Operación algebraica

En matemáticas, una operación algebraica básica es cualquiera de las operaciones comunes del álgebra elemental, que incluyen la suma, la resta, la multiplicación, la división, la elevación a una potencia de un número entero y la extracción de raíces (potencia fraccionaria). Estas operaciones se pueden realizar con números, en cuyo caso se las suele llamar operaciones aritméticas. También se pueden realizar, de manera similar, con variables, expresiones algebraicas y, de manera más general, con elementos de estructuras algebraicas, como grupos y cuerpos. Una operación algebraica también se puede definir de manera más general como una función de una potencia cartesiana de un conjunto dado al mismo conjunto.

El término operación algebraica también se puede utilizar para operaciones que se pueden definir mediante la combinación de operaciones algebraicas básicas, como el producto escalar. En cálculo y análisis matemático, operación algebraica también se utiliza para las operaciones que se pueden definir mediante métodos puramente algebraicos. Por ejemplo, la exponenciación con un exponente entero o racional es una operación algebraica, pero no la exponenciación general con un exponente real o complejo. Además, la derivada es una operación que no es algebraica.

Los símbolos de multiplicación se suelen omitir y se implican cuando no hay un operador entre dos variables o términos, o cuando se utiliza un coeficiente. Por ejemplo, 3 × x² se escribe como 3x², y 2 × x × y se escribe como 2xy. A veces, los símbolos de multiplicación se reemplazan por un punto o un punto central, de modo que x × y se escribe como x. y o x · y. El texto simple, los lenguajes de programación y las calculadoras también utilizan un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, y debe usarse explícitamente; Por ejemplo, 3x se escribe como 3 * x.

En lugar de utilizar el ambiguo signo de división (÷), la división se suele representar con un vinculum, una línea horizontal, como en ⁠3/x + 1⁠. En texto plano y lenguajes de programación, se utiliza una barra (también llamada barra sólida), p. ej. 3 / (x + 1).

Los exponentes suelen formatearse con superíndices, como en x². En texto simple, el lenguaje de marcado TeX y algunos lenguajes de programación como MATLAB y Julia, el símbolo de intercalación, ^, representa exponentes, por lo que x² se escribe como x ^ 2. En lenguajes de programación como Ada, Fortran, Perl, Python y Ruby, se utiliza un doble asterisco, por lo que x² se escribe como x ** 2.

El signo más-menos, ±, se utiliza como notación abreviada para dos expresiones escritas como una sola, representando una expresión con un signo más y la otra con un signo menos. Por ejemplo, y = x ± 1 representa las dos ecuaciones y = x + 1 e y = x − 1. A veces, se utiliza para indicar un término positivo o negativo como ±x.

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas, como se puede ver en la siguiente tabla.

Operación	Arithmetic Ejemplo	Álgebra Ejemplo	Comentarios "Equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Adición	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ equivalente a: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ equivalente a: ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b correspond\equiv 2b\b+b limit\equiv 3b\b\times b limit\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
Sustracción	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ equivalente a: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-b-a}$ equivalente a: ${\displaystyle b^{2}-b-a$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b correspond\not \equiv b\3b-b paciente\equiv 2b\\b^{2}-b convict\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
Multiplicación	${\displaystyle 3\times 5}$ o ${\displaystyle 3\.\ 5}$ o ${\displaystyle 3\cdot 5}$ o ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$ o ${\displaystyle a.b.$ o ${\displaystyle a\cdot b}$ o ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$ es lo mismo que ${\displaystyle a^{3}$
División	${\displaystyle 12\div 4}$ o ${\displaystyle 12/4}$ o ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$ o ${\displaystyle b/a}$ o ${\displaystyle {\frac {b} {}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}}\equiv {\tfrac {1}\times (a+b)}$
Exponentiation	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{3}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle b^{3}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ es lo mismo que ${\displaystyle {\sqrt {}}$ ${\displaystyle b^{3}$ es lo mismo que ${\displaystyle b\times b\times b)$

Nota: el uso de las letras ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ es arbitraria, y los ejemplos habrían sido igualmente válidos si ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ fueron usados.

Propiedad	Arithmetic Ejemplo	Álgebra Ejemplo	Comentarios "Equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Commutativity	${\displaystyle 3+5=5+3}$ ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$	${\displaystyle a+b=b+a$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$	La adición y la multiplicación son comunicativo y asociativo. La resta y la división no son: Por ejemplo. ${\displaystyle a-b\not \equiv b-a}$
Associativity	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

• Expresión algebraica
• Función algebraica
• Álgebra elemental
• Factorización de una expresión cuadrática
• Orden de operaciones