Número trascendental

En matemáticas, un número trascendental es un número que no es algebraico, es decir, no es la raíz de un polinomio distinto de cero de grado finito con coeficientes racionales. Los números trascendentales más conocidos son π y e.

Aunque sólo se conocen algunas clases de números trascendentales, en parte porque puede ser extremadamente difícil demostrar que un número determinado es trascendental, los números transcendentales no son raros. De hecho, casi todos los números reales y complejos son trascendental, ya que los números algebraicos comprenden un conjunto contable, mientras que el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos son ambos conjuntos incontables, y por lo tanto más grande que cualquier conjunto contable. Todos números reales trascendental (también conocido como números trascendental real o números irracionales trascendentales) son números irracionales, ya que todos los números racionales son algebraicos. El contrario no es cierto: no todos los números irracionales son trascendental. Por lo tanto, el conjunto de números reales consiste en números reales no superpuestos racionales, algebraicos no racionales y trascendental. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, pero no es un número trascendental ya que es una raíz de la ecuación polinomio x² − 2 = 0. La relación de oro (denotado) ${displaystyle varphi }$ o ${displaystyle phi }$) es otro número irracional que no es trascendental, ya que es una raíz de la ecuación polinomio x² − x − 1 = 0. La calidad de un número siendo trascendental se llama trascendencia.

Historia

El nombre "trascendental" proviene del latín transcendĕre 'escalar por encima o más allá, superar', y se usó por primera vez para el concepto matemático en el artículo de Leibniz de 1682 en el que demostró que sin x no es una función algebraica de x. Euler, en el siglo XVIII, fue probablemente la primera persona en definir los números trascendentales en el sentido moderno.

Johann Heinrich Lambert conjeturó que e y π eran números trascendentales en su artículo de 1768 que prueba el número π es irracional y propuso un bosquejo tentativo de una prueba de La trascendencia de π.

Joseph Liouville demostró por primera vez la existencia de números trascendentales en 1844, y en 1851 dio los primeros ejemplos decimales como la constante de Liouville

${displaystyle {begin{aligned}L_{b} ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################$

en el que el nésimo dígito después del punto decimal es 1 si n es igual a k! (k factorial) para algunos k y 0 de lo contrario. En otras palabras, el nésimo dígito de este número es 1 solo si n es uno de los números 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, etc. Liouville demostró que este número pertenece a una clase de números trascendentales que pueden aproximarse más estrechamente mediante números racionales que cualquier número algebraico irracional, y esta clase de números se denominan números de Liouville, nombrados en su honor. Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales.

El primer número que se demuestra trascendental sin haber sido construido específicamente con el propósito de probar los números trascendentales' existencia fue e, por Charles Hermite en 1873.

En 1874, Georg Cantor demostró que los números algebraicos son contables y los números reales son incontables. También dio un nuevo método para construir números trascendentales. Aunque esto ya estaba implícito en su prueba de la contabilidad de los números algebraicos, Cantor también publicó una construcción que prueba que hay tantos números trascendentales como números reales. El trabajo de Cantor estableció la ubicuidad de los números trascendentales.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publicó la primera prueba completa de la trascendencia de π. Primero demostró que e^a es trascendental si a es un número algebraico distinto de cero. Entonces, desde e^iπ = −1 es algebraico (ver la identidad de Euler), iπ debe ser trascendental. Pero como i es algebraico, π por lo tanto debe ser trascendental. Este enfoque fue generalizado por Karl Weierstrass a lo que ahora se conoce como el teorema de Lindemann-Weierstrass. La trascendencia de π permitió probar la imposibilidad de varias construcciones geométricas antiguas que involucran compás y regla, incluida la más famosa, el cuadrado el círculo.

En 1900, David Hilbert planteó una pregunta influyente sobre los números trascendentales, el séptimo problema de Hilbert: si a es un número algebraico que no es cero ni uno, y b es un número algebraico irracional, es a^b necesariamente trascendental? La respuesta afirmativa fue proporcionada en 1934 por el teorema de Gelfond-Schneider. Este trabajo fue ampliado por Alan Baker en la década de 1960 en su trabajo sobre los límites inferiores de las formas lineales en cualquier número de logaritmos (de números algebraicos).

Propiedades

Un número trascendental es un número (posiblemente complejo) que no es la raíz de ningún polinomio entero. Todo número real trascendental debe ser también irracional, ya que un número racional es la raíz de un polinomio entero de grado uno. El conjunto de los números trascendentales es incontablemente infinito. Como los polinomios con coeficientes racionales son contables, y como cada polinomio tiene un número finito de ceros, los números algebraicos también deben ser contables. Sin embargo, el argumento de la diagonal de Cantor prueba que los números reales (y por lo tanto también los números complejos) son incontables. Dado que los números reales son la unión de números algebraicos y trascendentales, es imposible que ambos subconjuntos sean contables. Esto hace que los números trascendentales no sean contables.

Ningún número racional es trascendental y todos los números reales trascendentales son irracionales. Los números irracionales contienen todos los números trascendentales reales y un subconjunto de los números algebraicos, incluidos los irracionales cuadráticos y otras formas de irracionales algebraicos.

La aplicación de cualquier función algebraica de variable única no constante a un argumento trascendental produce un valor trascendental. Por ejemplo, sabiendo que π es trascendental, se puede deducir inmediatamente que números como 5π, π-3/√2< /span>, (√π -√3)⁸, y ⁴√π⁵+7 también son trascendentales.

Sin embargo, una función algebraica de varias variables puede producir un número algebraico cuando se aplica a números trascendentales si estos números no son algebraicamente independientes. Por ejemplo, π y (1 − π) son ambos trascendentales, pero π + (1 − π) = 1 obviamente no lo es. Se desconoce si e + π, por ejemplo, es trascendental, aunque al menos uno de e + π y eπ deben ser trascendental. De manera más general, para dos números trascendentales cualesquiera a y b, al menos uno de a + b y ab debe ser trascendental. Para ver esto, considere el polinomio (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + < i>ab. Si (a + b) y ab fueran ambos algebraicos, entonces sería un polinomio con coeficientes algebraicos. Debido a que los números algebraicos forman un campo algebraicamente cerrado, esto implicaría que las raíces del polinomio, a y b, debe ser algebraica. Pero esto es una contradicción, y por lo tanto debe darse el caso de que al menos uno de los coeficientes sea trascendental.

Los números no computables son un subconjunto estricto de los números trascendentales.

Todos los números de Liouville son trascendentes, pero no al revés. Cualquier número de Liouville debe tener cocientes parciales ilimitados en su expansión de fracción continua. Usando un argumento de conteo, se puede mostrar que existen números trascendentales que tienen cocientes parciales acotados y, por lo tanto, no son números de Liouville.

Usando la expansión de fracción continua explícita de e, se puede demostrar que e no es un número de Liouville (aunque los cocientes parciales en su expansión de fracción continua son ilimitados). Kurt Mahler demostró en 1953 que π tampoco es un número de Liouville. Se conjetura que todas las fracciones continuas infinitas con términos acotados que no son eventualmente periódicas son trascendentales (eventualmente, las fracciones continuas periódicas corresponden a irracionales cuadráticos).

Números probados para ser trascendentales

Números que han demostrado ser trascendentales:

• e^a si a es algebraico y no cero (por el teorema Lindemann-Weierstrass).
• π (por el teorema Lindemann-Weierstrass).
• e^π, la constante de Gelfond, así como e^−π/2 = iⁱ (por el teorema Gelfond-Schneider).
• a^b Donde a es algebraico pero no 0 o 1, y b es algebraico irracional (por el teorema Gelfond–Schneider), en particular:

2^√2, la constante Gelfond-Schneider (o número Hilbert)

• pecado a, # a, # a, csc a, sec a, y cot a, y sus contrapartes hiperbólicas, para cualquier número algebraico no cero a, expresado en radianos (por el teorema Lindemann-Weierstrass).
• El punto fijo de la función cosina (también conocido como el número Dottie) d) – la solución única real de la ecuación # x = x, donde x está en radians (por el teorema Lindemann-Weierstrass).
• In a si a es algebraico y no igual a 0 o 1, para cualquier rama de la función de logaritmo (por el teorema Lindemann-Weierstrass).
• log_b a si a y b son números enteros positivos no ambos poderes del mismo entero (por el teorema Gelfond–Schneider).
• La función Bessel J_.()x), su primer derivado, y el cociente J '_.()x)/J_.()x) son trascendental cuando . es racional y x es algebraica y no cero, y todas las raíces no cero de J_.x) y J'_.x) son trascendental cuando . es racional.
• W()a) si a es algebraica y no cero, para cualquier rama de la función Lambert W (por el teorema Lindemann-Weierstrass), en particular: Ω la constante omega
• √x_s, la super-raíz cuadrada de cualquier número natural es un entero o trascendental (por el teorema Gelfond–Schneider)
• (1/3), (1/4), y (1/6). Los números ${displaystyle Gamma [2/3]$, ${displaystyle Gamma [3/4]}$ y ${displaystyle Gamma [5/6]}$ también se sabe que es trascendental. Los números ${displaystyle Gamma [1/4]^{4}/pi }$ y ${displaystyle Gamma [1/3]$ son también trascendental.
• 0.64341054629... la constante de Cahen.
• Las constantes Champernowne, los números irracionales formados por representaciones concatenantes de todos los enteros positivos.
• Ω, constante de Chaitin (ya que es un número no compatible).
• El llamado Fredholm constantes, tales como

  ${displaystyle sum _{n=0}{infty }10^{-2^{n}=0.{textbf {1}}{textbf {1}0{textbf {1}0}000{textbf {1}0000000{textbf {1}}}}ldots }$

que también sostiene por reemplazar 10 con cualquier algebraico b ■ 1.

• La constante de Gauss y la constante de lemniscate.
• La anterior constante de Liouville para cualquier algebraico b (0, 1).
• La constante Prouhet-Thue-Morse.
• La constante Komornik-Loreti.
• Cualquier número para el cual los dígitos con respecto a alguna base fija forman una palabra Sturmian.
• Para β ■ 1

${displaystyle sum _{k=0}{infty }10^{-leftlfloor beta ¿Qué?$

Donde ${displaystyle beta mapsto lfloor beta rfloor }$ es la función del suelo.

• 3.300330000000330033... y su recíproco 0.30300000303..., dos números con sólo dos dígitos decimales diferentes cuyas posiciones de no cero dígitos son dadas por la secuencia Moser-de Bruijn y su doble.
• El número π/2Y₀2)/J₀2)-γ, donde Y_α()x) y J_α()x) son funciones de Bessel y γ es la constante Euler-Mascheroni.
• Nesterenko demostró en 1996 que ${displaystyle pie^{pi}$ y ${displaystyle Gamma [1/4]}$ son algebraicamente independientes.

Posibles números trascendentales

Números que aún no se ha demostrado que sean trascendentales o algebraicos:

• La mayoría de las sumas, productos, poderes, etc. del número π y el número e, por ejemplo. eπ, e + π, π − e, π/e, π^π, e^e, π^e, π^√2, e^π2 no se sabe que es racional, algebraico, irracional o trascendental. Una excepción notable es e^π√n (para cualquier entero positivo n) que ha sido probado trascendental.
• La constante Euler-Mascheroni γ: En 2010 M. Ram Murty y N. Saradha encontraron una lista infinita de números que contenían γ/4 de tal manera que todos menos uno de ellos son trascendental. En 2012 se demostró que al menos uno de γ y la constante Euler–Gompertz δ es trascendental.
• Apéry es constante Especificaciones3) (que Apéry demostró es irracional).
• La constante catalana, ni siquiera resultó irracional.
• La constante de Khinchin, tampoco resultó irracional.
• La función Riemann zeta en otros números extraños, Especificaciones5), Especificaciones(7),... (no demostrado ser irracional).
• Las constantes de Feigenbaum δ y α, también no demostrado ser irracional.
• La constante de Mills, tampoco resultó irracional.
• La constante Copeland–Erdős, formada por la concatenación de las representaciones decimales de los números primos.
• ${displaystyle Gamma (1/5)}$ no se ha demostrado irracional.

Conjeturas:

• La conjetura de Schanuel,
• Cuatro exponenciales conjetura.

Esbozo de una demostración de que e es trascendental

La primera demostración de que la base de los logaritmos naturales, e, es trascendental data de 1873. Ahora seguiremos la estrategia de David Hilbert (1862–1943), quien simplificó la demostración original de Charles Hermite. La idea es la siguiente:

Suponga, con el propósito de encontrar una contradicción, que e es algebraica. Entonces existe un conjunto finito de coeficientes enteros c₀, c₁,..., c_n satisfaciendo la ecuación:

${displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+cdots ##c_{n}e^{n}=0,qquad C_{0},c_{n}neq 0.}$

Ahora, para un entero positivo k, definimos el siguiente polinomio:

${displaystyle f_{k}(x)=x^{k}left[(x-1)cdots (x-n)right]^{k+1}}$

y multiplica ambos lados de la ecuación anterior por

${displaystyle int _{0}{infty }f_{k}e^{-x},dx,}$

para llegar a la ecuación:

${displaystyle c_{0}left(int ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxright)+c_{1}eleft(int) ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxright)+cdots +c_{n}e^{n}left(int) ¿Qué?$

Al dividir los respectivos dominios de integración, esta ecuación se puede escribir en la forma

${displaystyle P+Q=0$

dónde

${displaystyle {begin{aligned}P limit=c_{0}left(int) ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxright)+c_{1}eleft(int) ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxright)+c_{2}e^{2}left(int) ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxright)+cdots ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxright)\QUENTE =c_{1}eleft(int) ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué?$

Lemma 1. Para una elección adecuada k, ${displaystyle {tfrac {}}}}$ es un entero no cero.

Prueba. Cada término en P es un tiempo entero una suma de factoriales, que resulta de la relación

${displaystyle int ¿Qué?$

que es válido para cualquier entero positivo j (considerar la función Gamma).

No es cero porque para cada a satisfacción 0 a ≤ n, el integrado en

${displaystyle C_{a}e^{a}int ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dx}$

es e^−x tiempos una suma de términos cuyo poder más bajo x es k+1 después de sustitución x para x+a en la integral. Entonces esto se convierte en una suma de integrales de la forma

${displaystyle A_{j-k}int ¿Qué?$ Donde A_j-k es entero.

con k+1 ≤ j, y es por lo tanto un entero divisible por (k+1)! Después de dividir por k!, tenemos cero modulo (k+1). Sin embargo, podemos escribir:

${displaystyle int ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dx=int _{0}{infty }left(left[(-1)^{n}(n)right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+cdots right)dx}$

y así

${displaystyle {frac {fnMicrosoft Sans Serif}c_{0}int ¿Qué? }f_{k}e^{-x},dxequiv c_{0}[(-1)^{n}(n)]^{k+1}not equiv 0{pmod {k+1}}.}$

Así que al dividir cada integral en P por k!, el inicial no es divisible por k+1, pero todos los demás son, mientras k+1 es primo y más grande que n y confidencialidadc₀Silencio. De ello se desprende que ${displaystyle {tfrac {}}}}$ no es divisible por la primera k+1 y por lo tanto no puede ser cero.

Lemma 2. ${displaystyle lefttención{tfrac Está bien.$ suficientemente grande ${displaystyle k}$.

Prueba. Note que

${cHFF} {cdot} {cdot}cdot}cdots (x-1)cdots (x-n)}{k+1}cdotscdots (x-n)cdotcdot$

Donde ${displaystyle u(x)}$ y ${displaystyle v(x)}$ son funciones continuas ${displaystyle x}$ para todos ${displaystyle x}$, así que están atados en el intervalo ${displaystyle [0,n]}$. Es decir, hay constantes ${displaystyle G,H confía0}$ tales que

${displaystyle left habitf_{k}e^{-x}right foreverleq Silenciou(x) Hquad {text{ for }0leq xleq n.}$

Así que cada una de esas integrales componiendo ${displaystyle Q}$ está obligado, el peor caso es ser

${displaystyle left durableint ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

Ahora es posible atar la suma ${displaystyle Q}$ así:

${displaystyle Silenciosamente escrito: - No. M,}$

Donde ${displaystyle M}$ es una constante no dependiendo de ${displaystyle k}$. De ello se desprende que

${displaystyle lefttención{frac Bien. TENIDO Mcdot {frac {G^{k}{k}}to 0quad {text{ as }kto infty}$

terminando la prueba de esta lema.

Elegir un valor ${displaystyle k}$ satisfacer ambos lemas conduce a un entero no cero (${displaystyle ¡P/k!$) añadido a una cantidad desvanecedoramente pequeña (${displaystyle Q/k!$) ser igual a cero, es una imposibilidad. De ahí que la hipótesis original, que e puede satisfacer una ecuación polinomio con coeficientes enteros, también es imposible; es decir, e es trascendental.

La trascendencia de π

Se puede usar una estrategia similar, diferente del enfoque original de Lindemann, para mostrar que el número π es trascendental. Además de la función gamma y algunas estimaciones como en la prueba de e, los datos sobre polinomios simétricos juegan un papel vital en la prueba.

Para obtener información detallada sobre las pruebas de la trascendencia de π y e, consulte las referencias y los enlaces externos.