Operación binaria

Una operación binaria ${displaystyle circ }$ es una regla para combinar los argumentos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ para producir ${displaystyle xcirc y}$

En matemáticas, una operación binaria u operación diádica es una regla para combinar dos elementos (llamados operandos) para producir otro elemento. Más formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.

Más específicamente, una operación binaria interna sobre un conjunto es una operación binaria cuyos dos dominios y el codominio son el mismo conjunto. Los ejemplos incluyen las operaciones aritméticas familiares de suma, resta y multiplicación. Otros ejemplos se encuentran fácilmente en diferentes áreas de las matemáticas, como la suma de vectores, la multiplicación de matrices y la conjugación en grupos.

Una operación de aridad dos que implica varios conjuntos a veces también se denomina operación binaria. Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales toma un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar toma dos vectores para producir un escalar. Tales operaciones binarias pueden llamarse simplemente funciones binarias.

Las operaciones binarias son la piedra angular de la mayoría de las estructuras algebraicas que se estudian en álgebra, en particular en semigrupos, monoides, grupos, anillos, campos y espacios vectoriales.

Terminología

Más precisamente, una operación binaria en un conjunto ${displaystyle S.$ es un mapeo de los elementos del producto cartesiano ${displaystyle Stimes S}$ a ${displaystyle S.$:

${displaystyle ,fcolon Stimes Srightarrow S.}$

Debido al resultado de realizar la operación en un par de elementos ${displaystyle S.$ es de nuevo un elemento ${displaystyle S.$, la operación se llama un cerrado (o interna) operación binaria en ${displaystyle S.$ (o a veces se expresa como propiedad de cierre).

Si ${displaystyle f}$ no es una función, sino una función parcial, entonces ${displaystyle f}$ se llama operación binaria parcial. Por ejemplo, la división de números reales es una operación binaria parcial, porque no se puede dividir por cero: ${displaystyle {frac {f}}} {fn}}} {fnK}}} {fn}}}}}}} {fn}}}$ es indefinido para cada número real ${displaystyle a}$. Tanto en álgebra universal como en teoría modelo, las operaciones binarias son necesarias para ser definidas en todos los elementos de ${displaystyle Stimes S}$.

A veces, especialmente en informática, el término operación binaria se usa para cualquier función binaria.

Propiedades y ejemplos

Ejemplos típicos de las operaciones binarias son la adición (${displaystyle +}$) y multiplicación (${displaystyle times }$) de números y matrices, así como la composición de funciones en un único conjunto. Por ejemplo,

• En el conjunto de números reales ${displaystyle mathbb {R}$, ${displaystyle f(a,b)=a+b}$ es una operación binaria ya que la suma de dos números reales es un número real.
• En el conjunto de números naturales ${displaystyle mathbb {N}$, ${displaystyle f(a,b)=a+b}$ es una operación binaria ya que la suma de dos números naturales es un número natural. Esta es una operación binaria diferente a la anterior ya que los conjuntos son diferentes.
• En el set ${displaystyle M(2,mathbb {R})}$ de ${displaystyle 2times 2}$ matrices con entradas reales, ${displaystyle f(A,B)=A+B}$ es una operación binaria ya que la suma de dos tales matrices es una ${displaystyle 2times 2}$ matriz.
• En el set ${displaystyle M(2,mathbb {R})}$ de ${displaystyle 2times 2}$ matrices con entradas reales, ${displaystyle f(A,B)=AB}$ es una operación binaria ya que el producto de dos matrices tales es un ${displaystyle 2times 2}$ matriz.
• Para un conjunto dado ${displaystyle C}$, vamos ${displaystyle S.$ ser el conjunto de todas las funciones ${displaystyle hcolon Crightarrow C}$. Define ${displaystyle fcolon Stimes Srightarrow S}$ por ${displaystyle f(h_{1},h_{2}(c)=(h_{1}circ h_{2}(c)=h_{1}(h_{2}(c)}$ para todos ${displaystyle cin C}$, la composición de las dos funciones ${displaystyle h_{1}$ y ${displaystyle h_{2}$ dentro ${displaystyle S.$. Entonces... ${displaystyle f}$ es una operación binaria ya que la composición de las dos funciones es otra vez una función en el conjunto ${displaystyle C}$ (es decir, un miembro de ${displaystyle S.$).

Muchas operaciones binarias de interés en álgebra y lógica formal son conmutativas, satisfactorias ${displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$ para todos los elementos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ dentro ${displaystyle S.$, o asociativo, satisfactorio ${displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)}$ para todos ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, y ${displaystyle c}$ dentro ${displaystyle S.$. Muchos también tienen elementos de identidad y elementos inversos.

Los tres primeros ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.

En el conjunto de números reales ${displaystyle mathbb {R}$, resta, es decir, ${displaystyle f(a,b)=a-b}$, es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general, ${displaystyle a-bneq b-a}$. Tampoco es asociativo, ya que, en general, ${displaystyle a-(b-c)neq (a-b)-c}$; por ejemplo, ${displaystyle 1-(2-3)=2}$ pero ${displaystyle (1-2)-3=-4}$.

En el conjunto de números naturales ${displaystyle mathbb {N}$, la exponencia de operación binaria, ${displaystyle f(a,b)=a^{b}$, no es conmutativo ya que, ${displaystyle a^{b}neq b^{a}$ (cf. Equation xy = yx), y tampoco es asociativo desde entonces ${displaystyle f(f(a,b),c)neq f(a,f(b,c)}$. Por ejemplo, con ${displaystyle a=2}$, ${displaystyle b=3}$, y ${displaystyle c=2}$, ${displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$, pero ${displaystyle f(2,3^{2}=f(2,9)=2^{9}=512}$. Al cambiar el conjunto ${displaystyle mathbb {N}$ al conjunto de enteros ${displaystyle mathbb {Z}$, esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial ya que ahora no está definida cuando ${displaystyle a=0}$ y ${displaystyle b}$ es cualquier entero negativo. Para cualquier conjunto, esta operación tiene una identidad propia (que es ${displaystyle 1}$Desde ${displaystyle f(a,1)=a}$ para todos ${displaystyle a}$ en el conjunto, que no es identidad (dos identidades laterales) desde ${displaystyle f(1,b)neq b)$ en general.

División${displaystyle div }$), una operación binaria parcial en el conjunto de números reales o racionales, no es comunicativa o asociativa. Tetración${displaystyle uparrow uparrow }$), como operación binaria en los números naturales, no es comunicativa o asociativa y no tiene elemento de identidad.

Notación

Operaciones binarias a menudo se escriben usando notación de infijo como ${displaystyle aast b}$, ${displaystyle a+b}$, ${displaystyle acdot b}$ o (por yuxtaposición sin símbolo) ${displaystyle ab}$ más que por notación funcional de la forma ${displaystyle f(a,b)}$. Las potencias también se escriben sin operador, pero con el segundo argumento como superscript.

Las operaciones binarias a veces se escriben usando notación de prefijo o (más frecuentemente) de sufijo, los cuales prescinden de los paréntesis. También se denominan, respectivamente, notación polaca y notación polaca inversa.

Operaciones binarias como relaciones ternarias

Una operación binaria ${displaystyle f}$ en un set ${displaystyle S.$ puede considerarse como una relación ternaria ${displaystyle S.$, es decir, el conjunto de triples ${displaystyle (a,b,f(a,b)}$ dentro ${displaystyle Stimes Stimes S}$ para todos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ dentro ${displaystyle S.$.

Operaciones binarias externas

An operación binaria externa es una función binaria desde ${displaystyle Ktimes S}$ a ${displaystyle S.$. Esto difiere de un operación binaria en un conjunto en el sentido en que ${displaystyle K}$ no es necesario ${displaystyle S.$; sus elementos provienen de afuera.

Un ejemplo de una operación binaria externa es la multiplicación escalar en álgebra lineal. Aquí. ${displaystyle K}$ es un campo y ${displaystyle S.$ es un espacio vectorial sobre ese campo.

Algunas operaciones binarias externas pueden considerarse como una acción ${displaystyle K}$ on ${displaystyle S.$. Esto requiere la existencia de una multiplicación asociativa en ${displaystyle K}$, y una regla de compatibilidad de la forma ${displaystyle a(bs)=(ab)s}$, donde ${displaystyle a,bin K}$ y ${displaystyle sin S}$ (aquí, tanto la operación externa como la multiplicación ${displaystyle K}$ son denotados por la yuxtaposición).

El producto de dos mapas vectoriales ${displaystyle Stimes S}$ a ${displaystyle K}$, donde ${displaystyle K}$ es un campo y ${displaystyle S.$ es un espacio vectorial sobre ${displaystyle K}$. Depende de los autores si se considera una operación binaria.