Octaedro truncado
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Truncated_octahedron.stl/220px-Truncated_octahedron.stl.png)
En geometría, el octaedro truncado es el sólido de Arquímedes que surge de un octaedro regular quitando seis pirámides, una en cada uno de los vértices del octaedro. El octaedro truncado tiene 14 caras (8 hexágonos regulares y 6 cuadrados), 36 aristas y 24 vértices. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual, el octaedro truncado es un 6-zonoedro. También es el poliedro de Goldberg GIV(1,1), que contiene caras cuadradas y hexagonales. Al igual que el cubo, puede teselar (o "empacar") un espacio tridimensional, como un permutoedro.
Did you mean:The truncated octahedron was called the n#34;mecon" by Buckminster Fuller.
Su poliedro dual es el tetrakis hexaedro. Si el octaedro truncado original tiene una longitud de arista unitaria, su tetrakis hexaedro dual tiene longitudes de arista 9/8√2 y 3/2√2.
Construcción
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Un octaedro truncado se construye a partir de un octaedro regular con una longitud de lado de 3a mediante la eliminación de seis pirámides cuadradas rectas, una de cada punto. Estas pirámides tienen tanto la longitud del lado de la base (a) como la longitud del lado lateral (e) de a, para formar triángulos equiláteros. El área base es entonces a2. Tenga en cuenta que esta forma es exactamente similar a la mitad de un octaedro o Johnson sólido J1.
De las propiedades de las pirámides cuadradas, ahora podemos encontrar la altura inclinada, s, y la altura, h, de la pirámide:
- h=e2− − 12a2=12as=h2+14a2=12a2+14a2=32a{displaystyle {begin{aligned}h {e^{2}-{tfrac {1}{2}a} {2}} {={tfrac} {1}{sqrt {2}asscsqrt {h^{2}+{tfrac} {1} {4}a} {2}} {sqrt {{sqrt {tfrac} {1}{2}a^{2}+{tfrac} {1} {4}a}a} {2}} {={tfrac} { sqrt {3}{2}aend{aligned} {}} {f}} {f}} {f}} {f} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}} {fn}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}unf}unf}unf}unf}unf} {f}unf}unf}unf}unf}}}unf}}}
El volumen, V, de la pirámide viene dado por:
- V=13a2h=26a3{displaystyle V={tfrac {1}{2}h={tfrac} { sqrt {2} {6}a}{3}}
Debido a que seis pirámides se eliminan por truncamiento, hay un volumen perdido total de √2a3.
Proyecciones ortogonales
El octaedro truncado tiene cinco proyecciones ortogonales especiales, centradas, en un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras: hexagonal y cuadrada. Los dos últimos corresponden a los planos B2 y A2 de Coxeter.
Centrado por | Vertex | Edge 4-6 | Edge 6-6 | Cara Plaza | Cara Hexagon |
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Sólido | ![]() | ![]() | ![]() | ||
Wireframe | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Doble | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Projective simetría | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Alicatados esféricos
El octaedro truncado también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando ángulos pero no áreas o longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
![]() | ![]() cuadrado centrado | ![]() hexágono centrado |
Proyección ortográfica | Proyecciones estereográficas |
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Coordenadas
Todas las permutaciones de (0, ±1, ±2) son coordenadas cartesianas de los vértices de un octaedro truncado de longitud de arista a = √2 con centro en el origen. Los vértices son así también las esquinas de 12 rectángulos cuyos lados largos son paralelos a los ejes de coordenadas.
Los vectores de borde tienen coordenadas cartesianas (0, ±1, ±1) y permutaciones de estas. Las caras normales (productos cruzados normalizados de aristas que comparten un vértice común) de las 6 caras cuadradas son (0, 0, ±1), (0, ±1, 0) y (±1, 0, 0). Las caras normales de las 8 caras hexagonales son (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3). El producto escalar entre pares de dos caras normales es el coseno del ángulo diedro entre caras adyacentes, ya sea −1/3 o −1/√3. El ángulo diedro es de aproximadamente 1,910633 radianes (109,471° OEIS: A156546) en los bordes compartidos por dos hexágonos o 2,186276 radianes (125,263° OEIS: A195698) en los bordes compartidos por un hexágono y un cuadrado.
Disección
Did you mean:The truncated octahedron can be dissected into a central octahedron, surrounded by 8 triangular cupola on each face, and 6 square pyramids above the vertices.
Quitar el octaedro central y 2 o 4 cúpulas triangulares crea dos toroides de Stewart, con simetría diédrica y tetraédrica:
Género 2 | Género 3 |
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D3d, [2]+,6], (2*3), orden 12 | Td, [3,3], (*332), orden 24 |
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Permutoedro
El octaedro truncado también se puede representar mediante coordenadas aún más simétricas en cuatro dimensiones: todas las permutaciones de (1, 2, 3, 4) forman los vértices de un octaedro truncado en el subespacio tridimensional x + y + z + w = 10. Por lo tanto, el octaedro truncado es el permutaedro de orden 4: cada vértice corresponde a una permutación de (1, 2, 3, 4) y cada arista representa un único intercambio por pares de dos elementos.
Área y volumen
El área superficial S y el volumen V de un octaedro truncado de longitud de arista a son:
- S=()6+123)a2.. 26.7846097a2V=82a3.. 11.3137085a3.{displaystyle {begin{aligned}S sensible=left(6+12{sqrt {3}right)a^{2} limitándoseapprox 26.784,6097a^{2}V recur=8{2}a^{3}d}a} {3} {3}a}distanteapprox 11.313,7085a^{3}{3}end3} {3} {d} {3}{3} {d} {d}}} {d}d}d}} {}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH00} {cH00c]dcH00ccH00ccccH
Colores uniformes
Hay dos coloraciones uniformes, con simetría tetraédrica y simetría octaédrica, y dos coloraciones 2-uniformes con simetría diédrica como un antiprisma triangular truncado. Los nombres constructivos se dan para cada uno. Su notación de poliedro de Conway se da entre paréntesis.
Química
El octaedro truncado existe en la estructura de los cristales de faujasita.
Ocultación de datos
El octaedro truncado (de hecho, el octaedro truncado generalizado) aparece en el análisis de errores de la modulación del índice de cuantificación (QIM) junto con la codificación de repetición.
Poliedros relacionados
El octaedro truncado pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
También existe como el omnitruncado de la familia de los tetraedros:
Mutaciones de simetría
Este poliedro es miembro de una secuencia de patrones uniformes con figura de vértice (4.6.2p) y el diagrama Coxeter-Dynkin . Para pLos miembros de la secuencia son polihedra omnitruncada (zonohedra), que se muestra a continuación como revestimientos esféricos. Para pØ 6, son tilings del plano hiperbólico, empezando por el azulejo triheptagonal truncado.
El octaedro truncado está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros uniformes y mosaicos con figuras de vértice n.6.6, que se extienden hacia el plano hiperbólico:
El octaedro truncado está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros uniformes y mosaicos con figuras de vértice 4.2n.2n, extendiéndose hacia el plano hiperbólico:
Polítopos relacionados
Did you mean:The truncated octahedron (truncated cube), is first in a sequence of truncated hypercubes:
Es posible cortar un teseracto por un hiperplano de modo que su sección transversal cortada sea un octaedro truncado.
Teselados
El octaedro truncado existe en tres panales uniformes convexos diferentes (teselados que llenan el espacio):
Bitruncado cúbico | Cantitruncado cúbico | Truncado alternado cúbico |
---|---|---|
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El panal cúbico bitruncado transitivo de células también se puede ver como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en el cuerpo. El octaedro truncado es uno de los cinco paraleloedros primarios tridimensionales.
Objetos
antigua Morir chino
escultura en Bonn
Rubik's Cube variante
modelo hecho con conjunto de construcción Polydron
Cristal de pirita
Gráfico octaédrico truncado
En el campo matemático de la teoría de grafos, un grafo octaédrico truncado es el gráfico de vértices y aristas del octaedro truncado. Tiene 24 vértices y 36 aristas, y es un grafo de Arquímedes cúbico. Tiene grosor de libro 3 y número de cola 2.
Como gráfico cúbico hamiltoniano, se puede representar mediante la notación LCF de varias formas: [3, −7, 7, −3]6, [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11, 11, −5, −7, 7]2 y [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3].
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Truncated_octahedral_Hamiltonicity.svg/600px-Truncated_octahedral_Hamiltonicity.svg.png)