Onda plana electromagnética monocromática.

En la relatividad general, el espaciotiempo de ondas planas electromagnéticas monocromáticas es el análogo de las ondas planas monocromáticas conocidas por la teoría de Maxwell. La definición precisa de la solución es bastante complicada pero muy instructiva.

Cualquier solución exacta de la ecuación de campo de Einstein que modele un campo electromagnético, debe tener en cuenta todos los efectos gravitacionales de la energía y la masa del campo electromagnético. Además del campo electromagnético, si no hay materia ni campos no gravitacionales presentes, las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones de campo de Maxwell deben resolverse simultáneamente.

En la teoría de campo del electromagnetismo de Maxwell, uno de los tipos más importantes de campo electromagnético son los que representan la radiación electromagnética de microondas. De estos, los ejemplos más importantes son las ondas planas electromagnéticas, en las que la radiación tiene frentes de onda planos que se mueven en una dirección específica a la velocidad de la luz. De ellas, las más básicas son las ondas planas monocromáticas, en las que sólo está presente un componente de frecuencia. Este es precisamente el fenómeno que presenta este modelo de solución, pero en términos de relatividad general.

Definición de la solución

El tensor métrico de la solución exacta única que modela una onda plana electromagnética polarizada linealmente con amplitud q y frecuencia ω se puede escribir, en términos de coordenadas de Rosen, en la forma

${\displaystyle Ds^{2}=-2\,du\,dv+C^{2}\left {q}{2}{\omega ¿Qué? - ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle \xi ={\frac {\fnK} {\fnK} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }$ es la primera raíz positiva C()a, 2a, .) = 0 Donde ${\displaystyle a={\frac {\fnK} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$. En este gráfico, ∂_u, ∂_v son null coordenadas vectores mientras ∂_x, ∂_Sí. son vectores de coordenadas espaciales.

Aquí, el coseno de Mathieu C(a, b, ξ) es una función par que resuelve la ecuación de Mathieu y también toma el valor C (a, b, 0) = 1. A pesar del nombre, esta función no es periódica y no se puede escribir en términos de funciones sinusoidales o incluso hipergeométricas. (Consulte Función de Mathieu para obtener más información sobre la función coseno de Mathieu).

En la expresión de la métrica, tenga en cuenta que ∂_u, ∂_{v< /sub>} son campos vectoriales nulos. Por lo tanto, ∂_u + ∂_v es un tiempo campo vectorial, mientras que ∂_u − ∂_v, ∂ _x, ∂_y son campos vectoriales espaciales.

Para definir el potencial vectorial del campo electromagnético, se puede tomar el potencial electromagnético de cuatro vectores

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\c} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}$

Esta es la especificación completa de un modelo matemático formulado en relatividad general.

Isometrías locales

Nuestro espacio-tiempo está modelado por una variedad de Lorentz que tiene algunas simetrías notables. Es decir, nuestro espacio-tiempo admite un grupo de autoisometrías de Lie de seis dimensiones. Este grupo es generado por un álgebra de Lie de seis dimensiones de campos vectoriales Killing. Una base conveniente consta de un campo vectorial nulo,

${\displaystyle {\vec} }_{1}=\partial _{v}$

tres campos vectoriales espaciales,

${\displaystyle {\vec} }_{2}=\partial ¿Qué? }_{3}=\partial ¿Qué? }_{4}=-y\,\partial _{x}+x\,\partial _{y}$

y dos campos vectoriales adicionales,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec} {\xi }_{5} âTMa âTMa\partial _{v}+\int {\frac {du}{C\left({\frac} {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}\omega u\right)}\,\partial _{x}\{\vec {\xi}} {\m}}}}}\mega u\right)} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}\omega u\right)}}\,\partial _{y}\end{aligned}}}}}}}}} {\omega u\right)}}}}}}}\,\m}}\m} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\m\m\m\m}}}}} {\m} {\m}}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\m\m\m\m\m\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\m\m\m\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$

Aquí, ${\displaystyle {\vec} }_{2},\,{\vec {\xi }_{3},\,{\vec {\xi }_{4}$ generar el grupo Euclideano, actuando dentro de cada onda planar, que justifica el nombre onda de avión para esta solución. También ${\displaystyle {\vec} }_{5},\,{\vec {\xi }_{6}$ mostrar que todas las direcciones no transversales son equivalentes. Esto corresponde al hecho de que en tiempo espacial plano, dos ondas de avión colliding siempre collide Head-on cuando estuvo representado en el marco apropiado de Lorentz.

Para referencia futura, tenga en cuenta que este grupo de autoisometrías de seis dimensiones actúa transitivamente para que nuestro espacio-tiempo sea homogéneo. Sin embargo, no es isotrópico, ya que las direcciones transversales se distinguen de las no transversales.

Una familia de observadores inerciales

El campo del marco

${\displaystyle {\vec {\fnMicroc {2}\left(\partial _{u}+\partial _{v}\right)}$

${\displaystyle {\vec {\fnMicroc {2}\left(-\partial _{u}+\partial _{v}\right)}$

${\displaystyle {\vec {e}_{2}={\frac} {1} {C\left({\frac} {q^{2}{\omega ^{2}}}}\,{\frac {2q^{2}{\omega ^{2}}}}}\,\omega u\right)}\partial _{x}}}}}} {\m}}}}} {\c\c}}}}}}}}}}}\m}}}}}}\m}}}}}\m}}}}}}\m}}}}}\m}}}}}}}\m}}}}\m}}}}}}\m} {\m}}}} {\m}}}} {\m}}}}}} {\m}}}}}} {\m}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\m}}}}}}}}}}}}}}}}$

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representa el marco de Lorentz local definido por una familia de observadores inerciales sin giro. Eso es,

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lo que significa que las curvas integrales del campo vectorial unitario temporal e₀ son geodésicas temporales, y también

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que significa que los campos vectoriales de unidad espacial e₁, e₂, e₃ No están dando vueltas. (Son Fermi-Walker transportados.) Aquí, ${\displaystyle {\vec {}} {0}}$ es un campo vectorial de unidad temporal, mientras ${\displaystyle {\vec {e}_{1},{\vec {e}_{2},{\vec} {}} {3}}$ son campos vectoriales de unidad espacial.

Los marcos inerciales no giratorios son lo más parecido que se puede llegar en los espacio-tiempos curvos a los marcos de Lorentz habituales conocidos de la relatividad especial, donde las transformaciones de Lorentz son simplemente cambios de un marco de Lorentz a otro.

El campo electromagnético

Con respecto a nuestro marco, el campo electromagnético obtenido del potencial dado anteriormente es

${\displaystyle {\vec}=q\,\sin(\omega u)\,{\vec {}} {2}}$

${\fnMiega u)\, {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Este campo electromagnético es una solución sin fuente de las ecuaciones de campo de Maxwell en el espacio-tiempo curvo particular definido por el tensor métrico anterior. Es una solución nula y representa una onda plana electromagnética sinusoidal transversa con amplitud q y frecuencia ω, viajando en el e₁ dirección. Cuando uno

• computa el tensor de estrés – energía T^ab para el campo electromagnético dado,
• computar el tensor de Einstein G^ab para el tensor métrico dado,

se encuentra que la ecuación de campo de Einstein G^ab = 8πT^ab está satisfecho. Esto es lo que se quiere decir al decir que existe una solución de electrovacío exacta.

En términos de nuestro marco, el tensor tensión-energía resulta ser

${\displaystyle ¿Qué? }{\begin{bmatrix}1 tendrían una relación0\1}}}}}} {\begin{bmatrix}0}}}} {\begin{bmatrix}}} {\begin{bmatrix}$

Esta es la misma expresión que uno encontraría en el electromagnetismo clásico (donde se desprecian los efectos gravitacionales de la energía del campo electromagnético) para el campo nulo dado anteriormente; la única diferencia es que ahora nuestro marco es una base anholonómica (ortonormal) en un espacio-tiempo curvo, en lugar de una base de coordenadas en espacio-tiempo plano. (Ver campos de marco).

Movimiento relativo de los observadores

El gráfico Rosen se dice que como con nuestra familia de observadores inerciales, porque las coordenadas Ve. − u, x, Sí. son todos constantes a lo largo de cada línea del mundo, dada por una curva integral del campo vectorial de la unidad del tiempo ${\displaystyle {\vec}={\vec} {\fnMicrosoft}$. Así, en el gráfico Rosen, estos observadores podrían parecer inmóviles. Pero de hecho, están en movimiento relativo unos con otros. Para ver esto, se debe calcular su tensor de expansión respecto al marco dado anteriormente. Esto resulta ser

${\displaystyle \theta [{\vec}]_{\hat {\fnK} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {J}={\frac} {\omega }{\sqrt {2}\fnMic {\fnK} {\fnK} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fnK} {\c}}} {\fn0}}}} {\f}}}} {\f}\f}}}}}}\f}}}}}}}\f}\f}\f}\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}\f}\f}}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\fnK\fnK\f}}}\fnK\f}\fnK\f}}}\fn$

dónde

${\displaystyle C^{\prime }(a,q,\xi)={\frac {\partial C(a,q,\xi)}{\partial \xi }}}$

Los componentes que no desaparecen son idénticos y están

1. Concave abajo en ${\displaystyle -u_{0}Seguido$
2. desvanecerse u = 0.

Físicamente, esto significa que una pequeña 'nube' de nuestros observadores inerciales flota momentáneamente en u = 0 y luego comienzan a colapsar, eventualmente pasándose uno a través del otro en u = u₀. Si se las imagina formando una nube tridimensional de partículas de prueba distribuidas uniformemente, este colapso se produce ortogonalmente a la dirección de propagación de la onda. La nube no muestra ningún movimiento relativo en la dirección de propagación, por lo que se trata de un movimiento puramente transversal.

Para ${\displaystyle {\frac}{\omega ♪♪ 1}$ (la aproximación de onda corta), uno tiene aproximadamente

${\displaystyle g_{xx}\approx \cos(qu)^{2}$

${\displaystyle \theta [{\vec {X}]_{22}\approx -q\,\tan(qu)}$ Por ejemplo, con ${\displaystyle q=1/2,\omega =5}$, uno tiene

donde las expresiones exactas se representan en rojo y las aproximaciones de onda corta en verde.

El tensor de vorticidad de nuestra congruencia desaparece idénticamente, por lo que las líneas mundiales de nuestros observadores son ortogonales de hipersuperficie. El tensor de Riemann tridimensional de las hiperslices viene dado, con respecto a nuestro marco, por

${\displaystyle {{} {} {}} {12}={} {}}_{13}=q^{2}\,\sin(\omega u)} {2}}$

${\displaystyle {\fnK} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicroc}}} {\fnK}} {\f}} {\f} {\fnMicroc}}} {\fn}}} {\fn}} {\fnK}} {\f}}\fnK\f} {\f}\f}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\\f}\fn\f}\fn\f}\\f}\fn\fn\f}\fn\fn\fn}\fn}\fn\f}\fn\fn\f}\fnh}\f}}\fn {\fnMiega } {\fnMicroc}\left({\frac} {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}\omega u\right)}{2}{2}{C\left({\frac} {\fnK}}}} {\fnMiega u}}}}}}}}}}}{2}}}} {\m}}{2}}}}}}} {\f}{2}}}} {\c\c\f}}}{2}}}}}} {\c\c\c\c\f}} {\c\c\c\c\f}}}}}}} {\f}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f}}} {\c\c\c\c\f}}} {\f}}} {\f}}}}}{\f} {\f}}}}} {\f} {\f}}}}}} {q}{2}{2}}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}}\omega u\right)}}}}}}}}}}}}}} {\c\c\c\c\c}}}}} {\c\c}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}} {\m}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}} {\c\c\c\c\c\c\c\c\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\$

La curvatura se divide claramente en onda (las curvaturas seccionales paralelas a la dirección de propagación) y fondo (la curvatura seccional transversal).

El tensor de curvatura de Riemann

En contraste, la descomposición de Bel del tensor de curvatura Riemann, tomada con respecto a ${\displaystyle {\vec}={\vec} {\fnMicrosoft}$, es la simplicidad misma. El tensor electrogravítico, que representa directamente al aceleración de la marea, es

${\displaystyle E[{\vec {X}}_{\hat {n} {\fn}=q^{2}\,\sin(\omega u)^{2}\\,\fnunció {diag} (0,1,1)}$

El tensor magnetogravítico, que representa directamente la fuerza de giro-giro en un giroscopio llevado por uno de nuestros observadores, es

${\displaystyle B[{\vec {X}}_{\hat {m} {\hat {n}}=q^{2}\,\sin(\omega u)^{2}{\begin{bmatrix}0 {0}0 â0 â0 â0 â0 âTMa0 âTMa} {\0}}}}}}}}}} {\c}} {\c}} {\c}} {\c}}}}}}}} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c$

(El tensor topogravítico, que representa las curvaturas seccionales espaciales, concuerda con el tensor electrogravítico).

Volviendo a mirar nuestra gráfica del tensor métrico, podemos ver que el tensor de marea produce pequeñas aceleraciones relativas sinusoidales con un período ω, que son puramente transversales a la dirección de propagación de la onda. El efecto gravitacional neto durante muchos períodos es producir un ciclo de expansión y colapso de nuestra familia de observadores inerciales sin giro. Esto puede considerarse el efecto de la curvatura de fondo producida por la onda.

Este ciclo de expansión y colapso recuerda a los modelos cosmológicos FRW en expansión y colapso, y ocurre por una razón similar: la presencia de masa-energía no gravitacional. En los modelos FRW, esta energía masiva se debe a la masa de las partículas de polvo; aquí, se debe a la energía del campo de ondas electromagnéticas. Allí, el ciclo de expansión-recolapso comienza y termina con una fuerte singularidad de curvatura escalar; aquí hay una mera singularidad coordinada (circunstancia que confundió mucho a Einstein y Rosen en 1937). Además, hay una pequeña modulación sinusoidal de la expansión y el retroceso.

Efectos ópticos

Un principio general relativo a las olas de avión establece que uno no puede ver el tren de onda entrar en la estación, pero uno puede verlo salir. Es decir, si uno mira a través de ondas entrantes en objetos distantes, uno no verá ninguna distorsión óptica, pero si uno gira y mira a través de frentes de onda hacia objetos distantes, uno voluntad ver distorsiones ópticas. Específicamente, null geodesic congruence generado por el campo vectorial nulo ${\displaystyle {\vec}={\vec} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fn}} {\fn}}$ ha desaparecido los escalares ópticos, pero la congruencia geodésica nula generada por ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fn\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }={\vec {e}_{0}-{\vec} {\fn}} {\fn}}$ ha desaparecido el giro y escalar los escalares pero el escalar de expansión no desvanecedor

${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}\omega \,{\frac {C^{\prime }\left({\frac {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}}\omega u\right)}{C\left({\frac\frac] {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}\omega u\right)}}}}}$

Esto muestra que al mirar a través de frentes de onda que salen hacia objetos distantes, nuestros observadores inerciales que no giran verán cambiar su tamaño aparente de la misma manera que la expansión de la propia congruencia geodésica temporal.

El gráfico de Brinkmann

Una forma de ver rápidamente la plausibilidad de la afirmación de que u = u₀ es una mera singularidad coordinada es recordar que nuestro espacio-tiempo es homogéneo, de modo que todos los eventos son equivalentes. Para confirmar esto directamente y estudiar desde una perspectiva diferente el movimiento relativo de nuestros observadores inerciales sin giro, se puede aplicar la transformación de coordenadas

${\displaystyle u\to u}$

${\displaystyle v\to v-{\dot {}{2r}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$

${\displaystyle x\to x/r}$

${\displaystyle y\to y/r}$

dónde

${\displaystyle -{\frac {\ddot {r}(u)}=q\sin(\omega u)}{2}$

Esto trae la solución a su representación en términos de coordenadas de Brinkmann:

${\displaystyle ¿Qué?$

Dado que se puede demostrar que las nuevas coordenadas están geodésicamente completas, las coordenadas de Brinkmann definen un gráfico de coordenadas global. En este gráfico, se puede ver que se produce una secuencia infinita de ciclos de expansión-recuperación idénticos.

Cáusticas

En el gráfico de Brinkmann, nuestro campo de marco se vuelve bastante complicado:

${\displaystyle {\vec {\fnK} {\fnMicroc} {\partial _{u}+\partial ¿Qué? {x^{2}+y^{2} {\sqrt {2}}\left(-q^{2}\sin(\omega u)^{2}+{\frac {\omega ^{2}}}}\,{\frac {\fc} {\fc}\f}\f}\fc\fnMic} {\fnK\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\f}\fnK\f}\fnK\f}\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\c\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\f}\fnK\ {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}}}\omega u\right)}{2}{C\left({\frac}{2}}}}} {\omega u\right)}}}}}}{2}}}{2}}{C\left({\q} {\frac} {\q}}}{2} {\f}}}{2}}}{2} {\f}} {\m}}}} {\f}} {\m}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}} {q^{2}{2}}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}}\omega u\right)}}}}\derecha)\derecha)\derecho ¿Por qué? {\fnK} {\fnMicroc}\left({\frac} {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}}}\omega u\right)}{C\left({\frac\frac] {q^{2}{2}} {\frac}{2}{2}{2\omega ^{2}}}}\omega u\right)}}\left(x\partial)} ¿Por qué?$

etc. Naturalmente, si se calcula el tensor de expansión, el tensor electrogravítico, etc., se obtendrían las mismas respuestas que antes, pero expresadas en las nuevas coordenadas.

La simplicidad del tensor métrico en comparación con la complejidad del marco es sorprendente. El punto es que uno puede visualizar más fácilmente los caustics formados por el movimiento relativo de nuestros observadores en el nuevo gráfico. Las curvas integrales del campo geodésico vectorial de la unidad temporal ${\displaystyle {\vec}={\vec} {\fnMicrosoft}$ dar las líneas mundiales de nuestros observadores. En el gráfico Rosen, estos aparecen como líneas de coordenadas verticales, ya que ese gráfico es comoving.

Para comprender cómo aparece esta situación en el gráfico de Brinkmann, observe que cuando ω es extenso, nuestro campo vectorial unitario geodésico temporal se vuelve aproximadamente

${\displaystyle {\vec}\approx {\fnMicroc {\fnMicroc} ¿Qué? ¿Por qué? {x^{2}+y^{2}{2}}\,\left(-q^{2}\sin(\omega u)^{2}+q^{2}\tan(qu)^{2}\right)\partial ¿Qué?$

Suprimiendo el último término, el resultado es

${\displaystyle {\vec {X}\approx \partial _{t}-q\tan \left({\frac {qu}{\sqrt {2}}}\right)\left(x\partial) ¿Por qué?$

Se obtiene inmediatamente una curva integral que presenta ciclos de expansión y reconvergencia sinusoidales. Vea la figura, en la que el tiempo corre verticalmente y uno usa la simetría radial para suprimir una dimensión espacial. Esta figura muestra por qué hay una singularidad de coordenadas en la carta de Rosen; los observadores deben pasar unos junto a otros a intervalos regulares, lo cual es incompatible con la propiedad de comovimiento, por lo que la carta se descompone en estos lugares. Tenga en cuenta que esta figura sugiere incorrectamente que un observador es el "centro de atracción", por así decirlo, pero en realidad todos son completamente equivalentes, debido al gran grupo de simetría de este espacio-tiempo. Tenga en cuenta también que el movimiento relativo ampliamente sinusoidal de nuestros observadores es totalmente consistente con el comportamiento del tensor de expansión (con respecto al campo del marco correspondiente a nuestra familia de observadores) que se señaló anteriormente.

Vale la pena señalar que estos puntos un tanto complicados confundieron nada menos que a Albert Einstein en su artículo de 1937 sobre ondas gravitacionales (escrito mucho antes de que la maquinaria matemática moderna utilizada aquí fuera ampliamente apreciada en la física).

Así, en el gráfico Brinkmann, las líneas mundiales de nuestros observadores, en el caso de onda corta, son curvas periódicas que tienen la forma de sinusoidal con período ${\displaystyle 2\pi /q}$, modulado por pequeñas perturbaciones sinusoidales en la dirección nula ∂_v y tener un período mucho más corto, ${\displaystyle 2\pi /\omega }$. Los observadores se expanden y retroceden periódicamente a la dirección de la propagación; esta moción se modula por un corto período de pequeñas perturbaciones de amplitud.

Resumen

Al comparar nuestra solución exacta con la onda plana electromagnética monocromática habitual tratada en la relatividad especial (es decir, como una onda en el espacio-tiempo plano, ignorando los efectos gravitacionales de la energía del campo electromagnético), se ve que la nueva característica sorprendente en La relatividad general son los ciclos de expansión y colapso experimentados por nuestros observadores, que se pueden atribuir a la curvatura de fondo, no a mediciones realizadas en tiempos y distancias cortas (del orden de la longitud de onda de la radiación electromagnética de microondas). ).