Octágono

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Forma de polígono con ocho lados

En geometría, un octágono (del griego ὀκτάγωνον oktágōnon, "ocho ángulos") es un polígono de ocho lados u 8-gon.

Un octágono regular tiene el símbolo de Schläfli {8} y también se puede construir como un cuadrado truncado casi regular, t{4}, que alterna dos tipos de aristas. Un octágono truncado, t{8} es un hexadecágono, {16}. Un análogo 3D del octágono puede ser el rombicuboctaedro con las caras triangulares como los bordes reemplazados, si se considera que el octágono es un cuadrado truncado.

Propiedades

Did you mean:

The sum of all the internal angles of an octagon is 1080°. As with all polygons, the external angles total 360°.

Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados de un octágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos forman un cuadrilátero que es tanto equidiagonal como ortodiagonal (es decir, cuyas diagonales tienen la misma longitud y en ángulo recto entre sí).

El octágono de punto medio de un octágono de referencia tiene sus ocho vértices en los puntos medios de los lados del octágono de referencia. Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados del octágono del punto medio, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos forman los vértices de un cuadrado.

Regularidad

Un octágono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho líneas de simetría reflexiva y simetría rotacional del orden 8. Un octágono regular está representado por el símbolo Schläfli {8}. El ángulo interno en cada vértice de un octógono regular es 135° () ${displaystyle scriptstyle {frac {3pi }{4}}}$ radians). El ángulo central es de 45° () ${displaystyle scriptstyle {frac {pi }{4}}}$ radians).

Área

El área de un octágono regular de lado a está dada por

{displaystyle A=2cot {frac {pi }{8}}a^{2}=2(1+{sqrt {2}})a^{2}approx 4.828,a^{2}.}

En términos del circunradio R, el área es

{displaystyle A=4sin {frac {pi }{4}}R^{2}=2{sqrt {2}}R^{2}approx 2.828,R^{2}.}

En términos de la apotema r (ver también figura inscrita), el área es

{displaystyle A=8tan {frac {pi }{8}}r^{2}=8({sqrt {2}}-1)r^{2}approx 3.314,r^{2}.}

Estos dos últimos coeficientes representan el valor de pi, el área del círculo unitario.

El área también se puede expresar como

,!A=S^{2}-a^{2},

donde S es el tramo del octágono, o la segunda diagonal más corta; y a es la longitud de uno de los lados, o bases. Esto se prueba fácilmente si uno toma un octágono, dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego toma los triángulos de las esquinas (estos son 45–45–90 triángulos) y los coloca con los ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los bordes de este cuadrado son cada uno de la longitud de la base.

Dada la longitud de un lado a, el tramo S es

S=frac{a}{sqrt{2}}+a+frac{a}{sqrt{2}}=(1+sqrt{2})a approx 2.414a.

El lapso, entonces, es igual a la proporción de plata por el lado, a.

El área es entonces como arriba:

A=((1+sqrt{2})a)^2-a^2=2(1+sqrt{2})a^2 approx 4.828a^2.

Expresado en términos de la luz, el área es

A=2(sqrt{2}-1)S^2 approx 0.828S^2.

Otra fórmula simple para el área es

A=2aS.

Con más frecuencia, se conoce el tramo S y se debe determinar la longitud de los lados, a, como cuando se corta una pieza cuadrada de material en forma regular. octágono. De lo anterior,

a approx S/2.414.

Las dos longitudes finales e en cada lado (las longitudes de la pierna de los triángulos (verde en la imagen) truncados de la plaza), así como ser $e=a/{sqrt {2}},$ puede calcularse

,!e=(S-a)/2.

Circunradio e inradio

El circunradio del octágono regular en términos de la longitud del lado a es

{displaystyle R=left({frac {sqrt {4+2{sqrt {2}}}}{2}}right)aapprox 1.307a,}

y el inradio es

{displaystyle r=left({frac {1+{sqrt {2}}}{2}}right)aapprox 1.207a.}

(es decir, la mitad de la proporción de plata por el lado, a, o la mitad del tramo, S)

El inradio se puede calcular a partir del circunradio como

{displaystyle r=Rcos {frac {pi }{8}}}

Diagonalidad

El octágono regular, en términos de la longitud del lado a, tiene tres tipos diferentes de diagonales:

Diagonal corto;
Diágonal medio (también llamada lata o la altura), que es el doble de la longitud del inradicio;
Larga diagonal, que es el doble de la longitud del circunradius.

La fórmula para cada uno de ellos se deriva de los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su longitud:

Diagonal corto: ${displaystyle a{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}$ ;
Diagonal mediano: ${displaystyle (1+{sqrt {2}})a}$ ; (ratio de plata a)
Larga diagonal: ${displaystyle a{sqrt {4+2{sqrt {2}}}}}$ .

Construcción

Un octágono regular en un círculo circunscrito dado se puede construir de la siguiente manera:

Dibuja un círculo y un diámetro AOE, donde O es el centro y A, E son puntos en el círculo.
Dibuja otro diámetro GOC, perpendicular a AOE.
(Nota al pasar que A,C,E,G son vértices de un cuadrado).
Dibuja los bisectores de los ángulos rectos GOA y EOG, haciendo dos diámetros más HOD y FOB.
A,B,C,D,E,F,G,H son los vértices del octagon.

Octagon en un círculo dado

Octagon a un lado dado, animación
(La construcción es muy similar a la de hexadecagon a una longitud lateral determinada.)

Se puede construir un octágono regular usando una regla y un compás, como 8 = 2³, una potencia de dos:

El octágono regular se puede construir con barras mecano. Se requieren doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.

Cada lado de un octágono regular subtiende la mitad de un ángulo recto en el centro del círculo que conecta sus vértices. Por lo tanto, su área se puede calcular como la suma de ocho triángulos isósceles, lo que lleva al resultado:

{text{Area}}=2a^{2}({sqrt {2}}+1)

para un octógono de lado a.

Coordenadas estándar

Las coordenadas de los vértices de un octágono regular con centro en el origen y lado de longitud 2 son:

(±1, ±(1+)√2)
(±(1+)√2), ±1).

Disectibilidad

Proyección de 8 cachorros	24 romb disección
	Recursos ordinarios	Isotoxal

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2m-gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede dividir en m(m-1)/2 paralelogramos. En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados iguales, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octágono normal, m=4, y se puede dividir en 6 rombos, con un ejemplo que se muestra a continuación. Esta descomposición se puede ver como 6 de 24 caras en un plano de proyección del polígono de Petrie del teseracto. La lista (secuencia A006245 en el OEIS) define el número de soluciones como ocho, por las ocho orientaciones de esta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los mosaicos de Ammann-Beenker.

Octagonismo regular diseccionado
Tesseract	4 rombos y 2 cuadrados

Sesgado

Un octágono sesgado es un polígono sesgado con ocho vértices y aristas pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal octágono generalmente no está definido. Un octágono inclinado en zig-zag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un octágono sesgado regular es de vértice transitivo con longitudes de borde iguales. En tres dimensiones es un octágono sesgado en zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma cuadrado con el mismo D_4d, [2⁺,8 ] simetría, orden 16.

Polígonos de Petrie

El octágono oblicuo regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores, que se muestran en estas proyecciones ortogonales oblicuas de A₇, B₄ y D₅ aviones Coxeter.

A₇	D₅	B₄
7-simplex	5-demicube	16 celdas	Tesseract

Simetría

Simmetría
	Las once simetrías de un octágono regular. Las líneas de reflejos son azules a través de los vértices, púrpura a través de los bordes, y las órdenes de giro se dan en el centro. Los vértices son coloreados por su posición de simetría.

El octágono regular tiene simetría Dih₈, orden 16. Hay tres subgrupos diédricos: Dih₄, Dih₂ y Dih₁, y cuatro subgrupos cíclicos: Z₈, Z₄, Z₂, y Z₁, lo último implica que no hay simetría.

Ejemplo de octagonismos por simetría
r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

En el octágono regular, hay once simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría completa como r16. Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares) Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central. La simetría completa de la forma regular es r16 y ninguna simetría está etiquetada como a1.

Los octágonos de alta simetría más comunes son p8, un octágono isogonal construido por cuatro espejos que pueden alternar los bordes largos y cortos, y d8, un octágono isotoxal construido con bordes iguales longitudes, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del octágono regular.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g8 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas.

Usar

La forma octogonal se utiliza como elemento de diseño en arquitectura. La Cúpula de la Roca tiene una planta octogonal característica. La Torre de los Vientos en Atenas es otro ejemplo de estructura octogonal. El plan octogonal también ha estado en la arquitectura de la iglesia como la Catedral de San Jorge, Addis Abeba, la Basílica de San Vitale (en Rávena, Italia), Castel del Monte (Apulia, Italia), el Baptisterio de Florencia, la Iglesia Zum Friedefürsten (Alemania) y varias iglesias octogonales en Noruega. El espacio central de la Catedral de Aquisgrán, la Capilla Palatina Carolingia, tiene una planta octogonal regular. Los usos de los octógonos en las iglesias también incluyen elementos de diseño menores, como el ábside octogonal de la Catedral de Nidaros.

Arquitectos como John Andrews han utilizado diseños de plantas octogonales en edificios para separar funcionalmente las áreas de oficinas de los servicios del edificio, como en la sede central de Intelsat en Washington o las oficinas de Callam en Canberra.

Los paraguas suelen tener un esbozo octogonal.
El famoso diseño de alfombras Bukhara incorpora un motivo octogonal de "pie de elefante".
El diseño callejero del distrito del Eixample de Barcelona se basa en octagones no regulares
Janggi usa piezas octogonales.
Las máquinas de lotería japonesas a menudo tienen forma octogonal.
Stop sign used in English-speaking countries, as well as in most European countries
Un icono de una señal de parada con una mano en el centro.
Los trigramas de los Taoístas bagua a menudo se arreglan octogonalmente
Famosa copa de oro octogonal del naufragio Belitung
Clases en Shimer La universidad se celebra tradicionalmente en torno a mesas octogonales
El Laberinto de la Catedral de los Reims con forma cuasi-octagonal.
El movimiento de la barra analógica del controlador Nintendo 64, el controlador GameCube, el Wii Nunchuk y el Controlador Clásico está restringido por un área octogonal rotada, permitiendo que el palo se mueva en sólo ocho direcciones diferentes.

Cifras derivadas

El azulejo cuadrado truncado tiene 2 octogones alrededor de cada vértice.
Un prisma octogonal contiene dos caras octogonales.
Un antiprisma octogonal contiene dos caras octogonales.
El cuboctaedro truncado contiene 6 caras octogonales.
The omnitruncated cubic honeycomb

Polítopos relacionados

El octágono, como un cuadrado truncado, es el primero de una secuencia de hipercubos truncados:

Hipercubos truncados
Imagen								...
Nombre	Octagon	Cubo truncado	Truncated tesseract	Truncado 5-cubo	Truncado 6-cubo	Truncado 7-cubo	Truncado 8-cubo
Coxeter diagrama
Vertex figure	()v()	()v{ }	()v{3}	()v{3,3}	()v{3,3,3}	()v{3,3,3,3,3}	()v{3,3,3,3,3,3}