Objeto de grupo

En la teoría de categorías, una rama de las matemáticas, los objetos de grupo son ciertas generalizaciones de grupos que se construyen sobre estructuras más complicadas que los conjuntos. Un ejemplo típico de un objeto de grupo es un grupo topológico, un grupo cuyo conjunto subyacente es un espacio topológico tal que las operaciones del grupo son continuas.

Definición

Formalmente, comenzamos con una categoría C con productos finitos (es decir, C tiene un objeto terminal 1 y dos objetos cualesquiera de C tienen un producto). Un objeto de grupo en C es un objeto G de C junto con morfismos

• m: G × G → G (pensado como la " multiplicación del grupo")
• e: 1 → G (pensado como la "inclusión del elemento de identidad")
• inv: G → G (pensado como la "operación de inversión")

tal que se cumplan las siguientes propiedades (modeladas en los axiomas de grupo, más precisamente, en la definición de grupo utilizada en álgebra universal)

• m es asociativo, es decir. m ()m × id_G) m (id_G × m) como morfismos G × G × G → G, y donde por ejemplo. m × id_G: G × G × G → G × G; aquí nos identificamos G ×G × G) de una manera canónica con (G × G) × G.
• e es una unidad de dos caras m, es decir. m (id_G × e) p₁, donde p₁: G × 1 → G es la proyección canónica, y m ()e × id_G) p₂, donde p₂: 1 × G → G es la proyección canónica
• inv es un inverso de dos caras mSi. d: G → G × G es el mapa diagonal, y e_G: G → G es la composición del morfismo único G → 1 (también llamado la unidad) con e, entonces m (id_G × inv) d = e_G y m ()inv × id_G) d = e_G.

Tenga en cuenta que esto se establece en términos de mapas (el producto y el inverso deben ser mapas en la categoría) y sin ninguna referencia a los "elementos" del objeto de grupo – las categorías en general no tienen elementos de sus objetos.

Otra forma de expresar lo anterior es decir que G es un objeto de grupo en una categoría C si para cada objeto X en C, hay una estructura de grupo en los morfismos Hom(X, G) de X a G tal que la asociación de X a Hom(X, G) es un funtor (contravariante) de C a la categoría de grupos.

Ejemplos

• Cada conjunto G para la cual una estructura de grupo (G, m, u, ⁻¹) se puede definir como un objeto de grupo en la categoría de conjuntos. El mapa m es la operación del grupo, el mapa e (cuyo dominio es un singleton) elige el elemento de identidad u de G, y el mapa inv asigna a cada elemento de grupo su inverso. e_G: G → G es el mapa que envía cada elemento de G al elemento de identidad.
• Un grupo topológico es un objeto de grupo en la categoría de espacios topológicos con funciones continuas.
• A Lie group es un objeto de grupo en la categoría de colectores suaves con mapas suaves.
• A Lie supergroup es un objeto de grupo en la categoría de supermanifolds.
• Un grupo algebraico es un objeto de grupo en la categoría de variedades algebraicas. En la geometría algebraica moderna, uno considera los esquemas de grupo más generales, objetos de grupo en la categoría de esquemas.
• Un grupo local es un objeto de grupo en la categoría de locales.
• Los objetos del grupo en la categoría de grupos (o monoides) son los grupos abelianos. La razón de esto es que, si inv se supone que es un homomorfismo, entonces G Debe ser abeliano. Más precisamente: A es un grupo abeliano y denotamos m la multiplicación del grupo A, por e la inclusión del elemento de identidad y inv la operación de inversión en AEntonces...A, m, e, inv) es un objeto de grupo en la categoría de grupos (o monoides). Por el contrario, si (A, m, e, inv) es un objeto de grupo en una de esas categorías, entonces m necesariamente coincide con la operación dada A, e es la inclusión del elemento de identidad dado en A, inv es la operación de inversión y A con la operación dada es un grupo abeliano. Vea también Eckmann-Hilton argument.
• El estricto 2-grupo es el objeto de grupo en la categoría de pequeñas categorías.
• Dado una categoría C con coproductos finitos, un cogroup object es un objeto G de C junto con una "comultiplicación" m: G → G ⊕ ⊕ {displaystyle oplus } G, una "coidentidad" e: G → 0, y una "coinversión" inv: G → G que satisfacen las versiones duales de los axiomas para objetos de grupo. Aquí 0 es el objeto inicial de C. Los objetos del grupo ocurren naturalmente en la topología algebraica.

Teoría de grupos generalizada

Gran parte de la teoría de grupos se puede formular en el contexto de los objetos de grupo más generales. Las nociones de homomorfismo de grupo, subgrupo, subgrupo normal y los teoremas de isomorfismo son ejemplos típicos. Sin embargo, los resultados de la teoría de grupos que hablan de elementos individuales, o del orden de elementos o subgrupos específicos, normalmente no pueden generalizarse para agrupar objetos de manera directa.