Número triangular

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Número de figura

Los primeros seis números triangulares (no comenzando con T₀)

Números triangulares Parcela

Un número triangular o número triangular cuenta objetos dispuestos en un triángulo equilátero. Los números triangulares son un tipo de número figurado, otros ejemplos son los números cuadrados y los números cúbicos. El $n$ ésimo número triangular es el número de puntos en el arreglo triangular con $n$ puntos en cada lado, y es igual a la suma de los $n$ números naturales del 1 al $n$ . La secuencia de números triangulares, comenzando con el número triangular 0, es

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(secuencia A000217 en el OEIS)

Fórmula

Derivación de números triangulares de un triángulo pascal ajustado a la izquierda

Los números triangulares vienen dados por las siguientes fórmulas explícitas:

{displaystyle T_{n}=sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+dotsb +n={frac {n(n+1)}{2}}={n+1 choose 2},}

textstyle {n+1 choose 2}

n + 1

n

La primera ecuación se puede ilustrar usando una prueba visual. Por cada número triangular $T_{n}$ , imagine un arreglo "half-rectangle" de objetos correspondientes al número triangular, como en la figura siguiente. Copiando este arreglo y girando para crear una figura rectangular duplica el número de objetos, produciendo un rectángulo con dimensiones ${displaystyle ntimes (n+1)}$ , que es también el número de objetos en el rectángulo. Claramente, el número triangular en sí es siempre exactamente la mitad del número de objetos en tal figura, o: ${displaystyle T_{n}={frac {n(n+1)}{2}}}$ . El ejemplo $T_{4}$ A continuación:

{displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}

(verde más amarillo) implica que

{displaystyle T_{4}={frac {4(4+1)}{2}}=10}

(verde).

Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle.png

Esta fórmula se puede probar formalmente usando la inducción matemática. Es claramente verdad para $1$ :

{displaystyle T_{1}=sum _{k=1}^{1}k={frac {1(1+1)}{2}}={frac {2}{2}}=1.}

Ahora asumir que, para algún número natural $m$ , ${displaystyle T_{m}=sum _{k=1}^{m}k={frac {m(m+1)}{2}}}$ . Añadiendo ${displaystyle m+1}$ a este rendimiento

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={frac {m(m+1)}{2}}+m+1\&={frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\&={frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\&={frac {m^{2}+3m+2}{2}}\&={frac {(m+1)(m+2)}{2}},end{aligned}}}

así que si la fórmula es verdadera $m$ , es verdad para $m+1$ . Puesto que es claramente cierto para $1$ , por lo tanto es verdad $2$ , $3$ , y en última instancia todos los números naturales $n$ por inducción.

Se dice que el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss encontró esta relación en su temprana juventud, al multiplicar $n / 2$ pares de números en la suma por los valores de cada par $n + 1$ . Sin embargo, independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos encuentran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. Las dos fórmulas fueron descritas por el monje irlandés Dicuil alrededor del año 816 en su Computus. Una traducción al inglés de la cuenta de Dicuil está disponible.

El número triangular $T n$ resuelve el problema del apretón de manos de contar el número de apretones de manos si cada persona en una habitación con $n + 1$ personas le da la mano una vez a cada persona. En otras palabras, la solución al problema del apretón de manos de $n$ personas es $T n -1$ . La función $T$ es el análogo aditivo de la función factorial, que son los productos de números enteros de 1 a $n$ .

Esta misma función se acuñó como "Función terminal" por El arte de la programación informática de Donald Knuth y denotado n? (análogo para la notación factorial n!)

Por ejemplo, <b10 terminal es equivalente a:

{displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}

que por supuesto, corresponde al décimo número triangular.

El número de segmentos de línea entre los pares de puntos más cercanos en el triángulo se puede representar en términos del número de puntos o con una relación de recurrencia:

{displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}

En el límite, la relación entre los dos números, puntos y segmentos de línea es

{displaystyle lim _{nto infty }{frac {T_{n}}{L_{n}}}={frac {1}{3}}.}

Relaciones con otros números figurados

Los números triangulares tienen una amplia variedad de relaciones con otros números figurados.

De manera más sencilla, la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado, siendo la suma el cuadrado de la diferencia entre los dos (y, por lo tanto, la diferencia de los dos es la raíz cuadrada de la suma). algebraicamente,

{displaystyle T_{n}+T_{n-1}=left({frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{2}}right)+left({frac {left(n-1right)^{2}}{2}}+{frac {n-1}{2}}right)=left({frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{2}}right)+left({frac {n^{2}}{2}}-{frac {n}{2}}right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}

Este hecho se puede demostrar gráficamente colocando los triángulos en direcciones opuestas para crear un cuadrado:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

El doble de un número triangular, como en la prueba visual de la sección anterior § Fórmula, se llama número pronico.

Hay una cantidad infinita de números triangulares que también son números cuadrados; por ejemplo, 1, 36, 1225. Algunos de ellos pueden generarse mediante una fórmula recursiva simple:

{displaystyle S_{n+1}=4S_{n}left(8S_{n}+1right)}

S_{1}=1.

Todos los números triangulares cuadrados se encuentran a partir de la recursividad

{displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}

S_{0}=0

S_{1}=1.

Un cuadrado cuya longitud lateral es un número triangular se puede dividir en cuadrados y media cuadras cuyas áreas se añaden a cubos. Esto muestra que la plaza del

n

th triangular number is equal to the sum of the first

n

números de cubo.

Además, el cuadrado del enésimo número triangular es igual a la suma de los cubos de los enteros 1 a $n$ . Esto también se puede expresar como

{displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{3}=left(sum _{k=1}^{n}kright)^{2}.}

La suma de los primeros $n$ números triangulares es el $n$ ésimo número tetraédrico:

{displaystyle sum _{k=1}^{n}T_{k}=sum _{k=1}^{n}{frac {k(k+1)}{2}}={frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}

Más generalmente, la diferencia entre el $n$ ésimo número m-gonal y el $n$ el número $(m + 1)$ -gonal es el $(n - 1)$ ésimo número triangular. Por ejemplo, el sexto número heptagonal (81) menos el sexto número hexagonal (66) es igual al quinto número triangular, 15. Cualquier otro número triangular es un número hexagonal. Conociendo los números triangulares, se puede calcular cualquier número poligonal centrado; el $n$ ésimo $k$ -número gonal centrado se obtiene mediante la fórmula

{displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}

donde $T$ es un número triangular.

La diferencia positiva de dos números triangulares es un número trapezoidal.

El patrón encontrado para los números triangulares ${displaystyle sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={binom {n_{2}+1}{2}}}$ y para números tetraedral ${displaystyle sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={binom {n_{3}+2}{3}},}$ que utiliza coeficientes binomiales, se puede generalizar. Esto conduce a la fórmula:

{displaystyle sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}dots sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={binom {n_{k}+k-1}{k}}}

El cuarto número triangular equivale al tercer número de tetraedral como el nT k- número simple igual al kT n- número complejo debido a la simetría del triángulo de Pascal, y sus diagonales son números simples; de manera similar, el quinto número triangular (15) equivale al tercer número de pentatopo, y así sucesivamente

Otras propiedades

Los números triangulares corresponden al caso de primer grado de la fórmula de Faulhaber.

Los números triangulares alternos (1, 6, 15, 28,...) también son números hexagonales.

Todo número par perfecto es triangular (así como hexagonal), dado por la fórmula

{displaystyle M_{p}2^{p-1}={frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}

M p

Por ejemplo, el tercer número triangular es (3 × 2 =) 6, el séptimo es (7 × 4 =) 28, el 31 es (31 × 16 =) 496 y el 127 es (127 × 64 =) 8128.

El dígito final de un número triangular es 0, 1, 3, 5, 6 u 8 y, por lo tanto, dichos números nunca terminan en 2, 4, 7 o 9. Un 3 final debe estar precedido por un 0 o 5; un 8 final debe estar precedido por un 2 o un 7.

En base 10, la raíz digital de un número triangular distinto de cero es siempre 1, 3, 6 o 9. Por lo tanto, cada número triangular es divisible por tres o tiene un resto de 1 cuando se divide por 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

El patrón de raíz digital para números triangulares, que se repite cada nueve términos, como se muestra arriba, es "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Sin embargo, lo contrario de la afirmación anterior no siempre es cierto. Por ejemplo, la raíz digital de 12, que no es un número triangular, es 3 y divisible por tres.

Si $x$ es un número triangular, entonces $ax + b$ también es un número triangular, dado que $a$ es un cuadrado impar y $b = a - 1 / 8$ . Tenga en cuenta que $b$ siempre será un número triangular, porque $8 T n + 1 = (2 n + 1) 2$ , lo que da como resultado que todos los cuadrados impares se revelan al multiplicar un número triangular por 8 y sumando 1, y el proceso para $b$ dado $a$ es un cuadrado impar es el inverso de esta operación. Los primeros pares de esta forma (sin contar $1 x + 0$ ) son: $9 x + 1$ , $25 x + 3$ , $49 x + 6$ , $81 x + 10$ , $121 x + 15$ , $169 x + 21$ ,... etc. Dado $x$ es igual a $T n$ , estas fórmulas producen T_{3n + 1}, $T 5 n + 2$ , $T 7 n + 3$ , $T 9 n + 4$ , y así sucesivamente.

La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{1 over {{n^{2}+n} over 2}}=2sum _{n=1}^{infty }{1 over {n^{2}+n}}=2.}

Esto se puede demostrar usando la suma básica de una serie telescópica:

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{1 over {n(n+1)}}=1.}

Otras dos fórmulas con respecto a los números triangulares son

{displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}

{displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}

En 1796, Gauss descubrió que todo número entero positivo se puede representar como una suma de tres números triangulares (que posiblemente incluyan $T 0$ = 0), escribiendo en su diario sus famosas palabras, "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Este teorema no implica que los números triangulares sean diferentes (como en el caso de 20 = 10 + 10 + 0), ni que deba existir una solución con exactamente tres números triangulares distintos de cero. Este es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat.

El número triangular más grande de la forma $2 k - 1$ es 4095 (ver la ecuación de Ramanujan-Nagell).

Wacław Franciszek Sierpiński planteó la cuestión de la existencia de cuatro números triangulares distintos en progresión geométrica. El matemático polaco Kazimierz Szymiczek conjeturó que era imposible y luego Fang y Chen lo demostraron en 2007.

Las fórmulas que implican expresar un número entero como la suma de números triangulares están conectadas a funciones theta, en particular, la función theta de Ramanujan.

Aplicaciones

El número máximo de piezas, p obtenido con n cortes rectos es el n- el número triangular más uno, formando la secuencia perezosa del caterrático (OEIS A000124)

Una red totalmente conectada de $n$ dispositivos informáticos requiere la presencia de $T n - 1$ cables u otras conexiones; esto es equivalente al problema del apretón de manos mencionado anteriormente.

En un formato de torneo que utiliza una fase de grupos de todos contra todos, la cantidad de partidos que deben jugarse entre $n$ equipos es igual a el número triangular $T n - 1$ . Por ejemplo, una fase de grupos con 4 equipos requiere 6 partidos, y una fase de grupos con 8 equipos requiere 28 partidos. Esto también es equivalente al problema del apretón de manos y a los problemas de red totalmente conectada.

Una forma de calcular la depreciación de un activo es la suma de años' método de dígitos, que consiste en encontrar $T n$ , donde $n$ es la duración en años de la vida útil del activo. Cada año, el elemento pierde $(b - s) \times n - y / T n$ , donde $b$ es el valor inicial del artículo (en unidades monetarias), $s$ es su valor residual final, $n$ es el número total de años que se puede usar el elemento, y $y$ el año en curso en el programa de amortización. Con este método, un elemento con una vida útil de $n$ = 4 años perdería 4/10 de sus "perdible" valor en el primer año, 3/10 en el segundo, 2/10 en el tercero, y 1/10 en el cuarto, acumulando una depreciación total de 10/10 (la totalidad) del valor perdedor.

Los diseñadores de juegos de mesa Geoffrey Engelstein e Isaac Shalev describen que los números triangulares han alcanzado "casi el estatus de mantra o koan entre los diseñadores de juegos", describiéndolos como "profundamente intuitivos" y "presentado en una enorme cantidad de juegos, [probando] increíblemente versátil al proporcionar recompensas crecientes para conjuntos más grandes sin incentivar demasiado la especialización hasta la exclusión de todas las demás estrategias".

Raíces triangulares y pruebas para números triangulares

Por analogía con la raíz cuadrada de $x$ , se puede definir la raíz triangular (positiva) de $x$ como el número $n$ tal que $T n = x$ :

{displaystyle n={frac {{sqrt {8x+1}}-1}{2}}}

que se sigue inmediatamente de la fórmula cuadrática. Entonces, un entero $x$ es triangular si y solo si $8 x + 1$ es un cuadrado. De manera equivalente, si la raíz triangular positiva $n$ de $x$ es un número entero, entonces $x$ es el $n$ ésimo número triangular.

Nombre alternativo

Como se indicó, un nombre alternativo propuesto por Donald Knuth, por analogía con los factoriales, es "terminal", con la notación $n ? para el n ésimo número triangular. Sin embargo, aunque algunas otras fuentes usan este nombre y notación, no se usan mucho.$

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