Objetos iniciales y terminales

En la teoría de categorías, una rama de las matemáticas, un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para cada objeto X en C, existe precisamente un morfismo I → X.

La noción dual es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal): T es terminal si para cada objeto X en C existe exactamente un morfismo X → T. Los objetos iniciales también se denominan coterminal o universal, y los objetos terminales también se denominan final.

Si un objeto es tanto inicial como terminal, se denomina objeto cero u objeto nulo. Una categoría puntiaguda es una con un objeto cero.

Un objeto inicial estricto I es aquel para el cual cada morfismo en I es un isomorfismo.

Ejemplos

• El conjunto vacío es el único objeto inicial en Set, la categoría de conjuntos. Cada conjunto de un elemento (singleton) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. Del mismo modo, el espacio vacío es el objeto inicial único en Top, la categoría de espacios topológicos y cada espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
• En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el objeto inicial único, el objeto terminal único, y por lo tanto el único objeto cero.

Morfismos de conjuntos apuntados. La imagen también se aplica a objetos algebraicos cero

• En la categoría de conjuntos puntiagudos (cuyos objetos no son vacíos juntamente con un elemento distinguido; un morfismo de ()A,a) a ()B,b) ser una función f: A → B con f()a) bCada singleton es un objeto cero. Del mismo modo, en la categoría de espacios topológicos apuntados, cada singleton es un objeto cero.
• In Grp, la categoría de grupos, cualquier grupo trivial es un objeto cero. El objeto trivial es también un objeto cero en Ab, la categoría de grupos abelianos, Rng la categoría de pseudo-rings, R-Mod, la categoría de módulos sobre un anillo, y K-Vect., la categoría de espacios vectoriales sobre un campo. See Cero objeto (álgebra) para detalles. Este es el origen del término "objeto cero".
• In Anillo, la categoría de anillos con morfismos que conservan la unidad y la unidad, el anillo de enteros Z es un objeto inicial. El anillo cero consiste sólo en un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
• In Rig, la categoría de plataformas con morfismos que conservan la unidad y la unidad, la plataforma de números naturales N es un objeto inicial. La plataforma cero, que es el anillo cero, que consiste sólo en un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
• In Campo, la categoría de campos, no hay objetos iniciales o terminales. Sin embargo, en la subcategoría de campos de características fijas, el campo primario es un objeto inicial.
• Cualquier conjunto parcialmente ordenado ()P, ≤) puede ser interpretado como una categoría: los objetos son los elementos P, y hay un solo morfismo de x a Sí. si x ≤ Sí.. Esta categoría tiene un objeto inicial si P tiene un elemento menos; tiene un objeto terminal si y sólo si P tiene un elemento más grande.
• Gato, la categoría de pequeñas categorías con functores como morfismos tiene la categoría vacía, 0 (sin objetos ni morfismos), como objeto inicial y categoría terminal, 1 (con un solo objeto con un solo morfismo de identidad), como objeto terminal.
• En la categoría de esquemas, Spec(Z), el espectro principal del anillo de enteros, es un objeto terminal. El esquema vacío (igual al espectro principal del anillo cero) es un objeto inicial.
• Un límite de un diagrama F se puede caracterizar como objeto terminal en la categoría de conos a F. Del mismo modo, un comino de F puede ser caracterizado como objeto inicial en la categoría de co-cones de F.
• En la categoría Ch_R complejos de cadena sobre un anillo conmutativo REl complejo cero es un objeto cero.

Propiedades

Existencia y unicidad

No es necesario que los objetos inicial y terminal existan en una categoría determinada. Sin embargo, si existen, son esencialmente únicos. Específicamente, si I₁ y I₂ son dos objetos iniciales diferentes, entonces hay un único isomorfismo entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, entonces cualquier objeto isomorfo a I también es un objeto inicial. Lo mismo es cierto para los objetos terminales.

Para categorías completas existe un teorema de existencia para objetos iniciales. Específicamente, una categoría completa (localmente pequeña) C tiene un objeto inicial si y solo si existe un conjunto I (no una clase adecuada) y un I-familia indexada (K_i) de objetos de C tal que para cualquier objeto X de C, hay al menos un morfismo K_i → X para algunos i ∈ yo.

Formulaciones equivalentes

Los objetos terminales en una categoría C también se pueden definir como límites del diagrama vacío único 0 → C. Dado que la categoría vacía es sin duda una categoría discreta, un objeto terminal puede considerarse como un producto vacío (un producto es, de hecho, el límite del diagrama discreto {X_i}, en general). Dualmente, un objeto inicial es un colímite del diagrama vacío 0 → C y puede considerarse como un coproducto vacío o suma categórica.

De ello se deduce que cualquier funtor que conserve los límites llevará los objetos terminales a los objetos terminales, y cualquier funtor que conserve los colímites llevará los objetos iniciales a los objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el funtor libre, al quedar adjunto al funtor olvidadizo de Set, conserva los colímites).

Los objetos iniciales y terminales también se pueden caracterizar en términos de propiedades universales y funtores adjuntos. Sea 1 la categoría discreta con un solo objeto (indicado por •) y sea U: C → 1 sea el funtor único (constante) de 1. Entonces

• Un objeto inicial I dentro C es un morfismo universal de • a U. El functor que envía • a I está a la izquierda U.
• Un objeto terminal T dentro C es un morfismo universal U a •. El functor que envía • a T es derecho a U.

Relación con otras construcciones categóricas

Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías se pueden formular en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.

• Un morfismo universal de un objeto X a un functor U se puede definir como un objeto inicial en la categoría de coma ()X ↓ U). Dualmente, un morfismo universal de U a X es un objeto terminal en ()U ↓ X).
• El límite de un diagrama F es un objeto terminal en Cone(F), la categoría de conos a F. Dually, a colimit of F es un objeto inicial en la categoría de conos de F.
• Una representación de un funerario F a Set es un objeto inicial en la categoría de elementos F.
• La noción del functor final (respectivamente, functor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (respectivamente, objeto inicial).

Otras propiedades

• El endomorfismo monoide de un objeto inicial o terminal I es trivial: Fin(I♪ = Hom(I, I♪♪_I }.
• Si una categoría C tiene un objeto cero 0, entonces para cualquier par de objetos X y Y dentro C, la composición única X → 0 → Y es un morfismo cero de X a Y.