Operación cuántica

En mecánica cuántica, una operación cuántica (también conocida como mapa dinámico cuántico o proceso cuántico) es un formalismo matemático utilizado para describir una amplia clase de transformaciones que puede sufrir un sistema mecánico cuántico. George Sudarshan analizó esto por primera vez como una transformación estocástica general para una matriz de densidad. El formalismo de operación cuántica describe no sólo la evolución temporal unitaria o las transformaciones de simetría de sistemas aislados, sino también los efectos de la medición y las interacciones transitorias con un entorno. En el contexto de la computación cuántica, una operación cuántica se denomina canal cuántico.

Tenga en cuenta que algunos autores utilizan el término "operación cuántica" para referirse específicamente a mapas completamente positivos (CP) y no crecientes de tráfico en el espacio de matrices de densidad, y el término "canal cuántico" para referirse al subconjunto de aquellos que son estrictamente conservadores de trazos.

Las operaciones cuánticas se formulan en términos de la descripción del operador de densidad de un sistema mecánico cuántico. Rigorously, una operación cuántica es un mapa lineal y completamente positivo del conjunto de operadores de densidad en sí mismo. En el contexto de la información cuántica, a menudo se impone la restricción adicional de una operación cuántica ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ Debe ser físico, es decir, satisfacer ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E} {\rho]\leq 1}$ para cualquier estado ${\displaystyle \rho }$.

Algunos procesos cuánticos no pueden capturarse dentro del formalismo de operaciones cuánticas; En principio, la matriz de densidad de un sistema cuántico puede sufrir una evolución temporal completamente arbitraria. Las operaciones cuánticas se generalizan mediante instrumentos cuánticos, que capturan la información clásica obtenida durante las mediciones, además de la información cuántica.

Fondo

La imagen de Schrödinger proporciona una explicación satisfactoria de la evolución temporal del estado de un sistema mecánico cuántico bajo ciertas suposiciones. Estos supuestos incluyen

• El sistema no es relativista
• El sistema está aislado.

La imagen de Schrödinger sobre la evolución del tiempo tiene varias formulaciones matemáticamente equivalentes. Una de esas formulaciones expresa la tasa de cambio temporal del estado mediante la ecuación de Schrödinger. Una formulación más adecuada para esta exposición se expresa de la siguiente manera:

Esto significa que si el sistema está en un estado correspondiente a v ∈ H en un instante de tiempo s, entonces el estado después Las unidades de tiempo t serán U_t v. Para los sistemas relativistas, no existe un parámetro de tiempo universal, pero aún podemos formular el efecto de ciertas transformaciones reversibles en el sistema mecánico cuántico. Por ejemplo, las transformaciones de estado que relacionan observadores en diferentes marcos de referencia están dadas por transformaciones unitarias. En cualquier caso, estas transformaciones de estado transforman estados puros en estados puros; Esto a menudo se formula diciendo que en este marco idealizado no hay decoherencia.

Para los sistemas interactivos (o abiertos), como los que se están sometiendo a medición, la situación es completamente diferente. Para empezar, los cambios de estado experimentados por tales sistemas no pueden explicarse exclusivamente por una transformación en el conjunto de estados puros (es decir, aquellos asociados a vectores de norma 1 en H). Después de tal interacción, es posible que un sistema en estado puro φ ya no esté en estado puro φ. En general será en una mezcla estadística de una secuencia de estados puros φ₁,..., φ_k con respectivas probabilidades λ< sub>1,..., λ_k. La transición de un estado puro a un estado mixto se conoce como decoherencia.

Se han establecido numerosos formalismos matemáticos para manejar el caso de un sistema interactivo. El formalismo de operaciones cuánticas surgió alrededor de 1983 a partir del trabajo de Karl Kraus, quien se basó en el trabajo matemático anterior de Man-Duen Choi. Tiene la ventaja de que expresa operaciones como la medición como un mapeo de estados de densidad a estados de densidad. En particular, el efecto de las operaciones cuánticas permanece dentro del conjunto de estados de densidad.

Definición

Recuerde que un operador de densidad es un operador no negativo en un espacio de Hilbert con traza unitaria.

Matemáticamente, una operación cuántica es un mapa lineal Φ entre espacios de operadores de clase de traza en los espacios de Hilbert H y G tal que

• Si S es un operador de densidad, Tr(Ё(S) ≤ 1.
• ⋅ is completely positive, that is for any natural number n, y cualquier matriz cuadrada de tamaño n cuyas entradas son operadores de clase traza
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11} 'S_{1n}\\\vdots > 'ddots > \\S_{n1}$$

  
  y que no es negativo, entonces
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11}) limit\cdots &\Phi (S_{1n})\\\\\vdots &\vdots\\\\cdots\\\\phi (S_{n1})}\cdots > {\cnnnn}\p]$$

  
  es también no negativo. En otras palabras, ⋅ is completely positive if ${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}$ es positivo para todos n, donde ${\displaystyle I_{n}$ denota el mapa de identidad en el Álgebra C* ${\displaystyle n\times n}$ matrices.

Tenga en cuenta que, según la primera condición, es posible que las operaciones cuánticas no preserven la propiedad de normalización de los conjuntos estadísticos. En términos probabilísticos, las operaciones cuánticas pueden ser submarkovianas. Para que una operación cuántica preserve el conjunto de matrices de densidad, necesitamos el supuesto adicional de que conserva trazas.

En el contexto de la información cuántica, las operaciones cuánticas aquí definidas, es decir, mapas completamente positivos que no aumentan la traza, también se denominan canales cuánticos o mapas estocásticos. La formulación aquí se limita a los canales entre estados cuánticos; sin embargo, se puede ampliar para incluir también estados clásicos, permitiendo así manejar simultáneamente información cuántica y clásica.

Operadoras de Kraus

Kraus' theorem (llamado después de Karl Kraus) caracteriza mapas completamente positivos, que modelo operaciones cuánticas entre estados cuánticos. Informalmente, el teorema asegura que la acción de cualquier operación cuántica ${\displaystyle \Phi$ en un estado ${\displaystyle \rho }$ siempre se puede escribir como ${\fnMicrosoftstyle \Phi (\rho)=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}$, para algunos operadores ${\displaystyle {B_{k}} {k}}}}} {k}}}} {\cH}}}}} {\cH}} {\cH}}}}} {\cH}}}}}}} {\cH}}} {\cH}}}}}} {\cH}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ satisfacción ${\textstyle \sum _{k}B_{*}B_{k}\leq {1}$, donde ${\displaystyle \mathbf {1}$ es el operador de identidad.

Enunciado del teorema

Theorem. Vamos. ${\displaystyle {\Mathcal {H}}$ y ${\displaystyle {\Mathcal {}}}$ ser Hilbert espacios de dimensión ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle m}$ respectivamente ${\displaystyle \Phi$ ser una operación cuántica entre ${\displaystyle {\Mathcal {H}}$ y ${\displaystyle {\Mathcal {}}}$. Entonces, hay matrices

$${\displaystyle # {B_{i} {1\leq i\leq nm}$$

${\displaystyle {\Mathcal {H}}$

${\displaystyle {\Mathcal {}}}$

${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \Phi (\rho)=\sum ¿Qué? B_{i} {*}$$

${\displaystyle \Phi$

${\textstyle \sum _{k}B_{*}B_{k}\leq {1}$

Las matrices ${\displaystyle {B_{i}}}$ se llaman Operadores de Kraus. (A veces son conocidos como operadores de ruido o operadores de errores, especialmente en el contexto del procesamiento de información cuántica, donde la operación cuántica representa los efectos ruidosos y causantes de errores del medio ambiente.) El teorema de factorización Stinespring extiende el resultado anterior a espacios separables arbitrarios Hilbert H y G. Ahí, S es reemplazado por un operador de clase traza y ${\displaystyle {B_{i}}}$ por una secuencia de operadores consolidados.

Equivalencia unitaria

Las matrices de Kraus no están determinadas por la operación cuántica ${\displaystyle \Phi$ en general. Por ejemplo, diferentes factorizaciones de Cholesky de la matriz Choi podrían dar diferentes conjuntos de operadores de Kraus. El teorema siguiente establece que todos los sistemas de matrices Kraus que representan la misma operación cuántica están relacionados con una transformación unitaria:

Theorem. Vamos. ${\displaystyle \Phi$ ser una operación cuántica (no necesariamente reservada) en un espacio finito-dimensional Hilbert H con dos secuencias representativas de matrices Kraus ${\displaystyle {B_{i}\i\i\i\i\i\i\i\i\i\fnh} N}$ y ${\displaystyle {C_{i}\i\i\i\i\i\i\i\i\fnh} N}$. Entonces hay una matriz de operador unitario ${\displaystyle (u_{ij}_{ij}}$ tales que

$${\displaystyle C_{i}=\sum ¿Qué?$$

En el caso de dimensión infinita, esto se generaliza a una relación entre dos representaciones mínimas de Stinespring.

Es una consecuencia del teorema de Stinespring que todas las operaciones cuánticas pueden implementarse mediante evolución unitaria después de acoplar un ancilla adecuado al sistema original.

Observaciones

Estos resultados también pueden derivarse del teorema de Choi en mapas completamente positivos, caracterizando un mapa finito-dimensional completamente positivo por un operador único de densidad Hermitian-positive (Matricia de Choi) con respecto al trazo. Entre todas las posibles representaciones de Kraus de un canal dado, existe una forma canónica distinguida por la relación ortogonal de los operadores de Kraus, ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}{\dgger }A_{j}\sim \delta _{ij}$. Tal conjunto canónico de operadores ortogonales de Kraus se puede obtener diagonalizando la matriz Choi correspondiente y remodelando sus eigenvectores en matrices cuadradas.

También existe una generalización algebraica de dimensión infinita del teorema de Choi, conocida como "teorema de radón-Nikodym de Belavkin para aplicaciones completamente positivas", que define un operador de densidad como un "Derivado del radón-Nikodym" de un canal cuántico con respecto a un mapa dominante completamente positivo (canal de referencia). Se utiliza para definir las fidelidades relativas y la información mutua de los canales cuánticos.

Dinámica

Para un sistema de mecánica cuántica no relativista, su evolución temporal se describe mediante un grupo de automorfismos de un parámetro {α_t}_t de Q. Esto se puede reducir a transformaciones unitarias: bajo ciertas condiciones técnicas débiles (ver el artículo sobre lógica cuántica y la referencia de Varadarajan), hay un grupo de un solo parámetro fuertemente continuo {U _t}_t de transformaciones unitarias del espacio de Hilbert subyacente tal que los elementos E de Q evoluciona según la fórmula

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}EU_{t}}$

La evolución del tiempo del sistema también puede considerarse dualmente como evolución del tiempo del espacio estadístico estatal. La evolución del estado estadístico es dada por una familia de operadores {β_t}_t tales que

$${\displaystyle \operatorname [Tr] (\beta _{t}(S)E)=\operatorname (S\alpha) ################################################################################################################################################################################################################################################################ [Tr] (SU_{t}EU_{*}=\operatorname ¿Qué? }$$

Claramente, por cada valor de t, S → U*_t S U_t es una operación cuántica. Además, esta operación es reversible.

Esto se puede generalizar fácilmente: Si G es un conectado Grupo de mentiras de simetrías Q satisfaciendo las mismas condiciones débiles de continuidad, luego la acción de cualquier elemento g de G es dado por un operador unitario U:

$${\fnMicrosoft Sans Serif}$$

Medición cuántica

Las operaciones cuánticas se pueden utilizar para describir el proceso de medición cuántica. La siguiente presentación describe la medición en términos de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert complejo separable H, es decir, en términos de una PVM (medida valorada en proyección). En el caso general, las mediciones se pueden realizar utilizando operadores no ortogonales, mediante las nociones de POVM. El caso no ortogonal es interesante, ya que puede mejorar la eficiencia general del instrumento cuántico.

Medidas binarias

Los sistemas cuánticos se pueden medir aplicando una serie de preguntas de sí o no. Se puede entender que este conjunto de preguntas se eligen de una red ortocomplementada Q de proposiciones en lógica cuántica. La red es equivalente al espacio de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert complejo separable H.

Considere un sistema en algún estado S, con el objetivo de determinar si tiene alguna propiedad E, donde E es un elemento de el entramado de preguntas cuánticas sí-no. Medir, en este contexto, significa someter el sistema a algún procedimiento para determinar si el estado satisface la propiedad. A la referencia al estado del sistema, en esta discusión, se le puede dar un significado operativo considerando un conjunto estadístico de sistemas. Cada medición produce algún valor definido 0 o 1; además, la aplicación del proceso de medición al conjunto da como resultado un cambio predecible del estado estadístico. Esta transformación del estado estadístico viene dada por la operación cuántica

$${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E). }$$

Caso general

En el caso general, las mediciones se realizan sobre observables que toman más de dos valores.

Cuando un A observable tiene un espectro puntual puro, se puede escribir en términos de una base ortonormal de vectores propios. Es decir, A tiene una descomposición espectral

$${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda)}$$

La medición del A observable produce un valor propio de A. Las mediciones repetidas, realizadas en un conjunto estadístico S de sistemas, dan como resultado una distribución de probabilidad sobre el espectro de valores propios de A. Es una distribución de probabilidad discreta y está dada por

$${\displaystyle \operatorname [Pr] (\lambda)=\operatorname (S\operatorname {E} _{A}(\lambda)). }$$

La medición del estado estadístico S viene dada por el mapa

$${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda ### Operatorname [E] _{A}(\lambda)S\operatorname {E} _{A}(\lambda)\.}$$

Mapas no completamente positivos

Shaji y Sudarshan argumentaron en un artículo de Physical Review Letters que, tras un examen minucioso, la positividad completa no es un requisito para una buena representación de la evolución cuántica abierta. Sus cálculos muestran que, cuando se parte de algunas correlaciones iniciales fijas entre el sistema observado y el medio ambiente, el mapa restringido al sistema mismo no es necesariamente positivo. Sin embargo, no es positivo sólo para aquellos estados que no satisfacen el supuesto sobre la forma de las correlaciones iniciales. Por lo tanto, muestran que para lograr una comprensión completa de la evolución cuántica, también se deben considerar mapas que no sean completamente positivos.