Onda de gravedad
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En dinámica de fluidos, las ondas de gravedad son ondas generadas en un medio fluido o en la interfaz entre dos medios cuando la fuerza de la gravedad o la flotabilidad intenta restablecer el equilibrio. Un ejemplo de tal interfaz es la que existe entre la atmósfera y el océano, que da origen a las olas del viento.
Se produce una onda de gravedad cuando el fluido se desplaza de una posición de equilibrio. La restauración del fluido al equilibrio producirá un movimiento del fluido de un lado a otro, llamado órbita de onda. Las ondas de gravedad en una interfaz aire-mar del océano se denominan ondas de gravedad de superficie (un tipo de onda de superficie), mientras que las ondas de gravedad que están dentro de la masa de agua (como entre partes de diferentes densidades) se denominan ondas internas. Las ondas generadas por el viento en la superficie del agua son ejemplos de ondas de gravedad, al igual que los tsunamis y las mareas oceánicas.
El período de las ondas de gravedad generadas por el viento en la superficie libre de los estanques, lagos, mares y océanos de la Tierra es predominantemente entre 0,3 y 30 segundos (correspondiente a frecuencias predominantemente entre 3 Hz y 30 mHz). Las ondas más cortas también se ven afectadas por la tensión superficial y se denominan ondas capilares de gravedad y (si apenas están influenciadas por la gravedad) ondas capilares. Alternativamente, las llamadas ondas de infragravedad, que se deben a la interacción de ondas no lineales subarmónicas con las ondas de viento, tienen períodos más largos que las ondas generadas por el viento que las acompañan.
Dinámica de la atmósfera en la Tierra
En la atmósfera terrestre, las ondas de gravedad son un mecanismo que produce la transferencia de impulso de la troposfera a la estratosfera y la mesosfera. Las ondas de gravedad se generan en la troposfera por sistemas frontales o por el flujo de aire sobre las montañas. Al principio, las ondas se propagan a través de la atmósfera sin cambios apreciables en la velocidad media. Pero a medida que las ondas alcanzan aire más enrarecido (delgado) a mayores altitudes, su amplitud aumenta y los efectos no lineales hacen que las ondas rompan, transfiriendo su impulso al flujo medio. Esta transferencia de impulso es responsable del forzamiento de muchas características dinámicas a gran escala de la atmósfera. Por ejemplo, esta transferencia de cantidad de movimiento es en parte responsable de impulsar la Oscilación Cuasi-Bienal y, en la mesosfera, se cree que es la principal fuerza impulsora de la Oscilación Semi-Anual. Por lo tanto, este proceso juega un papel clave en la dinámica de la atmósfera media.
El efecto de las ondas de gravedad en las nubes puede parecerse a las nubes altoestratos undulatus y, a veces, se confunden con ellas, pero el mecanismo de formación es diferente.
Descripción cuantitativa
Agua profunda
La velocidad de fase c{displaystyle c} de una onda de gravedad lineal con número de onda k{displaystyle k} es dado por la fórmula
c=gk,{fnMicroc} {g}}}},
donde g es la aceleración de la gravedad. Cuando la tensión superficial es importante, ésta se modifica para
c=gk+σ σ k*** *** ,{fnMicroc} {g}{k}+{frac} {sigma k}{rho ♪♪
donde σ es el coeficiente de tensión superficial y ρ es la densidad.
La onda de gravedad representa una perturbación alrededor de un estado estacionario, en el que no hay velocidad. Así, la perturbación introducida en el sistema es descrita por un campo de velocidad de infinitamente pequeña amplitud, ()u.()x,z,t),w.()x,z,t)).{displaystyle (u'(x,z,t),w'(x,z,t)). } Debido a que el fluido se asume incompresible, este campo de velocidad tiene la representación de la función de flujo
- u.=()u.()x,z,t),w.()x,z,t))=()↑ ↑ z,− − ↑ ↑ x),{displaystyle {textbf {u}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t)=(psi _{z},-psi _{x}),,}
donde los subscriptos indican derivados parciales. En esta derivación basta trabajar en dos dimensiones ()x,z){displaystyle left(x,zright)}, donde puntos de gravedad en el negativo z- dirección. A continuación, en un fluido incompresible inicialmente estacionario, no hay vorticidad, y el fluido permanece irrotacional, por lo tanto Silencio Silencio × × u.=0.{displaystyle nabla times {textbf {u}'=0.,} En la representación de la función de flujo, Silencio Silencio 2↑ ↑ =0.{displaystyle nabla ^{2}psi =0.} Siguiente, debido a la invariancia traduccional del sistema en el x- dirección, es posible hacer el ansatz
- ↑ ↑ ()x,z,t)=eik()x− − ct)Ψ Ψ ()z),{displaystyle psi left(x,z,tright)=e^{ikleft(x-ctright)} Psi left(zright),,}
Donde k es un número de onda espacial. Así, el problema se reduce a resolver la ecuación
- ()D2− − k2)Ψ Ψ =0,D=ddz.{displaystyle left(D^{2}-k^{2}right)Psi =0,,,, {d} {dz}}}
Trabajamos en un mar de profundidad infinita, así que la condición de límite está en z=− − JUEGO JUEGO .{displaystyle scriptstyle z=-infty.} La superficie no perturbada está en z=0{displaystyle scriptstyle z=0}, y la superficie perturbada o ondulada está en z=.. ,{displaystyle scriptstyle z=eta} Donde .. {displaystyle scriptstyle eta } es pequeña en magnitud. Si no hay líquido que escape del fondo, debemos tener la condición
- u=DΨ Ψ =0,onz=− − JUEGO JUEGO .{displaystyle u=DPsi =0,,,{text{on},z=-infty.}
Por lo tanto, Ψ Ψ =Aekz{displaystyle scriptstyle Psi =Ae^{kz} on z▪ ▪ ()− − JUEGO JUEGO ,.. ){displaystyle scriptstyle zin left(-inftyeta right)}, donde A y la velocidad de onda c son constantes a determinar desde las condiciones en la interfaz.
La condición de la superficie libre: En la superficie libre z=.. ()x,t){displaystyle scriptstyle z=eta left(x,tright),}, la condición cinemática sostiene:
- ∂ ∂ .. ∂ ∂ t+u.∂ ∂ .. ∂ ∂ x=w.().. ).{displaystyle {frac {partial eta }{partial t}}+u'{frac {partial eta }{partial x}}=w'left(eta right).,}
Linearizing, esto es simplemente
- ∂ ∂ .. ∂ ∂ t=w.()0),{displaystyle {frac {partial eta}{partial t}=w'left(0right),,}
donde la velocidad w.().. ){displaystyle scriptstyle w'left(eta right),} se linealiza en la superficie z=0.{displaystyle scriptstyle z=0.,} Usando las representaciones de movimiento normal y funcionamiento de corriente, esta condición es c.. =Ψ Ψ {displaystyle scriptstyle ceta =Psi,}, la segunda condición interfacial.
Relación de presión en la interfaz: Para el caso con tensión superficial, la diferencia de presión sobre la interfaz en z=.. {displaystyle scriptstyle z=eta } es dada por la ecuación Young-Laplace:
- p()z=.. )=− − σ σ κ κ ,{displaystyle pleft(z=eta right)=-sigma kappa,}
Donde σ es la tensión superficial y κ es la curvatura de la interfaz, que en una aproximación lineal es
- κ κ =Silencio Silencio 2.. =.. xx.{displaystyle kappa =nabla ^{2}eta =eta _{xx}
Así,
- p()z=.. )=− − σ σ .. xx.{displaystyle pleft(z=eta right)=-sigma eta _{xx}.,}
Sin embargo, esta condición se refiere a la presión total (base+perturbed), por lo tanto
- [P().. )+p.()0)]=− − σ σ .. xx.{displaystyle left[Pleft(etaright)+p'left(0right)right]=-sigma eta _{x}.}
![left[Pleft(eta right)+p'left(0right)right]=-sigma eta _{xx}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a5257e3a807130ef53b2eddac51015ea528e63)
(Como de costumbre, las cantidades perturbidas pueden ser linealizadas sobre la superficie z=0.) Utilizando el equilibrio hidrostático, en la forma P=− − *** *** gz+Const.,{displaystyle scriptstyle P=-rho gz+{Const.},}
esto se convierte
- p=g.. *** *** − − σ σ .. xx,onz=0.{displaystyle p=geta rho -sigma eta _{xx},qquad {text{on }z=0.
Las presiones perturbidas se evalúan en términos de funcionamientos de corriente, utilizando la ecuación de impulso horizontal de las ecuaciones de Euler linealizadas para las perturbaciones,
- ∂ ∂ u.∂ ∂ t=− − 1*** *** ∂ ∂ p.∂ ∂ x{fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc {f} {fnMicroc {f}}{partial p'}{partial x},}fnMicroc {fnMicroc {c}} {fnMicroc {fnMicroc}}}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrocf}f}f}f}f}f}f}f}fn
al rendimiento p.=*** *** cDΨ Ψ .{displaystyle scriptstyle p'=rho cDPsi.}
Poniendo esta última ecuación y la condición de salto juntos,
- c*** *** DΨ Ψ =g.. *** *** − − σ σ .. xx.{displaystyle crho DPsi =geta rho -sigma eta _{xx}.
Sustitución de la segunda condición interfacial c.. =Ψ Ψ {displaystyle scriptstyle ceta =Psi,} y usando la representación del movimiento normal, esta relación se convierte c2*** *** DΨ Ψ =gΨ Ψ *** *** +σ σ k2Ψ Ψ .{displaystyle scriptstyle c^{2}rho DPsi =gPsi rho +sigma k^{2} Psi.
Utilizando la solución Ψ Ψ =ekz{displaystyle scriptstyle Psi =e^{kz}, esto da
c=gk+σ σ k*** *** .{fnMicroc} {g}{k}+{frac} {sigma k}{rho - Sí.
Desde c=⋅ ⋅ /k{displaystyle scriptstyle c=omega /k} es la velocidad de fase en términos de la frecuencia angular ⋅ ⋅ {displaystyle omega } y el número de onda, la frecuencia angular de onda de gravedad se puede expresar como
⋅ ⋅ =gk.{displaystyle omega ={sqrt {gk}}
La velocidad de grupo de una onda (es decir, la velocidad a la que viaja un paquete de ondas) está dada por
cg=d⋅ ⋅ dk,{displaystyle C_{g}={frac {domega } {dk},}
y por lo tanto para una onda de gravedad,
cg=12gk=12c.{displaystyle C_{g}={frac {1}{2}{sqrt {frac} {g}}={frac} {1}{2}c.}
La velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase. Una onda en la que las velocidades de grupo y de fase difieren se denomina dispersiva.
Aguas poco profundas
Las ondas de gravedad que viajan en aguas poco profundas (donde la profundidad es mucho menor que la longitud de onda) no son dispersivas: las velocidades de fase y grupo son idénticas e independientes de la longitud de onda y la frecuencia. Cuando la profundidad del agua es h,
- cp=cg=gh.{displaystyle ¿Qué?
Generación de olas oceánicas por el viento
Las ondas de viento, como su nombre indica, se generan cuando el viento transfiere energía de la atmósfera a la superficie del océano, y las ondas de gravedad capilar juegan un papel fundamental en este efecto. Hay dos mecanismos distintos involucrados, llamados así por sus defensores, Phillips y Miles.
En el trabajo de Phillips, se imagina que la superficie oceánica es inicialmente plana (cristalino), y un viento turbulento sopla sobre la superficie. Cuando un flujo es turbulento, se observa un campo de velocidad fluctuante aleatoriamente superpuesto en un flujo medio (contraste con un flujo laminar, en el que se ordena y lisa el movimiento del fluido). El campo de velocidad fluctuante da lugar a tensiones fluctuantes (tanto cursi como normal) que actúan en la interfaz de aire-agua. El estrés normal, o la presión fluctuante actúa como un término de forzamiento (como empujar un swing introduce un término de forzamiento). Si la frecuencia y número de onda ()⋅ ⋅ ,k){displaystyle scriptstyle left(omegakright)} de este término forzando coincide con un modo de vibración de la onda capilar-gravedad (como se deriva arriba), entonces hay una resonancia, y la onda crece en amplitud. Como con otros efectos de resonancia, la amplitud de esta onda crece linealmente con el tiempo.
La interfaz aire-agua ahora está dotada de una superficie rugosa debido a las ondas de gravedad capilar, y tiene lugar una segunda fase de crecimiento de ondas. Una ola establecida en la superficie, ya sea espontáneamente como se describe arriba, o en condiciones de laboratorio, interactúa con el flujo medio turbulento de la manera descrita por Miles. Este es el llamado mecanismo de capa crítica. Se forma una capa crítica a una altura donde la velocidad de la onda c es igual al flujo turbulento medio U. Como el flujo es turbulento, su perfil medio es logarítmico, por lo que su segunda derivada es negativa. Esta es precisamente la condición para que el flujo medio imparta su energía a la interfase a través de la capa crítica. Este suministro de energía a la interfaz es desestabilizador y hace que la amplitud de la onda en la interfaz crezca con el tiempo. Como en otros ejemplos de inestabilidad lineal, la tasa de crecimiento de la perturbación en esta fase es exponencial en el tiempo.
Este proceso del mecanismo de Miles-Phillips puede continuar hasta que se alcanza un equilibrio, o hasta que el viento deja de transferir energía a las olas (es decir, las arrastra) o cuando agotan la distancia oceánica, también conocida como longitud de alcance.
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