Ola cuadrada

Muestra de sonido de onda cuadrada

5 segundos de onda cuadrada a 220 Hz

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Una onda cuadrada es una forma de onda periódica no sinusoidal en la que la amplitud alterna a una frecuencia constante entre valores mínimos y máximos fijos, con la misma duración en el mínimo y el máximo. En una onda cuadrada ideal, las transiciones entre mínimo y máximo son instantáneas.

La onda cuadrada es un caso especial de onda de pulso que permite duraciones arbitrarias en amplitudes mínimas y máximas. La relación entre el período alto y el período total de una onda de pulso se denomina ciclo de trabajo. Una onda cuadrada verdadera tiene un ciclo de trabajo del 50% (períodos altos y bajos iguales).

Las ondas cuadradas se encuentran a menudo en la electrónica y el procesamiento de señales, especialmente en la electrónica digital y el procesamiento de señales digitales. Su contraparte estocástica es una trayectoria de dos estados.

Origen y usos

Las ondas cuadradas se encuentran universalmente en los circuitos de conmutación digital y son generadas naturalmente por dispositivos lógicos binarios (de dos niveles). Se utilizan como referencias de temporización o "señales de reloj", ya que sus transiciones rápidas son adecuadas para activar circuitos lógicos síncronos a intervalos determinados con precisión. Sin embargo, como muestra el gráfico de dominio de frecuencia, las ondas cuadradas contienen una amplia gama de armónicos; estos pueden generar radiación electromagnética o pulsos de corriente que interfieren con otros circuitos cercanos, provocando ruido o errores. Para evitar este problema en circuitos muy sensibles, como los convertidores de precisión de analógico a digital, se utilizan ondas sinusoidales en lugar de ondas cuadradas como referencias de temporización.

En términos musicales, a menudo se describen como sonidos huecos y, por lo tanto, se utilizan como base para los sonidos de instrumentos de viento creados mediante síntesis sustractiva. Además, el efecto de distorsión utilizado en las guitarras eléctricas recorta las regiones más externas de la forma de onda, lo que hace que se asemeje cada vez más a una onda cuadrada a medida que se aplica más distorsión.

Las funciones simples de Rademacher de dos niveles son ondas cuadradas.

Definiciones

La onda cuadrada en matemáticas tiene muchas definiciones, que son equivalentes excepto en las discontinuidades:

Se puede definir simplemente como la función de signo de una sinusoide:

x()t)=Sgn⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ 2π π tT)=Sgn⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ 2π π ft)v()t)=Sgn⁡ ⁡ ()#⁡ ⁡ 2π π tT)=Sgn⁡ ⁡ ()#⁡ ⁡ 2π π ft),{displaystyle {begin{aligned}x(t) sensible=operatorname {sgn} left(sin {frac {2pi) {fnMicrosoft Sans Serif}v(t)}v(t) âTMa âTMa {sgn} left(cos {frac {2pi t}right)=operatorname {sgn}(cos 2pi ft),end{aligned}}}}}}}} {f}}}}} {f}f}}}}}f}}}}}}}}}}}f}f}}}}f}f}f}}}}}}f}}}}f}f}

Una onda cuadrada también se puede definir con respecto a la función escalón de Heaviside u(t) o la función rectangular Π(t):

x()t)=2[.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ▪ ▪ ()2()t− − nT)T− − 12)]− − 1=2.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO [u()tT− − n)− − u()tT− − n− − 12)]− − 1.{displaystyle {begin{aligned}x(t) ¿Por qué? {1}{2}right)right]-1\\fnfnfn}infty }left[uleft({frac=-infty {fn}-nright)-uleft({frac {T}-n-{frac} {1}{2}right)right]-1.

También se puede generar una onda cuadrada usando la función de piso directamente:

x()t)=2()2⌊ ⌊ ft⌋ ⌋ − − ⌊ ⌊ 2ft⌋ ⌋ )+1{displaystyle x(t)=2left(2lfloor ftrfloor -lfloor 2ftrfloor right)+1}

x()t)=()− − 1)⌊ ⌊ 2ft⌋ ⌋ .{displaystyle x(t)=left(-1right)^{lfloor 2ftrfloor }

Usando la serie de Fourier (abajo) se puede mostrar que la función del suelo se puede escribir en forma trigonométrica

2π π arctan⁡ ⁡ ()#⁡ ⁡ ()π π ft2))+2π π arctan⁡ ⁡ ()cot⁡ ⁡ ()π π ft2)){displaystyle {frac {2}{pi}}actan left(tan left({frac {pi ft}{2}right)right)+{frac {2}pi }arctan left(cot left({frac {pi ft}right)}right)}right)

Análisis de Fourier

Uso de la expansión de Fourier con frecuencia de ciclo f a lo largo del tiempo t, una onda cuadrada ideal con una amplitud de 1 (es decir, la amplitud de pico a pico como 2 a partir del pico negativo -1 al pico positivo 1) se puede representar como una suma infinita de ondas sinusoidales:

x()t)=4π π .. k=1JUEGO JUEGO pecado⁡ ⁡ ()2π π ()2k− − 1)ft)2k− − 1=4π π ()pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t)+13pecado⁡ ⁡ ()3⋅ ⋅ t)+15pecado⁡ ⁡ ()5⋅ ⋅ t)+...... ),Donde⋅ ⋅ =2π π f.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}f}f}f}f}fone}fone}fnMinMinMinMinMisccfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinción*

Demo cuadrado aditivo

220 Hz onda cuadrada creada por armónicos agregó cada segundo sobre onda sine

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La onda cuadrada ideal contiene solo componentes de frecuencias armónicas enteras impares (de la forma 2π(2k − 1)f ).

Una curiosidad de la convergencia de la representación de la serie de Fourier de la onda cuadrada es el fenómeno de Gibbs. Se puede demostrar que los artefactos de timbre en ondas cuadradas no ideales están relacionados con este fenómeno. El fenómeno de Gibbs se puede prevenir mediante el uso de la aproximación σ, que utiliza los factores sigma de Lanczos para ayudar a que la secuencia converja más suavemente.

Una onda cuadrada matemática ideal cambia instantáneamente entre el estado alto y el bajo, y sin suboscilación ni excesos. Esto es imposible de lograr en sistemas físicos, ya que requeriría un ancho de banda infinito.

Las ondas cuadradas en los sistemas físicos solo tienen un ancho de banda finito y, a menudo, exhiben efectos de llamada similares a los del fenómeno de Gibbs o efectos de onda similares a los de la aproximación σ.

Para una aproximación razonable a la forma de onda cuadrada, al menos la fundamental y el tercer armónico deben estar presentes, siendo deseable el quinto armónico. Estos requisitos de ancho de banda son importantes en la electrónica digital, donde se utilizan aproximaciones analógicas de ancho de banda finito a formas de onda cuadradas. (Los transitorios de llamada son una consideración electrónica importante aquí, ya que pueden ir más allá de los límites de clasificación eléctrica de un circuito o causar que un umbral mal posicionado se cruce varias veces).

Características de las ondas cuadradas imperfectas

Como ya se mencionó, una onda cuadrada ideal tiene transiciones instantáneas entre los niveles alto y bajo. En la práctica, esto nunca se logra debido a las limitaciones físicas del sistema que genera la forma de onda. Los tiempos que tarda la señal en subir desde el nivel bajo hasta el nivel alto y viceversa se denominan tiempo de subida y tiempo de caída respectivamente.

Si el sistema está sobreamortiguado, es posible que la forma de onda nunca alcance los niveles teóricos alto y bajo, y si el sistema está subamortiguado, oscilará alrededor de los niveles alto y bajo antes de estabilizarse. En estos casos, los tiempos de subida y bajada se miden entre niveles intermedios especificados, como 5% y 95%, o 10% y 90%. El ancho de banda de un sistema está relacionado con los tiempos de transición de la forma de onda; hay fórmulas que permiten determinar aproximadamente una de la otra.