Onda estacionaria

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Ola que permanece en una posición constante

Animación de una onda de pie ()rojo) creado por la superposición de un viaje izquierdo ()azul) and right travelling ()verde) on

Longitudinal standing wave

En física, una onda estacionaria, también conocida como onda estacionaria, es una onda que oscila en el tiempo pero cuyo perfil de amplitud máxima no se mueve en el espacio. La amplitud máxima de las oscilaciones de onda en cualquier punto del espacio es constante con respecto al tiempo, y las oscilaciones en diferentes puntos a lo largo de la onda están en fase. Las ubicaciones en las que el valor absoluto de la amplitud es mínimo se denominan nodos, y las ubicaciones en las que el valor absoluto de la amplitud es máximo se denominan antinodos.

Michael Faraday notó por primera vez las ondas estacionarias en 1831. Faraday observó ondas estacionarias en la superficie de un líquido en un recipiente que vibraba. Franz Melde acuñó el término "onda estacionaria" (Alemán: stehende Welle o Stehwelle) alrededor de 1860 y demostró el fenómeno en su clásico experimento con cuerdas vibrantes.

Este fenómeno puede ocurrir porque el medio se mueve en dirección opuesta al movimiento de la onda, o puede surgir en un medio estacionario como resultado de la interferencia entre dos ondas que viajan en direcciones opuestas. La causa más común de las ondas estacionarias es el fenómeno de la resonancia, en el que las ondas estacionarias ocurren dentro de un resonador debido a la interferencia entre las ondas reflejadas de un lado a otro en la frecuencia de resonancia del resonador.

Para ondas de igual amplitud que viajan en direcciones opuestas, en promedio no hay propagación neta de energía.

Medio móvil

Kayakers surfing a standing wave in Great Falls Park

Como ejemplo del primer tipo, bajo ciertas condiciones meteorológicas se forman ondas estacionarias en la atmósfera a sotavento de las cadenas montañosas. Tales olas son a menudo aprovechadas por pilotos de planeadores.

Las ondas estacionarias y los saltos hidráulicos también se forman en los rápidos de los ríos y en las corrientes de las mareas, como la vorágine de Saltstraumen. Un requisito para esto en las corrientes fluviales es un agua que fluye con poca profundidad en la que la inercia del agua vence a su gravedad debido a la velocidad de flujo supercrítica (número de Froude: 1.7 – 4.5, superando 4.5 resulta en onda estacionaria directa) y por lo tanto no es ni significativamente ralentizado por el obstáculo ni empujado hacia un lado. Muchas olas estacionarias de los ríos son lugares populares para surfear en los ríos.

Olas opuestas

Ondas de pie

Ola de pie en medio estacionario. Los puntos rojos representan los nodos de onda.
Una onda de pie (negro) representa como la suma de dos ondas propagantes que viajan en direcciones opuestas (rojo y azul).

vector de fuerza eléctrica (E) y vector de fuerza magnética (H) de una onda de pie.
Olas permanentes en una cuerda – el modo fundamental y los primeros 5 armónicos.

Una onda de pie sobre una membrana circular, un ejemplo de ondas de pie en dos dimensiones. Este es el modo fundamental.
Una onda de pie armónica superior en un disco con dos líneas nodal cruzando en el centro.

Como ejemplo del segundo tipo, una onda estacionaria en una línea de transmisión es una onda en la que la distribución de corriente, tensión o intensidad de campo está formada por la superposición de dos ondas del misma frecuencia propagándose en direcciones opuestas. El efecto es una serie de nodos (desplazamiento cero) y antinodos (desplazamiento máximo) en puntos fijos a lo largo de la línea de transmisión. Tal onda estacionaria puede formarse cuando una onda se transmite a un extremo de una línea de transmisión y se refleja desde el otro extremo por una falta de coincidencia de impedancia, es decir, discontinuidad, como un circuito abierto o un cortocircuito.. La falla de la línea para transferir energía a la frecuencia de la onda estacionaria generalmente resultará en una distorsión de atenuación.

En la práctica, las pérdidas en la línea de transmisión y otros componentes significan que nunca se logra un reflejo perfecto y una onda estacionaria pura. El resultado es una onda estacionaria parcial, que es una superposición de una onda estacionaria y una onda viajera. El grado en que la onda se parece a una onda estacionaria pura o a una onda viajera pura se mide mediante la relación de onda estacionaria (SWR).

Otro ejemplo son las ondas estacionarias en mar abierto formadas por olas con el mismo período de olas que se mueven en direcciones opuestas. Estos pueden formarse cerca de los centros de las tormentas, o por el reflejo de un oleaje en la costa, y son la fuente de microbaroms y microsismos.

Descripción matemática

Esta sección considera casos representativos de ondas estacionarias de una y dos dimensiones. Primero, un ejemplo de una cuerda de longitud infinita muestra cómo las ondas idénticas que viajan en direcciones opuestas interfieren para producir ondas estacionarias. A continuación, dos ejemplos de cuerdas de longitud finita con diferentes condiciones de contorno demuestran cómo las condiciones de contorno restringen las frecuencias que pueden formar ondas estacionarias. A continuación, el ejemplo de las ondas de sonido en una tubería demuestra cómo se pueden aplicar los mismos principios a las ondas longitudinales con condiciones de contorno análogas.

Las ondas estacionarias también pueden ocurrir en resonadores de dos o tres dimensiones. Con ondas estacionarias en membranas bidimensionales como parches de tambor, ilustrados en las animaciones anteriores, los nodos se convierten en líneas nodales, líneas en la superficie en las que no hay movimiento, que separan regiones que vibran con fase opuesta. Estos patrones de líneas nodales se denominan figuras de Chladni. En los resonadores tridimensionales, como las cajas de resonancia de instrumentos musicales y los resonadores de cavidad de microondas, hay superficies nodales. Esta sección incluye un ejemplo de onda estacionaria bidimensional con un límite rectangular para ilustrar cómo extender el concepto a dimensiones más altas.

Onda estacionaria en una cuerda de longitud infinita

Para comenzar, considere una cuerda de longitud infinita a lo largo del eje x que es libre de estirarse transversalmente en la dirección y.

Para una onda armónica que viaja hacia la derecha a lo largo de la cuerda, el desplazamiento de la cuerda en la dirección y en función de la posición x y el tiempo t es

{displaystyle y_{text{R}}(x,t)=y_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }-omega tright).}

El desplazamiento en la dirección y para una onda armónica idéntica que viaja hacia la izquierda es

{displaystyle y_{text{L}}(x,t)=y_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }+omega tright),}

dónde

Sí._max es la amplitud del desplazamiento de la cuerda para cada onda,
⋅ es la frecuencia angular o equivalente 2π tiempos de frecuencia f,
λ es la longitud de onda de la onda.

Para ondas idénticas que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda en la misma cuerda, el desplazamiento total de la cuerda es la suma de y_R y y_L,

${displaystyle y(x,t)=y_{text{R}}+y_{text{L}}=y_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }-omega tright)+y_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }+omega tright).}$

Utilizando la identidad trigonométrica suma a producto ${displaystyle sin a+sin b=2sin left({a+b over 2}right)cos left({a-b over 2}right)}$ ,

{displaystyle y(x,t)=2y_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }right)cos(omega t).}

()1)

Note that Equation (Equation)1) no describe una ola de viaje. En cualquier posición x, Sí.()x,t) simplemente oscila en el tiempo con una amplitud que varía en el x- la dirección como ${displaystyle 2y_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }right)}$ . La animación al comienzo de este artículo describe lo que está sucediendo. A medida que la onda azul giratoria izquierda y la onda verde giratoria derecha interfieren, forman la onda roja de pie que no viaja y en su lugar oscila en su lugar.

Debido a que la cuerda tiene una longitud infinita, no tiene condiciones de contorno para su desplazamiento en ningún punto a lo largo del eje x. Como resultado, se puede formar una onda estacionaria en cualquier frecuencia.

En ubicaciones en el eje x que son múltiplos pares de un cuarto de longitud de onda,

${displaystyle x=ldots-{3lambda over 2},;-lambda;-{lambda over 2},;0,;{lambda over 2},;lambda;{3lambda over 2},ldots }$

la amplitud es siempre cero. Estas ubicaciones se denominan nodos. En ubicaciones en el eje x que son múltiplos impares de un cuarto de longitud de onda

${displaystyle x=ldots-{5lambda over 4},;-{3lambda over 4},;-{lambda over 4},;{lambda over 4},;{3lambda over 4},;{5lambda over 4},ldots }$

la amplitud es máxima, con un valor del doble de la amplitud de las ondas que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda que interfieren para producir este patrón de onda estacionaria. Estas ubicaciones se denominan anti-nodos. La distancia entre dos nodos o antinodos consecutivos es la mitad de la longitud de onda, λ/2.

Onda estacionaria en una cuerda con dos extremos fijos

A continuación, considere una cadena con extremos fijos en x = 0 y x = L. La cuerda tendrá algo de amortiguamiento a medida que se estira por las ondas viajeras, pero suponga que el amortiguamiento es muy pequeño. Suponga que en el extremo fijo x = 0 se aplica una fuerza sinusoidal que impulsa la cuerda hacia arriba y hacia abajo en la dirección y con una pequeña amplitud en alguna frecuencia f. En esta situación, la fuerza impulsora produce una onda que viaja hacia la derecha. Esa onda se refleja en el extremo fijo derecho y viaja de regreso a la izquierda, se refleja nuevamente en el extremo fijo izquierdo y viaja de regreso a la derecha, y así sucesivamente. Eventualmente, se alcanza un estado estacionario en el que la cuerda tiene ondas que se desplazan hacia la derecha y hacia la izquierda idénticas que en el caso de longitud infinita y la potencia disipada por el amortiguamiento en la cuerda es igual a la potencia suministrada por la fuerza impulsora, por lo que las ondas tienen una amplitud constante.

La ecuación (1) aún describe el patrón de onda estacionaria que se puede formar en esta cuerda, pero ahora la ecuación (1) está sujeta a condiciones límite donde y = 0 en x = 0 y x = L porque la cadena está fija en x = L y porque asumimos que la fuerza impulsora en el extremo fijo x = 0 tiene una amplitud pequeña. Comprobando los valores de y en los dos extremos,

${displaystyle y(0,t)=0,}$

${displaystyle y(L,t)=2y_{text{max}}sin left({2pi L over lambda }right)cos(omega t)=0.}$

Olas permanentes en una cuerda – el modo fundamental y los primeros 5 armónicos.

Esta condición de límite está en la forma de la formulación Sturm-Liouville. Esta última condición límite se satisface cuando ${displaystyle sin left({2pi L over lambda }right)=0}$ . L se da, por lo que la condición límite restringe la longitud de onda de las ondas de pie a

{displaystyle lambda ={frac {2L}{n}},}

()2)

${displaystyle n=1,2,3,ldots }$

Las ondas solo pueden formar ondas estacionarias en esta cuerda si tienen una longitud de onda que satisfaga esta relación con L. Si las ondas viajan con velocidad v a lo largo de la cuerda, entonces, de manera equivalente, la frecuencia de las ondas estacionarias está restringida a

${displaystyle f={frac {v}{lambda }}={frac {nv}{2L}}.}$

La onda estacionaria con n = 1 oscila a la frecuencia fundamental y tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda. Los valores enteros más altos de n corresponden a modos de oscilación llamados armónicos o sobretonos. Cualquier onda estacionaria en la cuerda tendrá n + 1 nodos, incluidos los extremos fijos y n antinodos.

Para comparar los nodos de este ejemplo con la descripción de los nodos de ondas estacionarias en la cadena de longitud infinita, tenga en cuenta que la ecuación (2) se puede reescribir como

${displaystyle lambda ={frac {4L}{n}},}$

${displaystyle n=2,4,6,ldots }$

En esta variación de la expresión de la longitud de onda, n debe ser par. Multiplicando en cruz vemos que debido a que L es un nodo, es un múltiplo par de un cuarto de longitud de onda,

${displaystyle L={frac {nlambda }{4}},}$

${displaystyle n=2,4,6,ldots }$

Este ejemplo demuestra un tipo de resonancia y las frecuencias que producen ondas estacionarias se pueden denominar frecuencias resonantes.

Onda estacionaria en una cuerda con un extremo fijo

Análisis transitorio de una onda de viaje amortiguada que refleja en un límite

A continuación, considere la misma cadena de longitud L, pero esta vez solo se fija en x = 0. En x = L, la cadena puede moverse libremente en la dirección y. Por ejemplo, la cuerda podría estar atada en x = L a un anillo que puede deslizarse libremente hacia arriba y hacia abajo de un poste.. La cuerda nuevamente tiene una pequeña amortiguación y es impulsada por una pequeña fuerza impulsora en x = 0.

En este caso, la Ecuación (1) sigue describiendo el patrón de onda estacionaria que se puede formar en la cuerda, y la cuerda tiene la misma condición límite de y = 0 en x = 0. Sin embargo, en x = L donde la cuerda puede moverse libremente, debería haber un antinodo con una amplitud máxima de y. De manera equivalente, esta condición de frontera del "extremo libre" se puede establecer como ∂y/∂x = 0 en x = L, que tiene la forma de la formulación de Sturm-Liouville. La intuición de esta condición límite ∂y/∂x = 0 en x = L es que el movimiento del "extremo libre" seguirá la del punto a su izquierda.

Revisando la Ecuación (1), para x = L la mayor amplitud de y ocurre cuando ∂y/∂x = 0, o

{displaystyle cos left({2pi L over lambda }right)=0.}

Esto conduce a un conjunto diferente de longitudes de onda que en el ejemplo de dos extremos fijos. Aquí, la longitud de onda de las ondas estacionarias está restringida a

{displaystyle lambda ={frac {4L}{n}},}

{displaystyle n=1,3,5,ldots }

Equivalentemente, la frecuencia está restringida a

{displaystyle f={frac {nv}{4L}}.}

Tenga en cuenta que en este ejemplo n solo toma valores impares. Debido a que L es un antinodo, es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Por lo tanto, el modo fundamental en este ejemplo solo tiene un cuarto de un ciclo sinusoidal completo: cero en x = 0 y el primer pico en x = L: el primer armónico tiene tres cuartos de un ciclo sinusoidal completo, y así sucesivamente.

Este ejemplo también demuestra un tipo de resonancia y las frecuencias que producen ondas estacionarias se denominan frecuencias resonantes.

Onda estacionaria en una tubería

Considere una onda estacionaria en un tubo de longitud L. El aire dentro de la tubería sirve como medio para las ondas de sonido longitudinales que viajan hacia la derecha o hacia la izquierda a través de la tubería. Mientras que las ondas transversales en la cuerda de los ejemplos anteriores varían en su desplazamiento perpendicular a la dirección del movimiento ondulatorio, las ondas que viajan a través del aire en la tubería varían en términos de su presión y desplazamiento longitudinal a lo largo de la dirección del movimiento ondulatorio. La onda se propaga comprimiendo y expandiendo alternativamente el aire en los segmentos de la tubería, lo que desplaza el aire ligeramente de su posición de reposo y transfiere energía a los segmentos vecinos a través de las fuerzas ejercidas por las presiones de aire altas y bajas alternas. Se pueden escribir ecuaciones similares a las de la onda en una cuerda para el cambio en la presión Δp debido a una onda que se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda en la tubería.

{displaystyle Delta p_{text{R}}(x,t)=p_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }-omega tright),}

{displaystyle Delta p_{text{L}}(x,t)=p_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }+omega tright),}

dónde

p_max es la amplitud de presión o el aumento máximo o disminución de la presión del aire debido a cada onda,
⋅ es la frecuencia angular o equivalente 2π tiempos de frecuencia f,
λ es la longitud de onda de la onda.

Si ondas idénticas que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda viajan a través de la tubería, la superposición resultante se describe mediante la suma

{displaystyle Delta p(x,t)=Delta p_{text{R}}(x,t)+Delta p_{text{L}}(x,t)=2p_{text{max}}sin left({2pi x over lambda }right)cos(omega t).}

Tenga en cuenta que esta fórmula para la presión tiene la misma forma que la Ecuación (1), por lo que se forma una onda de presión estacionaria que está fija en el espacio y oscila en el tiempo.

Si el extremo de una tubería está cerrado, la presión es máxima ya que el extremo cerrado de la tubería ejerce una fuerza que restringe el movimiento del aire. Esto corresponde a un antinodo de presión (que es un nodo para movimientos moleculares, porque las moléculas cerca del extremo cerrado no se pueden mover). Si el extremo de la tubería está abierto, las variaciones de presión son muy pequeñas y corresponden a un nodo de presión (que es un antinodo para los movimientos moleculares, porque las moléculas cerca del extremo abierto pueden moverse libremente). La ubicación exacta del nodo de presión en un extremo abierto es en realidad un poco más allá del extremo abierto de la tubería, por lo que la longitud efectiva de la tubería para determinar las frecuencias resonantes es un poco más larga que su longitud física. Esta diferencia de longitud se ignora en este ejemplo. En cuanto a los reflejos, los extremos abiertos reflejan parcialmente las ondas hacia la tubería, lo que permite que se libere algo de energía al aire exterior. Idealmente, los extremos cerrados reflejan toda la onda en la otra dirección.

Primero considere un tubo que esté abierto en ambos extremos, por ejemplo, un tubo de órgano abierto o una flauta dulce. Dado que la presión debe ser cero en ambos extremos abiertos, las condiciones de contorno son análogas a las de la cuerda con dos extremos fijos,

{displaystyle Delta p(0,t)=0,}

{displaystyle Delta p(L,t)=2p_{text{max}}sin left({2pi L over lambda }right)cos(omega t)=0,}

que solo ocurre cuando la longitud de onda de las ondas estacionarias es

{displaystyle lambda ={frac {2L}{n}},}

{displaystyle n=1,2,3,ldots}

o de manera equivalente cuando la frecuencia es

{displaystyle f={frac {nv}{2L}},}

donde v es la velocidad del sonido.

Luego, considere una tubería que está abierta en x = 0 (y por lo tanto tiene un nodo de presión) y cerrada en x = L (y por lo tanto tiene un antinodo de presión). El "extremo libre" cerrado la condición límite para la presión en x = L se puede establecer como ∂(Δp)/∂x = 0, que tiene la forma de la formulación de Sturm-Liouville. La intuición de esta condición límite ∂(Δp)/∂x = 0 en x = L es que la presión del extremo cerrado seguirá a la del punto a su izquierda. Los ejemplos de esta configuración incluyen una botella y un clarinete. Este tubo tiene condiciones de contorno análogas a la cuerda con un solo extremo fijo. Sus ondas estacionarias tienen longitudes de onda restringidas a

{displaystyle lambda ={frac {4L}{n}},}

{displaystyle n=1,3,5,ldots}

o, de manera equivalente, la frecuencia de las ondas estacionarias está restringida a

{displaystyle f={frac {nv}{4L}}.}

Tenga en cuenta que para el caso en el que un extremo está cerrado, n solo toma valores impares, al igual que en el caso de la cadena fija en un solo extremo.

Representación molecular de una onda de pie con n = 2 para un tubo cerrado en ambos extremos. Considerando el desplazamiento longitudinal, note que las moléculas en los extremos y las moléculas en el centro no se desplazan por la onda, representando nodos de desplazamiento longitudinal. A medio camino entre los nodos hay antinodos de desplazamiento longitudinal donde las moléculas se desplazan al máximo. Considerando la presión, note que las moléculas son máximamente comprimidos y expandidas en los extremos y en el medio, representando antinodos de presión. La mitad entre los antinodos son ganglios de presión donde las moléculas no se comprimen ni se expanden a medida que se mueven.

Hasta ahora, la onda se ha escrito en términos de su presión en función de la posición x y el tiempo. Alternativamente, la onda se puede escribir en términos de su desplazamiento longitudinal del aire, donde el aire en un segmento de la tubería se mueve ligeramente hacia adelante y hacia atrás en la dirección x a medida que varía la presión y las ondas viajan en cualquiera de los dos sentidos. o ambas direcciones. El cambio de presión Δp y el desplazamiento longitudinal s están relacionados como

{displaystyle Delta p=-rho v^{2}{frac {partial s}{partial x}},}

donde ρ es la densidad del aire. En términos de desplazamiento longitudinal, los extremos cerrados de las tuberías corresponden a nodos, ya que el movimiento del aire está restringido y los extremos abiertos corresponden a antinodos, ya que el aire puede moverse libremente. Un fenómeno similar, más fácil de visualizar, ocurre en las ondas longitudinales que se propagan a lo largo de un resorte.

También podemos considerar una tubería que está cerrada en ambos extremos. En este caso, ambos extremos serán antinodos de presión o, de manera equivalente, ambos extremos serán nodos de desplazamiento. Este ejemplo es análogo al caso en el que ambos extremos están abiertos, excepto que el patrón de onda estacionaria tiene una π⁄2 cambio de fase a lo largo de la dirección x para cambiar la ubicación de los nodos y anti-nodos. Por ejemplo, la longitud de onda más larga que resuena, el modo fundamental, es nuevamente el doble de la longitud de la tubería, excepto que los extremos de la tubería tienen antinodos de presión en lugar de nodos de presión. Entre los extremos hay un nodo de presión. En el caso de dos extremos cerrados, la longitud de onda se restringe nuevamente a

{displaystyle lambda ={frac {2L}{n}},}

{displaystyle n=1,2,3,ldots}

y la frecuencia vuelve a estar restringida a

{displaystyle f={frac {nv}{2L}}.}

Un tubo de Rubens proporciona una forma de visualizar las variaciones de presión de las ondas estacionarias en un tubo con dos extremos cerrados.

Onda estacionaria 2D con un límite rectangular

A continuación, considere las ondas transversales que pueden moverse a lo largo de una superficie bidimensional dentro de un límite rectangular de longitud L_x en la dirección x. y longitud L_y en la dirección y. Ejemplos de este tipo de ola son las olas de agua en una piscina o las olas en una lámina rectangular que se ha tensado. Las ondas desplazan la superficie en la dirección z, con z = 0 definido como la altura de la superficie cuando es todavía.

En dos dimensiones y coordenadas cartesianas, la ecuación de onda es

{displaystyle {frac {partial ^{2}z}{partial t^{2}}};=;c^{2}left({frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}right),}

dónde

z()x,Sí.,t) es el desplazamiento de la superficie,
c es la velocidad de la ola.

Para resolver esta ecuación diferencial, resolvamos primero su transformada de Fourier, con

{displaystyle Z(x,y,omega)=int _{-infty }^{infty }z(x,y,t)e^{-iomega t}dt.}

Tomando la transformada de Fourier de la ecuación de onda,

{displaystyle {frac {partial ^{2}Z}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}Z}{partial y^{2}}}=-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,omega).}

Este es un problema de valores propios donde las frecuencias corresponden a valores propios que luego corresponden a modos específicos de frecuencia o funciones propias. Específicamente, esta es una forma de la ecuación de Helmholtz y se puede resolver mediante la separación de variables. Asumir

{displaystyle Z=X(x)Y(y).}

Dividiendo la ecuación de Helmholtz por Z,

{displaystyle {frac {1}{X(x)}}{frac {partial ^{2}X}{partial x^{2}}}+{frac {1}{Y(y)}}{frac {partial ^{2}Y}{partial y^{2}}}+{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

Esto conduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. El término x es igual a una constante con respecto a x que podemos definir como

{displaystyle {frac {1}{X(x)}}{frac {partial ^{2}X}{partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}

Resolviendo para X(x),

{displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

Esta dependencia de x es sinusoidal, recordando la fórmula de Euler, con constantes A_{k_x} y B_{k_x} determinado por las condiciones de contorno. Asimismo, el término y es igual a una constante con respecto a y que podemos definir como

{displaystyle {frac {1}{Y(y)}}{frac {partial ^{2}Y}{partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}},}

y la relación de dispersión para esta onda es por lo tanto

{displaystyle omega =c{sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

Resolviendo la ecuación diferencial para el término y,

{displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}

Multiplicando estas funciones juntas y aplicando la transformada inversa de Fourier, z(x,y,t) es una superposición de modos donde cada modo es el producto de funciones sinusoidales para x, y y t,

{displaystyle z(x,y,t)sim e^{pm ik_{x}x}e^{pm ik_{y}y}e^{pm iomega t}.}

Las constantes que determinan las funciones sinusoidales exactas dependen de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales. Para ver cómo se aplican las condiciones de contorno, considere un ejemplo como la hoja que se ha tensado donde z(x,y, t) debe ser cero alrededor del límite rectangular. Para la dependencia x, z(x,y,t) debe variar de forma que pueda ser cero tanto en x = 0 como en x = L_x para todos los valores de y y t. Como en el ejemplo unidimensional de la cuerda fija en ambos extremos, la función sinusoidal que satisface esta condición de frontera es

{displaystyle sin {k_{x}x},}

con k_x restringido a

{displaystyle k_{x}={frac {npi }{L_{x}}},quad n=1,2,3,dots }

Del mismo modo, la dependencia y de z(x,y,t) debe ser cero tanto en y = 0 como en y = L_y, que se satisface con

{displaystyle sin {k_{y}y},quad k_{y}={frac {mpi }{L_{y}}},quad m=1,2,3,dots }

Restringir los números de onda a estos valores también restringe las frecuencias que resuenan a

{displaystyle omega =cpi {sqrt {left({frac {n}{L_{x}}}right)^{2}+left({frac {m}{L_{y}}}right)^{2}}}.}

Si las condiciones iniciales para z(x,y,0) y su derivada temporal ż(x,y,0) se eligen de modo que la dependencia de t sea una función coseno, luego las ondas estacionarias para este sistema toman la forma

{displaystyle z(x,y,t)=z_{text{max}}sin left({frac {npi x}{L_{x}}}right)sin left({frac {mpi y}{L_{y}}}right)cos left(omega tright).}

{displaystyle n=1,2,3,dots quad m=1,2,3,dots }

Entonces, las ondas estacionarias dentro de este límite rectangular fijo oscilan en el tiempo a ciertas frecuencias resonantes parametrizadas por los números enteros n y m. Como oscilan en el tiempo, no se desplazan y su variación espacial es sinusoidal en las direcciones x e y de modo que satisfacen las condiciones de contorno. El modo fundamental, n = 1 y m = 1, tiene un único antinodo en el medio del rectángulo. La variación de n y m da patrones bidimensionales complicados pero predecibles de nodos y antinodos dentro del rectángulo.

Tenga en cuenta que, a partir de la relación de dispersión, en ciertas situaciones diferentes modos, es decir, diferentes combinaciones de n y m, pueden resonar a la misma frecuencia aunque tengan diferentes formas para su x- y y-dependencia. Por ejemplo, si el límite es cuadrado, L_x = L_y, los modos n = 1 y <span class="nowrap" m = 7, n = 7 y m = 1, y n = 5 y m = 5 todos resuenan en

{displaystyle omega ={frac {cpi }{L_{x}}}{sqrt {50}}.}

Recordando que ω determina el valor propio en la ecuación de Helmholtz anterior, el número de modos correspondientes a cada frecuencia se relaciona con la multiplicidad de la frecuencia como un valor propio.

Relación de onda estacionaria, fase y transferencia de energía

Si las dos ondas viajeras que se mueven de manera opuesta no tienen la misma amplitud, no se cancelarán por completo en los nodos, los puntos donde las ondas están desfasadas 180°, por lo que la amplitud de la onda estacionaria no será cero en los nodos, sino sólo un mínimo. La relación de onda estacionaria (SWR) es la relación entre la amplitud en el antinodo (máximo) y la amplitud en el nodo (mínimo). Una onda estacionaria pura tendrá una SWR infinita. También tendrá una fase constante en cualquier punto del espacio (pero puede experimentar una inversión de 180° cada medio ciclo). Una SWR finita distinta de cero indica una onda que es parcialmente estacionaria y parcialmente viajera. Estas ondas se pueden descomponer en una superposición de dos ondas: una componente de onda viajera y una componente de onda estacionaria. Una ROE de uno indica que la onda no tiene un componente estacionario, es puramente una onda viajera, ya que la relación de amplitudes es igual a 1.

Una onda estacionaria pura no transfiere energía de la fuente al destino. Sin embargo, la onda todavía está sujeta a pérdidas en el medio. Tales pérdidas se manifestarán como una SWR finita, lo que indica un componente de onda viajera que sale de la fuente para suministrar las pérdidas. Aunque la SWR ahora es finita, aún puede darse el caso de que ninguna energía llegue al destino debido a que el componente de viaje suple puramente las pérdidas. Sin embargo, en un medio sin pérdidas, una SWR finita implica una transferencia definida de energía al destino.

Ejemplos

Un ejemplo fácil de comprender las ondas estacionarias es el de dos personas que sacuden cualquiera de los extremos de una cuerda para saltar. Si se sacuden sincronizadamente, la cuerda puede formar un patrón regular de ondas que oscilan hacia arriba y hacia abajo, con puntos estacionarios a lo largo de la cuerda donde la cuerda está casi inmóvil (nodos) y puntos donde el arco de la cuerda es máximo (antinodos).

Resonancia acústica

La característica de la nube hexagonal en el polo norte de Saturno fue inicialmente pensado para estar de pie olas Rossby. However, this explanation has recently been disputed.

Las ondas estacionarias también se observan en medios físicos como cuerdas y columnas de aire. Cualquier onda que viaje a lo largo del medio se reflejará cuando llegue al final. Este efecto es más notable en los instrumentos musicales donde, en varios múltiplos de una cuerda vibrante o de la frecuencia natural de una columna de aire, se crea una onda estacionaria, lo que permite identificar los armónicos. Los nodos se encuentran en los extremos fijos y los antinodos en los extremos abiertos. Si se fija en un solo extremo, solo estarán disponibles los armónicos impares. En el extremo abierto de una tubería, el antinodo no estará exactamente en el extremo, ya que se altera por su contacto con el aire, por lo que se utiliza la corrección del extremo para colocarlo exactamente. La densidad de una cuerda afectará la frecuencia a la que se producirán los armónicos; cuanto mayor es la densidad, menor debe ser la frecuencia para producir una onda estacionaria del mismo armónico.

Luz visible

Las ondas estacionarias también se observan en medios ópticos, como guías de ondas ópticas y cavidades ópticas. Los láseres utilizan cavidades ópticas en forma de un par de espejos enfrentados, que constituyen un interferómetro de Fabry-Pérot. El medio de ganancia en la cavidad (como un cristal) emite luz coherentemente, excitando ondas estacionarias de luz en la cavidad. La longitud de onda de la luz es muy corta (en el rango de nanómetros, 10⁻⁹ m), por lo que las ondas estacionarias son de tamaño microscópico. Uno de los usos de las ondas de luz estacionarias es medir distancias pequeñas, utilizando planos ópticos.

Radiografías

La interferencia entre haces de rayos X puede formar un campo de ondas estacionarias de rayos X (XSW). Debido a la corta longitud de onda de los rayos X (menos de 1 nanómetro), este fenómeno puede aprovecharse para medir eventos a escala atómica en superficies materiales. El XSW se genera en la región donde un haz de rayos X interfiere con un haz difractado de una superficie monocristalina casi perfecta o un reflejo de un espejo de rayos X. Al ajustar la geometría del cristal o la longitud de onda de los rayos X, el XSW se puede traducir en el espacio, provocando un cambio en la fluorescencia de los rayos X o el rendimiento de fotoelectrones de los átomos cerca de la superficie. Este cambio se puede analizar para señalar la ubicación de una especie atómica particular en relación con la estructura cristalina subyacente o la superficie del espejo. El método XSW se ha utilizado para aclarar los detalles a escala atómica de los dopantes en semiconductores, la adsorción atómica y molecular en superficies y las transformaciones químicas involucradas en la catálisis.

Ondas mecánicas

Las ondas estacionarias se pueden inducir mecánicamente en un medio sólido mediante resonancia. Un ejemplo fácil de entender es el de dos personas que sacuden los extremos de una cuerda para saltar. Si se sacuden en sincronía, la cuerda formará un patrón regular con nodos y antinodos y parecerá estar estacionaria, de ahí el nombre de onda estacionaria. De manera similar, a una viga en voladizo se le puede imponer una onda estacionaria aplicando una excitación de base. En este caso, el extremo libre se mueve lateralmente la mayor distancia en comparación con cualquier ubicación a lo largo de la viga. Tal dispositivo puede usarse como sensor para rastrear cambios en la frecuencia o fase de la resonancia de la fibra. Una aplicación es como dispositivo de medición para metrología dimensional.

Ondas sísmicas

Las ondas superficiales estacionarias en la Tierra se observan como oscilaciones libres de la Tierra.

Ondas de Faraday

La onda de Faraday es una onda estacionaria no lineal en la interfaz aire-líquido inducida por la inestabilidad hidrodinámica. Se puede usar como una plantilla de base líquida para ensamblar materiales a microescala.

Seiches

Un seiche es un ejemplo de una onda estacionaria en un cuerpo de agua cerrado. Se caracteriza por el comportamiento oscilatorio del nivel del agua en cualquier extremo del cuerpo y normalmente tiene un punto nodal cerca de la mitad del cuerpo donde se observa muy poco cambio en el nivel del agua. Debe distinguirse de una marejada ciclónica simple donde no hay oscilación. En lagos de gran tamaño, el período de tales oscilaciones puede ser de minutos a horas, por ejemplo, el período longitudinal del lago Lemán es de 73 minutos y su seiche transversal tiene un período de alrededor de 10 minutos, mientras que el lago Huron puede verse con resonancias. con periodos entre 1 y 2 horas. Véase Lago seiches.

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