Onda triangular

Muestra de sonido de onda triángulo

5 segundos de onda triángulo a 220 Hz

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Muestra de sonido de onda de triángulo aditivo

Después de cada segundo, se añade un armónico a una onda sine creando un triángulo 220 Hz

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Una onda triangular o onda triangular es una forma de onda no sinusoidal llamada así por su forma triangular. Es una función real periódica, lineal por tramos y continua.

Al igual que una onda cuadrada, la onda triangular contiene solo armónicos impares. Sin embargo, los armónicos más altos se desprenden mucho más rápido que en una onda cuadrada (proporcional al cuadrado inverso del número armónico en lugar de solo el inverso).

Definiciones

Sine, cuadrado, triángulo y formas de onda de sierra

Definición

Una onda triangular de período p que abarca el rango [0,1] se define como:

x()t)=2Silenciotp− − ⌊tp+12⌋Silencio{displaystyle x(t)=2left {T}}-leftlfloor {fnMicroc} {fnMicroc} {1}{2}rightrfloor "Justo en la vida"

⌊ ⌊ ⌋ ⌋ {displaystyle lfloor ,\rfloor }

Para una onda triangular que abarca el rango [−1,1], la expresión se convierte en:

x()t)=2Silencio2()tp− − ⌊tp+12⌋)Silencio− − 1.{displaystyle x(t)=2left {t}{p}-leftlfloor {t over p}+{1 over 2}rightrfloor right)right sometida-1.}

Una ecuación más general para una onda triángulo con amplitud a{displaystyle a} y período p{displaystyle p} usando la operación modulo y el valor absoluto es:

Triángulo onda con amplitud=5, período=4

Sí.()x)=4apSilencio()()x− − p4)modp)− − p2Silencio− − a.{displaystyle y(x)={frac {4a}{p}left uponleft(x-{frac}left {p}{4}right){bmod {p}derecho)-{frac {p} {2}right perpetua-a.}

Por ejemplo, para una onda triangular con amplitud 5 y período 4:

Sí.()x)=5Silencio()()x− − 1)mod4)− − 2Silencio− − 5.{displaystyle y(x)=5{bigl ⋅}left(x-1){bmod {4}right)-2{bigr Silencio.

Un cambio de fase se puede obtener alterando el valor del − − p/4{displaystyle -p/4} término, y el offset vertical se puede ajustar modificando el valor del − − a{displaystyle -a} termino.

Como esto solo usa la operación de módulo y el valor absoluto, se puede usar simplemente para implementar una onda triangular en la electrónica del hardware.

Tenga en cuenta que en muchos lenguajes de programación, el operador % es un operador de resto (con resultado del mismo signo que el dividendo), no un operador de módulo; la operación de módulo se puede obtener usando ((x % p) + p) % p en lugar de x % p. En por ej. JavaScript, esto da como resultado una ecuación de la forma 4*a/p * Math.abs((((x-p/4)%p)+p)%p - p/2) - a.

Relación con la onda cuadrada

La onda triangular también se puede expresar como la integral de la onda cuadrada:

x()t)=∫ ∫ 0tSgn⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ up)du.{displaystyle x(t)=int ¿Por qué?

Expresión en funciones trigonométricas

Una onda triangular con período p y amplitud a se puede expresar en términos de seno y arcoseno (cuyo valor oscila entre −π/ 2 a π/2):

Sí.()x)=2aπ π arcsin⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ ()2π π px)).{displaystyle y(x)={frac {2a}{pi }arcsin left(sin left({frac {2pi }{p}xright)right).}

#⁡ ⁡ x=pecado⁡ ⁡ ()p4− − x){textstyle cos {x}=sin left({frac {p}}-xright)}

Sí.()x)=a− − 2aπ π arccos⁡ ⁡ ()#⁡ ⁡ ()2π π px)).{displaystyle y(x)=a-{frac {2a}{pi}arccos left(cos left({frac {2pi }{p}xright)right).}

Expresado como funciones lineales alternas

Otra definición de onda triangular, con rango de −1 a 1 y período p, es:

x()t)=4p()t− − p2⌊2tp+12⌋)()− − 1)⌊2tp+12⌋{displaystyle x(t)={frac {4}{p}left(t-{frac {p}{2}leftlfloor {fnMicroc {2 t} {fnMicroc} {1}{2}rightrfloor right)(-1)^{leftlfloor {fnMicroc {2 t} {fnMicroc} {1}{2}rightrfloor }

Armónicos

Animación de la síntesis aditiva de una onda triángulo con un número creciente de armónicos. Ver Análisis de Fourier para una descripción matemática.

Es posible aproximar una onda triangular con síntesis aditiva sumando los armónicos impares de la fundamental mientras se multiplican todos los demás armónicos impares por −1 (o, de manera equivalente, cambiando su fase por π) y multiplicando la amplitud de los armónicos por uno sobre el cuadrado de su número de modo, n (que equivale a uno sobre el cuadrado de su frecuencia relativa a la fundamental).

Lo anterior se puede resumir matemáticamente de la siguiente manera:

xtriangle()t)=8π π 2.. i=0N− − 1()− − 1)in− − 2pecado⁡ ⁡ ()2π π f0nt){displaystyle {begin{aligned}x_{mathrm {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {8} {fnMicrosoft Sans Serif} {} {f} {fnMicroc}} {fnMicroc} {} {} {fnK} {f} {fnMicroc} {fnMicroc}} {f}} {f}} {f}}}}}} {f}}}} {f} {f}} {f} {f}}} {f}} {f} {f} {f} {f}}} {f} {f} {f} {f} {f}}f} {f}}} {f} {f}}} {f}f}}}fnf}f}}f}f}}}fnMicrocH00}f}}fnf}}fnMicroc}}}}fn. ¿Por qué?

f0{displaystyle f_{0}

n=2i+1{displaystyle n=2i+1}

Esta serie infinita de Fourier converge rápidamente a la onda triangular cuando N tiende a infinito, como se muestra en la animación.

Longitud de arco

La longitud de arco por periodo de una onda triangular, denotada por s, se da en términos de la amplitud a y la longitud del periodo p por

s=()4a)2+p2.{displaystyle s={sqrt {(4a)^{2}}}}}