Ondícula

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Una onda pequeña es una oscilación similar a una onda con una amplitud que comienza en cero, aumenta o disminuye, y luego regresa a cero una o más veces. Las ondículas se denominan "oscilación breve". Se ha establecido una taxonomía de wavelets, basada en el número y dirección de sus pulsos. Las wavelets están imbuidas de propiedades específicas que las hacen útiles para el procesamiento de señales.

Onda sismica

Por ejemplo, se podría crear una ondícula que tuviera una frecuencia de Do medio y una duración corta de aproximadamente una décima de segundo. Si esta ondícula se convolucionara con una señal creada a partir de la grabación de una melodía, la señal resultante sería útil para determinar cuándo aparece la nota Do central en la canción. Matemáticamente, una wavelet se correlaciona con una señal si una parte de la señal es similar. La correlación es el núcleo de muchas aplicaciones prácticas de wavelet.

Como herramienta matemática, las wavelets se pueden usar para extraer información de muchos tipos diferentes de datos, incluidos, entre otros, señales de audio e imágenes. Se necesitan conjuntos de wavelets para analizar los datos por completo. "Complementario" Las ondículas descomponen una señal sin espacios ni superposiciones, de modo que el proceso de descomposición es matemáticamente reversible. Por lo tanto, los conjuntos de ondículas complementarias son útiles en los algoritmos de compresión/descompresión basados en ondículas, donde es deseable recuperar la información original con una pérdida mínima.

En términos formales, esta representación es una representación en serie de ondículas de una función integrable al cuadrado con respecto a un conjunto ortonormal completo de funciones base, o un conjunto sobrecompleto o marco de un espacio vectorial, para el espacio de Hilbert de cuadrados funciones integrables. Esto se logra a través de estados coherentes.

En la física clásica, el fenómeno de la difracción se describe mediante el principio de Huygens-Fresnel, que trata cada punto de un frente de onda que se propaga como un conjunto de pequeñas ondas esféricas individuales. El patrón de flexión característico es más pronunciado cuando una onda de una fuente coherente (como un láser) encuentra una rendija/abertura que es comparable en tamaño a su longitud de onda. Esto se debe a la adición, o interferencia, de diferentes puntos en el frente de onda (o, de manera equivalente, cada wavelet) que viajan por caminos de diferentes longitudes hasta la superficie de registro. Múltiples aberturas estrechamente espaciadas (p. ej., una rejilla de difracción) pueden dar como resultado un patrón complejo de intensidad variable.

Etimología

La palabra wavelet se ha utilizado durante décadas en el procesamiento de señales digitales y la geofísica de exploración. La palabra francesa equivalente ondelette que significa "pequeña ola" fue utilizado por Morlet y Grossmann a principios de la década de 1980.

Teoría de las ondículas

La teoría Wavelet es aplicable a varios temas. Todas las transformadas wavelet pueden considerarse formas de representación de tiempo-frecuencia para señales de tiempo continuo (analógicas) y, por lo tanto, están relacionadas con el análisis de armónicos. La transformada de wavelet discreta (continua en el tiempo) de una señal de tiempo discreto (muestreada) mediante el uso de bancos de filtros de tiempo discreto de configuración diádica (banda de octava) es una aproximación de wavelet a esa señal. Los coeficientes de dicho banco de filtros se denominan coeficientes de desplazamiento y escala en la nomenclatura de wavelets. Estos bancos de filtros pueden contener filtros de respuesta de impulso finito (FIR) o de respuesta de impulso infinito (IIR). Las ondículas que forman una transformada continua de ondículas (CWT) están sujetas al principio de incertidumbre de la teoría de muestreo respectiva del análisis de Fourier: dada una señal con algún evento en ella, no se puede asignar simultáneamente una escala de respuesta de frecuencia y tiempo exactos a ese evento. El producto de las incertidumbres de la escala de respuesta en tiempo y frecuencia tiene un límite inferior. Por lo tanto, en el escalegrama de una transformada wavelet continua de esta señal, dicho evento marca una región completa en el plano de la escala de tiempo, en lugar de un solo punto. Además, las bases de wavelet discretas pueden considerarse en el contexto de otras formas del principio de incertidumbre.

Las transformadas Wavelet se dividen en general en tres clases: continuas, discretas y basadas en multirresolución.

Transformaciones wavelet continuas (cambio continuo y parámetros de escala)

En las transformadas wavelet continuas, una señal determinada de energía finita se proyecta en una familia continua de bandas de frecuencia (o subespacios similares del espacio funcional Lp L²(R)). Por ejemplo, la señal puede representarse en cada banda de frecuencia de la forma [f, 2f] para todas las frecuencias positivas f > 0. Entonces, la señal original puede reconstruirse mediante una integración adecuada sobre todos los componentes de frecuencia resultantes.

Las bandas de frecuencia o subespacios (sub-bandas) son versiones escaladas de un subespacio a escala 1. Este subespacio, a su vez, en la mayoría de las situaciones es generado por los cambios de una función generadora ψ en L2(R), la onda madre. Para el ejemplo de la banda de frecuencia de escala uno [1, 2] esta función es

{displaystyle psi (t)=2,operatorname {sinc} (2t)-,operatorname {sinc} (t)={frac {sin(2pi t)-sin(pi t)}{pi t}}} {pi t}}}

Meyer

Morlet

Gorro mexicano

El subespacio de escala a o banda de frecuencia [1/a, 2/a] es generado por las funciones (a veces llamadas olas infantiles)

{displaystyle psi _{a,b}(t)={frac {1}{sqrt {a}}psi left({frac {t-b}{a}right),}

ababR₊R

La proyección de una función x sobre el subespacio de escala a tiene entonces la forma

{displaystyle x_{a}(t)=int _{mathbb {R} }WT_{ps}{x}(a,b)cdot psi _{a,b}(t),db}

coeficientes de onda

{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Para el análisis de la señal x, se pueden ensamblar los coeficientes de wavelet en un escalegrama de la señal.

Vea una lista de algunas wavelets continuas.

Transformadas wavelet discretas (desplazamiento discreto y parámetros de escala, continuos en el tiempo)

Desde el punto de vista computacional, es imposible analizar una señal usando todos los coeficientes de ondícula, por lo que uno puede preguntarse si es suficiente seleccionar un subconjunto discreto del semiplano superior para poder reconstruir una señal a partir de los coeficientes de ondícula correspondientes. Uno de estos sistemas es el sistema afín para algunos parámetros reales a > 1, b > 0. El subconjunto discreto correspondiente del semiplano consta de todos los puntos (a^m, nb a^m) con m, n en Z. Las ondas secundarias correspondientes ahora se dan como

{displaystyle psi _{m,n}(t)={frac {1}{sqrt {a^{m}}}}psi left({frac {t-nba^{m}{a^{m}}right).}}}}

Condición suficiente para la reconstrucción de cualquier señal x de energía finita mediante la fórmula

{displaystyle x(t)=sum _{min mathbb {Z}sum _{nin mathbb {Z}langle x,,psi _{m,n}rangle cdot psi _{m,n}(t)}

{displaystyle{\fnfnfnMicrosoft\fnMicrosoft\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ## {m,n}:m,nin mathbb {Z}}

L²R

Transformadas wavelet discretas basadas en multirresolución (continuas en el tiempo)

D4 wavelet

En cualquier transformada wavelet discretizada, solo hay un número finito de coeficientes wavelet para cada región rectangular delimitada en el semiplano superior. Aún así, cada coeficiente requiere la evaluación de una integral. En situaciones especiales, esta complejidad numérica se puede evitar si las ondículas escaladas y desplazadas forman un análisis de resolución múltiple. Esto significa que tiene que existir una función auxiliar, la onda padre φ en L²(R), y que a es un número entero. Una elección típica es a = 2 y b = 1. El par más famoso de wavelets padre y madre es el wavelet de 4 derivaciones de Daubechies. Tenga en cuenta que no todas las bases de wavelet discretas ortonormales se pueden asociar a un análisis de resolución múltiple; por ejemplo, la wavelet de Journe no admite análisis multirresolución.

A partir de las wavelets madre y padre se construyen los subespacios

{displaystyle V_{m}=operatorname {fn} {fn} {fn}fn}fn}fn}fnh}fnfn} {fn} {fn} {fn}fn}fn}fn} {fn}fn}fnfn}fnfnK}f}fnfnf}}f}fnfnfnfnf}fnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fn\\fnfn

{displaystyle ¿Por qué?

{displaystyle V_{i}

{displaystyle W_{i}

De estos se requiere que la secuencia

{displaystyle {0}subset dots subset V_{1}subset V_{0}subset V_{-1}subset V_{-2}subset dots subset L^{2}(mathbb {R})}

L²

{displaystyle dotsW_{1},W_{0},W_{-1},dots }

W_mV_mV_m−1

{displaystyle V_{m}oplus W_{m}=V_{m-1}

En analogía con el teorema de muestreo se puede concluir que el espacio V_m con distancia de muestreo 2^m cubre más o menos la frecuencia de banda base de 0 a 1/2^m-1. Como complemento ortogonal, W_m cubre aproximadamente la banda [1/2^m−1, 1/2m].

De esas inclusiones y relaciones ortogonales, especialmente ${displaystyle V_{0}oplus W_{0}=V_{-1}$ , sigue la existencia de secuencias ${displaystyle h={h_{n} {Z}}$ y ${displaystyle g= {g_{n} {Z}}$ que satisfacen las identidades

{displaystyle g_{n}=langle phi _{0,0},phi _{-1,n}rangle }

{textstyle phi (t)={sqrt {2}sum _{nin mathbb {Z}g_{n}phi (2t-n),}

{displaystyle h_{n}=langle psi _{0,0},phi _{-1,n}rangle }

{textstyle psi (t)={sqrt {2}sum _{nin mathbb {Z}h_{n}phi (2t-n). }

Del análisis multirresolución se deriva la descomposición ortogonal del espacio L² como

{displaystyle L^{2}=V_{j_{0}oplus W_{j_{0}oplus W_{j_{0}-1}oplus W_{j_{0}-2}oplus W_{j_{0}-3}oplus cdots }

{displaystyle Sin L^{2}

{displaystyle S=sum ¿Qué? _{j_{0},k}+sum _{jleq j_{0}sum ¿Qué? ¿Qué?

{displaystyle ¿Qué?

{displaystyle - Sí.

Ondícula madre

Para aplicaciones prácticas, y por razones de eficiencia, uno prefiere funciones continuamente diferenciables con soporte compacto como punto de onda madre (prototipo) (funciones). Sin embargo, para satisfacer los requisitos analíticos (en el WT continuo) y en general por razones teóricas, uno elige las funciones de onda de un subespacio del espacio ${displaystyle L^{1}(mathbb {R})cap L^{2}(mathbb {R}).$ Este es el espacio de funciones mensurables de Lebesgue que son absolutamente integradoras y cuadradas en el sentido de que

{displaystyle int _{-infty }Silenciopsi (t)

{displaystyle int _{-infty}{infty }Sobrevivirpsi (t) vivir^{2},dt madeinfty.}

Estar en este espacio asegura que uno puede formular las condiciones de media cero y norma uno cuadrática:

{displaystyle int _{-infty }infty }psi (t),dt=0}

{displaystyle int _{-infty}{infty }

Para que ψ sea una ondícula para la transformada de ondícula continua (consulte allí la declaración exacta), la ondícula madre debe satisfacer un criterio de admisibilidad (en términos generales, una especie de semidiferenciabilidad) para para obtener una transformada invertible estable.

Para la transformada wavelet discreta, se necesita al menos la condición de que la serie wavelet sea una representación de la identidad en el espacio L²(R). La mayoría de las construcciones de WT discreto hacen uso del análisis de resolución múltiple, que define la wavelet mediante una función de escala. Esta función de escala en sí misma es una solución a una ecuación funcional.

En la mayoría de las situaciones, es útil restringir ψ para que sea una función continua con un número mayor M de momentos de fuga, es decir, para todos los enteros m < M

{displaystyle int _{-infty }{infty }t^{m},psi (t),dt=0.}

Ondícula

Etimología

Teoría de las ondículas

Transformaciones wavelet continuas (cambio continuo y parámetros de escala)

Transformadas wavelet discretas (desplazamiento discreto y parámetros de escala, continuos en el tiempo)

Transformadas wavelet discretas basadas en multirresolución (continuas en el tiempo)

Ondícula madre

Comparaciones con la transformada de Fourier (tiempo continuo)

Definición de wavelet

Filtro de escala

Función de escala

Función de ondícula

Historia

Cronología

Transformaciones Wavelet

Transformaciones generalizadas

Aplicaciones

Como representación de una señal

Eliminación de ruido Wavelet

Red climática multiescala

Lista de wavelets

Ondículas discretas

Ondículas continuas

Valor real

Valor complejo

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