Ondícula morlet
En matemáticas, la onda de Morlet (o onda de Gabor) es una onda compuesta por una exponencial compleja (portadora) multiplicada por una ventana gaussiana (envolvente). Esta ondícula está estrechamente relacionada con la percepción humana, tanto auditiva como visual.
Historia
En 1946, el físico Dennis Gabor, aplicando ideas de la física cuántica, introdujo el uso de sinusoides de ventana gaussiana para la descomposición de frecuencia de tiempo, a los que se refirió como átomos, y que proporcionan el mejor intercambio -off entre resolución espacial y de frecuencia. Estos se utilizan en la transformada de Gabor, un tipo de transformada de Fourier de tiempo corto. En 1984, Jean Morlet presentó el trabajo de Gabor a la comunidad de sismología y, con Goupillaud y Grossmann, lo modificó para mantener la misma forma de ondícula en intervalos de octava iguales, lo que resultó en la primera formalización de la transformada de ondícula continua.
Definición
La onda se define como una constante κ κ σ σ {displaystyle kappa _{sigma } restringida de una ola de avión y luego localizada por una ventana Gaussiana:
- Ψ Ψ σ σ ()t)=cσ σ π π − − 14e− − 12t2()eiσ σ t− − κ κ σ σ ){displaystyle Psi _{sigma }(t)=c_{sigma }pi ^{-{frac {1} {4}}e^{-{-{2} {2} {2}(e^{isigma t}-kappa _{sigma }}
Donde κ κ σ σ =e− − 12σ σ 2{displaystyle kappa _{sigma - ¿Qué? está definido por el criterio de admisibilidad, y la constante de normalización cσ σ {displaystyle c_{sigma} es:
- cσ σ =()1+e− − σ σ 2− − 2e− − 34σ σ 2)− − 12{displaystyle c_{sigma }=left(1+e^{-sigma ^{2}-2e^{-{-{frac {3}{4}}sigma ^{2}}right)^{-{frac} {1}{2}}}}
La transformada de Fourier de la wavelet de Morlet es:
- Ψ Ψ ^ ^ σ σ ()⋅ ⋅ )=cσ σ π π − − 14()e− − 12()σ σ − − ⋅ ⋅ )2− − κ κ σ σ e− − 12⋅ ⋅ 2){fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}ffnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fn\\fnfn\\fnMicrosoftfnfn\\\fn\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\fn\\fnMicrosoft\fn\\fn\\fn\\fn\\fn\\\\\\\\\fn\\fn\ Psi }_{sigma }(omega)=c_{sigma }pi ^{-{frac {1} {4}}left(e^{-{frac {1}{2} {sigma} -omega)}-kappa _{sigma }e^{-{frac {1}{2}omega ^{2}right)}
La "frecuencia central" ⋅ ⋅ Ψ Ψ {displaystyle omega _{Psi } es la posición del máximo global Ψ Ψ ^ ^ σ σ ()⋅ ⋅ ){fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\fn\\\\\fn\\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\fnMi }_{sigma }(omega)} que, en este caso, se da por la solución positiva a:
- ⋅ ⋅ Ψ Ψ =σ σ 11− − e− − σ σ ⋅ ⋅ Ψ Ψ {displaystyle omega _{Psi }=sigma {frac {1}{1-e^{-sigma omega - Sí.
que puede ser resuelto por una iteración de punto fijo a partir de ⋅ ⋅ Ψ Ψ =σ σ {displaystyle omega _{Psi }=sigma } (las iteraciones de punto fijo convergen a la solución positiva única para cualquier inicial 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">⋅ ⋅ Ψ Ψ ■0{displaystyle omega _{Psi } Confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8cd7759b00648fe7daa881ca7d0b98c0bdc8b7" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.218ex; height:2.509ex;"/>).
El parámetro σ σ {displaystyle sigma } en la onda Morlet permite el comercio entre el tiempo y las resoluciones de frecuencia. Convencionalmente, la restricción 5}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">σ σ ■5{displaystyle sigma >5}5" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08db905be81d8064c44dbae315e7a6c2fb2a86a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/> se utiliza para evitar problemas con la onda morlet a bajo σ σ {displaystyle sigma } (alta resolución temporal).
Para las señales que contienen sólo modulaciones de frecuencia y amplitud lentas (audio, por ejemplo) no es necesario utilizar pequeños valores de σ σ {displaystyle sigma }. En este caso, κ κ σ σ {displaystyle kappa _{sigma } se vuelve muy pequeño (por ejemplo. 5quad Rightarrow quad kappa _{sigma }σ σ ■5⇒ ⇒ κ κ σ σ .10− − 5{displaystyle sigma >5quad Rightarrow quad kappa _{sigma } 10^{-5},}5 quad Rightarrow quad kappa_{sigma}) y es, por lo tanto, a menudo descuidado. Con arreglo a la restricción 5}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">σ σ ■5{displaystyle sigma >5}
5" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08db905be81d8064c44dbae315e7a6c2fb2a86a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>, la frecuencia de la onda morlet se toma convencionalmente para ser ⋅ ⋅ Ψ Ψ ≃ ≃ σ σ {displaystyle omega _{Psi }simeq sigma }.
La wavelet existe como una versión compleja o una versión puramente de valor real. Algunos distinguen entre el "verdadero Morlet" vs el "complejo Morlet". Otros consideran que la versión compleja es la "onda de Gabor", mientras que la versión de valor real es la "onda de Morlet".
Usos
Uso en medicina
En las imágenes de espectroscopia de resonancia magnética, el método de transformada de wavelet de Morlet ofrece un puente intuitivo entre la información de frecuencia y tiempo que puede aclarar la interpretación de los espectros de traumatismo craneoencefálico complejos obtenidos con la transformada de Fourier. Sin embargo, la transformada wavelet de Morlet no pretende ser un reemplazo de la transformada de Fourier, sino más bien un complemento que permite el acceso cualitativo a los cambios relacionados con el tiempo y aprovecha las múltiples dimensiones disponibles en un análisis de decaimiento de inducción libre.
La aplicación del análisis wavelet de Morlet también se utiliza para discriminar el comportamiento anormal de los latidos del corazón en el electrocardiograma (ECG). Dado que la variación del latido cardíaco anormal es una señal no estacionaria, esta señal es adecuada para el análisis basado en wavelet.
Uso en la música
La transformada wavelet de Morlet se utiliza en la estimación del tono y puede producir resultados más precisos que las técnicas de transformada de Fourier. La transformada wavelet de Morlet es capaz de capturar breves ráfagas de notas musicales repetidas y alternas con un inicio y un final claros para cada nota.