Números de Euler

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Integers occurring in the coefficients of the Taylor series of 1/cosh t

En matemáticas, los números de Euler son una secuencia E_n de números enteros (secuencia A122045 en el OEIS) definido por la expansión de la serie de Taylor

{displaystyle {frac {1}{cosh t}}={frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{n}}{n!}}cdot t^{n}}

Donde ${displaystyle cosh(t)}$ es la función cosina hiperbólica. Los números Euler están relacionados con un valor especial de los polinomios Euler, a saber:

{displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({tfrac {1}{2}}).}

Los números de Euler aparecen en las expansiones de la serie de Taylor de las funciones secante e hiperbólica secante. Esta última es la función en la definición. También ocurren en combinatoria, específicamente al contar el número de permutaciones alternas de un conjunto con un número par de elementos.

Ejemplos

Los números de Euler indexados impares son todos cero. Los índices pares (secuencia A028296 en el OEIS) tienen signos alternos. Algunos valores son:

E₀	=	1
E₂	=	−1
E₄	=	5
E₆	=	−61−
E₈	=	1385
E₁₀	=	,50 - 50521
E₁₂	=	2702765
E₁₄	=	−199360981
E₁₆	=	19391512145
E₁₈	=	−2404879675441

Algunos autores re-indexan la secuencia para omitir los números impares de Euler con valor cero, o cambiar todos los signos a positivos (secuencia A000364 en el OEIS). Este artículo se adhiere a la convención adoptada anteriormente.

Fórmulas explícitas

En términos de números de Stirling de segunda especie

Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler en términos de números de Stirling del segundo tipo

{displaystyle E_{n}=2^{2n-1}sum _{ell =1}^{n}{frac {(-1)^{ell }S(n,ell)}{ell +1}}left(3left({frac {1}{4}}right)^{(ell)}-left({frac {3}{4}}right)^{(ell)}right),}

{displaystyle E_{2n}=-4^{2n}sum _{ell =1}^{2n}(-1)^{ell }cdot {frac {S(2n,ell)}{ell +1}}cdot left({frac {3}{4}}right)^{(ell)},}

Donde ${displaystyle S(n,ell)}$ denota el número de Stirling del segundo tipo, y ${displaystyle x^{(ell)}=(x)(x+1)cdots (x+ell -1)}$ denota el factorial creciente.

Como una suma doble

Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler como sumas dobles

{displaystyle E_{2n}=(2n+1)sum _{ell =1}^{2n}(-1)^{ell }{frac {1}{2^{ell }(ell +1)}}{binom {2n}{ell }}sum _{q=0}^{ell }{binom {ell }{q}}(2q-ell)^{2n},}

{displaystyle E_{2n}=sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{frac {1}{2^{k}}}sum _{ell =0}^{2k}(-1)^{ell }{binom {2k}{ell }}(k-ell)^{2n}.}

Como una suma iterada

Una fórmula explícita para los números de Euler es:

{displaystyle E_{2n}=isum _{k=1}^{2n+1}sum _{ell =0}^{k}{binom {k}{ell }}{frac {(-1)^{ell }(k-2ell)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}

donde $i$ denota la unidad imaginaria con $i 2 = -1$ .

Como suma sobre particiones

El número de Euler $E 2 n$ se puede expresar como una suma sobre el incluso particiones de $2 n$ ,

{displaystyle E_{2n}=(2n)!sum _{0leq k_{1},ldotsk_{n}leq n}{binom {K}{k_{1},ldotsk_{n}}}delta _{n,sum mk_{m}}left(-{frac {1}{2!}}right)^{k_{1}}left(-{frac {1}{4!}}right)^{k_{2}}cdots left(-{frac {1}{(2n)!}}right)^{k_{n}},}

así como una suma sobre las particiones impares de $2 n - 1$ ,

{displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!sum _{0leq k_{1},ldotsk_{n}leq 2n-1}{binom {K}{k_{1},ldotsk_{n}}}delta _{2n-1,sum (2m-1)k_{m}}left(-{frac {1}{1!}}right)^{k_{1}}left({frac {1}{3!}}right)^{k_{2}}cdots left({frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}right)^{k_{n}},}

donde en ambos casos $K = k 1 + \cdot\cdot\cdot + k n$ y

{displaystyle {binom {K}{k_{1},ldotsk_{n}}}equiv {frac {K!}{k_{1}!cdots k_{n}!}}}

es un coeficiente multinomial. Los deltas de Kronecker en las fórmulas anteriores restringen las sumas sobre las $k$ s a $2 k 1 + 4 k 2 + \cdot\cdot\cdot + 2 nk n = 2 n$ y a $k 1 + 3 k 2 + \cdot\cdot\cdot + (2 n - 1) k n = 2 n - 1$ , respectivamente.

Como ejemplo,

{displaystyle {begin{aligned}E_{10}&=10!left(-{frac {1}{10!}}+{frac {2}{2!,8!}}+{frac {2}{4!,6!}}-{frac {3}{2!^{2},6!}}-{frac {3}{2!,4!^{2}}}+{frac {4}{2!^{3},4!}}-{frac {1}{2!^{5}}}right)\[6pt]&=9!left(-{frac {1}{9!}}+{frac {3}{1!^{2},7!}}+{frac {6}{1!,3!,5!}}+{frac {1}{3!^{3}}}-{frac {5}{1!^{4},5!}}-{frac {10}{1!^{3},3!^{2}}}+{frac {7}{1!^{6},3!}}-{frac {1}{1!^{9}}}right)\[6pt]&=-50,521.end{aligned}}}

Como determinante

$E 2 n$ viene dado por el determinante

begin{align} E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ begin{vmatrix} frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\ frac{1}{4!}& frac{1}{2!} & 1 &~&~\ vdots & ~ & ddots~~ &ddots~~ & ~\ frac{1}{(2n-2)!}& frac{1}{(2n-4)!}& ~&frac{1}{2!} & 1\ frac{1}{(2n)!}&frac{1}{(2n-2)!}& cdots & frac{1}{4!} & frac{1}{2!}end{vmatrix}. end{align}

Como integral

$E 2 n$ también viene dado por las siguientes integrales:

{displaystyle {begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=int _{0}^{infty }{frac {t^{2n}}{cosh {frac {pi t}{2}}}};dt=left({frac {2}{pi }}right)^{2n+1}int _{0}^{infty }{frac {x^{2n}}{cosh x}};dx\[8pt]&=left({frac {2}{pi }}right)^{2n}int _{0}^{1}log ^{2n}left(tan {frac {pi t}{4}}right),dt=left({frac {2}{pi }}right)^{2n+1}int _{0}^{pi /2}log ^{2n}left(tan {frac {x}{2}}right),dx\[8pt]&={frac {2^{2n+3}}{pi ^{2n+2}}}int _{0}^{pi /2}xlog ^{2n}(tan x),dx=left({frac {2}{pi }}right)^{2n+2}int _{0}^{pi }{frac {x}{2}}log ^{2n}left(tan {frac {x}{2}}right),dx.end{aligned}}}

Congruencias

W. Zhang obtuvo las siguientes identidades combinadas respecto a los números de Euler, para cualquier primo $p$ , tenemos

{displaystyle (-1)^{frac {p-1}{2}}E_{p-1}equiv textstyle {begin{cases}0mod p&{text{if }}pequiv 1{bmod {4}};\-2mod p&{text{if }}pequiv 3{bmod {4}}.end{cases}}}

W. Zhang y Z. Xu demostró que, para cualquier primo ${displaystyle pequiv 1{pmod {4}}}$ y entero ${displaystyle alpha geq 1}$ , tenemos

{displaystyle E_{phi (p^{alpha })/2}not equiv 0{pmod {p^{alpha }}}}

Donde $phi (n)$ es la función totiente de Euler.

Aproximación asintótica

Los números de Euler crecen bastante rápido para índices grandes como tienen el siguiente límite inferior

8{sqrt {frac {n}{pi }}}left({frac {4n}{pi e}}right)^{2n}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioE2nSilencio■8nπ π ()4nπ π e)2n.{displaystyle ¿Qué? {fnfn} {fnfn}derecho.} {2n}} 8 sqrt { frac{n}{pi} } left(frac{4 n}{ pi e}right)^{2 n}. " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496e620eedd34b8c2b0882344abc01b0e2b3cc95" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.367ex; height:6.676ex;"/>

Números en zigzag de Euler

La serie Taylor ${displaystyle sec x+tan x=tan left({frac {pi }{4}}+{frac {x}{2}}right)}$ es

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}

donde $A n$ son los números en zigzag de Euler, comenzando con

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,... (secuencia) A000111 en el OEIS)

Para todos, incluso $n$ ,

{displaystyle A_{n}=(-1)^{frac {n}{2}}E_{n},}

donde $E n$ es el número de Euler; y para todos los $n$ impares,

{displaystyle A_{n}=(-1)^{frac {n-1}{2}}{frac {2^{n+1}left(2^{n+1}-1right)B_{n+1}}{n+1}},}

donde $B n$ es el número de Bernoulli.

Por cada n,

{displaystyle {frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}sin {left({frac {npi }{2}}right)}+sum _{m=0}^{n-1}{frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}sin {left({frac {mpi }{2}}right)}={frac {1}{(n-1)!}}.}

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