Número transfinito

En matemáticas, los números transfinitos son números que son "infinitos" en el sentido de que son más grandes que todos los números finitos, pero no necesariamente absolutamente infinitos. Estos incluyen los cardinales transfinitos, que son números cardinales que se usan para cuantificar el tamaño de conjuntos infinitos, y los ordinales transfinitos, que son números ordinales que se usan para ordenar conjuntos infinitos.. El término transfinito fue acuñado por Georg Cantor en 1895, quien deseaba evitar algunas de las implicaciones de la palabra infinito en relación con estos objetos que, sin embargo, no finito. Pocos escritores contemporáneos comparten estos escrúpulos; ahora es un uso aceptado referirse a los cardinales y ordinales transfinitos como números infinitos. Sin embargo, el término "transfinito" también sigue en uso.

Wacław Sierpiński realizó un trabajo notable sobre los números transfinitos: Leçons sur les nombres transfinis (libro de 1928) muy ampliado en Números cardinales y ordinales (1958, 2.ª ed. 1965).

Definición

Cualquier número natural finito se puede utilizar al menos de dos formas: como ordinal y como cardinal. Los números cardinales especifican el tamaño de los conjuntos (p. ej., una bolsa de cinco canicas), mientras que los números ordinales especifican el orden de un miembro dentro de un conjunto ordenado (p. ej., "la tercera hombre de la izquierda" o "el veintisiete día de enero"). Cuando se extienden a números transfinitos, estos dos conceptos ya no tienen una correspondencia uno a uno. Un número cardinal transfinito se usa para describir el tamaño de un conjunto infinitamente grande, mientras que un ordinal transfinito se usa para describir la ubicación dentro de un conjunto infinitamente grande que está ordenado. Los números ordinales y cardinales más notables son, respectivamente:

• ⋅ ⋅ {displaystyle omega } (Omega): el menor número de ordinal transfinito. También es el tipo de orden de los números naturales bajo su orden lineal habitual.
• א א 0{displaystyle aleph _{0} (Aleph-null): el primer número cardenal transfinito. Es también la cardinalidad de los números naturales. Si el axioma de elección sostiene, el próximo número cardenal superior es aleph-one, א א 1.{displaystyle aleph _{1} Si no, puede haber otros cardenales que son incomparables con aleph-uno y más grande que aleph-null. De cualquier manera, no hay cardenales entre aleph-null y aleph-one.

La hipótesis continua es la proposición de que no hay números cardinales intermedios entre א א 0{displaystyle aleph _{0} y la cardinalidad del continuum (la cardinalidad del conjunto de números reales): o equivalentemente que א א 1{displaystyle aleph _{1} es la cardinalidad del conjunto de números reales. En Zermelo–Fraenkel fijó la teoría, ni se puede probar la hipótesis continuum ni su negación.

Algunos autores, incluidos P. Suppes y J. Rubin, utilizan el término cardinal transfinito para referirse a la cardinalidad de un conjunto infinito de Dedekind en contextos en los que puede no ser equivalente a "cardinal infinito"; es decir, en contextos donde el axioma de elección contable no se asume o no se sabe que se cumple. Dada esta definición, los siguientes son todos equivalentes:

• m{displaystyle {m} es un cardenal transfinito. Es decir, hay un conjunto infinito Dedekind A{displaystyle A} tal que el cardenalismo A{displaystyle A} es m.{displaystyle {mathfrak}}
• m+1=m.{displaystyle {mathfrak {m}+1={mathfrak {m}}
• א א 0≤ ≤ m.{displaystyle aleph _{0}leq {mathfrak {m}}}
• Hay un cardenal n{\displaystyle {\fn} tales que א א 0+n=m.{displaystyle aleph - ¿Qué? {n}={mathfrak {m}}

Aunque tanto los ordinales transfinitos como los cardinales generalizan solo los números naturales, otros sistemas de números, incluidos los números hiperreales y los números surrealistas, brindan generalizaciones de los números reales.

Ejemplos

En la teoría de Cantor de números ordinal, cada número entero debe tener un sucesor. El siguiente entero después de todos los regulares, que es el primer entero infinito, se llama ⋅ ⋅ {displaystyle omega }. En este contexto, ⋅ ⋅ +1{displaystyle omega +1} es más grande que ⋅ ⋅ {displaystyle omega }, y ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2{displaystyle omega cdot 2}, ⋅ ⋅ 2{displaystyle omega ^{2} y ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ {displaystyle omega ^{omega } son más grandes todavía. Expresiones rítmicas que contienen ⋅ ⋅ {displaystyle omega } especifique un número ordinal, y puede ser pensado como el conjunto de todos los enteros hasta ese número. Un número dado generalmente tiene múltiples expresiones que lo representan, sin embargo, hay una forma única Cantor normal que lo representa, esencialmente una secuencia finita de dígitos que dan coeficientes de poderes descendientes de ⋅ ⋅ {displaystyle omega }.

No todos los enteros infinitos pueden ser representados por una forma normal Cantor sin embargo, y el primero que no puede ser dado por el límite ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ...{displaystyle omega ^{omega }}} y se denomina ε ε 0{displaystyle varepsilon ¿Qué?. ε ε 0{displaystyle varepsilon ¿Qué? es la solución más pequeña ⋅ ⋅ ε ε =ε ε {displaystyle omega ^{varepsilon }= 'varepsilon }, y las siguientes soluciones ε ε 1,...,ε ε ⋅ ⋅ ,...,ε ε ε ε 0,...{displaystyle varepsilon _{1},varepsilon _{omega },varepsilon _{varepsilon - ¿Qué? dar ordinals más grandes todavía, y puede ser seguido hasta que uno alcanza el límite ε ε ε ε ε ε ...{displaystyle varepsilon _{varepsilon _{varepsilon - Sí., que es la primera solución ε ε α α =α α {displaystyle varepsilon _{alpha }=alpha }. Esto significa que para poder especificar todos los enteros transfinitos, hay que pensar en una secuencia infinita de nombres: porque si se pudiera especificar un entero más grande, uno podría entonces siempre mencionar a su sucesor más grande. Pero como señala Cantor, incluso esto sólo permite alcanzar la clase más baja de números transfinitos: aquellos cuyo tamaño de conjuntos corresponden al número cardenal א א 0{displaystyle aleph _{0}.