencial asociado. Encontrar la función potencial sujeta a condiciones de contorno adecuadas es equivalente a resolver la ecuación de Poisson.

Minimización de energía

Otra motivación para que el laplaciano aparezca en la física es que las soluciones a $Δ f = 0$ en una región $U$ son funciones que hacen estacionaria la energía de Dirichlet funcional:

{displaystyle E(f)={1}{2}int Vert nabla frVert ^{2},dx.}

Para ver esto, suponga que $f : U \to R$ es una función, y $u : U \to R$ es una función que desaparece en el límite de $U$ . Entonces:

{displaystyle left.{frac {d}{dvarepsilon } 'justo de la vida_{varepsilon =0}E(f+varepsilon u)=int _{U}nabla fcdot nabla u,dx=-int _{U}u,Delta f,dx}

donde la última igualdad sigue usando la primera identidad de Green. Este cálculo muestra que si $Δ f = 0$ , entonces $E$ está estacionario alrededor de $f$ . Por el contrario, si $E$ está estacionario alrededor de $f$ , entonces $Δ f = 0$ por el lema fundamental del cálculo de variaciones.

Expresiones de coordenadas

Dos dimensiones

El operador de Laplace en dos dimensiones viene dado por:

En coordenadas cartesianas,

{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial ¿Qué?

x

Sí.

xy

En coordenadas polares,

{displaystyle {begin{aligned} Delta f={frac {1}{frac {partial }{partial r}left(r{frac {partial f}{partial r}right)+{frac {1}{} {f} {f} {f} {f}} {f}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnK}} {f} {f}} {f}f} {f}}} {f} {f}} {f} {f}}} {f}}}} {fn}}}}}}}}}}}}\\f} {f} {f}f}f}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\f}\\f}\\f}f}f}\\\f}\\f}f}f}f}f}\f}f}\f}f}f}\f}fn}\f}\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\\\f}}}\f} {f} {f} {f}} {f}}}f}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}

r

Silencio

Tres dimensiones

En tres dimensiones, es común trabajar con el laplaciano en una variedad de sistemas de coordenadas diferentes.

En coordenadas cartesianas,

{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial ###{2}}+{frac {partial ^{2}f}{partial ¿Qué?

En coordenadas cilíndricas,

{f} {f} {f} {f}f} {f}} {f}}}f}}}} {f} {f}f} {f}f} {f} {f}f} {f}f}}}}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f}f}f}}}f}}}}f}f}}f}f}}f}f}f}f}

{displaystyle rho }

φ

z

En coordenadas esféricas:

{displaystyle Delta f={frac {1}{2}}{frac {partial }{partial r}left(r^{2}{frac {partial f}{partial r}right)+{frac {1}{r^{2}theta }{frac {partial }{partial theta }left(sin theta {frac {partial f}{partial theta {fnMicroc} {2}sin ^{2}theta } {frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}}

{displaystyle Delta f={frac {1}{frac {partial ^{2}{2} {partial r^{2}} {rf)+{frac {1}{2}sin theta }{frac {partial }{partial theta }left(sin theta {frac {partial f}{partial theta {fnMicroc} {2}sin ^{2}theta } {frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}}

φ

Silencio

En general coordenadas curvilíneas ( $ξ 1, ξ 2, ξ 3$ ):

{fnfn}m} {m}m}m}m}m} {m}m}m} {c}cc}c}ccc}ccccccc}cccc}ccH00}cccH00}ccccH00}c}cccccccccc}cccc}ccccH00}c}c}cccH00}cc}cccccccccccccccccccccccccccH00}cH00}c}cH00}c}c}c}c}c. Gamma _{mn} {frac {partial }{partial xi ^{l}}right),}

donde está implícita la suma de los índices repetidos, $g mn$ es el tensor métrico inverso y $Γ l mn$ son los símbolos de Christoffel para las coordenadas seleccionadas.

N dimensiones

En coordenadas curvilinear arbitrarias en $N$ dimensiones $. 1,..., . N$ Podemos escribir el Laplaciano en términos del inverso tensor métrico, ${displaystyle g^{ij}$ :

{displaystyle Delta ={}{sqrt {det g}{frac {partial }{partial xi ^{i}}}left({sqrt {det g}g^{}{}{frac {partial }{partial xi } {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {

En coordenadas esféricas en $N$ dimensiones, con la parametrización $x = rθ \in R N$ con r que representa un radio real positivo y $θ$ un elemento de la esfera unitaria $SN-1$ ,

{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial ¿Qué? {N-1}{frac {partial f}{partial {fn}fn}fn}fnK}fnK}fnK}}}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}}}} {fn}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\fn\\fn}fnfn}fn}fn}\\fn}fn}\\\fnfnfn}fn}fn}fn}\fn}\\fn}fn}fn}fn}fn}\fn}\\fnfnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\\fn}\fn} Delta...

Δ S N -1

() N -1)

{displaystyle {frac {1}{N-1}}{frac {partial }left(r^{N-1}{frac {partial f}{partial r}right). }

Como consecuencia, el laplaciano esférico de una función definida en $S N -1 \subset R N$ se puede calcular como el laplaciano ordinario de la función extendida a $R N ∖{0}$ de modo que sea constante a lo largo de los rayos, es decir, homogéneo de grado cero.

Invariancia euclidiana

El laplaciano es invariante bajo todas las transformaciones euclidianas: rotaciones y traslaciones. En dos dimensiones, por ejemplo, esto significa que:

{displaystyle Delta (f(xcos theta -ysin theta +a,xsin theta +ycos theta +b)=(Delta f)(xcos theta -ysin theta +a,xsin theta +ycos theta +b)}

Silencioab

{displaystyle Delta (fcirc rho)=(Delta f)circ rho }

***

{displaystyle Delta (fcirc tau)=(Delta f)circ tau }

τ***

De hecho, el álgebra de todos los operadores diferenciales lineales escalares, con coeficientes constantes, que conmutan con todas las transformaciones euclidianas, es el álgebra polinomial generada por el operador de Laplace.

Teoría espectral

El espectro del operador de Laplace consta de todos los valores propios $λ$ para los que existe una función propia correspondiente $f$ con:

{displaystyle - Delta f=lambda f.}

Esto se conoce como la ecuación de Helmholtz.

Si $Ω$ es un dominio delimitado en $R n $ , entonces las funciones propias del Laplaciano son una base ortonormal para el espacio de Hilbert $L2(Ω)$ . Este resultado se sigue esencialmente del teorema espectral sobre operadores compactos autoadjuntos, aplicado al inverso del laplaciano (que es compacto, por la desigualdad de Poincaré y el teorema de Rellich-Kondrachov). También se puede demostrar que las funciones propias son funciones infinitamente diferenciables. De manera más general, estos resultados son válidos para el operador de Laplace-Beltrami en cualquier variedad compacta de Riemann con límite, o de hecho para el problema de valores propios de Dirichlet de cualquier operador elíptico con coeficientes suaves en un dominio acotado. Cuando $Ω$ es la n-esfera, las funciones propias del laplaciano son los armónicos esféricos.

Vector laplaciana

(feminine)

El vector Laplace operator, también denotado por ${displaystyle nabla ^{2}$ , es un operador diferencial definido en un campo vectorial. El vector Laplacian es similar al escalar Laplacian; mientras que el escalar Laplacian se aplica a un campo de escalar y devuelve una cantidad de escalar, el vector Laplacian se aplica a un campo vectorial, devolviendo una cantidad vectorial. Cuando se computa en coordenadas cartesianas ortonormales, el campo vectorial devuelto es igual al campo vectorial del escalar Laplacian aplicado a cada componente vectorial.

El vector Laplacian de un campo vectorial ${displaystyle mathbf {A}$ se define como

{displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =nabla (nabla cdot mathbf {A})-nabla times (nabla times mathbf {A}). }

En coordenadas cartesianas, esto se reduce a la forma mucho más simple como

{displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} =(nabla) ^{2}A_{x},nabla ^{2}A_{y},nabla ^{2}A_{z}),}

{displaystyle A_{x}

{displaystyle A_{y}

{displaystyle A_{z}

{displaystyle mathbf {A}

{displaystyle nabla ^{2}

Para expresiones del vector Laplaciano en otros sistemas de coordenadas, consulte Del en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Generalización

El Laplaciano de cualquier campo de tensor ${displaystyle mathbf {T}$ ("tensor" incluye escalar y vector) se define como la divergencia del gradiente del tensor:

{displaystyle nabla ^{2}mathbf {T} =(nabla cdot nabla)mathbf {T}

Para el caso especial donde ${displaystyle mathbf {T}$ es un escalar (un tensor de grado cero), el Laplaciano toma la forma familiar.

Si ${displaystyle mathbf {T}$ es un vector (un tensor de primer grado), el gradiente es un derivado covariante que resulta en un tensor de segundo grado, y la divergencia de esto es de nuevo un vector. La fórmula para el vector Laplacian arriba se puede utilizar para evitar las matemáticas tensoras y se puede demostrar que es equivalente a la divergencia de la matriz Jacobiana que se muestra a continuación para el gradiente de un vector:

{displaystyle nabla mathbf {T} =(nabla T_{x},nabla T_{y},nabla T_{z}={begin{bmatrix}T_{xx} limitT_{x}{x_{xz}\T_{yx} {yx} {yyy} {yz}\T_{zx} {c} {c} {cH}}} {f}f}f}cH00}}f} {f}}f}}}}f}f}}}ccH00}f}}ccH00}f}ccccccccH00}cH00}c}}}}}}}}}}}}cH00}cH00}}ccH00}}ccH00}}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00}}}cH00}}}cH00}}}}}}c {fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicroc} T_{u}{partial - Sí.

Y, de la misma manera, un producto punto, que se evalúa como un vector, de un vector por el gradiente de otro vector (un tensor de segundo grado) puede verse como un producto de matrices:

{displaystyle mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} ={begin{bmatrix}A_{x} {y} {y}}end{bmatrix}nabla mathbf {B} ={begin{bmatrix}mathbf {A} cdot nabla B_{x} {A} cdot nabla B_{y} {A} cdot nabla B_{z}end{bmatrix}}

Uso en física

Un ejemplo del uso del vector laplaciano son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible newtoniano:

{displaystyle rho left({frac {partial mathbf {v}{partial t}+(mathbf {v} cdot nabla)mathbf {v}right)=rho mathbf {f} -nabla p+muleft(nabla ^f}

{displaystyle mu left(nabla ^{2}mathbf {v} right)}

Otro ejemplo es la ecuación de onda para el campo eléctrico que se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell en ausencia de cargas y corrientes:

{displaystyle nabla ^{2}mathbf {E} ¿Qué? {E} {fnMicrosoft Sans Serif}=0}

Esta ecuación también se puede escribir como:

{displaystyle Box ,mathbf {E} =0,}

{displaystyle "Box equiv {frac {1}{2}{2}{frac {partial ^{2}{partial {partial}{partial}{2} {c} {c}}{c} {c}}{c} {c} {c}}{2}}}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}}}{f}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} {f} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

Generalizaciones

Se puede definir una versión del Laplaciano siempre que el funcional de la energía de Dirichlet tenga sentido, que es la teoría de las formas de Dirichlet. Para espacios con estructura adicional, se pueden dar descripciones más explícitas del Laplaciano, como sigue.

Operadora Laplace – Beltrami

(feminine)

El laplaciano también se puede generalizar a un operador elíptico llamado operador de Laplace-Beltrami definido en una variedad de Riemann. El operador de Laplace-Beltrami, cuando se aplica a una función, es la traza ( $tr$ ) del hessiano de la función:

{displaystyle Delta f=operatorname {big (}H(f){big)}}

Otra generalización del operador de Laplace que está disponible en variedades pseudo-riemannianas utiliza la derivada exterior, en términos de la cual el "geómetro's Laplaciano" se expresa como

{displaystyle Delta f=delta df.}

Aquí $δ$ es la codiferencial, que también se puede expresar en términos de la estrella de Hodge y la derivada exterior. Este operador difiere en signo del "laplaciano del analista" definido anteriormente. Más generalmente, el "Hodge" Laplaciano se define en formas diferenciales $α$ por

{displaystyle Delta alpha =delta dalpha +ddelta alpha.}

Esto se conoce como el operador de Laplace-de Rham, que está relacionado con el operador de Laplace-Beltrami por la identidad de Weitzenböck.

D'alembertiano

El laplaciano se puede generalizar de ciertas maneras a espacios no euclidianos, donde puede ser elíptico, hiperbólico o ultrahiperbólico.

En Minkowski espacio el operador Laplace-Beltrami se convierte en el operador D'Alembert ${displaystyle Box}$ o D'Alembertian:

{displaystyle square ={frac {1}{2}} {frac {partial }{2}{partial t^{2}}} {frac {partial ^{2}}}{partial }{2}{partial t^{2}}}} {frac {partial {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnK}} {fnMicroc}} {fnMicrosoft}} {fnK}} {f}}} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc}}}} {f}}}}}}}}}} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrocf}f}f}f}f}f}f}fnMicrocf}fnMicrocf}f}f}fnMicrocf}f}f}f}fnMicrocfnMicroc {f}f}f}f}f}f}fn ¿Qué?

Es la generalización del operador de Laplace en el sentido de que es el operador diferencial el que es invariante bajo el grupo de isometría del espacio subyacente y se reduce al operador de Laplace si se restringe a funciones independientes del tiempo. El signo general de la métrica aquí se elige de manera que las partes espaciales del operador admitan un signo negativo, que es la convención habitual en la física de partículas de alta energía. El operador de D'Alembert también se conoce como operador de onda porque es el operador diferencial que aparece en las ecuaciones de onda, y también es parte de la ecuación de Klein-Gordon, que se reduce a la ecuación de onda en el caso sin masa.

El factor adicional de $c$ en la métrica es necesario en física si el espacio y el tiempo se miden en diferentes unidades; se requeriría un factor similar si, por ejemplo, la dirección $x$ se midiera en metros mientras que la dirección $y$ se midió en centímetros. De hecho, los físicos teóricos suelen trabajar en unidades tales que $c = 1$ para simplificar la ecuación.

El operador de d'Alembert se generaliza a un operador hiperbólico en variedades pseudo-riemannianas.

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