Números grandes

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Números significativamente mayores que los utilizados regularmente

Números grandes son números significativamente más grandes que los que se usan normalmente en la vida cotidiana (por ejemplo, en el conteo simple o en transacciones monetarias), que aparecen con frecuencia en campos como las matemáticas, la cosmología, la criptografía y la mecánica estadística.. Por lo general, son números enteros positivos grandes o, de manera más general, números reales positivos grandes, pero también pueden ser otros números en otros contextos.

La googología es el estudio de la nomenclatura y las propiedades de los grandes números.

En el mundo cotidiano

La notación científica fue creada para manejar la amplia gama de valores que ocurren en el estudio científico. 1.0 × 10⁹, por ejemplo, significa mil millones, o un 1 seguido de nueve ceros: 1 000 000 000. El recíproco, 1.0 × 10⁻⁹, significa uno billonésimo, o 0,000 000 001. Escribir 10⁹ en lugar de nueve ceros ahorra a los lectores el esfuerzo y el riesgo de contar una larga serie de ceros para ver qué tan grande es el número.

Los ejemplos de números grandes que describen objetos cotidianos del mundo real incluyen:

El número de células en el cuerpo humano (estimado en 3,72 × 10¹³)
El número de bits en un disco duro de la computadora (a partir de 2023, típicamente alrededor de 10¹³, 1–2 TB)
El número de conexiones neuronales en el cerebro humano (estimado a las 10¹⁴)
La constante de Avogadro es el número de “entidades elementales” (normalmente átomos o moléculas) en un topo; el número de átomos en 12 gramos de carbono-12 – aproximadamente 6.022×10²³.
El número total de pares base de ADN dentro de toda la biomasa de la Tierra, como posible aproximación de la biodiversidad global, se estima en (5.3 ± 3.6) × 10³⁷
La masa de la Tierra consiste en alrededor de 4 × 10⁵¹ nucleones
El número estimado de átomos en el universo observable (10⁸⁰)
El límite inferior en la complejidad del juego-árbol del ajedrez, también conocido como el “número de cañón” (estimado alrededor de 10¹²⁰)

Astronómico

Otros números grandes, en cuanto a longitud y tiempo, se encuentran en astronomía y cosmología. Por ejemplo, el modelo actual del Big Bang sugiere que el universo tiene 13 800 millones de años (4,355 × 10¹⁷ segundos) y que el universo observable tiene 93 000 millones de años luz de diámetro (8,8 × 10²⁶ metros), y contiene alrededor de 5 × 10²² estrellas, organizadas en alrededor de 125 000 millones (1,25 × 10¹¹) de galaxias, según las observaciones del telescopio espacial Hubble.. Hay alrededor de 10⁸⁰ átomos en el universo observable, según una estimación aproximada.

Según Don Page, físico de la Universidad de Alberta, Canadá, el tiempo finito más largo que hasta ahora ha sido calculado explícitamente por cualquier físico es

10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}} mbox{ years}

que corresponde a la escala de un tiempo de recurrencia estimado de Poincaré para el estado cuántico de una caja hipotética que contiene un agujero negro con la masa estimada de todo el universo, observable o no, asumiendo cierto modelo inflacionario con un inflatón cuya masa es 10⁻⁶ masas de Planck. Esta vez asume un modelo estadístico sujeto a recurrencia de Poincaré. Una forma mucho más simplificada de pensar acerca de este tiempo es en un modelo donde la historia del universo se repite arbitrariamente muchas veces debido a las propiedades de la mecánica estadística; esta es la escala de tiempo en la que primero será algo similar (para una elección razonable de 'similar') a su estado actual nuevamente.

Los procesos combinatorios generan rápidamente números aún mayores. La función factorial, que define el número de permutaciones en un conjunto de objetos fijos, crece muy rápidamente con el número de objetos. La fórmula de Stirling da una expresión asintótica precisa para esta tasa de crecimiento.

Los procesos combinatorios generan números muy grandes en mecánica estadística. Estos números son tan grandes que, por lo general, solo se refieren a ellos usando sus logaritmos.

Los números de Gödel y números similares utilizados para representar cadenas de bits en la teoría algorítmica de la información son muy grandes, incluso para enunciados matemáticos de longitud razonable. Sin embargo, algunos números patológicos son incluso mayores que los números de Gödel de las proposiciones matemáticas típicas.

El lógico Harvey Friedman ha realizado trabajos relacionados con números muy grandes, como el teorema del árbol de Kruskal y el teorema de Robertson-Seymour.

"Billones y billones"

Para ayudar a los espectadores de Cosmos a distinguir entre "millones" y "billones", el astrónomo Carl Sagan subrayó el "b". Sin embargo, Sagan nunca dijo 'billones y billones'. La asociación del público de la frase y Sagan provino de un sketch de Tonight Show. Parodiando el efecto de Sagan, Johnny Carson bromeó "billones y miles de millones". Sin embargo, la frase se ha convertido ahora en un número ficticio humorístico: el Sagan. Cf., Unidad Sagan.

Ejemplos

googol = $10^{100}$
centillion = $10^{303}$ o $10^{600}$ , dependiendo del sistema de nombres
Millinillion = ${displaystyle 10^{3003}}$ o ${displaystyle 10^{6000}}$ , dependiendo del sistema de nombres
El mayor número de Smith conocido = (10)¹⁰³¹−1)⁴⁵⁹⁴ + 3×10²²⁹⁷ + 1)¹⁴⁷⁶ ×10^3913210
El mayor conocido Mersenne prime = ${displaystyle 2^{82,589,933}-1}$
googolplex = $10^{text{googol}}=10^{10^{100}}$
Números de Skewes: el primero es aproximadamente $10^{10^{10^{34}}}$ , el segundo $10^{10^{10^{964}}}$
Tritri {3, 3, 3} en el extremo inferior de BEAF (Bowers Exploding Array Function). Se puede escribir como 3{3}3, 3^^^^3 o 3^^^(3^^^3), este último 2 muestra cómo la notación de Knuth comienza a construir el número de grahams.
Tritet {4, 4, 4} en el extremo inferior de BEAF (Bowers Exploding Array Function).
El número de Graham, más grande que lo que puede ser representado incluso usando torres de poder (tetración). Sin embargo, puede ser representado usando capas de la notación de Knuth hacia arriba.
Supertet {4, 4, 4, 4}, ejemplo de los números que se pueden generar a través de BEAF (Bowers Exploding Array Function). Puede ser escrito como 4{{{4}}}4, una representación más clara de la denotación utilizada para generar el número.
El teorema de los árboles de Kruskal es una secuencia relacionada con los gráficos. TREE(3) es más grande que el número de Graham.
El número de Rayo es un gran número llamado después de Agustín Rayo que se ha afirmado que es el mayor número llamado. Fue definido originalmente en un "gran número de duelo" en el MIT el 26 de enero de 2007.

Sistema estandarizado de escritura

Una forma estandarizada de escribir números muy grandes permite clasificarlos fácilmente en orden creciente y uno puede tener una buena idea de cuánto más grande es un número que otro.

Para comparar números en notación científica, digamos 5×10⁴ y 2×10⁵, primero compare los exponentes, en este caso 5 > 4, entonces 2×10⁵ > 5×10⁴. Si los exponentes son iguales, se debe comparar la mantisa (o coeficiente), así 5×10⁴ > 2×10⁴ porque 5 > 2.

Tetración con base 10 da la secuencia $10 uparrow uparrow n=10 to n to 2=(10uparrow)^n 1$ , las torres de poder de los números 10, donde $(10uparrow)^n$ denota un poder funcional de la función $f(n)=10^n$ (la función también expresada por el sufijo "-plex" como en googolplex, ver la familia googol).

Estos son números muy redondos, cada uno de los cuales representa un orden de magnitud en un sentido generalizado. Una forma cruda de especificar qué tan grande es un número es especificar entre qué dos números en esta secuencia se encuentra.

Más precisamente, los números entre sí se pueden expresar en la forma $(10uparrow)^n a$ , es decir, con una torre de poder de 10 y un número en la parte superior, posiblemente en la notación científica, por ejemplo. ${displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10uparrow)^{5}4.829}$ , un número entre $10uparrowuparrow 5$ y $10uparrowuparrow 6$ (nota que $<math alttext="{displaystyle 10uparrow uparrow n<(10uparrow)^{n}a10↑ ↑ ↑ ↑ n.()10↑ ↑ )na.10↑ ↑ ↑ ↑ ()n+1){displaystyle 10uparrow uparrow n made(10uparrow)^{n}a interpretado10uparrow uparrow (n+1)}<img alt="10 uparrowuparrow n < (10uparrow)^n a$ si $<math alttext="{displaystyle 1<a1.a.10{displaystyle 1 se hizo realidad10} <img alt=" 1 < a$ ). (Ver también extensión de la tetración a alturas reales.)

Así googolplex es $10^{10^{100}} = (10uparrow)^2 100 = (10uparrow)^3 2$

Otro ejemplo:

{displaystyle 2uparrow uparrow uparrow 4={begin{matrix}underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \qquad quad 65,536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}approx (10uparrow)^{65,531}(6times 10^{19,728})approx (10uparrow)^{65,533}4.3}

(entre

10uparrowuparrow 65,533

10uparrowuparrow 65,534

)

Por lo tanto, el "orden de magnitud" de un número (en una escala más grande que normalmente significado), puede caracterizarse por el número de veces (nUno tiene que tomar el $log_{10}$ para conseguir un número entre 1 y 10. Así, el número es entre $10uparrow uparrow n$ y $10uparrowuparrow (n+1)$ . Como se explica, una descripción más precisa de un número especifica también el valor de este número entre 1 y 10, o el número anterior (tomar el logaritmo una vez menos) entre 10 y 10¹⁰, o el siguiente, entre 0 y 1.

Tenga en cuenta que

10^{(10uparrow)^{n}x}=(10uparrow)^{n}10^x

Es decir, si hay un número x es demasiado grande para una representación $(10uparrow)^{n}x$ la torre de poder se puede hacer uno más alto, reemplazando x por registro₁₀x, o encontrar x de la representación inferior de la torre del tronco₁₀ de todo el número. Si la torre de energía contendría uno o más números diferentes de 10, los dos enfoques llevarían a diferentes resultados, correspondientes al hecho de que extender la torre de energía con un 10 en la parte inferior no es lo mismo que extenderla con un 10 en la parte superior (pero, por supuesto, comentarios similares se aplican si toda la torre de energía consta de copias del mismo número, diferente de 10).

Si la altura de la torre es grande, las diversas representaciones para grandes números se pueden aplicar a la altura misma. Si la altura se da sólo aproximadamente, dar un valor en la parte superior no tiene sentido, por lo que la notación doble-flecha (por ejemplo. $10uparrowuparrow(7.21times 10^8)$ ) se puede utilizar. Si el valor después de la flecha doble es un número muy grande en sí mismo, lo anterior se puede aplicar recursivamente a ese valor.

Ejemplos:

10uparrowuparrow 10^{,!10^{10^{3.81times 10^{17}}}}

(entre

10uparrowuparrowuparrow 2

10uparrowuparrowuparrow 3

)

10uparrowuparrow 10uparrowuparrow (10uparrow)^{497}(9.73times 10^{32})=(10uparrowuparrow)^{2} (10uparrow)^{497}(9.73times 10^{32})

(entre

10uparrowuparrowuparrow 4

10uparrowuparrowuparrow 5

)

Del mismo modo a lo anterior, si el exponente de $(10uparrow)$ no se da exactamente entonces dar un valor a la derecha no tiene sentido, y en lugar de utilizar la notación de poder $(10uparrow)$ , es posible añadir $1$ al exponente de $(10uparrowuparrow)$ Para obtener, por ejemplo. $(10uparrowuparrow)^{3} (2.8times 10^{12})$ .

Si el exponente de $(10uparrow uparrow)$ es grande, las diversas representaciones para grandes números se pueden aplicar a este exponente mismo. Si este exponente no se da exactamente entonces, de nuevo, dar un valor a la derecha no tiene sentido, y en lugar de utilizar la notación de poder $(10uparrow uparrow)$ es posible utilizar el operador de flecha triple, por ejemplo. $10uparrowuparrowuparrow(7.3times 10^{6})$ .

Si el argumento de la mano derecha del operador de flecha triple es grande lo anterior se aplica a él, obteniendo por ejemplo. $10uparrowuparrowuparrow(10uparrowuparrow)^{2} (10uparrow)^{497}(9.73times 10^{32})$ (entre $10uparrowuparrowuparrow 10uparrowuparrowuparrow 4$ y $10uparrowuparrowuparrow 10uparrowuparrowuparrow 5$ ). Esto se puede hacer recursivamente, por lo que es posible tener un poder del operador de flecha triple.

Entonces es posible proceder con operadores con mayor número de flechas, escritas $uparrow ^{n}$ .

Compare esta notación con el operador hiper y la notación de flecha encadenada de Conway:

auparrow^n b

=a → b → n) = hiper(a,n+ 2,b)

Una ventaja de la primera es que cuando se considera como función de b, hay una notación natural para los poderes de esta función (como cuando se escribe la n flechas): $(auparrow^n)^k b$ . Por ejemplo:

(10uparrow^2)^3 b

= (10 →) (10 → b → 2) → 2) →

y sólo en casos especiales se reduce la larga notación de cadena anidada; para ${displaystyle ''b''=1}$ obtiene:

10uparrow^3 3 = (10uparrow^2)^3 1

= (10 → 3 → 3)

Desde b también puede ser muy grande, en general se puede escribir un número con una secuencia de poderes $(10 uparrow^n)^{k_n}$ con valores decrecientes n (con exactamente los exponentes enteros dados ${k_n}$ ) con al final un número de notación científica ordinaria. Siempre ${k_n}$ es demasiado grande para ser dado exactamente, el valor de ${k_{n+1}}$ aumenta en 1 y todo al derecho de $({n+1})^{k_{n+1}}$ está reescrito.

Para describir números aproximadamente, desviaciones del orden decreciente de valores n no son necesarios. Por ejemplo, $10 uparrow (10 uparrow uparrow)^5 a=(10 uparrow uparrow)^6 a$ , y $10 uparrow (10 uparrow uparrow uparrow 3)=10 uparrow uparrow (10 uparrow uparrow 10 + 1)approx 10 uparrow uparrow uparrow 3$ . Así se obtiene el resultado algo contraintuitivo que un número x puede ser tan grande que, de alguna manera, x y 10^x son "casi iguales" (para aritmética de grandes números ver también abajo).

Si el superscripto de la flecha ascendente es grande, las diversas representaciones para grandes números se pueden aplicar a este superscript mismo. Si este superscripto no se da exactamente entonces no hay punto en elevar al operador a una potencia particular o para ajustar el valor en el que actúa, en cambio es posible simplemente utilizar un valor estándar a la derecha, diga 10, y la expresión se reduce a $10 uparrow^n 10=(10 to 10 to n)$ con un aproximado n. Para tales números la ventaja de utilizar la notación de flecha ascendente ya no se aplica, por lo que la notación de cadena se puede utilizar en su lugar.

Lo anterior se puede aplicar recursivamente para ello n, por lo que la notación $uparrow ^{n}$ se obtiene en el superscript de la primera flecha, etc., o una notación de cadena anida, por ejemplo:

(10 → 10 → (10 → 10 →

3 times 10^5

) =

{displaystyle 10uparrow ^{10uparrow ^{3times 10^{5}}10}10}

Si el número de niveles es demasiado grande para ser conveniente, se utiliza una notación donde este número de niveles se escribe como un número (como usar el superscript de la flecha en lugar de escribir muchas flechas). Introducción de una función $f(n)=10 uparrow^{n} 10$ = (10 → 10 → n), estos niveles se convierten en poderes funcionales de f, permitiéndonos escribir un número en el formulario $f^m(n)$ Donde m se da exactamente y n es un entero que puede o no ser dado exactamente (por ejemplo: $f^2(3 times 10^5)$ ). Si n es grande, cualquiera de los anteriores se puede utilizar para expresarlo. El "más redondo" de estos números son los de la forma f^m(1) = (10→10→m→2). Por ejemplo, ${displaystyle (10to 10to 3to 2)=10uparrow ^{10uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Compare la definición del número de Graham: utiliza números 3 en lugar de 10 y tiene 64 niveles de flecha y el número 4 en la parte superior; por lo tanto $<math alttext="{displaystyle G<3rightarrow 3rightarrow 65rightarrow 2G.3→ → 3→ → 65→ → 2.()10→ → 10→ → 65→ → 2)=f65()1){displaystyle G obtenidos3rightarrow 3rightarrow 65rightarrow 2 realizadas(10to 10to 65to 2)=f^{65}(1)}<img alt=" G < 3rightarrow 3rightarrow 65rightarrow 2$ , pero también $<math alttext="{displaystyle G<f^{64}(4)G.f64()4).f65()1){displaystyle G wonf^{64}(4) {65}(1)}<img alt=" G < f^{64}(4)$ .

Si m dentro $f^m(n)$ es demasiado grande para dar exactamente, es posible utilizar un fijo n, por ejemplo. n = 1, y aplicar la anterior recursivamente a m, es decir, el número de niveles de flechas ascendentes es en sí mismo representado en la notación de arriba hacia arriba superscrita, etc. Usando la notación de poder funcional f esto da múltiples niveles f. Introducción de una función $g(n)=f^{n}(1)$ estos niveles se convierten en poderes funcionales g, permitiéndonos escribir un número en el formulario $g^m(n)$ Donde m se da exactamente y n es un entero que puede o no ser dado exactamente. Por ejemplo, si (10→10→m→3) = g^m1). Si n es grande cualquiera de los anteriores se puede utilizar para expresarlo. Del mismo modo una función h, etc. se puede introducir. Si muchas de esas funciones son necesarias, pueden ser numeradas en lugar de utilizar una nueva carta cada vez, por ejemplo, como subscripto, de tal manera que haya números del formulario $f_k^m(n)$ Donde k y m se dan exactamente y n es un entero que puede o no ser dado exactamente. Uso k=1 para el f arriba, k=2 para g, etc., obtiene (10→10→n→k) $f_k(n)=f_{k-1}^n(1)$ . Si n es grande cualquiera de los anteriores se puede utilizar para expresarlo. Así se obtiene un anidamiento de formas ${f_k}^{m_k}$ donde ir hacia adentro k disminuye, y con como argumento interno una secuencia de poderes $(10 uparrow^n)^{p_n}$ con valores decrecientes n (donde todos estos números se dan exactamente números enteros) con al final un número en la notación científica ordinaria.

Cuando k es demasiado grande para ser dado exactamente, el número de interesados se puede expresar como ${f_n}(10)$ =(10→10→10→n) con un aproximado n. Tenga en cuenta que el proceso de pasar de la secuencia $10^{n}$ =(10→)n) a la secuencia $10 uparrow^n 10$ =(10→10→n) es muy similar a ir de este último a la secuencia ${f_n}(10)$ =(10→10→10→n): es el proceso general de añadir un elemento 10 a la cadena en la notación de cadena; este proceso puede repetirse nuevamente (ver también la sección anterior). Número de versiones posteriores de esta función se puede describir un número usando funciones ${f_{qk}}^{m_{qk}}$ , anidado en orden léxicográfico q el número más significativo, pero con orden decreciente para q y para k; como argumento interno produce una secuencia de poderes $(10 uparrow^n)^{p_n}$ con valores decrecientes n (donde todos estos números se dan exactamente números enteros) con al final un número en la notación científica ordinaria.

Para un número demasiado grande para escribirlo en la notación de flecha encadenada de Conway, el tamaño se puede describir por la longitud de esa cadena, por ejemplo, solo usando los elementos 10 en la cadena; en otras palabras, uno podría especificar su posición en la secuencia 10, 10→10, 10→10→10,.. Incluso si la posición en la secuencia es un número grande, se pueden aplicar las mismas técnicas nuevamente.

Ejemplos

Números expresables en notación decimal:

2² = 4
2^2² = 2 ↑ 3 = 16
3³ = 27
4⁴ = 256
5⁵ = 3.125
6⁶ = 46.656
$2^{2^{2^{2}}}$ = 2 ↑ 4 = 2↑↑3 = 65,536
7⁷ = 823,543
10⁶ 1,000,000 = 1 million
8⁸ = 16.777.216
9⁹ = 387.420.489
10⁹ 1.000.000.000 = 1.000 millones
10¹⁰ 10.000.000
10¹² 1,000,000 = 1 trillón
3^3³ = 3 ↑ 3 = 7,625,597,484,987 ♥ 7,63 × 10¹²
10¹⁵ 1.000.000.000.000 = 1 millón de millones = 1 cuadrillón

Números expresables en notación científica:

Número aproximado de átomos en el universo observable = 10⁸⁰ = 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
googol = 10¹⁰⁰ 10.000 millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de dólares.
4^4⁴ = 4 ↑ 3 = 2⁵¹² ■ 1.34 × 10¹⁵⁴ ♥ (10 ↑)² 2.2
Número aproximado de volúmenes de Planck que componen el volumen del universo observable = 8,5 × 10¹⁸⁴
5^5⁵ = 5 ↑ 3 = 5³¹²⁵ ■ 1.91 × 10²¹⁸⁴ ♥ (10 ↑)² 3.3
$2^{2^{2^{2^2}}} = 2 uparrow uparrow 5 = 2^{65,536} approx 2.0 times 10^{19,728} approx (10 uparrow)^2 4.3$
6^6⁶ = 6 ↑ 3 ♥ 2.66 × 10^36.305 ♥ (10 ↑)² 4.6
7^7⁷ = 7 ↑ 3 ♥ ♥ 3.76 × 10^695.974 ♥ (10 ↑)² 5.8
8^8⁸ = 8 ↑ 3 ♥ ♥ 6.01 × 10^15.151.335 ♥ (10 ↑)² 7.2
${displaystyle M_{82,589,933}approx 1.49times 10^{24,862,047}approx 10^{10^{7.3955}}=(10uparrow)^{2} 7.3955}$ , el 51 y a partir de enero de 2021 el mayor conocido Mersenne prime.
9^9⁹ = 9 ↑ 3 ♥ 4,28 × 10^369.693.099 ♥ (10 ↑)² 8.6
10^10¹⁰ = 10 ↑ 3 = 10^{10.000 millones} = (10 ↑)³ 1
$3^{3^{3^{3}}} = 3 uparrow uparrow 4 approx 1.26 times 10^{3,638,334,640,024} approx (10 uparrow)^3 1.10$

Números expresables en notación (10 ↑)ⁿ k:

googolplex = $10^{10^{100}} = (10 uparrow)^3 2$
$2^{2^{2^{2^{2^2}}}} = 2 uparrow uparrow 6 = 2^{2^{65,536}} approx 2^{(10 uparrow)^2 4.3} approx 10^{(10 uparrow)^2 4.3} = (10 uparrow)^3 4.3$
$10^{10^{10^{10}}}=10 uparrow uparrow 4=(10 uparrow)^4 1$
$3^{3^{3^{3^3}}} = 3 uparrow uparrow 5 approx 3^{10^{3.6 times 10^{12}}} approx (10 uparrow)^4 1.10$
$2^{{2^{{2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}}}}}=2uparrow uparrow 7approx (10uparrow)^{4}4.3$
10 ↑ 5 = (10 ↑)⁵ 1
3 ↑ ↑ 6 ♥ (10 ↑)⁵ 1.10
2 ↑ 8 ♥ (10 ↑)⁵ 4.3
10 ↑ 6 = (10 ↑)⁶ 1
10 ↑↑ 2 = 10 ↑ 10 = (10 ↑)¹⁰ 1
2 ↑↑↑ 3 = 2 ↑↑ 4 = 2 ↑ 65,536 ♥ (10 ↑)^65,533 4.3 es entre 10 ↑ 65,533 y 10 ↑ 65,534

Números más grandes:

3 ↑↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3 ↑ ↑ 7.6 × 10¹² ↑ 10 ↑ 7.6 × 10¹² es entre (10 ↑)² 2 y (10 ↑)² 3
$10uparrowuparrowuparrow 3=(10 uparrow uparrow)^3 1$ = (10 → 3 → 3)
$(10uparrowuparrow)^2 11$
$(10uparrowuparrow)^2 10^{,!10^{10^{3.81times 10^{17}}}}$
$10uparrowuparrowuparrow 4=(10 uparrow uparrow)^4 1$ = (10 → 4 → 3)
$(10uparrowuparrow)^{2} (10uparrow)^{497}(9.73times 10^{32})$
$10uparrowuparrowuparrow 5=(10 uparrow uparrow)^5 1$ = (10 → 5 → 3)
$10uparrowuparrowuparrow 6=(10 uparrow uparrow)^6 1$ = (10 → 6 → 3)
$10uparrowuparrowuparrow 7=(10 uparrow uparrow)^7 1$ = (10 → 7 → 3)
$10uparrowuparrowuparrow 8=(10 uparrow uparrow)^8 1$ = (10 → 8 → 3)
$10uparrowuparrowuparrow 9=(10 uparrow uparrow)^9 1$ = (10 → 9 → 3)
${displaystyle 10uparrow uparrow uparrow uparrow 2=10uparrow uparrow uparrow 10=(10uparrow uparrow)^{10}1}$ = (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
El primer término en la definición del número de Graham, g₁ = 3 ↑↑↑ ↑ 3 = 3 ↑↑ (2 ↑ ↑ 3) ♥ 3 ↑↑ (10 ↑¹²↑ ↑ ↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10¹²) es entre (10 ↑↑² 2 y (10 ↑↑² 3 (Ver número de Graham#Magnitud)
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 3=(10 uparrow uparrowuparrow)^3 1$ = (10 → 3 → 4)
$4 uparrow uparrow uparrow uparrow 4$ = (4 → 4 → 4) $approx (10 uparrow uparrow uparrow)^2 (10 uparrow uparrow)^3 154$
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 4=(10 uparrow uparrowuparrow)^4 1$ = (10 → 4 → 4)
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 5=(10 uparrow uparrowuparrow)^5 1$ = (10 → 5 → 4)
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 6=(10 uparrow uparrowuparrow)^6 1$ = (10 → 6 → 4)
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 7=(10 uparrow uparrowuparrow)^7 1=$ = (10 → 7 → 4)
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 8=(10 uparrow uparrowuparrow)^8 1=$ = (10 → 8 → 4)
$10uparrowuparrowuparrowuparrow 9=(10 uparrow uparrowuparrow)^9 1=$ = (10 → 9 → 4)
$10 uparrow uparrow uparrow uparrow uparrow 2 = 10uparrowuparrowuparrowuparrow 10=(10 uparrow uparrowuparrow)^{10} 1$ = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
(2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
(3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
(10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
(10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
(10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → $10^{10}$ ) ${displaystyle 10uparrow ^{10^{10}}10}$
El segundo término en la definición del número de Graham, g₂ = 3 ↑^g₁ 3 Ø 10 ↑^{g₁ – 1} 10.
(10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → $10^{10}$ ) = ${displaystyle 10uparrow ^{10uparrow ^{10^{10}}10}10}$
g₃ = (3 → 3 → g₂) Ø (10 → 10 → g₂ – 1) ⇩ (10 → 10 → 3 → 2)
g₄ = (3 → 3 → g₃) Ø (10 → 10 → g₃ – 1) √≥ (10 → 10 → 4 → 2)
...
g₉ = (3 → 3 → g₈) es entre (10 → 10 → 9 → 2) y (10 → 10 → 2)
(10 → 10 → 10 → 2)
g₁₀ = (3 → 3 → g₉) es entre (10 → 10 → 2) y (10 → 10 → 11 → 2)
...
g₆₃ = (3 → 3 → g₆₂) es entre (10 → 10 → 63 → 2) y (10 → 10 → 64 → 2)
(10 → 10 → 64 → 2)
El número de Graham, g₆₄
(10 → 10 → 65 → 2)
(10 → 10 → 10 → 3)
(10 → 10 → 10 → 4)
(10 → 10 → 10 → 10)
(10 → 10 → 10 → 10 → 10
(10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10
10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → →... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → Donde hay (10 → 10 → 10 → 10) "10"s

Otras notaciones

Algunas notaciones para números extremadamente grandes:

Notación/hiperoperadores / función Ackermann de Knuth, incluyendo la tetración
Notación de flecha encadenada con Conway
Steinhaus-Moser notación; aparte del método de construcción de grandes números, esto también implica una notación gráfica con polígonos. Las notaciones alternativas, como una notación de función más convencional, también se pueden utilizar con las mismas funciones.
Jerarquía de crecimiento rápido
Sistema de matriz Bashicu

Estas notaciones son esencialmente funciones de variables enteras, que aumentan muy rápidamente con esos enteros. Las funciones que aumentan cada vez más rápido se pueden construir fácilmente de forma recursiva aplicando estas funciones con números enteros grandes como argumento.

Una función con una asíntota vertical no es útil para definir un número muy grande, aunque la función crece muy rápidamente: uno tiene que definir un argumento muy cercano a la asíntota, es decir, usar un número muy pequeño y construir eso es equivalente a la construcción de un número muy grande, p. El recíproco.

Comparación de valores base

Lo siguiente ilustra el efecto de una base diferente de 10, base 100. También ilustra representaciones de números y la aritmética.

$100^{12}=10^{24}$ , con la base 10 el exponente se dobla.

$100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}$ , ditto.

$100^{{100^{{100^{{12}}}}}}approx 10^{{10^{{2*10^{{24}}+0.30103}}}}$ , el exponente más alto es muy poco más que duplicado (aumentado por log₁₀2).

$100uparrowuparrow 2=10^ {200}$
$100uparrowuparrow 3=10^ {2 times 10^ {200}}$
$100uparrowuparrow 4=(10uparrow)^2 (2 times 10^ {200}+0.3)=(10uparrow)^2 (2times 10^ {200})=(10uparrow)^3 200.3=(10uparrow)^4 2.3$
$<math alttext="{displaystyle 100uparrow uparrow n=(10uparrow)^{n-2}(2times 10^{200})=(10uparrow)^{n-1}200.3=(10uparrow)^{n}2.3100↑ ↑ ↑ ↑ n=()10↑ ↑ )n− − 2()2× × 10200)=()10↑ ↑ )n− − 1200,3=()10↑ ↑ )n2.3.10↑ ↑ ↑ ↑ ()n+1){displaystyle 100uparrow uparrow n=(10uparrow)^{n-2}(2times 10^{200})=(10uparrow)^{n-1}200.3=(10uparrow)^{n}2.3 made10uparrow uparrow (n+1)}<img alt="100uparrowuparrow n=(10uparrow)^{n-2} (2 times 10^ {200})=(10uparrow)^{n-1} 200.3=(10uparrow)^{n}2.3$ (porque si n es grande parece justo decir que $100uparrowuparrow n$ es "aproximadamente igual a" $10uparrow uparrow n$ )
$100uparrowuparrowuparrow 2=(10uparrow)^{98} (2 times 10^ {200})=(10uparrow)^{100} 2.3$
$100uparrowuparrowuparrow 3=10uparrowuparrow(10uparrow)^{98} (2 times 10^ {200})=10uparrowuparrow(10uparrow)^{100} 2.3$
$<math alttext="{displaystyle 100uparrow uparrow uparrow n=(10uparrow uparrow)^{n-2}(10uparrow)^{98}(2times 10^{200})=(10uparrow uparrow)^{n-2}(10uparrow)^{100}2.3100↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ n=()10↑ ↑ ↑ ↑ )n− − 2()10↑ ↑ )98()2× × 10200)=()10↑ ↑ ↑ ↑ )n− − 2()10↑ ↑ )1002.3.10↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ()n+1){displaystyle 100uparrowuparrow uparrow n=(10uparrow uparrow)^{n-2}(10uparrow)^{98}(2times 10^{200})=(10uparrow uparrow)^{n-2}(10uparrow)}{100}2.3 made10uparrow uparrow uparrow (n+1)}<img alt="100uparrowuparrowuparrow n=(10uparrowuparrow)^{n-2}(10uparrow)^{98} (2 times 10^ {200})=(10uparrowuparrow)^{n-2}(10uparrow)^{100} 2.3$ (compare $<math alttext="{displaystyle 10uparrow uparrow uparrow n=(10uparrow uparrow)^{n-2}(10uparrow)^{10}110↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ n=()10↑ ↑ ↑ ↑ )n− − 2()10↑ ↑ )101.10↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ()n+1){displaystyle 10uparrow uparrow n=(10uparrow uparrow)^{n-2}(10uparrow)^{10}1 0uparrow uparrow uparrow (n+1)}<img alt="10uparrowuparrowuparrow n=(10uparrowuparrow)^{n-2}(10uparrow)^{10}1$ ; así si n es grande parece justo decir que $100uparrowuparrowuparrow n$ es "aproximadamente igual a" $10uparrow uparrow uparrow n$ )
$100uparrowuparrowuparrowuparrow 2=(10uparrowuparrow)^{98}(10uparrow)^{100} 2.3$ (compare $10uparrowuparrowuparrowuparrow 2=(10uparrowuparrow)^{8}(10uparrow)^{10}1$ )
$100uparrowuparrowuparrowuparrow 3=10uparrowuparrowuparrow(10uparrowuparrow)^{98}(10uparrow)^{100} 2.3$ (compare $10uparrowuparrowuparrowuparrow 3=10uparrowuparrowuparrow(10uparrowuparrow)^{8}(10uparrow)^{10}1$ )
$100uparrowuparrowuparrowuparrow n=(10uparrowuparrowuparrow)^{n-2}(10uparrowuparrow)^{98}(10uparrow)^{100} 2.3$ (compare $10uparrowuparrowuparrowuparrow n=(10uparrowuparrowuparrow)^{n-2}(10uparrowuparrow)^{8}(10uparrow)^{10}1$ ; si n es grande esto es "aproximadamente" igual)

Precisión

Para un número $10^{n}$ , un cambio de unidad n cambia el resultado por un factor 10. En un número como $10^{,!6.2 times 10^3}$ , con el 6.2 el resultado de redondeo adecuado utilizando cifras significativas, el valor verdadero del exponente puede ser 50 menos o 50 más. Por lo tanto, el resultado puede ser un factor $10^{50}$ demasiado grande o demasiado pequeño. Esto parece una precisión extremadamente pobre, pero para un número tan grande puede ser considerado justo (un gran error en un gran número puede ser "relatively pequeño" y por lo tanto aceptable).

Para números muy grandes

En el caso de una aproximación de un número extremadamente grande, el error relativo puede ser grande, pero todavía puede haber un sentido en el que uno quiera considerar los números como "de magnitud cercana". Por ejemplo, considere

10^{10}

10^{9}

El error relativo es

1 - frac{10^9}{10^{10}} = 1 - frac{1}{10} = 90%

un gran error relativo. Sin embargo, también se puede considerar el error relativo en los logaritmos; en este caso, los logaritmos (en base 10) son 10 y 9, por lo que el error relativo en los logaritmos es solo del 10%.

El punto es que las funciones exponenciales aumentan mucho los errores relativos: si a y b tienen un pequeño error relativo,

10^a

10^b

el error relativo es mayor y

10^{10^a}

10^{10^b}

tendrá un error relativo aún mayor. La pregunta entonces es: ¿en qué nivel de logaritmos iterados se comparan dos números? Hay un sentido en el que uno puede querer considerar

10^{10^{10}}

10^{10^9}

ser "cercano en magnitud". El error relativo entre estos dos números es grande y el error relativo entre sus logaritmos sigue siendo grande; sin embargo, el error relativo en sus logaritmos de segunda iteración es pequeño:

log_{10}(log_{10}(10^{10^{10}})) = 10

log_{10}(log_{10}(10^{10^9})) = 9

Estas comparaciones de logaritmos iterados son comunes, por ejemplo, en la teoría analítica de números.

Clases

Una solución al problema de comparar números grandes es definir clases de números, como el sistema ideado por Robert Munafo, que se basa en diferentes "niveles" de percepción de una persona promedio. La clase 0, números entre cero y seis, se define para contener números que se subitizan fácilmente, es decir, números que aparecen con mucha frecuencia en la vida diaria y son comparables casi instantáneamente. La clase 1 (números entre seis y 1 000 000 = 10⁶) se define para contener números cuyas expresiones decimales se subitizan fácilmente, es decir, números que son fácilmente comparables no por cardinalidad, sino por " mirada" dada la expansión decimal.

Cada clase después de estas se define en términos de iteración de esta exponenciación de base 10, para simular el efecto de otra "iteración" de la indistinguibilidad humana. Por ejemplo, la clase 5 se define para incluir números entre 10^{10^{10^10⁶}} y 10^{10 ^{10^{10^10⁶}}}, que son números donde X se vuelve humanamente indistinguible de X² (tomando logaritmos iterados de tales X genera indistinguibilidad en primer lugar entre log(X) y 2log(X), en segundo lugar entre log(log(X)) y 1+log(log(X)), y finalmente una expansión decimal extremadamente larga cuya longitud no se puede subitizar).

Aritmética aproximada

Existen algunas reglas generales relacionadas con las operaciones aritméticas habituales que se realizan con números muy grandes:

La suma y el producto de dos números muy grandes son ambos "aproximadamente" igual al mayor.
$(10^a)^{,!10^b}=10^{a 10^b}=10^{10^{b+log _{10} a}}$

Por lo tanto:

Un número muy grande elevado a una potencia muy grande es "aproximadamente" igual al mayor de los dos valores siguientes: el primer valor y 10 al poder el segundo. Por ejemplo, para muy grande $n$ hay $n^napprox 10^n$ (véase, por ejemplo, el cálculo de mega) y también $2^napprox 10^n$ . Así $2uparrowuparrow 65536 approx 10uparrowuparrow 65533$ , vea la mesa.

Creación sistemática de secuencias cada vez más rápidas

Dada una secuencia/función de enteros que aumenta estrictamente $f_0(n)$ ()n≥1), es posible producir una secuencia de crecimiento más rápido $f_1(n) = f_0^n(n)$ (donde el superscript n denota los n^T potencia funcional). Esto puede repetirse en cualquier número de veces $f_k(n) = f_{k-1}^n(n)$ , cada secuencia creciendo mucho más rápido que la anterior. Así es posible definir $f_omega(n) = f_n(n)$ , que crece mucho más rápido que cualquier $f_{k}$ para finito k (here ω es el primer número ordinal infinito, representando el límite de todos los números finitos k). Esta es la base para la jerarquía de funciones de rápido crecimiento, en la que el subscripto de indexación se extiende a ordinales cada vez mayores.

Por ejemplo, comenzando con f₀(n) = n + 1:

f₁()n) f₀ⁿ()n) n + n = 2n
f₂()n) f₁ⁿ()n) = 2ⁿn ↑ n para n ≥ 2 (utilizando la notación de Knuth up-arrow)
f₃()n) f₂ⁿ()n) Dónde (2 ↑)ⁿ n ≥ 2 ↑² n para n ≥ 2
f_{k+ 1}()n) 2 ↑^k n para n ≥ 2, k ►
f_⋅()n) f_n()n) 2 ↑^{n – 1} n ↑^{n − 2} ()n + 3) − 3 = A()n, nPara n ≥ 2, donde A es la función Ackermann (de la cual f_⋅ es una versión original)
f_ω+1(64) f_⋅⁶⁴(6) Número de Graham (= g₆₄ en la secuencia definida por g₀ = 4, g_{k+ 1} = 3 ↑^g_k 3)
- Esto sigue notando f_⋅()n) 2 ↑^{n – 1} n ↑^{n - 2} 3 + 2, por lo tanto f_⋅()g_k + 2) g_{k+ 1} + 2
f_⋅()n) 2 ↑^{n – 1} n = (2 →) n → n-1) = (2 → n → n-1 → 1) (usando la notación de flecha encadenada de Conway)
f_ω+1()n) f_⋅ⁿ()n) (2 →) n → n-1 → 2) (porque si g_k()n) = X → n → k entonces X → n → k+1 = g_kⁿ1)
f_⋅+k()n) (2 →) n → n-1 → k+1) ±n → n → k)
f_ω2()n) f_⋅+n()n)n → n → n) =n → n → n→ 1)
f_⋅2+k()n)n → n → n → k)
f_ω3()n)n → n → n → n)
f_⋅k()n)n → n →... → n → n) k+ 1 n 's)
f_⋅²()n) f_⋅n()n)n → n →... → n → n) n+ 1 n 's)

En algunas secuencias no computables

La función de castor ocupado Σ es un ejemplo de una función que crece más rápido que cualquier función computable. Su valor, incluso para una entrada relativamente pequeña, es enorme. Los valores de Σ(n) para n = 1, 2, 3, 4 son 1, 4, 6, 13 (secuencia A028444 en el OEIS). Σ(5) no se conoce pero definitivamente es ≥ 4098. Σ(6) es al menos 3.5×10¹⁸²⁶⁷.

Números infinitos

Aunque todos los números discutidos anteriormente son muy grandes, todavía son finitos decididamente. Ciertos campos de matemáticas definen números infinitos y transfinitos. Por ejemplo, aleph-null es la cardinalidad del conjunto infinito de números naturales, y aleph-uno es el próximo mayor número cardenal. ${mathfrak {c}}$ es el cardenalismo de los reales. La propuesta de que $mathfrak{c} = aleph_1$ se conoce como la hipótesis continuum.

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