Operador acotado

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Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos

En el análisis funcional y la teoría del operador, un operador lineal vinculado es una transformación lineal L:X→ → Y{displaystyle L:Xto Y} entre espacios vectoriales topológicos (TVSs) X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. que mapas atados subconjuntos de X{displaystyle X} a subconjuntos consolidados de Y.{displaystyle Sí. Si X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son espacios vectoriales ordenados (un tipo especial de TVS), entonces L{displaystyle L. está atado si y sólo si existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M■0{displaystyle M confidencial0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f423ab77b3411ec2803520a07c0dfae6ceb826" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.703ex; height:2.176ex;"/> tal que para todos x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,}

.. Lx.. Y≤ ≤ M.. x.. X.{displaystylefnLxfnK}leq M vivenx sobrevivir_{X}
M{displaystyle M}L{displaystyle L... L.. .{displaystyle ToddLfnso.}

El concepto de operador lineal acotado se ha extendido desde espacios normados a todos los espacios vectoriales topológicos.

Fuera del análisis funcional, cuando una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. se llama "corrido" entonces esto generalmente significa que su imagen f()X){displaystyle f(X)} es un subconjunto atado de su codominio. Un mapa lineal tiene esta propiedad si y sólo si es idéntica 0.{displaystyle 0.} En consecuencia, en el análisis funcional, cuando un operador lineal se llama "atado" entonces nunca se entiende en este sentido abstracto (de tener una imagen atada).

En espacios vectoriales normados

Cada operador atado es Lipschitz continuo en 0.{displaystyle 0.}

Equivalencia de acotación y continuidad

Un operador lineal entre espacios normados está acotado si y sólo si es continuo.

Prueba

Supongamos que L{displaystyle L. está atado. Entonces, para todos los vectores x,h▪ ▪ X{displaystyle x,hin X} con h{displaystyle h} no cero que tenemos

.. L()x+h)− − L()x).. =.. L()h).. ≤ ≤ M.. h.. .{displaystylefl(x+h)-L(x) eterna=fnL(h) eternaleq M eternahfn.}
Letting h{displaystyle h} ir a cero muestra que L{displaystyle L. es continuo x.{displaystyle x.} Además, desde la constante M{displaystyle M} no depende de x,{displaystyle x,} esto demuestra que de hecho L{displaystyle L. es uniformemente continuo, e incluso Lipschitz continuo.

Por el contrario, sigue de la continuidad en el vector cero que existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/> tales que .. L()h).. =.. L()h)− − L()0).. ≤ ≤ 1{displaystylefl(h)fnhsistente=fnh)-L(0) eternaleq 1} para todos los vectores h▪ ▪ X{displaystyle hin X} con .. h.. ≤ ≤ ε ε .{displaystyle Toddhfnciónleq varepsilon.} Así pues, para todos los no ceros x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} uno tiene

.. Lx.. =... x.. ε ε L()ε ε x.. x.. ).=.. x.. ε ε .L()ε ε x.. x.. ).≤ ≤ .. x.. ε ε ⋅ ⋅ 1=1ε ε .. x.. .{fnMicrosoft Sans Serif}Lleft {be1fnMicrosoft Sans Serif}Lleft(varepsilon {xoverfnxfnMicrosoft Sans Ser)rightright Vert ={ tuvxfnción over varepsilon }left Vert Lleft(varepsilon {x over forexpreocupado}right)rightright Vert leq {fnxfnción over epsilon }cdot 1={1 over varepsilon } eternaxfn.}
Esto prueba que L{displaystyle L. está atado. Q.E.D.

En espacios vectoriales topológicos

Un operador lineal F:X→ → Y{displaystyle F:Xto Y} entre dos espacios vectoriales topológicos (TVSs) se llama operador lineal vinculado o simplemente atado si B⊆ ⊆ X{displaystyle Bsubseteq X} está atado X{displaystyle X} entonces F()B){displaystyle F(B)} está atado Y.{displaystyle Sí. Un subconjunto de TVS se llama atado (o más precisamente, von Neumann atado) si cada barrio del origen lo absorbe. En un espacio normalizado (y incluso en un espacio seminormado), un subconjunto es von Neumann atado si y sólo si se limita a la norma. Por lo tanto, para los espacios ordenados, la noción de un conjunto atado de von Neumann es idéntica a la noción habitual de un subconjunto de norma.

Continuidad y limitación

Cada operador lineal secuencialmente continuo entre TVS es un operador acotado. Esto implica que todo operador lineal continuo entre TVS metrizables está acotado. Sin embargo, en general, un operador lineal acotado entre dos TVS no tiene por qué ser continuo.

Esta formulación permite definir operadores acotados entre espacios vectoriales topológicos generales como un operador que lleva conjuntos acotados a conjuntos acotados. En este contexto, sigue siendo cierto que todo mapa continuo está acotado, pero lo contrario falla; un operador acotado no necesita ser continuo. Esto también significa que la limitación ya no es equivalente a la continuidad de Lipschitz en este contexto.

Si el dominio es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable, un espacio de Fréchet, un espacio normado), entonces un operador lineal en cualquier otro espacio localmente convexo está acotado si y sólo si es continuo. Para espacios LF, se mantiene un recíproco más débil; cualquier mapa lineal acotado de un espacio LF es secuencialmente continuo.

Si F:X→ → Y{displaystyle F:Xto Y} es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos y si existe un barrio U{displaystyle U} del origen en X{displaystyle X} tales que F()U){displaystyle F(U)} es un subconjunto atado de Y,{displaystyle Sí. entonces F{displaystyle F} es continuo. Este hecho se resume a menudo diciendo que un operador lineal que está vinculado en algún vecindario del origen es necesariamente continuo. En particular, cualquier funcional lineal que está ligado en algún barrio del origen es continuo (aunque su dominio no sea un espacio normal).

Espacios bornológicos

Los espacios nazis son exactamente aquellos espacios locales convexos para los cuales cada operador lineal atado en otro espacio localmente convexo es necesariamente continuo. Es decir, un TVS convexo local X{displaystyle X} es un espacio nazi si y sólo si por cada TVS convexa local Y,{displaystyle Sí. un operador lineal F:X→ → Y{displaystyle F:Xto Y} es continuo si y sólo si está atado.

Todo espacio normado es bornológico.

Caracterizaciones de operadores lineales acotados

Vamos F:X→ → Y{displaystyle F:Xto Y} ser un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (no necesariamente Hausdorff). Los siguientes son equivalentes:

  1. F{displaystyle F} está (localmente) atado;
  2. (Definición): F{displaystyle F} maps bounded subsets of its domain to bounded subsets of its codomain;
  3. F{displaystyle F} mapas atados subconjuntos de su dominio a subconjuntos atados de su imagen Im⁡ ⁡ F:=F()X){displaystyle operatorname {Im} F:=F(X)};
  4. F{displaystyle F} mapea cada secuencia nula a una secuencia atada;
    • A secuencia null es por definición una secuencia que converge al origen.
    • Así, cualquier mapa lineal que sea secuencialmente continuo en el origen es necesariamente un mapa lineal consolidado.
  5. F{displaystyle F} mapas cada secuencia nula convergente Mackey a un subconjunto atado de Y.{displaystyle Sí.
    • Una secuencia x∙ ∙ =()xi)i=1JUEGO JUEGO {displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{i=1}^{infty } se dice que Mackey convergent to the origin in X{displaystyle X} si existe una secuencia divergente r∙ ∙ =()ri)i=1JUEGO JUEGO → → JUEGO JUEGO {displaystyle r_{bullet }=left(r_{i}right)_{i=1}^{infty }to infty } del número real positivo tal que r∙ ∙ =()rixi)i=1JUEGO JUEGO {displaystyle r_{bullet }=left(r_{i}x_{i}right)_{i=1}{infty}} es un subconjunto atado de X.{displaystyle X.}

si X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son localmente convex entonces el siguiente puede ser añadido a esta lista:

  1. F{displaystyle F} mapas de discos atados en discos atados.
  2. F− − 1{displaystyle F^{-1} mapas navideños discos en Y{displaystyle Sí. en discos nacívoros en X.{displaystyle X.}

si X{displaystyle X} es un espacio nazi Y{displaystyle Sí. es localmente convex entonces se puede añadir lo siguiente a esta lista:

  1. F{displaystyle F} es secuencialmente continuo en algún punto (o equivalente, en cada) de su dominio.
    • Un mapa lineal secuencialmente continuo entre dos TVSs está siempre ligado, pero el converso requiere supuestos adicionales para sostener (como el dominio nazi y el codomain siendo localmente convexo).
    • Si el dominio X{displaystyle X} es también un espacio secuencial, entonces F{displaystyle F} es secuencialmente continuo si y sólo si es continuo.
  2. F{displaystyle F} es secuencialmente continuo en el origen.

Ejemplos

  • Cualquier operador lineal entre dos espacios fijos de dimensiones finitas está atado, y tal operador puede ser visto como multiplicación por alguna matriz fija.
  • Cualquier operador lineal definido en un espacio nórdico-dimensional finito está atado.
  • En el espacio de secuencia c00{displaystyle c_{00} de eventualmente cero secuencias de números reales, considerado con l l 1{displaystyle ell ^{1} norma, el operador lineal a los números reales que devuelven la suma de una secuencia está atado, con norma del operador 1. Si el mismo espacio se considera con el l l JUEGO JUEGO {displaystyle ell ^{infty} norma, el mismo operador no está obligado.
  • Muchas transformaciones integrales son operadores lineales ligados. Por ejemplo, si
    K:[a,b]× × [c,d]→ → R{displaystyle K:[a,b]times [c,d]to mathbb {R}
    es una función continua, luego el operador L{displaystyle L. definido en el espacio C[a,b]{displaystyle C[a,b] de funciones continuas [a,b]{displaystyle [a,b]} dotada de la norma uniforme y con valores en el espacio C[c,d]{displaystyle C[c,d] con L{displaystyle L. dada por la fórmula
    ()Lf)()Sí.)=∫ ∫ abK()x,Sí.)f()x)dx,{displaystyle (Lf)(y)=int _{a}{b}!K(x,y)f(x),dx,}
    está atado. Este operador es de hecho un operador compacto. Los operadores compactos forman una importante clase de operadores consolidados.
  • El operador de Laplace
    Δ Δ :H2()Rn)→ → L2()Rn){displaystyle Delta:H^{2}(mathbb {R} ^{n})to L^{2}(mathbb {R} ^{n}),}
    (su dominio es un espacio Sobolev y toma valores en un espacio de funciones integradas cuadradas) está atado.
  • El operador de cambio en el espacio Lp l l 2{displaystyle ell ^{2} de todas las secuencias ()x0,x2,x2,...... ){displaystyle left(x_{0},x_{2},x_{2},ldots right)} de números reales con <math alttext="{displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots x02+x12+x22+⋯ ⋯ .JUEGO JUEGO ,{displaystyle x_{0}{2}+x_{1}{2}+x_{2}{2}+cdots - No.<img alt="{displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots
    L()x0,x1,x2,...... )=()0,x0,x1,x2,...... ){displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},dots)=left(0,x_{0},x_{1},x_{2},ldots right)}
    está atado. Su norma de operador se ve fácilmente 1.{displaystyle 1.}

Operadores lineales ilimitados

Vamos X{displaystyle X} ser el espacio de todos los polinomios trigonométricos en [− − π π ,π π ],{displaystyle [-pipipi],} con la norma

.. P.. =∫ ∫ − − π π π π SilencioP()x)Silenciodx.{displaystyle "Principal" _{pi }fnMientrasP(x) viven,dx.}

El operador L:X→ → X{displaystyle L:Xto X} que mapea un polinomio a su derivado no está ligado. De hecho, para vn=einx{displaystyle v_{n}=e^{inx} con n=1,2,...... ,{displaystyle n=1,2,ldots} tenemos .. vn.. =2π π ,{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ mientras .. L()vn).. =2π π n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle ToddL(v_{n}) eterna=2pi nto infty } como n→ → JUEGO JUEGO ,{displaystyle nto infty} Así que... L{displaystyle L. no está atado.

Propiedades del espacio de operadores lineales acotados

  • El espacio de todos los operadores lineales delimitados X{displaystyle X} a Y{displaystyle Sí. es denotado por B()X,Y){displaystyle B(X,Y)} y es un espacio vectorial normal.
  • Si Y{displaystyle Sí. es Banach, entonces lo es B()X,Y).{displaystyle B(X,Y).}
  • de lo que sigue que los espacios duales son Banach.
  • Para cualquier A▪ ▪ B()X,Y),{displaystyle Ain B(X,Y),} el núcleo A{displaystyle A} es un subespacio lineal cerrado X.{displaystyle X.}
  • Si B()X,Y){displaystyle B(X,Y)} es Banach y X{displaystyle X} no estrivial, entonces Y{displaystyle Sí. Es Banach.
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