Operador autoadjunto

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Operador lineal igual a su propio adjoint

En matemáticas, a autoadjunto operador en un espacio vectorial complejo de dimensiones infinitas V con producto interior $langle cdotcdot rangle$ (Equivalentemente, a Hermitian operator en el caso finito-dimensional) es un mapa lineal A (de V a sí mismo) que es su propia unión. Si V es finito-dimensional con una base ortonormal dada, esto es equivalente a la condición de que la matriz de A es una matriz hermitiana, es decir, igual a su transpose conjugado A^Alternativa. Por el teorema espectral finito, V tiene una base ortonormal tal que la matriz A relativa a esta base es una matriz diagonal con entradas en los números reales. Este artículo trata de aplicar generalizaciones de este concepto a los operadores en los espacios de Hilbert de dimensión arbitraria.

Los operadores autónomos se utilizan en el análisis funcional y la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica su importancia radica en la formulación Dirac-von Neumann de la mecánica cuántica, en la que los observables físicos como posición, impulso, impulso angular y giro están representados por operadores autónomos en un espacio Hilbert. De particular importancia es el operador Hamiltoniano ${hat {H}}$ definidas por

{displaystyle {hat {H}}psi =-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}psi +Vpsi}

que como observable corresponde a la energía total de una partícula de masa m en un campo de potencial real V. Los operadores diferenciales son una clase importante de operadores ilimitados.

La estructura de los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert de dimensión infinita se parece esencialmente al caso de dimensión finita. Es decir, los operadores son autoadjuntos si y solo si son unitariamente equivalentes a los operadores de multiplicación con valores reales. Con las modificaciones adecuadas, este resultado se puede extender a operadores posiblemente ilimitados en espacios de dimensión infinita. Dado que un operador autoadjunto definido en todas partes está necesariamente acotado, es necesario prestar más atención al problema del dominio en el caso no acotado. Esto se explica a continuación con más detalle.

Definiciones

Vamos $A$ ser un operador sin límites (es decir, no necesariamente obligado) con un dominio denso ${displaystyle operatorname {Dom} Asubseteq H.}$ Esta condición se mantiene automáticamente cuando $H$ es finito-dimensional desde ${displaystyle operatorname {Dom} A=H}$ para cada operador lineal en un espacio finito-dimensional.

Dejar el producto interior ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ ser conjugado-linear sobre segundo argumento. Esto se aplica únicamente a espacios complejos de Hilbert. Por definición, la adjoint operator $A^{*}$ actúa en el subespacio ${displaystyle operatorname {Dom} A^{*}subseteq H}$ consistente en los elementos $y$ para el cual hay ${displaystyle zin H}$ tales que ${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,zrangle}$ para todos ${displaystyle xin operatorname {Dom} A.}$ Ajuste ${displaystyle A^{*}y=z}$ define el operador lineal ${displaystyle A^{*}.}$

El Gráfico de un operador (arbitrario) $A$ es el conjunto ${displaystyle G(A)={(x,Ax)mid xin operatorname {Dom} A}.}$ Un operador $B$ se dice que ampliación $A$ si ${displaystyle G(A)subseteq G(B).}$ Esto está escrito como ${displaystyle Asubseteq B.}$

El operador densamente definido $A$ se llama simétrica si

{displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle}

para todos ${displaystyle x,yin operatorname {Dom} A.}$ Como se indica a continuación, $A$ es simétrico si y sólo si ${displaystyle G(A)subseteq G(A^{*}).}$

El operador densamente definido $A$ se llama self-adjoint si ${displaystyle G(A)=G(A^{*}).}$ Explícitamente, ${displaystyle operatorname {Dom} A=operatorname {Dom} A^{*}}$ y ${displaystyle A=A^{*}.}$ Cada operador independiente es simétrico. Por el contrario, un operador simétrico $A$ para la cual ${displaystyle operatorname {Dom} A=operatorname {Dom} A^{*}}$ es auto-adjunto. En física, el término Hermitian se refiere a los operadores simétricos y autoadjuntos por igual. La diferencia sutil entre ambos es generalmente pasada por alto.

Un subconjunto ${displaystyle rho (A)subseteq mathbb {C} }$ se llama resolvent set (o ordinarioSi por cada uno ${displaystyle lambda in rho (A),}$ el operador (no-excitado innecesariamente) ${displaystyle A-lambda I}$ tiene atado en todas partes Inverso. El complemento ${displaystyle sigma (A)=mathbb {C} setminus rho (A)}$ se llama espectro. En dimensiones finitas, $sigma (A)$ consiste exclusivamente en eigenvalues.

Operadores autoadjuntos acotados

Un operador acotado A es autoadjunto si

{displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle }

para todos $x$ y $y$ dentro H. Si A es simétrico y ${displaystyle mathrm {Dom} (A)=H}$ Entonces, por Hellinger-Toeplitz teorema, A está necesariamente ligado.

Cada operador lineal vinculado T: H → H en un espacio Hilbert H puede ser escrito en la forma ${displaystyle T=A+iB}$ Donde A: H → H y B: H → H son operadores auto-adjuntos atados.

Propiedades de los operadores autoadjuntos acotados

Vamos H ser un espacio Hilbert y dejar ${displaystyle A:Hto H}$ ser un operador lineal autoadjunto definido en ${displaystyle operatorname {D} left(Aright)=H}$ .

${displaystyle leftlangle h,Ahrightrangle }$ es real para todos $hin H$ .
${displaystyle left|Aright|=sup left{|langle h,Ahrangle |:|h|=1right}}$ si ${displaystyle operatorname {dim} Hneq 0.}$
Si la imagen de A, denotado por ${displaystyle operatorname {Im} A}$ , es denso en H entonces ${displaystyle A:Hto operatorname {Im} A}$ es invertible.
Los eigenvalues de A son reales y los eigenvectores pertenecientes a diferentes eigenvalues son ortogonales.
Si λ λ {displaystyle lambda } $lambda$ es un eigenvalue de A entonces Silencioλ λ Silencio≤ ≤ .. A.. {displaystyle TENEDlambda SilencioleqaH00} ${displaystyle |lambda |leq |A|}$ ; en particular, Silencioλ λ Silencio≤ ≤ Sup{}Silencio.. h,Ah.. Silencio:.. h.. ≤ ≤ 1}{displaystyle ¦lambda Silencioleq sup left{ Anteriorlangle h, Ahrangle Silencio: 'Principalmente' ${displaystyle |lambda |leq sup left{|langle h,Ahrangle |:|h|leq 1right}}$ .
- En general, puede que no exista ningún eigenvalue $lambda$ tales que ${displaystyle |lambda |=sup left{|langle h,Ahrangle |:|h|leq 1right}}$ , pero si además A es compacto entonces hay necesariamente un eigenvalue $lambda$ , igual a cualquiera $|A|$ o ${displaystyle -|A|}$ , tal que ${displaystyle |lambda |=sup left{|langle h,Ahrangle |:|h|leq 1right}}$ ,
Si una secuencia de operadores lineales auto-adjuntos conectados es convergente entonces el límite es auto-adjunto.
Existe un número $lambda$ , igual a cualquiera $|A|$ o ${displaystyle -|A|}$ , y una secuencia ${displaystyle left(x_{i}right)_{i=1}^{infty }subseteq H}$ tales que ${displaystyle lim _{ito infty }Ax_{i}-lambda x_{i}=0}$ y ${displaystyle |x_{i}|=1}$ para todos i.

Operadoras simétricas

(feminine)

NOTA: los operadores simétricos se definen arriba.

A es simétrica ⇔ A⊆A *

(feminine)

Un operador sin límites, densamente definido $A$ es simétrico si y sólo si ${displaystyle Asubseteq A^{*}.}$ De hecho, la parte si sigue directamente de la definición del operador adjunto. Para la única parte, suponiendo que $A$ es simétrico, la inclusión ${displaystyle operatorname {Dom} (A)subseteq operatorname {Dom} (A^{*})}$ A continuación la desigualdad Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz: por cada ${displaystyle x,yin operatorname {Dom} (A),}$

{displaystyle |langle Ax,yrangle |=|langle x,Ayrangle |leq |x|cdot |Ay|.}

La igualdad ${displaystyle A=A^{*}|_{operatorname {Dom} (A)}}$ por la igualdad

{displaystyle langle x,A^{*}yrangle =langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle}

para todos ${displaystyle x,yin operatorname {Dom} Asubseteq operatorname {Dom} A^{*},}$ la densidad de ${displaystyle operatorname {Dom} A,}$ y no degeneración del producto interno.

El teorema de Hellinger-Toeplitz dice que un operador simétrico definido en todas partes es acotado y autoadjunto.

A es simétrica ⇔ ∀x ⟨Ax, x⟩ ∈ R

La única parte que se deriva directamente de la definición (véase supra). Para probar el si-parte, asuma sin pérdida de generalidad que el producto interior $langle cdotcdot rangle$ es anti-linear en primero argumento y lineal en el segundo. (En el escenario inverso, trabajamos con ${displaystyle langle x,yrangle _{text{op}}{stackrel {text{def}}{=}} langle y,xrangle }$ en su lugar). La simetría de $A$ de la identidad de polarización

{displaystyle {begin{aligned}4langle Ax,yrangle ={}&langle A(x+y),x+yrangle -langle A(x-y),x-yrangle \[1mm]&{}-ilangle A(x+iy),x+iyrangle +ilangle A(x-iy),x-iyrangle end{aligned}}}

que sostiene por cada ${displaystyle x,yin operatorname {Dom} A.}$

||(A−λ)x|| ≥ d(λ)⋅||x||

Esta propiedad se usa en la prueba de que el espectro de un operador autoadjunto es real.

Define ${displaystyle S={xin operatorname {Dom} Amid Vert xVert =1},}$ ${displaystyle textstyle m=inf _{xin S}langle Ax,xrangle}$ y ${displaystyle textstyle M=sup _{xin S}langle Ax,xrangle.}$ Los valores ${displaystyle m,Min mathbb {R} cup {pm infty }}$ se definen correctamente ya que ${displaystyle Sneq emptyset}$ y ${displaystyle langle Ax,xrangle in mathbb {R}}$ por simetría. Entonces, por cada uno ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ y todos ${displaystyle xin operatorname {Dom} A,}$

{displaystyle Vert A-lambda xVert geq d(lambda)cdot Vert xVert}

Donde ${displaystyle textstyle d(lambda)=inf _{rin [m,M]}|r-lambda |.}$

De hecho, vamos ${displaystyle xin operatorname {Dom} Asetminus {0}.}$ Por la desigualdad Cauchy-Schwarz,

{displaystyle Vert A-lambda xVert geq {frac {|langle A-lambda x,xrangle |}{Vert xVert }}=left|leftlangle A{frac {x}{Vert xVert }},{frac {x}{Vert xVert }}rightrangle -lambda right|cdot Vert xVert geq d(lambda)cdot Vert xVert.}

Si ${displaystyle lambda notin [m,M],}$ entonces $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d()λ λ )■0,{displaystyle d(lambda)}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac566ee77aabdff644a674c2b930be2c3797f8f" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.288ex; height:2.843ex;"/>$ y $A-lambda I$ se llama a continuación.

Un ejemplo sencillo

Como se señaló anteriormente, el teorema espectral se aplica solo a los operadores autoadjuntos, y no en general a los operadores simétricos. Sin embargo, en este punto podemos dar un ejemplo simple de un operador simétrico que tiene una base ortonormal de vectores propios. (Este operador es en realidad "esencialmente auto-adjunto.") Se puede ver que el operador A a continuación tiene un inverso compacto, lo que significa que la ecuación diferencial correspondiente Af = g se resuelve mediante algún operador integral (y por lo tanto compacto) G. El operador simétrico compacto G tiene entonces una familia contable de vectores propios que están completos en $L 2$ . Lo mismo puede decirse entonces de A.

Considere el espacio de Hilbert complejo L²[0,1] y el operador diferencial

{displaystyle A=-{frac {d^{2}}{dx^{2}}}}

con ${displaystyle mathrm {Dom} (A)}$ que consiste en todas las funciones infinitamente diferentes de valor complejo f en [0, 1] satisfactorias las condiciones de límites

{displaystyle f(0)=f(1)=0.}

Luego la integración por partes del producto interior muestra que A es simétrico. Se invita al lector a realizar la integración por partes dos veces y verificar que las condiciones límite dadas para ${displaystyle operatorname {Dom} (A)}$ asegurar que los términos límite en la integración por partes se desvanecan.

Las funciones propias de A son las sinusoides

{displaystyle f_{n}(x)=sin(npi x)qquad n=1,2,ldots }

con los valores propios reales n²π²; la conocida ortogonalidad de las funciones seno se sigue como consecuencia de la propiedad de ser simétricas.

A continuación, consideramos las generalizaciones de este operador.

Espectro de operadores autoadjuntos

Vamos $A$ ser un operador simétrico sin límites. $A$ es auto-adjunto si y sólo si ${displaystyle sigma (A)subseteq mathbb {R}.}$

Prueba: el operador autoadjunto tiene un espectro real

Vamos $A$ Sé auto-adjunto. Los operadores autónomos son simétricos. Los pasos iniciales de esta prueba se llevan a cabo solo sobre la simetría. Autoadjunción de $A$ no se utiliza directamente hasta el paso 1b(i). Vamos ${displaystyle lambda in mathbb {C}.}$ Denote ${displaystyle R_{lambda }=A-lambda I.}$ Utilizando las notaciones de la sección sobre operadores simétricos (ver arriba), basta probar que ${displaystyle sigma (A)subseteq [m,M].}$

Vamos λ λ ▪ ▪ C∖ ∖ [m,M].{displaystyle lambda in mathbb {C} setminus [m,M].} ${displaystyle lambda in mathbb {C} setminus [m,M].}$ El objetivo es demostrar la existencia y el carácter ilimitado del operador resuelto invertido Rλ λ − − 1,{displaystyle R_{fnfnMicrosoft }{-1} ${displaystyle R_{lambda }^{-1},}$ y mostrar eso Dom⁡ ⁡ Rλ λ − − 1=H.{displaystyle operatorname {Dom} R_{lambda Sí. ${displaystyle operatorname {Dom} R_{lambda }^{-1}=H.}$ Comenzamos mostrando que ker⁡ ⁡ Rλ λ ={}0}{displaystyle ker R_{lambda }= {0} ${displaystyle ker R_{lambda }={0}}$ y Im⁡ ⁡ Rλ λ =H.{displaystyle operatorname {fnMicrosoft Sans Serif} }=H.} ${displaystyle operatorname {Im} R_{lambda }=H.}$
1. Como se muestra anteriormente, ${displaystyle R_{lambda }}$ está atado abajo, es decir. ${displaystyle Vert R_{lambda }xVert geq d(lambda)cdot Vert xVert}$ con $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d()λ λ )■0.{displaystyle d(lambda)}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd721f3d9bda22e95caeefe72a8037a73deaa61" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.288ex; height:2.843ex;"/>$ La trivialidad de ${displaystyle ker R_{lambda }}$ sigue.
2. Queda por demostrar que Im⁡ ⁡ Rλ λ =H.{displaystyle operatorname {fnMicrosoft Sans Serif} }=H.} ${displaystyle operatorname {Im} R_{lambda }=H.}$ De hecho,
  1. ${displaystyle operatorname {Im} R_{lambda }}$ está cerrado. Para probar esto, escoge una secuencia ${displaystyle y_{n}=R_{lambda }x_{n}in operatorname {Im} R_{lambda }}$ convergiendo a algunos ${displaystyle yin H.}$ Desde ${displaystyle |x_{n}-x_{m}|leq {frac {1}{d(lambda)}}|y_{n}-y_{m}|,}$ $x_n$ es fundamental. Por lo tanto, converge a algunos ${displaystyle xin H.}$ Además, ${displaystyle y_{n}+lambda x_{n}=Ax_{n}}$ y ${displaystyle y_{n}+lambda x_{n}to y+lambda x.}$ Uno debe subrayar que los argumentos presentados hasta ahora para cualquier operador simétrico pero no necesariamente autoadjunto. Ahora sigue de la autoadjunción que $A$ está cerrado, así que ${displaystyle xin operatorname {Dom} A=operatorname {Dom} R_{lambda },}$ ${displaystyle Ax=y+lambda xin operatorname {Im} A,}$ y en consecuencia ${displaystyle y=R_{lambda }xin operatorname {Im} R_{lambda }.}$ Finalmente,
  2. ${displaystyle operatorname {Im} R_{lambda }}$ es denso en ${displaystyle H.}$ De hecho, el artículo sobre el operador de Adjoint señala que ${displaystyle operatorname {Im} R_{lambda }^{perp }=ker R_{lambda }^{*}.}$ De la unión de uno mismo $A$ (i.e. ${displaystyle A^{*}=A)}$ , ${displaystyle R_{lambda }^{*}=R_{bar {lambda }}.}$ Desde ${displaystyle lambda in mathbb {C} setminus [m,M],}$ la inclusión ${displaystyle {bar {lambda }}in mathbb {C} setminus [m,M]}$ implica que $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d()λ λ ̄ ̄ )■0,{displaystyle d({bar {lambda }}}} {}}}}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0eb36d1e751f32128ccdc572a679a9d9470a378" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.288ex; height:3.009ex;"/>$ y, en consecuencia, ${displaystyle ker R_{bar {lambda }}={0}.}$
El operador ${displaystyle R_{lambda }colon operatorname {Dom} Ato H}$ ha sido demostrado ser bijetivo, así que la inversa teórica ${displaystyle R_{lambda }^{-1}}$ existe y se define en todas partes. El gráfico de ${displaystyle R_{lambda }^{-1}}$ es el conjunto ${displaystyle {(R_{lambda }x,x)mid xin operatorname {Dom} A}.}$ Desde ${displaystyle R_{lambda }}$ está cerrado (porque $A$ es), así es ${displaystyle R_{lambda }^{-1}.}$ Por teorema de gráfico cerrado, ${displaystyle R_{lambda }^{-1}}$ está atado, así que ${displaystyle lambda notin sigma (A).}$

Prueba: Operador simétrico con espectro real es autoadjunto

Por supuesto, $A$ es simétrico; por lo tanto ${displaystyle Asubseteq A^{*}.}$ Por todos ${displaystyle lambda in mathbb {C}}$ ${displaystyle A-lambda Isubseteq A^{*}-lambda I.}$ Vamos ${displaystyle sigma (A)subseteq [m,M].}$ (Estas constantes se definen en la sección sobre operadores siméticos arriba). Si ${displaystyle lambda notin [m,M],}$ entonces ${displaystyle {bar {lambda }}notin [m,M].}$ Desde $lambda$ y ${displaystyle {bar {lambda }}}$ no están en el espectro, los operadores ${displaystyle A-lambda I,A-{bar {lambda }}I:operatorname {Dom} Ato H}$ son bijetivos. Además,
${displaystyle A-lambda I=A^{*}-lambda I.}$ De hecho, ${displaystyle H=operatorname {Im} (A-lambda I)subseteq operatorname {Im} (A^{*}-lambda I).}$ Si uno hubiera ${displaystyle operatorname {Dom} (A-lambda I)subsetneq operatorname {Dom} (A^{*}-lambda I),}$ entonces ${displaystyle A^{*}-lambda I}$ no sería inyectable, es decir, uno habría ${displaystyle ker(A^{*}-lambda I)neq {0}.}$ Como se discutió en el artículo sobre el operador adjunto, ${displaystyle operatorname {Im} (A-{bar {lambda }}I)^{perp }=ker(A^{*}-lambda I),}$ y, por consiguiente, ${displaystyle operatorname {Im} (A-{bar {lambda }}I)neq H.}$ Esto contradice la bijetividad.
La igualdad ${displaystyle A-lambda I=A^{*}-lambda I}$ muestra que ${displaystyle A=A^{*},}$ i.e. $A$ es auto-adjunto. De hecho, basta probar que ${displaystyle A^{*}subseteq A.}$ Por todos ${displaystyle xin operatorname {Dom} A^{*}}$ y ${displaystyle y=A^{*}x,}$ ${displaystyle A^{*}x=yLeftrightarrow (A^{*}-lambda I)x=y-lambda xLeftrightarrow (A-lambda I)x=y-lambda xLeftrightarrow Ax=y.}$

Autoadjunto esencial

Un operador simétrico A siempre se puede cerrar; es decir, el cierre de la gráfica de A es la gráfica de un operador. Se dice que un operador simétrico A es esencialmente auto-adjunto si la clausura de A es auto-adjunta. De manera equivalente, A es esencialmente autoadjunto si tiene una extensión autoadjunta única. En términos prácticos, tener un operador esencialmente autoadjunto es casi tan bueno como tener un operador autoadjunto, ya que simplemente necesitamos tomar la clausura para obtener el operador autoadjunto.

Ejemplo: f(x) → x·f(x)

Considere el espacio complejo de Hilbert L²(R), y el operador que multiplica una función dada por x:

{displaystyle Af(x)=xf(x)}

El dominio de A es el espacio de todos L² funciones $f(x)$ para la cual ${displaystyle xf(x)}$ es también cuadrado-integrable. Entonces... A es auto-adjunto. Por otro lado, A no tiene ninguna eigenfunctions. (Más precisamente, A no tiene normalizable eigenvectores, es decir, eigenvectores que están realmente en el espacio Hilbert en el que A se define.)

Como veremos más adelante, los operadores autoadjuntos tienen propiedades espectrales muy importantes; de hecho, son operadores de multiplicación en espacios de medida general.

Operadores simétricos vs autoadjuntos

Como se discutió anteriormente, aunque la distinción entre un operador simétrico y un operador autoadjunto (o esencialmente autoadjunto) es sutil, es importante ya que la autoadjunción es la hipótesis en el teorema espectral. Aquí discutimos algunos ejemplos concretos de la distinción; consulte la sección a continuación sobre extensiones de operadores simétricos para la teoría general.

Una nota sobre los dominios

Cada operador independiente es simétrico. Por el contrario, cada operador simétrico para el cual ${displaystyle operatorname {Dom} (A^{*})subseteq operatorname {Dom} (A)}$ es auto-adjunto. Operadores simétricos para los cuales ${displaystyle operatorname {Dom} (A^{*})}$ es estrictamente mayor que ${displaystyle operatorname {Dom} (A)}$ no puede ser auto-adjunto.

Condiciones de contorno

En el caso en que el espacio Hilbert es un espacio de funciones en un dominio consolidado, estas distinciones tienen que ver con un tema familiar en la física cuántica: No se puede definir un operador, como el impulso o el operador Hamiltoniano, en un dominio consolidado sin especificar Límites. En términos matemáticos, elegir las condiciones de límites equivale a elegir un dominio apropiado para el operador. Considere, por ejemplo, el espacio Hilbert ${displaystyle L^{2}([0,1])}$ (el espacio de funciones cuadradas integradas en el intervalo [0,1]). Definimos un operador "momentum" A en este espacio por la fórmula habitual, estableciendo la constante de Planck igual a 1:

{displaystyle Af=-i{frac {df}{dx}}.}

Ahora debemos especificar un dominio para A, lo que equivale a elegir las condiciones de contorno. si elegimos

{displaystyle operatorname {Dom} (A)=left{{text{smooth functions}}right},}

entonces A no es simétrico (porque los términos de frontera en la integración por partes no desaparecen).

Si elegimos

{displaystyle operatorname {Dom} (A)=left{{text{smooth functions}},fmid f(0)=f(1)=0right},}

entonces usando integración por partes, uno puede fácilmente verificar que A es simétrico. Sin embargo, este operador no es esencialmente autoadjunto, básicamente porque hemos especificado demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A, lo que hace que el dominio del adjunto sea demasiado grande. (Este ejemplo también se analiza en la sección "Ejemplos" a continuación).

Específicamente, con la opción anterior de dominio para A, el dominio del cierre ${displaystyle A^{mathrm {cl} }}$ de A es

{displaystyle operatorname {Dom} left(A^{mathrm {cl} }right)=left{{text{functions }}f{text{ with two derivatives in }}L^{2}mid f(0)=f(1)=0right},}

mientras que el dominio de la unión $A^{*}$ de A es

{displaystyle operatorname {Dom} left(A^{*}right)=left{{text{functions }}f{text{ with two derivatives in }}L^{2}right}.}

Es decir, el dominio del cierre tiene las mismas condiciones límite que el dominio del dominio A en sí, sólo una suposición de suavidad menos estricta. Mientras tanto, ya que hay "demasiados" condiciones límite en A, hay "demasiado pocos" (en realidad, ninguno en este caso) para $A^{*}$ . Si computamos ${displaystyle langle g,Afrangle }$ para ${displaystyle fin operatorname {Dom} (A)}$ utilizando la integración por partes, entonces desde $f$ desaparece en ambos extremos del intervalo, sin condiciones de límite en $g$ son necesarios para cancelar los términos límite en la integración por partes. Así, cualquier función suficientemente lisa $g$ está en el dominio de $A^{*}$ , con ${displaystyle A^{*}g=-i,dg/dx}$ .

Puesto que el dominio del cierre y el dominio del adjoint no están de acuerdo, A no es esencialmente auto-adjunto. Después de todo, un resultado general dice que el dominio de la unión de ${displaystyle A^{mathrm {cl} }}$ es el mismo que el dominio de la unión de A. Así, en este caso, el dominio de la unión de ${displaystyle A^{mathrm {cl} }}$ es más grande que el dominio de ${displaystyle A^{mathrm {cl} }}$ en sí mismo, mostrando que ${displaystyle A^{mathrm {cl} }}$ no es la unión propia, lo que por definición significa que A no es esencialmente auto-adjunto.

El problema con el ejemplo anterior es que imponemos demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A. Una mejor elección de dominio sería utilizar condiciones de contorno periódicas:

{displaystyle operatorname {Dom} (A)={{text{smooth functions}},fmid f(0)=f(1)}.}

Con este dominio, A es esencialmente autoadjunto.

En este caso, podemos entender las implicaciones de las cuestiones de dominio para el teorema espectral. Si utilizamos la primera opción de dominio (sin condiciones de límites), todas las funciones ${displaystyle f_{beta }(x)=e^{beta x}}$ para ${displaystyle beta in mathbb {C} }$ son eigenvectores, con eigenvalues ${displaystyle -ibeta }$ , y por lo tanto el espectro es todo el plano complejo. Si utilizamos la segunda opción de dominio (con condiciones de límites Dirichlet), A no tiene eigenvectores en absoluto. Si utilizamos la tercera opción de dominio (con condiciones de límites periódicos), podemos encontrar una base ortonormal de eigenvectores para A, las funciones ${displaystyle f_{n}(x):=e^{2pi inx}}$ . Así, en este caso encontrar un dominio tal que A es la unión propia es un compromiso: el dominio tiene que ser lo suficientemente pequeño para que A es simétrico, pero lo suficientemente grande para que ${displaystyle D(A^{*})=D(A)}$ .

Operadores de Schrödinger con potenciales singulares

Un ejemplo más sutil de la distinción entre operadores simétricos y (esencialmente) autoadjuntos proviene de los operadores de Schrödinger en la mecánica cuántica. Si la energía potencial es singular, particularmente si el potencial no está acotado por debajo, el operador de Schrödinger asociado puede no ser esencialmente autoadjunto. En una dimensión, por ejemplo, el operador

{displaystyle {hat {H}}:={frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}

no es esencialmente auto-adjunto en el espacio de funciones suaves y rápidamente descaying. En este caso, el fracaso de la unión personal esencial refleja una patología en el sistema clásico subyacente: Una partícula clásica con una $-x^4$ potencial escapa al infinito en tiempo finito. Este operador no tiene un único auto-adjunto, pero admite extensiones auto-adjuntas obtenidas especificando "condiciones de límites en el infinito". (Desde ${hat {H}}$ es un operador real, se comunica con con conjugación compleja. Así, los índices de deficiencia son automáticamente iguales, que es la condición para tener una extensión autoadjunta. Vea la discusión de extensiones de operadores simétricos a continuación.)

En este caso, si definimos inicialmente ${hat {H}}$ en el espacio de funciones suaves y de desintegración rápida, el adjoint será "el mismo" operador (es decir, dado por la misma fórmula) pero en el mayor dominio posible, a saber,

{displaystyle operatorname {Dom} left({hat {H}}^{*}right)=left{{text{twice differentiable functions }}fin L^{2}(mathbb {R})left|left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)right)in L^{2}(mathbb {R})right.right}.}

Entonces es posible demostrar que ${displaystyle {hat {H}}^{*}}$ no es un operador simétrico, lo que ciertamente implica que ${hat {H}}$ no es esencialmente auto-adjunto. De hecho, ${displaystyle {hat {H}}^{*}}$ tiene eigenvectores con eigenvalues imaginarios puros, lo que es imposible para un operador simétrico. Esta extraña ocurrencia es posible debido a una cancelación entre los dos términos en ${displaystyle {hat {H}}^{*}}$ : Hay funciones $f$ en el dominio de ${displaystyle {hat {H}}^{*}}$ para el cual no ${displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$ ni ${displaystyle x^{4}f(x)}$ por separado $L^2(mathbb{R})$ , pero la combinación de ellos ocurre en ${displaystyle {hat {H}}^{*}}$ está dentro $L^2(mathbb{R})$ . Esto permite ${displaystyle {hat {H}}^{*}}$ ser no simétrico, aunque ambos ${displaystyle d^{2}/dx^{2}}$ y ${displaystyle X^{4}}$ son operadores simétricos. Este tipo de cancelación no ocurre si reemplazamos el potencial de replanteamiento $-x^4$ con el potencial de confinar $x^4$ .

Las condiciones para que los operadores de Schrödinger sean autoadjuntos o esencialmente autoadjuntos se pueden encontrar en varios libros de texto, como los de Berezin y Shubin, Hall y Reed y Simon enumerados en las referencias.

Teorema espectral

En la literatura física, el teorema espectral a menudo se declara diciendo que un operador autónomo tiene una base ortonormal de los eigenvectores. Los físicos son bien conscientes, sin embargo, del fenómeno del " espectro continuo"; por lo tanto, cuando hablan de una "función ortonormal" significan una base ortonormal en el sentido clásico o Algo analógico continuo. En el caso del operador de impulso ${textstyle P=-i{frac {d}{dx}}}$ , por ejemplo, los físicos dirían que los eigenvectores son las funciones ${displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}}$ , que claramente no están en el espacio Hilbert $L^2(mathbb{R})$ . (Los físicos dirían que los eigenvectores son "no normalizables".) Los físicos iban a decir que estos "eigenvectores" son ortonormales en un sentido continuo, donde el habitual Kronecker delta $delta_{i,j}$ es reemplazado por una función Dirac delta ${displaystyle delta left(p-p'right)}$ .

Aunque estas declaraciones pueden parecer desconcertantes para los matemáticos, se pueden hacer rigurosas mediante el uso de la transformación Fourier, que permite un general $L^{2}$ función a ser expresada como una "superposición" (es decir, integral) de las funciones ${displaystyle e^{ipx}}$ , aunque estas funciones no estén $L^{2}$ . El Fourier transforma "diagonaliza" el operador de impulso; es decir, lo convierte en el operador de la multiplicación por $p$ , donde $p$ es la variable de la transformación Fourier.

El teorema espectral en general se puede expresar de manera similar como la posibilidad de "diagonalizar" un operador mostrando que es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. Otras versiones del teorema espectral tienen la intención similar de capturar la idea de que un operador autoadjunto puede tener "vectores propios" que no están realmente en el espacio de Hilbert en cuestión.

Enunciado del teorema espectral

Los operadores parcialmente definidos A, B en los espacios de Hilbert H, K son equivalentes unitariamente si y solo si hay una transformación unitaria U: H → K tal que

U mapas dom A bijeactivamente en dom B,
$B U xi = U A xiqquad forall xi in operatorname{dom}A.$

Un operador de multiplicación se define como sigue: Vamos.X, gh, μ) ser un espacio de medida contable y f una función mesurable de valor real X. Un operador $T_{f}$ de la forma

{displaystyle [T_{f}psi ](x)=f(x)psi (x)}

cuyo dominio es el espacio de ψ cuyo lado derecho arriba está en L² se llama operador de multiplicación.

Una versión del teorema espectral se puede establecer de la siguiente manera.

Theorem—Cualquier operador de multiplicación es un operador autoadjunto (densamente definido). Cualquier operador autónomo es un equivalente unitario a un operador de multiplicación.

Puedes encontrar otras versiones del teorema espectral en el artículo sobre el teorema espectral vinculado anteriormente.

El teorema espectral para operadores autoadjuntos no acotados se puede demostrar mediante la reducción al teorema espectral para operadores unitarios (por lo tanto, acotados). Esta reducción utiliza la transformada Cayley para operadores autoadjuntos que se define en la siguiente sección. Podríamos notar que si T es una multiplicación por f, entonces el espectro de T es solo el rango esencial de f.

Cálculo funcional

Una aplicación importante del teorema espectral es definir un "cálculo funcional". Es decir, si $h$ es una función en la línea real y $T$ es un operador autónomo, queremos definir el operador $h(T)$ . Si $T$ tiene una verdadera base ortonormal de los eigenvectores $e_{j}$ con eigenvalues $lambda _{j}$ , entonces $h(T)$ es el operador con eigenvectores $e_{j}$ y eigenvalues ${displaystyle hleft(lambda _{j}right)}$ . El objetivo del cálculo funcional es extender esta idea al caso donde $T$ tiene espectro continuo.

De particular importancia en la física cuántica es el caso en que $T$ es el operador Hamiltoniano ${hat {H}}$ y ${displaystyle h(x):=e^{-itx/hbar }}$ es exponencial. En este caso, el cálculo funcional debe permitirnos definir el operador

{displaystyle U(t):=hleft({hat {H}}right)=e^{frac {-it{hat {H}}}{hbar }},}

que es el operador que define la evolución temporal en la mecánica cuántica.

Dada la representación de T como el operador de la multiplicación por $f$ —como garantiza el teorema espectral— es fácil caracterizar el cálculo funcional: Si h es una función Borel de valor real en R, entonces h()T) es el operador de la multiplicación por la composición $hcirc f$ .

Resolución de la identidad

Ha sido costumbre introducir la siguiente notación

{displaystyle operatorname {E} _{T}(lambda)=mathbf {1} _{(-inftylambda ]}(T)}

Donde $mathbf{1}_{(-infty, lambda]}$ es la función característica (función del indicador) del intervalo $(-infty, lambda]$ . La familia de los operadores de proyección E_T(λ) se llama resolución de la identidad para T. Además, la siguiente representación integral Stieltjes para T puede probarse:

{displaystyle T=int _{-infty }^{+infty }lambda doperatorname {E} _{T}(lambda).}

La definición anterior de integral de operador se puede reducir a la de una integral de Stieltjes de valor escalar utilizando la topología de operador débil. Sin embargo, en tratamientos más modernos, esta representación suele evitarse, ya que la mayoría de los problemas técnicos pueden resolverse mediante el cálculo funcional.

Formulación en la literatura de física

En física, particularmente en mecánica cuántica, el teorema espectral se expresa de una manera que combina el teorema espectral como se indicó anteriormente y el cálculo funcional de Borel usando la notación de Dirac de la siguiente manera:

Si H es autoadjunto y f es una función de Borel,

{displaystyle f(H)=int dEleft|Psi _{E}rangle f(E)langle Psi _{E}right|}

con

{displaystyle Hleft|Psi _{E}rightrangle =Eleft|Psi _{E}rightrangle }

donde la integral corre sobre todo el espectro H. La notación sugiere que H es diagonalizado por los eigenvectores Ψ_E. Tal notación es puramente formal. Uno puede ver la similitud entre la notación de Dirac y la sección anterior. La resolución de la identidad (a veces llamada medidas valoradas de proyección) se asemeja formalmente a las proyecciones de rango-1 ${displaystyle left|Psi _{E}rightrangle leftlangle Psi _{E}right|}$ . En la notación Dirac, las mediciones (proyectivas) se describen a través de eigenvalues y eigenstates, ambos objetos puramente formales. Como se esperaría, esto no sobrevive el paso a la resolución de la identidad. En esta última formulación, las mediciones se describen utilizando la medida espectral de $|Psi rangle$ , si el sistema está preparado $|Psi rangle$ antes de la medición. Alternativamente, si se quiere preservar la noción de eigenstates y hacerlo riguroso, en lugar de meramente formal, se puede reemplazar el espacio estatal por un espacio apropiado de Hilbert.

Si f = 1, el teorema se denomina resolución de la unidad:

{displaystyle I=int dEleft|Psi _{E}rightrangle leftlangle Psi _{E}right|}

En el caso ${displaystyle H_{text{eff}}=H-iGamma }$ es la suma de un Hermitian H y un operador skew-Hermitian (ver matriz skew-Hermitian) $-iGamma$ , uno define el conjunto de base biorthogonal

{displaystyle H_{text{eff}}^{*}left|Psi _{E}^{*}rightrangle =E^{*}left|Psi _{E}^{*}rightrangle }

y escribe el teorema espectral como:

{displaystyle fleft(H_{text{eff}}right)=int dEleft|Psi _{E}rightrangle f(E)leftlangle Psi _{E}^{*}right|}

(Consulte el método de partición de Feshbach-Fano para conocer el contexto en el que dichos operadores aparecen en la teoría de dispersión).

Extensiones de operadores simétricos

La siguiente pregunta surge en varios contextos: si un operador A en el espacio de Hilbert H es simétrico, ¿cuándo tiene extensiones autoadjuntas? Se dice que un operador que tiene una extensión autoadjunta única es esencialmente autoadjunto; de manera equivalente, un operador es esencialmente autoadjunto si su cierre (el operador cuyo gráfico es el cierre del gráfico de A) es autoadjunto. En general, un operador simétrico podría tener muchas extensiones autoadjuntas o ninguna. Por lo tanto, nos gustaría una clasificación de sus extensiones autoadjuntas.

El primer criterio básico para la autoadjunción esencial es el siguiente:

Theorem— Si A es un operador simétrico en H, entonces A es esencialmente auto-adjunto si y sólo si el rango de los operadores ${displaystyle A-i}$ y ${displaystyle A+i}$ son densos en H.

Equivalentemente, A es esencialmente auto-adjunto si y sólo si los operadores ${displaystyle A^{*}-i}$ y ${displaystyle A^{*}+i}$ tienen núcleos triviales. Es decir, A fracasa si y sólo si $A^{*}$ tiene un eigenvector con eigenvalue $i$ o $-i$ .

Otra forma de ver el problema es la transformada de Cayley de un operador autoadjunto y los índices de deficiencia. (A menudo es de conveniencia técnica tratar con operadores cerrados. En el caso simétrico, el requisito de clausura no presenta obstáculos, ya que se sabe que todos los operadores simétricos son cerrables).

Theorem—Suppose A es un operador simétrico. Entonces hay un operador lineal único parcialmente definido

{displaystyle operatorname {W} (A):operatorname {ran} (A+i)to operatorname {ran} (A-i)}

tales que

{displaystyle operatorname {W} (A)(Ax+ix)=Ax-ix,qquad xin operatorname {dom} (A).}

Aquí, ran y dom indican la imagen (en otras palabras, el rango) y el dominio, respectivamente. W(A) es isométrica en su dominio. Además, el rango de 1 − W(A) es denso en H.

Por el contrario, dado cualquier operador parcialmente definido U que sea isométrico en su dominio (que no es necesariamente cerrado) y tal que 1 − U sea denso, existe un operador (único) S(U)

{displaystyle operatorname {S} (U):operatorname {ran} (1-U)to operatorname {ran} (1+U)}

tal que

{displaystyle operatorname {S} (U)(x-Ux)=i(x+Ux)qquad xin operatorname {dom} (U).}

El operador S(U) está densamente definido y es simétrico.

Las asignaciones W y S son inversas entre sí.

La aplicación W se denomina transformada de Cayley. Asocia una isometría parcialmente definida a cualquier operador simétrico densamente definido. Tenga en cuenta que las asignaciones W y S son monótonas: esto significa que si B es un operador simétrico que extiende el operador simétrico densamente definido A, entonces W(B) extiende W(A), y de manera similar para S.

Theorem—Una condición necesaria y suficiente A ser unido es que su Cayley transforma W(ASé unitario.

Esto nos da inmediatamente una condición necesaria y suficiente para que A tenga una extensión autoadjunta, de la siguiente manera:

Theorem—Una condición necesaria y suficiente A para tener una extensión autoadjunta es que W(A) tienen una extensión unitaria.

Un operador isométrico parcialmente definido V en un espacio de Hilbert H tiene una extensión isométrica única a la norma de cierre de dom(V). Un operador isométrico parcialmente definido con dominio cerrado se denomina isometría parcial.

Dada una isometría parcial V, los índices de deficiencia de V se definen como la dimensión de los complementos ortogonales del dominio y rango:

{displaystyle {begin{aligned}n_{+}(V)&=dim operatorname {dom} (V)^{perp }\n_{-}(V)&=dim operatorname {ran} (V)^{perp }end{aligned}}}

Theorem—Una isometría parcial V tiene una extensión unitaria si y sólo si los índices de deficiencia son idénticos. Además, V tiene único extensión unitaria si y sólo si los índices de deficiencia son ambos cero.

Vemos que existe una biyección entre las extensiones simétricas de un operador y las extensiones isométricas de su transformada de Cayley. La extensión simétrica es autoadjunta si y solo si la extensión isométrica correspondiente es unitaria.

Un operador simétrico tiene una extensión autoadjunta única si y solo si sus dos índices de deficiencia son cero. Se dice que dicho operador es esencialmente auto-adjunto. Los operadores simétricos que no son esencialmente autoadjuntos pueden tener una extensión autoadjunta canónica. Tal es el caso de los operadores simétricos no negativos (o más generalmente, los operadores que están acotados a continuación). Estos operadores siempre tienen una extensión de Friedrichs definida canónicamente y para estos operadores podemos definir un cálculo funcional canónico. Muchos operadores que aparecen en el análisis están acotados a continuación (como el negativo del operador laplaciano), por lo que la cuestión de la conjunción esencial para estos operadores es menos crítica.

Extensiones autoadjuntas en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, los observables corresponden a operadores autoadjuntos. Por el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro, los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de operadores de evolución temporal. Sin embargo, muchos problemas físicos se formulan como una ecuación de evolución temporal que involucra operadores diferenciales para los cuales el hamiltoniano solo es simétrico. En tales casos, el hamiltoniano es esencialmente autoadjunto, en cuyo caso el problema físico tiene soluciones únicas, o se intenta encontrar extensiones autoadjuntas del hamiltoniano correspondientes a diferentes tipos de condiciones de contorno o condiciones en el infinito.

Ejemplo. El operador de Schrödinger único con el potencial ${displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{alpha }}$ , definido inicialmente en funciones compactas suaves, es esencialmente auto-adjunto (es decir, tiene un cierre autoadjunto) para $0 α \leq 2$ pero no para $α ■ 2$ . Ver Berezin y Schubin, páginas 55 y 86, o Sección 9.10 en Hall.

El fracaso de la unión personal esencial para $2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■2{displaystyle alpha >2}2" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432334d220d6e1b0340cc2a37531d0327494a8e2" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;"/>$ tiene una contraparte en la dinámica clásica de una partícula con potencial $V(x)$ : La partícula clásica escapa al infinito en tiempo finito.

Ejemplo. No hay un operador de impulso autoadjunto p para una partícula que se mueve en una línea media. Sin embargo, el Hamiltonian $p^{2}$ de una partícula "libre" en una línea media tiene varias extensiones auto-adjuntas correspondientes a diferentes tipos de condiciones de límites. Físicamente, estas condiciones de límites están relacionadas con reflexiones de la partícula en el origen (ver Reed y Simon, vol.2).

Fórmulas de Von Neumann

Supongamos que A es simétrica densamente definida. Entonces cualquier extensión simétrica de A es una restricción de A*. De hecho, A ⊆ B y B rendimientos simétricos B ⊆ A* aplicando la definición de dom(A*).

Theorem— Suppose A es un operador simétrico densamente definido. Vamos

{displaystyle N_{pm }=operatorname {ran} (Apm i)^{perp },}

Entonces...

{displaystyle N_{pm }=operatorname {ker} (A^{*}mp i),}

{displaystyle operatorname {dom} left(A^{*}right)=operatorname {dom} left({overline {A}}right)oplus N_{+}oplus N_{-},}

donde la descomposición es ortogonal relativa al producto interior del gráfico de dom(A*

{displaystyle langle xi mid eta rangle _{text{graph}}=langle xi mid eta rangle +leftlangle A^{*}xi mid A^{*}eta rightrangle.}

Estas se denominan fórmulas de von Neumann en la referencia de Akhiezer y Glazman.

Ejemplos

Un operador simétrico que no es esencialmente autoadjunto

Consideramos primero el espacio Hilbert ${displaystyle L^{2}[0,1]}$ y el operador diferencial

{displaystyle D:phi mapsto {frac {1}{i}}phi '}

definido en el espacio de funciones de valores complejos continuamente diferenciables en [0,1], satisfaciendo las condiciones de contorno

{displaystyle phi (0)=phi (1)=0.}

Entonces D es un operador simétrico como se puede demostrar mediante la integración por partes. Los espacios N₊, N₋ (definidos a continuación) están dados respectivamente por las soluciones distribucionales de la ecuación

{displaystyle {begin{aligned}-iu'&=iu\-iu'&=-iuend{aligned}}}

que están en L²[0, 1]. Se puede demostrar que cada uno de estos espacios de solución es unidimensional, generado por las funciones x → e^−x y x → e^x respectivamente. Esto muestra que D no es esencialmente autoadjunto, pero tiene extensiones autoadjuntas. Estas extensiones autoadjuntas están parametrizadas por el espacio de aplicaciones unitarias N₊ → N₋, que en este caso pasa a ser el círculo unitario T.

En este caso, el fracaso de los autoadjuntos esenciales se debe a una opción "incorrecta" de las condiciones de límites en la definición del dominio de $D$ . Desde $D$ es un operador de primera orden, sólo se necesita una condición de límite para asegurar que $D$ es simétrico. Si sustituimos las condiciones de límite dadas arriba por la condición de límite único

{displaystyle phi (0)=phi (1)}

entonces D todavía sería simétrico y ahora, de hecho, sería esencialmente auto-adjunto. Este cambio de condiciones de límites da una extensión esencialmente auto-adjunta particular D. Otras extensiones esencialmente autoadjuntas provienen de condiciones de límites imponentes de la forma ${displaystyle phi (1)=e^{itheta }phi (0)}$ .

Este ejemplo simple ilustra un hecho general sobre extensiones autoadjuntas de operadores diferenciales simétricos P en un conjunto abierto M. Están determinados por las aplicaciones unitarias entre los espacios de valores propios

{displaystyle N_{pm }=left{uin L^{2}(M):P_{operatorname {dist} }u=pm iuright}}

donde P_dist es la extensión distribucional de P.

Operadores de coeficiente constante

A continuación damos el ejemplo de operadores diferenciales con coeficientes constantes. Dejar

{displaystyle Pleft({vec {x}}right)=sum _{alpha }c_{alpha }x^{alpha }}

ser un polinomio en Rⁿ con coeficientes reales, donde α varía sobre un conjunto (finito) de multiíndices. De este modo

alpha = (alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_n)

{displaystyle x^{alpha }=x_{1}^{alpha _{1}}x_{2}^{alpha _{2}}cdots x_{n}^{alpha _{n}}.}

También usamos la notación

D^alpha = frac{1}{i^{|alpha|}} partial_{x_1}^{alpha_1}partial_{x_2}^{alpha_2} cdots partial_{x_n}^{alpha_n}.

Entonces el operador P(D) definido sobre el espacio de funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto sobre Rⁿ por

{displaystyle P(operatorname {D})phi =sum _{alpha }c_{alpha }operatorname {D} ^{alpha }phi }

es esencialmente autoadjunto en L²(Rⁿ).

Theorem—Vamos P una función polinomia Rⁿ con coeficientes reales, F la transformación Fourier considerada como un mapa unitario L²()Rⁿ) → L²()Rⁿ). Entonces... F*P(D)F es esencialmente auto-adjunto y su única extensión auto-adjunto es el operador de la multiplicación por la función P.

De manera más general, considere los operadores diferenciales lineales que actúan sobre funciones infinitamente diferenciables de valores complejos de soporte compacto. Si M es un subconjunto abierto de Rⁿ

{displaystyle Pphi (x)=sum _{alpha }a_{alpha }(x)left[D^{alpha }phi right](x)}

donde a_α son (no necesariamente constantes) funciones infinitamente diferenciables. P es un operador lineal

C_0^infty(M) to C_0^infty(M).

Correspondiente a P hay otro operador diferencial, el adjunto formal de P

{displaystyle P^{mathrm {*form} }phi =sum _{alpha }D^{alpha }left({overline {a_{alpha }}}phi right)}

Theorem—El adjoint P* of P es una restricción de la extensión distribucional de la unión formal a un subespacio apropiado $L^{2}$ . Específicamente:

{displaystyle operatorname {dom} P^{*}=left{uin L^{2}(M):P^{mathrm {*form} }uin L^{2}(M)right}.}

Teoría de la multiplicidad espectral

La representación de multiplicación de un operador autoadjunto, aunque extremadamente útil, no es una representación canónica. Esto sugiere que no es fácil extraer de esta representación un criterio para determinar cuándo los operadores autoadjuntos A y B son unitariamente equivalentes. La representación de grano más fino que ahora discutimos implica multiplicidad espectral. Este círculo de resultados se denomina teoría de la multiplicidad espectral de Hahn-Hellinger.

Multiplicidad uniforme

Primero definimos multiplicidad uniforme:

Definición. Un operador autoadjunto A tiene multiplicidad uniforme n donde n es tal que 1 ≤ n ≤ ω si y sólo si A es unitariamente equivalente al operador M_f de multiplicación por la función f(λ) = λ en

<math alttext="{displaystyle L_{mu }^{2}left(mathbf {R}mathbf {H} _{n}right)=left{psi:mathbf {R} to mathbf {H} _{n}:psi {mbox{ measurable and }}int _{mathbf {R} }|psi (t)|^{2}dmu (t)Lμ μ 2()R,Hn)={}↑ ↑ :R→ → Hn:↑ ↑ mensurable and∫ ∫ R.. ↑ ↑ ()t).. 2dμ μ ()t).JUEGO JUEGO }{displaystyle L_{mu } {2}left(mathbf {R}mathbf {H} _{n}right)=left{psi:mathbf {R} to mathbf {H} _{n}:psi {mbox{ measurable and }int _{mathbf {R}\\fn}fn}fnfncip]fnfnf}fncip]fn}fnfnKfnfnKfnKfnKfnKfnKfnKcH}cH3cH}cH3cH00cH00cH00cH00cH00}cH009}cH00cH00cH00}cH009}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH009}cH00}cH00}cH00}<img alt="{displaystyle L_{mu }^{2}left(mathbf {R}mathbf {H} _{n}right)=left{psi:mathbf {R} to mathbf {H} _{n}:psi {mbox{ measurable and }}int _{mathbf {R} }|psi (t)|^{2}dmu (t)

donde H_n es un espacio de Hilbert de dimensión n. El dominio de M_f consta de funciones vectoriales ψ en R tales que

<math alttext="{displaystyle int _{mathbf {R} }|lambda |^{2} |psi (lambda)|^{2},dmu (lambda)∫ ∫ RSilencioλ λ Silencio2.. ↑ ↑ ()λ λ ).. 2dμ μ ()λ λ ).JUEGO JUEGO .{displaystyle int _{mathbf {R} Anteriorlambda Silencio^{2}\\ eternapsi (lambda) eterna^{2},dmu (lambda) interpretadoinfty.}<img alt="{displaystyle int _{mathbf {R} }|lambda |^{2} |psi (lambda)|^{2},dmu (lambda)

Las medidas contables aditivas no negativas μ, ν son mutuamente singulares si y solo si son compatibles con conjuntos de Borel disjuntos.

Theorem—Vamos A ser un operador independiente en un separable Hilbert espacio H. Luego hay una secuencia de medidas finitas contablemente aditivas R (algunos de los cuales pueden ser idénticos)

{displaystyle left{mu _{ell }right}_{1leq ell leq omega }}

tal que las medidas son uniformes singulares y A es unitariamente equivalente al operador de la multiplicación por la función f(λ) = λ on

{displaystyle bigoplus _{1leq ell leq omega }L_{mu _{ell }}^{2}left(mathbf {R}mathbf {H} _{ell }right).}

Esta representación es única en el siguiente sentido: para cualquiera de estas dos representaciones del mismo A, las medidas correspondientes son equivalentes en el sentido de que tienen los mismos conjuntos de medida 0.

Integrales directas

El teorema de la multiplicidad espectral se puede reformular usando el lenguaje de las integrales directas de los espacios de Hilbert:

Theorem— Cualquier operador autónomo en un espacio separado de Hilbert es un equivalente unitariamente a la multiplicación por la función λ λ λ en

{displaystyle int _{mathbf {R} }^{oplus }H_{lambda },dmu (lambda).}

A diferencia de la versión de multiplicación-operador del teorema espectral, la versión directa-integral es única en el sentido de que la clase de equivalencia de medida de μ (o equivalente a sus conjuntos de medida 0) es única y la función mensurable ${displaystyle lambda mapsto mathrm {dim} (H_{lambda })}$ se determina casi en todas partes con respecto a μ. La función ${displaystyle lambda mapsto operatorname {dim} left(H_{lambda }right)}$ es función de multiplicidad espectral del operador.

Ahora podemos establecer el resultado de la clasificación para operadores autoadjuntos: dos operadores autoadjuntos son unitariamente equivalentes si y solo si (1) sus espectros concuerdan como conjuntos, (2) las medidas que aparecen en sus representaciones integrales directas tienen los mismos conjuntos de medida cero, y (3) sus funciones de multiplicidad espectral concuerdan casi en todas partes con respecto a la medida en la integral directa.

Ejemplo: estructura de la laplaciana

(feminine)

El laplaciano en Rⁿ es el operador

{displaystyle Delta =sum _{i=1}^{n}partial _{x_{i}}^{2}.}

Como se comentó anteriormente, el laplaciano está diagonalizado por la transformada de Fourier. En realidad es más natural considerar el negativo del laplaciano −Δ ya que como operador es no negativo; (ver operador elíptico).

Theorem—Si n = 1, entonces −Δ tiene multiplicidad uniforme ${displaystyle {text{mult}}=2}$ , de lo contrario −Δ tiene multiplicidad uniforme ${displaystyle {text{mult}}=omega }$ . Además, la medida μ_mula puede ser tomado para ser la medida Lebesgue en [0, ∞).

Espectro de punto puro

Un operador autoadjunto A sobre H tiene un espectro puntual puro si y solo si H tiene una base ortonormal {e _i}_{i ∈ I} que consta de vectores propios para A.

Ejemplo. El hamiltoniano para el oscilador armónico tiene un potencial cuadrático V, es decir

{displaystyle -Delta +|x|^{2}.}

Este hamiltoniano tiene un espectro puntual puro; esto es típico de los hamiltonianos de estado ligado en la mecánica cuántica. Como se señaló en un ejemplo anterior, una condición suficiente para que un operador simétrico ilimitado tenga vectores propios que formen una base espacial de Hilbert es que tenga un inverso compacto.

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