Número surrealista

Una visualización del árbol del número surreal.

En matemáticas, el sistema de números surrealistas es una clase propia totalmente ordenada que contiene los números reales, así como números infinitos e infinitesimales, respectivamente mayores o menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. Los surrealistas comparten muchas propiedades con los reales, incluidas las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división); como tales, forman un campo ordenado. Si se formula en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, los números surrealistas son un campo ordenado universal en el sentido de que todos los demás campos ordenados, como los racionales, los reales, las funciones racionales, el campo de Levi-Civita, los números superreales (incluidos los números hiperreales) se pueden realizar como subcampos de los surrealistas. Los surreales también contienen todos los números ordinales transfinitos; la aritmética sobre ellos viene dada por las operaciones naturales. También se ha demostrado (en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel) que el campo hiperreal de clase máxima es isomorfo al campo surrealista de clase máxima.

Historia del concepto

La investigación sobre el final de Go realizada por John Horton Conway condujo a la definición y construcción originales de los números surrealistas. La construcción de Conway se introdujo en el libro de Donald Knuth de 1974 Números surrealistas: cómo dos ex alumnos se volvieron hacia las matemáticas puras y encontraron la felicidad total. En su libro, que adopta la forma de un diálogo, Knuth acuñó el término números surrealistas para lo que Conway había llamado simplemente números. Más tarde, Conway adoptó el término de Knuth y usó surrealistas para analizar juegos en su libro de 1976 On Numbers and Games.

Una ruta separada para definir los surrealistas comenzó en 1907, cuando Hans Hahn introdujo las series de Hahn como una generalización de las series de potencias formales, y Hausdorff introdujo ciertos conjuntos ordenados llamados conjuntos ηα para ordinales α y preguntó si era posible encontrar un grupo ordenado compatible o estructura de campo. En 1962, Norman Alling usó una forma modificada de la serie de Hahn para construir tales campos ordenados asociados a ciertos ordinales α, y en 1987 demostró que tomando α como la clase de todos los ordinales en su construcción, se obtiene una clase que es un campo ordenado isomorfo a los números surrealistas.

Si los surrealistas se consideran 'simplemente' un campo cerrado real del tamaño de una clase adecuada, el artículo de Alling de 1962 maneja el caso de cardenales fuertemente inaccesibles que, naturalmente, pueden considerarse como clases adecuadas al cortar la jerarquía acumulativa del universo una etapa por encima del cardinal, y Alling en consecuencia merece mucho crédito por el descubrimiento/invención de los surrealistas en este sentido. Sin embargo, hay una importante estructura de campo adicional en los surrealistas que no es visible a través de esta lente, a saber, la noción de un 'cumpleaños'. y la correspondiente descripción natural de los surrealistas como resultado de un proceso de corte-relleno a lo largo de sus cumpleaños dada por Conway. Esta estructura adicional se ha vuelto fundamental para una comprensión moderna de los números surrealistas y, por lo tanto, se le da crédito a Conway por descubrir los surrealistas tal como los conocemos hoy; el mismo Alling le da todo el crédito a Conway en un artículo de 1985 que precede a su libro sobre el tema.

Descripción

En la construcción de Conway, los números surrealistas se construyen en etapas, junto con un orden ≤ tal que para dos números surrealistas cualesquiera a y b, a ≤ b o b ≤ a. (Ambos pueden valer, en cuyo caso a y b son equivalentes y denotan el mismo número). Cada número se forma a partir de un par ordenado de subconjuntos de números ya construidos: dado subconjuntos L y R de números tales que todos los miembros de L son estrictamente menores que todos los miembros de R, entonces el par { L | R } representa un número de valor intermedio entre todos los miembros de L y todos los miembros de R.

Diferentes subconjuntos pueden terminar definiendo el mismo número: { L | R } y { L′ | R′ } puede definir el mismo número incluso si L ≠ L′ y R ≠ < i>R′. (Ocurre un fenómeno similar cuando los números racionales se definen como cocientes de números enteros: 1/2 y 2/4 son representaciones diferentes del mismo número racional). Hablando estrictamente, el surrealista los números son clases de equivalencia de representaciones de forma { L | R } que designan el mismo número.

En la primera etapa de construcción, no existen números previamente existentes por lo que la única representación debe utilizar el conjunto vacío: { | }. Esta representación, donde L y R están vacíos, se llama 0. Las etapas subsiguientes producen formas como

{fnK} = 1

{ 1 } = 2

{ 2 } = 3

y

{fnK} = 1 -

{ } = 2

{ } = 3 - 3

Por lo tanto, los números enteros están contenidos dentro de los números surrealistas. (Las identidades anteriores son definiciones, en el sentido de que el lado derecho es un nombre para el lado izquierdo. Que los nombres son realmente apropiados será evidente cuando se definan las operaciones aritméticas con números surrealistas, como en la sección a continuación.). Del mismo modo, representaciones como

{fnK} = 1/2

{fnMicrosoft } 1/2 } = 1/4

{} 1/2 Silencio = 3/4

surgen, de modo que los racionales diádicos (números racionales cuyos denominadores son potencias de 2) están contenidos dentro de los números surrealistas.

Después de un número infinito de etapas, hay infinitos subconjuntos disponibles, de modo que cualquier número real a puede representarse mediante { L_{a< /sub>} | R_a }, donde L_a es el conjunto de todos los racionales diádicos menores que a y R_a es el conjunto de todos los racionales diádicos mayores que a (que recuerda a un corte de Dedekind). Así, los números reales también están incrustados dentro de los surrealistas.

También hay representaciones como

{ 0, 1, 2, 3,... = NIC

{fn1} 1/2, 1/4, 1/8, } = ε

donde ω es un número transfinito mayor que todos los enteros y ε es un infinitesimal mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Además, las operaciones aritméticas estándar (suma, resta, multiplicación y división) se pueden extender a estos números no reales de una manera que convierte la colección de números surrealistas en un campo ordenado, de modo que se puede hablar de 2ω o ω − 1 y así sucesivamente.

Construcción

Los números surrealistas se construyen inductivamente como clases de equivalencia de pares de conjuntos de números surrealistas, restringidos por la condición de que cada elemento del primer conjunto sea más pequeño que cada elemento del segundo conjunto. La construcción consta de tres partes interdependientes: la regla de construcción, la regla de comparación y la regla de equivalencia.

Formularios

Una forma es un par de conjuntos de números surrealistas, llamados su conjunto izquierdo y su conjunto derecho. Un formulario con el conjunto izquierdo L y el conjunto derecho R se escribe { L | R . Cuando L y R se dan como listas de elementos, se omiten las llaves que los rodean.

El conjunto izquierdo y derecho de un formulario, o ambos, pueden ser el conjunto vacío. La forma { { } | { } } con izquierda y derecha vacías también se escribe { | }.

Formas numéricas y sus clases de equivalencia

Regla de Construcción

Una forma { L Silencio R } es numérico si la intersección L y R es el conjunto vacío y cada elemento de R es mayor que todos los elementos L, según la relación orden ≤ dada por la regla de comparación a continuación.

And in 1992, the new European postal and telecommunications operators, already separated from each other, many of the telecommunications privatized, and open markets to competition, created their own harmonization forums: Post Europe for the mail, and ETNO (European Public Telecommunications Network Operators' Association, European Association of Operators of Public Telecommunications Networks) for telecommunications.

The CEPT then radically changed its objectives and its composition. It ceased to be a club of operators to become a forum for regulatory bodies and telecommunications policy. It currently brings together those who in each country set the legal standards, market regulation and communication policies. In September 1995, a plenary meeting defined the new objectives, which aim to harmonize at a European level the activities of those who standardize and regulate the market, just as they previously aspired to do with those who operated the networks and services.

Dos formas numéricas x y Sí. son formas del mismo número (en la misma clase de equivalencia) si y sólo si ambos x ≤ Sí. y Sí. ≤ x.

Una relación de orden debe ser antisimétrica, es decir, debe tener la propiedad de que x = y (es decir, x ≤ y y y ≤ x son verdaderos) solo cuando x y y son el mismo objeto. Este no es el caso de las formas de números surrealistas, pero es cierto por construcción para números surrealistas (clases de equivalencia).

La clase de equivalencia que contiene { | } está etiquetado como 0; en otras palabras, { | } es una forma del surrealista número 0.

Orden

La definición recursiva de números surrealistas se completa con la definición de comparación:

Dadas formas numéricas x = { X_L | X_R } y y = { Y_L | Y_R }, x ≤ y si y solo si ambos:

• No hay x_L ▪ X_L tales que Sí. ≤ x_L. Es decir, cada elemento en la parte izquierda de x es estrictamente menor que Sí..
• No hay Sí._R ▪ Y_R tales que Sí._R ≤ x. Es decir, cada elemento en la parte correcta Sí. es estrictamente mayor que x.

Los números surrealistas se pueden comparar entre sí (o con formas numéricas) eligiendo una forma numérica de su clase de equivalencia para representar cada número surrealista.

Inducción

Este grupo de definiciones es recursivo y requiere alguna forma de inducción matemática para definir el universo de objetos (formas y números) que ocurren en ellos. Los únicos números surrealistas alcanzables mediante inducción finita son las fracciones diádicas; se puede alcanzar un universo más amplio dada alguna forma de inducción transfinita.

Regla de inducción

• Hay una generación S₀ = { 0 }, en el que 0 consiste de la forma única { ¦
• Dado cualquier número de ordinal n, la generación S_n es el conjunto de todos los números surrealistas que se generan por la regla de construcción de subconjuntos de ${displaystyle cup ¿Qué?$.

El caso base es en realidad un caso especial de la regla de inducción, con 0 tomado como una etiqueta para el "ordenal de la levadura". Puesto que no existe S_i con i 0, la expresión ${displaystyle {fnK}$ es el conjunto vacío; el único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío, y por lo tanto S₀ consiste en una única forma surrealista { TEN } acostada en una sola clase de equivalencia 0.

Para cada número ordinal finito n, S_n está bien ordenado por el orden inducido por la regla de comparación en los números surrealistas.

La primera iteración de la regla de inducción produce las tres formas numéricas { | 0 } < { | } < { 0 | } (la forma { 0 | 0 } no es numérica porque 0≤0). La clase de equivalencia que contiene { 0 | } está etiquetado como 1 y la clase de equivalencia que contiene { | 0 } está etiquetado como −1. Estas tres etiquetas tienen un significado especial en los axiomas que definen un anillo; son la identidad aditiva (0), la identidad multiplicativa (1) y el inverso aditivo de 1 (−1). Las operaciones aritméticas definidas a continuación son consistentes con estas etiquetas.

Por cada i < n, ya que cada forma válida en S_i también es una forma válida en S_n, todos los números en S_i también aparecen en S_{n< /sub>} (como superconjuntos de su representación en S_i). (La expresión de unión de conjuntos aparece en nuestra regla de construcción, en lugar de la forma más simple S_n−1, por lo que la definición también tiene sentido cuando n es un ordinal límite). Números en S_n que son un superconjunto de algún número en S_i se dice que han sido heredados de la generación i. El valor más pequeño de α para el que aparece un número surrealista dado en S_α se llama su cumpleaños. Por ejemplo, el cumpleaños de 0 es 0 y el cumpleaños de −1 es 1.

Una segunda iteración de la regla de construcción produce el siguiente orden de clases de equivalencia:

{fnMicrosoft −1 } = {fnMicrosoft −1, 0} = { }} = { }

################################################################################################################################################################################################################################################################

−1 Silencio 0 } = { −1 Silencio 0, 1 }

−1 Silencio } = { } = { −1 Silencio 1 } = { −1 Silencio 1 }

- No.

- No.

−1 Silencio } = { 0, 1 Silencio } = { −1, 1 Silencio } = { −1, 0, 1 Silencio }

La comparación de estas clases de equivalencia es consistente, independientemente de la elección de la forma. Siguen tres observaciones:

1. S₂ contiene cuatro nuevos números surrealistas. Dos contienen formas extremales: { Silencio −1, 0, 1 } contiene todos los números de las generaciones anteriores en su conjunto derecho, y { −1, 0, 1 Silencio } contiene todos los números de las generaciones anteriores en su conjunto izquierdo. Los otros tienen una forma que divide todos los números de generaciones anteriores en dos conjuntos no vacíos.
2. Cada número surrealista x que existía en la anterior "generación" existe también en esta generación, e incluye al menos una nueva forma: una partición de todos los números de otros x de las generaciones anteriores en un conjunto izquierdo (todas las cifras menos que x) y un conjunto adecuado (todos los números más grandes que x).
3. La clase de equivalencia de un número depende sólo del elemento máximo de su conjunto izquierdo y del elemento mínimo del conjunto derecho.

Las interpretaciones informales de { 1 | } y { | −1 } son "el número justo después de 1" y "el número justo antes de −1" respectivamente; sus clases de equivalencia están etiquetadas como 2 y −2. Las interpretaciones informales de { 0 | 1 } y { −1 | 0 } son "el número a medio camino entre 0 y 1" y "el número a mitad de camino entre −1 y 0" respectivamente; sus clases de equivalencia están etiquetadas como 1/2 y −1/2. Estas etiquetas también estarán justificadas por las reglas para la suma y multiplicación surrealista que se encuentran a continuación.

Las clases de equivalencia en cada etapa n de la inducción pueden caracterizarse por sus n-formas completas (cada una conteniendo tantos elementos como sea posible de generaciones anteriores en sus conjuntos izquierdo y derecho). O esta forma completa contiene todos números de generaciones anteriores en su conjunto izquierdo o derecho, en cuyo caso esta es la primera generación en la que aparece este número; o contiene todos los números de generaciones anteriores menos uno, en cuyo caso es una nueva forma de este número. Conservamos las etiquetas de la generación anterior para estos "viejos" números, y escriba el orden de arriba usando las etiquetas viejas y nuevas:

−2 - 0 - 11/2 " 0 " 1/2 - No.

La tercera observación se extiende a todos los números surrealistas con conjuntos finitos de izquierda y derecha. (Para conjuntos infinitos a la izquierda oa la derecha, esto es válido en una forma alterada, ya que los conjuntos infinitos pueden no contener un elemento máximo o mínimo). El número { 1, 2 | 5, 8 } es por lo tanto equivalente a { 2 | 5 }; uno puede establecer que estas son formas de 3 usando la propiedad de cumpleaños, que es una consecuencia de las reglas anteriores.

Propiedad de cumpleaños

Una forma x = { L | R } que aparece en la generación n representa un número heredado de una generación anterior i < n si y solo si hay algún número en S_i que es mayor que todos los elementos de L y menor que todos los elementos de la R. (En otras palabras, si L y R ya están separados por un número creado en una etapa anterior, entonces x no representa un nuevo número pero uno ya construido.) Si x representa un número de cualquier generación anterior a n, existe al menos esa generación i, y exactamente una número c con este menor i como su cumpleaños que se encuentra entre L y R; x es una forma de esta c. En otras palabras, se encuentra en la clase de equivalencia en S_n que es un superconjunto de la representación de c en la generación i.

Aritmética

La suma, la negación (inverso aditivo) y la multiplicación de formas de números surrealistas x = { X_L | X_R } y y = { Y_L | Y_R } se definen mediante tres fórmulas recursivas.

Negación

Negación de un número dado x = { X_L | X_R } está definido por

${displaystyle -x=-{X_{L}={-X_{R}$,

donde la negación de un conjunto S de números viene dada por el conjunto de los elementos negados de S:

${displaystyle - Sí. S}$.

Esta fórmula implica la negación de los surrealistas números que aparecen en los conjuntos izquierdo y derecho de x, lo que debe entenderse como el resultado de elegir una forma de la número, evaluando la negación de esta forma, y tomando la clase de equivalencia de la forma resultante. Esto solo tiene sentido si el resultado es el mismo, independientemente de la elección de la forma del operando. Esto se puede probar inductivamente usando el hecho de que los números que aparecen en X_L y X_R se extraen de generaciones anterior a aquella en la que aparece por primera vez la forma x, y observando el caso especial:

${displaystyle - ¿Qué?$.

Adición

La definición de suma también es una fórmula recursiva:

${displaystyle x+y={X_{L}tuvoX_{R}}+{Y_{L}tuvoy_{R}={X_{L}+y,x+Y_{L}$,

dónde

${displaystyle X+y={x+y:xin X},x+Y={x+y:yin Sí.$.

Esta fórmula implica sumas de uno de los operandos originales y un número surrealista extraído del conjunto izquierdo o derecho del otro. Se puede probar inductivamente con los casos especiales:

0 + 0 = { Silencio } + { Silencio } = { Silencio } = 0

x + 0 = x + { Silencio } = { X_L + 0 confidencialidad X_R + 0 } = { X_L Silencio X_R } = x

0 + Sí. ################################################################################################################################################################################################################################################################ Sí. = 0 + Y_L Silencio 0 + Y_R ♪♪ Y_L Silencio Y_R } = Sí.

Por ejemplo:

1/2 + 1/2 ################################################################################################################################################################################################################################################################ 1/2 Silencio 3/2 }

que por la propiedad de cumpleaños es una forma de 1. Esto justifica la etiqueta utilizada en la sección anterior.

Multiplicación

La multiplicación también se puede definir de forma recursiva, a partir de los casos especiales que involucran 0, la identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo -1:

$################################################################################################################################################################################################################################################################$

La fórmula contiene expresiones aritméticas que involucran los operandos y sus conjuntos izquierdo y derecho, como la expresión ${displaystyle - Sí.$ que aparece en el conjunto izquierdo del producto x y Sí.. Esto se entiende como el conjunto de números generados por elegir todas las combinaciones posibles de miembros de ${displaystyle X_{R}$ y ${displaystyle Sí.$, y sustituirlos en la expresión.

Por ejemplo, para mostrar que el cuadrado de 1/ 2 es 1< abarcan clase="solo-sr">/4:

1/2 ⋅ 1/2 = { 0 Silencio 1 } ⋅ { 0 Silencio 1 } = { 0 Silencio 1/2 } = 1/4.

División

La definición de división se hace en términos de recíproco y multiplicación:

${displaystyle {frac {x}=xleft({frac {1}{y}right)}$

dónde

${displaystyle {frac}=left{left.0,{frac} {1+(y_{R}-y)({frac {1} {fn} {fnK}} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f} {f}} {fn}} {f}}} {fnK} {f}} {f}} {f} {f} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}} {f} {f} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {1+(y_{L}-y)left({frac {1}{y}right)_{y_{L}}}}}justo para la vida {frac} {1+(y_{L}-y)left({frac {1}{y}right)_{y_{L}}}}}{frac {frac} {1+(y_{R}-y)({frac {fn} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {}} {}}} {}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}} {} {}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

para y positivo. Solo se permiten y_L positivos en la fórmula, ignorando cualquier término no positivo (y y_R siempre positivo). Esta fórmula implica no solo recursividad en términos de poder dividir por números de los conjuntos izquierdo y derecho de y, sino también recursividad en el sentido de que los miembros de los conjuntos izquierdo y derecho de 1/y en sí mismo. 0 siempre es miembro del conjunto izquierdo de 1/y, y eso se puede usar para encontrar más términos de forma recursiva. Por ejemplo, si y = 3 = { 2 | }, entonces conocemos un término izquierdo de 1/3 será 0. Esto a su vez significa 1+ (2−3)0/2 = 1/2 es un término correcto. Esto significa

${displaystyle {frac {1+(2-3)left({frac {1}{2}right)}{2}}={frac {1}{4}}$

es un término izquierdo. Esto significa

${displaystyle {frac {1+(2-3)left({frac {1}{4}right)}{2}={frac {3}{8}}$

será un término correcto. Continuando, esto da

${displaystyle {frac {}{3}}=left{left.0,{frac {1}{4}},{frac {5}{16},ldots right sometida{frac {1}{2}}},{frac {3}{8}},ldots right}}} {fnK}} {fnK}} {cfnMicroc {fnMicroc}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {cccccc}}}}}}}}}}}}}}}cccccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccccccccccccccccccccccH00}}}}}}}}}}}}c$

Para y negativo, 1/y está dada por

${displaystyle {frac {}{y}=-left({frac {1}{-y}}right)}$

Si y = 0, entonces 1/y no está definido.

Coherencia

Se puede demostrar que las definiciones de negación, suma y multiplicación son consistentes, en el sentido de que:

• La adición y la negación se definen recursivamente en términos de pasos de adición y negación "impresionantes", de modo que las operaciones en números con cumpleaños n eventualmente se expresará enteramente en términos de operaciones en números con cumpleaños menos que n;
• Multiplicación se define recursivamente en términos de adiciones, negaciones y pasos de multiplicación "impresionante", de modo que el producto de números con cumpleaños n eventualmente se expresará enteramente en términos de sumas y diferencias de productos de números con cumpleaños menos que n;
• Mientras los operandos sean formas de número surreal bien definidas (cada elemento del conjunto izquierdo es menor que cada elemento del conjunto derecho), los resultados son de nuevo formas de número surreal bien definidas;
• Las operaciones pueden ampliarse números (clase de igualdad de formas): el resultado de la negación x o añadir o multiplicar x y Sí. representará el mismo número independientemente de la elección de forma x y Sí.; y
• Estas operaciones obedecen a los axiomas asociativos, comunicativos, inversos aditivos y distributivos en la definición de un campo, con identidad aditiva 0 = { Silencio } e identidad multiplicativa 1 = { 0 Silencio }.

Con estas reglas, ahora se puede verificar que los números encontrados en las primeras generaciones estaban correctamente etiquetados. Se repite la regla de construcción para obtener más generaciones de surrealistas:

S₀ = { 0 }

S₁ = { −1 0 0 = 1 0

S₂ = { −2 −1 }1/2 " 0 " 1/2 - No.

S₃ = { −3 }3/2 " −1 "3/4 −1/2 −1/4 " 0 " 1/4. 1/2. 3/4. 3/2 - No.

S₄ = { −4 −3 }1/8 " 0 " 1/8. 1/4. 3/8. 1/2. 5/8. 3/4. 7/8. 5/4. 3/2. 7/4 " 2 " 5/2 - No.

Cierre aritmético

Para cada número natural (ordinal finito) n, todos los números generados en S_n son fracciones diádicas, es decir, se pueden escribir como una fracción irreducible a/2^b, donde a y b son números enteros y 0 ≤ b < n.

El conjunto de todos los números surrealistas que se generan en algunos S_n para finito n puede ser denotado S_Alternativa = ${displaystyle cup _{nin No.$. Uno puede formar las tres clases

${\fnK} {\fn}\fnfn}\\s_\\\ccc\cc\c}\cccccc}ccccccc}ccc}ccccccccc}c}c}c}c}c}ccc}c}c}cccccccc}cc}c}c}ccc}ccccccccc}c}c}cccccccccc}c}c}c}c}c}c}c}ccc}c}ccc}c ############# ################################################################################################################################################################################################################################################### - Sí.$

del cual S_∗ es la unión. Ningún S_n individual está cerrado bajo la suma y la multiplicación (excepto S₀), pero S_∗ es; es el subanillo de los racionales que consta de todas las fracciones diádicas.

Hay infinitos números ordinales β para los cuales el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que β se cierra bajo las diferentes operaciones aritméticas. Para cualquier ordinal α, el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que β = ω^α (usando potencias de ω) se cierra bajo la suma y forma un grupo; para cumpleaños menor que ω^ωα se cierra bajo la multiplicación y forma un anillo; y para el cumpleaños menor que un número épsilon (ordinal) ε_α se cierra bajo el inverso multiplicativo y forma un campo. Estos últimos conjuntos también están cerrados bajo la función exponencial definida por Kruskal y Gonshor.

Sin embargo, siempre es posible construir un número surrealista mayor que cualquier miembro de un conjunto de surrealistas (incluyendo el conjunto en el lado izquierdo del constructor) y por lo tanto la colección de números surrealistas es una clase adecuada. Con su orden y operaciones algebraicas constituyen un campo ordenado, con la caveat que no forman un conjunto. De hecho es el campo ordenado más grande, en que cada campo ordenado es un subcampo de los números surrealistas. La clase de todos los números surrealistas se denota por el símbolo ${displaystyle mathbb {No}$.

Infinito

Definir S_ω como el conjunto de todos los números surrealistas generados por la regla de construcción a partir de subconjuntos de S_∗. (Este es el mismo paso inductivo que antes, ya que el número ordinal ω es el ordinal más pequeño que es mayor que todos los números naturales; sin embargo, la unión de conjuntos que aparece en el paso inductivo ahora es una unión infinita de conjuntos finitos, por lo que este paso solo se puede realizar en una teoría de conjuntos que permita tal unión). Un único número positivo infinitamente grande ocurre en S_ω:

${displaystyle omega ={S_{*}Prince2,3,4...$

S_ω también contiene objetos que pueden identificarse como números racionales. Por ejemplo, la forma ω completa de la fracción 1/< /span>3 viene dado por:

${fnMicroc} {1}{3}={yin S_{*}:3y won1 - Sí.$.

El producto de esta forma de 1/3 con cualquier forma de 3 es una forma cuyo conjunto izquierdo contiene solo números menores que 1 y cuyo conjunto derecho contiene solo números mayores que 1; la propiedad de cumpleaños implica que este producto es una forma de 1.

No solo el resto de los números racionales aparecen en S_ω; los números reales finitos restantes también lo hacen. Por ejemplo,

${displaystyle pi ={3,{frac {25}{8}},{frac {201}{64}},...privado4,{frac {7}{2}}},{frac {13}{4}}},{frac {51}{16}}}}}}}}}}}$.

Los únicos infinitos en S_ω son ω y −ω; pero hay otros números no reales en S_ω entre los reales. Considere el número positivo más pequeño en S_ω:

${displaystyle varepsilon = {S_{-}cup S_{0}tuvos_{+}={0 vidas1,{tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{4}} {tfrac {1}{8}}}={0 vidasyin} - Sí.$.

Este número es mayor que cero pero menor que todas las fracciones diádicas positivas. Por lo tanto, es un número infinitesimal, a menudo etiquetado como ε. La forma ω-completa de ε (respectivamente -ε) es la misma que la forma ω-completa de 0, excepto que 0 está incluido en el conjunto izquierdo (respectivamente derecho). El único "puro" los infinitesimales en S_ω son ε y su inverso aditivo -ε; sumarlos a cualquier fracción diádica y produce los números y ± ε, que también se encuentran en S_ω.

Se puede determinar la relación entre ω y ε multiplicando formas particulares de ellos para obtener:

ω · ε = { ε · S₊ FORMULADA EN VIRTUD S₊ + S_Alternativa + ε · S_Alternativa }.

Esta expresión solo está bien definida en una teoría de conjuntos que permite la inducción transfinita hasta S_ω². En tal sistema, se puede demostrar que todos los elementos del conjunto izquierdo de ωS_ω·S_ωε son infinitesimales positivos y todos los elementos del conjunto de la derecha son infinitos positivos, por lo que ωS_ω·S_{ω< /sub>ε es el número finito positivo más antiguo, 1. En consecuencia, 1/ε = ω. Algunos autores utilizan sistemáticamente ω⁻¹ en lugar del símbolo ε.}

Contenido de Sω

Dado cualquier x = { L | R } en S_ω, exactamente uno de los siguientes es verdadero:

• L y R ambos están vacíos, en cuyo caso x = 0;
• R está vacío y algo entero n≥0 es mayor que todos los elementos L, en cuyo caso x iguala el más pequeño tal entero n;
• R está vacío y no hay entero n es mayor que todos los elementos L, en cuyo caso x equivale a +ω;
• L está vacío y algo entero n≤0 es menos que cada elemento de R, en cuyo caso x igual a la más grande este entero n;
• L está vacío y no hay entero n es menos que cada elemento de R, en cuyo caso x - iguales;
• L y R son ambos no vacías, y:
  • Una fracción dyadica Sí. es "strictamente entre" L y R (más que todos los elementos L y menos que todos los elementos R), en cuyo caso x igual a la fracción dyadica más antigua Sí.;
  • Ninguna fracción dyadica Sí. mentiras estrictamente entre L y R, pero alguna fracción dyadica ${displaystyle yin L}$ es mayor o igual a todos los elementos L y menos que todos los elementos R, en cuyo caso x iguales Sí.+ ε;
  • Ninguna fracción dyadica Sí. mentiras estrictamente entre L y R, pero alguna fracción dyadica ${displaystyle yin R}$ es mayor que todos los elementos L y menos que o igual a todos los elementos R, en cuyo caso x iguales Sí.− ε;
  • Cada fracción dyadica es mayor que algún elemento R o menos que algún elemento L, en cuyo caso x es un número real que no tiene representación como una fracción dyadica.

S_ω no es un campo algebraico, porque no está cerrado bajo operaciones aritméticas; considere ω+1, cuya forma

${displaystyle omega +1={1,2,3,4,....$

no se encuentra en ningún número en S_ω. El subconjunto máximo de S_ω que se cierra bajo (serie finita de) operaciones aritméticas es el campo de los números reales, obtenido al omitir los infinitos ±ω, los infinitesimales ± ε, y los vecinos infinitesimales y ± ε de cada fracción diádica distinta de cero y.

Esta construcción de los números reales difiere de los cortes de Dedekind del análisis estándar en que parte de fracciones diádicas en lugar de racionales generales e identifica naturalmente cada fracción diádica en S_ω con sus formas en generaciones anteriores. (Las formas ω-completas de los elementos reales de S_ω están en correspondencia uno a uno con los reales obtenidos por los cortes de Dedekind, con la condición de que los reales de Dedekind correspondientes a los números racionales están representados por la forma en que se omite el punto de corte de los conjuntos izquierdo y derecho). Los racionales no son una etapa identificable en la construcción surrealista; son simplemente el subconjunto Q de S_ω que contiene todos los elementos x tales que x b = a para algunos a y algunos b distintos de cero, ambos extraídos de S_∗. Al demostrar que Q se cierra bajo repeticiones individuales de las operaciones aritméticas surrealistas, se puede mostrar que es un campo; y mostrando que cada elemento de Q es alcanzable desde S_∗ mediante una serie finita (no más de dos, en realidad) de operaciones aritméticas < i>incluyendo la inversión multiplicativa, se puede demostrar que Q es estrictamente menor que el subconjunto de S_ω identificado con los reales.

El conjunto S_ω tiene la misma cardinalidad que los números reales R. Esto se puede demostrar mostrando aplicaciones sobreyectivas de S_ω al intervalo unitario cerrado I de R y viceversa. Asignar S_ω a I es una rutina; asigne números menores o iguales a ε (incluido −ω) a 0, números mayores o iguales a 1 − ε (incluido ω) a 1, y números entre ε y 1 − ε a su equivalente en I (mapeando los vecinos infinitesimales y±ε de cada fracción diádica y, junto con y mismo, a y). Para asignar I a S_ω, asigne el tercio central (abierto) ( 1/3, 2/3) de I en { | } = 0; el tercio central (7/9, 89) del tercio superior a { 0 | } = 1; Etcétera. Esto mapea un intervalo abierto no vacío de I en cada elemento de S_∗, monótonamente. El residuo de I consiste en el conjunto de Cantor 2^ω, cada punto del cual se identifica de forma única mediante una partición de los intervalos del tercio central en conjuntos izquierdo y derecho, correspondientes precisamente a una forma { L | R } en S_ω. Esto coloca al conjunto de Cantor en correspondencia biunívoca con el conjunto de números surrealistas con cumpleaños ω.

Inducción transfinita

Continuar realizando la inducción transfinita más allá de S_ω produce más números ordinales α, cada uno representado como el número surrealista más grande que cumple años α. (Esta es esencialmente una definición de los números ordinales resultantes de la inducción transfinita). El primero de esos ordinales es ω+1 = { ω | }. Hay otro número infinito positivo en la generación ω+1:

ω − 1 = { 1, 2, 3, 4,...

El número surrealista ω − 1 no es un ordinal; el ordinal ω no es sucesor de ningún ordinal. Este es un número surrealista con cumpleaños ω+1, que está etiquetado como ω − 1 porque coincide con la suma de ω = { 1, 2, 3, 4,... | } y −1 = { | 0 }. Del mismo modo, hay dos nuevos números infinitesimales en la generación ω + 1:

2ε = ε + ε = { ε tención 1 + ε, 1/2 + ε, 1/4 + ε, 1/8 + ε,...

ε/2 = ε · 1/2 = { 0 Silencio ε}.

En una etapa posterior de la inducción transfinita, existe un número mayor que ω + k para todos los números naturales k:

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4,... tención }

Este número puede etiquetarse como ω + ω porque su cumpleaños es ω + ω (el primer número ordinal no accesible desde ω mediante la operación sucesora) y porque coincide con la suma surrealista de ω y ω; también puede etiquetarse como 2ω porque coincide con el producto de ω = { 1, 2, 3, 4,... | } y 2 = { 1 | }. Es el segundo límite ordinal; alcanzarlo desde ω a través del paso de construcción requiere una inducción transfinita en

${displaystyle bigcup _{k buscadoomega }S_{omega #$

Esto implica una unión infinita de conjuntos infinitos, que es un "más fuerte" establecer la operación teórica que la anterior inducción transfinita requerida.

Tenga en cuenta que la adición y multiplicación convencional de ordinales no siempre coincide con estas operaciones en sus representaciones surrealistas. La suma de ordinales 1 + ω es igual a ω, pero la suma surrealista es conmutativa y produce 1 + ω = ω + 1 > ω. La suma y multiplicación de los números surrealistas asociados con los ordinales coincide con la suma natural y el producto natural de los ordinales.

Así como 2ω es mayor que ω + n para cualquier número natural n, existe un número surrealista ω/2 eso es infinito pero menor que ω − n para cualquier número natural n. Es decir, ω/2 está definido por

⋅/2 = S_Alternativa FORMULADA − S_Alternativa }

donde en el lado derecho se usa la notación x − Y para significar { x − y: y ∈ Y }. Se puede identificar como el producto de ω y la forma { 0 | 1 } de 1/2. El cumpleaños de ω/2 es el límite ordinal ω2.

Potencias de ω y la forma normal de Conway

Para clasificar los "pedidos" de números surrealistas infinitos e infinitesimales, también conocidos como clases de Arquímedes, Conway asoció a cada número surrealista x el número surrealista

• ⋅^x = 0, r ⋅^x_L Silencio s ⋅^x_R }

donde r y s oscilan entre los números reales positivos. Si x < y entonces ω^y es "infinitamente mayor" que ω^x, en que es mayor que r ω^x para todo números reales r. Las potencias de ω también satisfacen las condiciones

• ⋅^x ⋅^Sí. = NIC^x+Sí.,
• ⋅^−x = 1/⋅^x,

para que se comporten de la forma en que uno esperaría que se comportaran los poderes.

Cada potencia de ω también tiene la característica redentora de ser el número surrealista más simple en su clase de Arquímedes; a la inversa, cada clase de Arquímedes dentro de los números surrealistas contiene un único miembro más simple. Así, por cada número surrealista positivo x existirá siempre algún número real positivo r y algún número surrealista y tal que x − rω^y es "infinitamente más pequeño" que x. El exponente y es el "logaritmo en base ω" de x, definido sobre los surrealistas positivos; se puede demostrar que log_ω asigna los surreales positivos a los surreales y que

log_⋅()xy) = registro_⋅()x) + registro_⋅()Sí.).

Esto se amplía por inducción transfinita para que cada número surrealista tenga una "forma normal" análoga a la forma normal de Cantor para los números ordinales. Esta es la forma normal de Conway: cada número surrealista x puede escribirse únicamente como

x = r₀⋅^Sí.₀ + r₁⋅^Sí.₁ +...

donde cada r_α es un número real distinto de cero y los y_αs forman una secuencia estrictamente decreciente de números surrealistas. Esta 'suma', sin embargo, puede tener infinitos términos y, en general, tiene la longitud de un número ordinal arbitrario. (Cero corresponde, por supuesto, al caso de una secuencia vacía, y es el único número surrealista sin exponente principal).

Mirados de esta manera, los números surrealistas se asemejan a un campo de series de potencias, excepto que las secuencias decrecientes de exponentes deben estar limitadas en longitud por un ordinal y no se permite que sean tan largas como la clase de ordinales. Esta es la base para la formulación de los números surrealistas como una serie de Hahn.

Brechas y continuidad

En contraste con los números reales, un subconjunto (proper) de los números surrealistas no tiene un límite inferior (o inferior) inferior a menos que tenga un elemento máximo (mínimo). Conway define una brecha como {LSilencioR} tal que cada elemento de L es menos que cada elemento de R, y L∪R = ${displaystyle mathbb {No}$; esto no es un número porque al menos uno de los lados es una clase adecuada. Aunque son similares, las brechas no son lo mismo que los recortes de Dedekind, pero todavía podemos hablar de una terminación ${displaystyle mathbb {No} _{mthfrak {}}$ de los números surrealistas con el orden natural que es un continuum lineal (proper-sized).

Por ejemplo, no hay menos infinito positivo surrealista, pero la brecha

∞ = {x: n ▪ ${displaystyle mathbb {N}$: x. n Silencio x: n ▪ ${displaystyle mathbb {N}$: x ■ n}

es mayor que todos los números reales y menos que todos los surrealistas infinitos positivos, y es por lo tanto el límite más alto de los reales en ${displaystyle mathbb {No} _{mthfrak {}}$. Del mismo modo la brecha ${displaystyle mathbb {}$ =${displaystyle mathbb {No}$Silencio es más grande que todos los números surrealistas. (Esta es una punción esotérica: En la construcción general de ordinals, α "es" el conjunto de ordinales más pequeño que α, y podemos utilizar esta equivalencia para escribir α = { α ¦ en los surrealistas; ${displaystyle mathbb {}$ denota la clase de números ordinal, y porque ${displaystyle mathbb {}$ es cofinal en ${displaystyle mathbb {No}$ tenemos {} ${displaystyle mathbb {No}$ Silencio ${displaystyle mathbb {}$ Silencio ${displaystyle mathbb {}$ por extensión.)

Con un poco de atención teórica, ${displaystyle mathbb {No}$ se puede equipar con una topología donde los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos (indexados por conjuntos apropiados) y funciones continuas se pueden definir. También se puede definir un equivalente de secuencias de Cauchy, aunque tienen que ser indexadas por la clase de ordinals; éstas siempre convergen, pero el límite puede ser un número o una brecha que se puede expresar como

${displaystyle sum _{alpha in mathbb {No}r_{alpha }omega ^{a_{alpha }$

con a_α disminuyendo y sin tener un límite inferior ${displaystyle mathbb {No}$. (Todas estas brechas pueden entenderse como secuencias de Cauchy, pero hay otros tipos de brecha que no son límites, como їQUIÉN y NOS ${displaystyle mathbb {}$).

Función exponencial

Basado en trabajo inédito de Kruskal, una construcción (por inducción transfinita) que extiende la función exponencial real exp(x) (con base e) a los surrealistas fue llevado a cabo por Gonshor.

Otras exponenciales

La función potencias de ω también es una función exponencial, pero no tiene las propiedades deseadas para una extensión de la función sobre los reales. Sin embargo, será necesario en el desarrollo de la base-e exponencial, y es esta función la que se entiende siempre que la notación ω^x se utiliza en lo siguiente.

Cuando Sí. es una fracción dyadica, la función de potencia x ▪ ${displaystyle mathbb {No}$, x ↦ x^Sí. puede ser compuesto de la multiplicación, la raíz inversa multiplicativa y cuadrada, todo lo cual se puede definir inductivamente. Sus valores están completamente determinados por la relación básica x^Y+z = x^Sí.· x^z, y donde se define necesariamente está de acuerdo con cualquier otra exponencia que pueda existir.

Inducción básica

Los pasos de inducción para la exponencial surrealista se basan en la expansión de la serie para la exponencial real,

${displaystyle exp x=sum _{ngeq # {fnMicroc ¡No!$

más específicamente aquellas sumas parciales que pueden demostrarse mediante álgebra básica como positivas pero menores que todas las posteriores. Para x positivo, estos se denotan [x]_n e incluyen todas las sumas parciales; para x negativo pero finito, [x]_2n+1 denota los pasos impares en la serie a partir de el primero con parte real positiva (que siempre existe). Para x infinito negativo, las sumas parciales impares son estrictamente decrecientes y [x]_2n+1 notación denota el conjunto vacío, pero resulta que los elementos correspondientes no son necesarios en la inducción.

Las relaciones que son válidas para x < y son entonces

exp x [Y-x]_n c) Exp Sí.

y

exp Sí. [x-y]_{2n+ 1} c) Exp x,

y esto se puede extender a los surrealistas con la definición

exp z = 0, exp z_L [z_L]_n exp z_R [z_R]_{2n+ 1} Silencio z_R /z_R–z]_n exp z_L /z_L–z]_{2n+ 1} }.

Esto está bien definido para todos los argumentos surrealistas (el valor existe y no depende de la elección de z_L y z_R).

Resultados

Usando esta definición, se cumple lo siguiente:

• exp is a strictly increasing positive function, x. Sí. ⇒ 0 x c) Exp Sí.
• exp satisfies exp(x+Sí.) = exp x · exp Sí.
• exp is a surjection (onto ${displaystyle mathbb {No} _{+}$) y tiene un inverso bien definido, log = exp^–1
• exp coincide con la función exponencial habitual en los reales (y así exp 0 = 1, exp 1 = e)
• Para x infinitesimal, el valor de la serie de potencia formal (expansión taylor) de exp está bien definido y coincide con la definición inductiva
  • Cuando x se da en forma normal Conway, el conjunto de exponentes en el resultado está bien ordenado y los coeficientes son sumas finitas, dando directamente la forma normal del resultado (que tiene una ventaja 1)
  • Del mismo modo, x infinitamente cerca de 1, tronco x es dada por la expansión de la serie de energía x – 1
• Para el infinito positivo x, exp x es infinito también
  • Si x tiene la forma^α (α Ø 0), exp x tiene la forma^⋅β donde β es una función estrictamente creciente de α. De hecho hay una bijeción definida inductivamente g: ${displaystyle mathbb {No} _{+}$ → ${displaystyle mathbb {No}$α β β cuyo inverso también se puede definir inductivamente
  • Si x es "puro infinito" con forma normal x =_αr_α⋅^a_α donde todo a_α ■ 0, entonces exp x = NIC^{._αr_α⋅g()a_α)}
  • Del mismo modo, x = NIC^{._αr_α⋅b_α}, el inverso es dado por log x =_αr_α⋅^g–1b_α)
• Cualquier número surrealista puede ser escrito como la suma de un infinito puro, una parte real e infinitesimal, y el exponencial es el producto de los resultados parciales dados arriba
  • La forma normal se puede escribir multiplicando la parte infinita (un único poder de ω) y el verdadero exponencial en la serie de potencia resultante de la infinitasimal
  • Por el contrario, dividir el término principal de la forma normal traerá cualquier número surrealista en la forma (ω)^{._γt_γ⋅b_γ})·r·(1 + bah_αs_α⋅^a_α), para a_α 0, donde cada factor tiene una forma para la cual se ha dado una manera de calcular el logaritmo arriba; la suma es entonces el logaritmo general
    • Si bien no existe una definición inductiva general de registro (a diferencia de la exposición), los resultados parciales se dan en términos de tales definiciones. De esta manera, el logaritmo se puede calcular explícitamente, sin referencia al hecho de que es el inverso del exponencial.
• La función exponencial es mucho mayor que cualquier poder finito
  • Para cualquier infinito positivo x y cualquier finito n, exp(x)/xⁿ es infinito
  • Para cualquier entero n y surrealistas x ■ n², exp(x) xⁿ. Esta restricción más fuerte es uno de los axiomas del Ressayre para el campo exponencial real
• expone todos los axiomas del Ressayre para el campo exponencial real
  • Los surrealistas con exponencial es una extensión elemental del campo exponencial real
  • For ε_β un número de epsilon ordinal, el conjunto de números surrealistas con cumpleaños inferior al ε_β constituye un campo cerrado bajo exponencial, y es igualmente una extensión elemental del campo exponencial real

Ejemplos

La exponencial surrealista viene dada esencialmente por su comportamiento en potencias positivas de ω, es decir, la función g(a), combinada con su conocido comportamiento en números finitos. Sólo se darán ejemplos de los primeros. Además, g(a) = a se cumple para una gran parte de su rango, por ejemplo, para cualquier número finito con parte real positiva y cualquier número infinito que sea menor que alguna potencia iterada de ω (ω^ω··ω para una cierta cantidad de niveles).

• exp ω = ω^⋅
• exp ω^1/ω = ω y log ω = ω^1/ω
• exp (ω · log ω) = exp (ω · ω^1/ω)^{⋅(1 + 1/ω)}
  • Esto demuestra que la función "poder de ω" no es compatible con la exp, ya que la compatibilidad exigiría un valor de ω^⋅ Aquí.
• ε₀ = NIC^{⋅ε₀ + 1}
• log ε₀ = ε₀ / ⋅

Exponenciación

Una exponenciación general se puede definir como x^y = exp(y · log x), dando una interpretación a expresiones como 2^ω = exp(ω · log 2) = ω^{log 2 · ω}. De nuevo, es esencial distinguir esta definición de las "potencias de ω" función, especialmente si ω puede ocurrir como la base.

Números supercomplejos

Un número supercomplejo es un número de la forma a+bi, donde a y b son números surrealistas y i es la raíz cuadrada de −1 . Los números supercomplejos forman un campo algebraicamente cerrado (excepto por ser una clase propia), isomorfo al cierre algebraico del campo generado al extender los números racionales por una clase propia de elementos trascendentales algebraicamente independientes. Salvo el isomorfismo de campos, este hecho caracteriza el campo de los números supercomplejos dentro de cualquier teoría de conjuntos fijos.

Juegos

La definición de números surrealistas contenía una restricción: cada elemento de L debe ser estrictamente menor que cada elemento de R. Si se elimina esta restricción, podemos generar una clase más general conocida como juegos. Todos los juegos se construyen de acuerdo con esta regla:

Regla de construcción

Si L y R son dos juegos entonces { L Silencio R Es un juego.

La suma, la negación y la comparación se definen de la misma manera tanto para los números surrealistas como para los juegos.

Cada número surrealista es un juego, pero no todos los juegos son números surrealistas, p. el juego { 0 | 0 } no es un número surrealista. La clase de juegos es más general que los surrealistas y tiene una definición más simple, pero carece de algunas de las mejores propiedades de los números surrealistas. La clase de los números surrealistas forma un campo, pero la clase de los juegos no. Los surrealistas tienen un orden total: dados dos surrealistas cualesquiera, o son iguales o uno es mayor que el otro. Los juegos tienen sólo un orden parcial: existen pares de juegos que no son ni iguales, ni mayores que, ni menores que el otro. Cada número surrealista es positivo, negativo o cero. Cada juego es positivo, negativo, cero o borroso (incomparable con cero, como {1|−1}).

Un movimiento en un juego implica que el jugador cuyo movimiento es elegir un juego de los disponibles en L (para el jugador de la izquierda) o R (para el jugador de la derecha) y luego pasar este juego elegido al otro jugador. Un jugador que no puede moverse porque la elección es del conjunto vacío, ha perdido. Un juego positivo representa una victoria para el jugador de la izquierda, un juego negativo para el jugador de la derecha, un juego cero para el segundo jugador que se mueve y un juego confuso para el primer jugador que se mueve.

Si x, y y z son surrealistas, y x=y, luego x z=y z. Sin embargo, si x, y y z son juegos, y x=y, entonces no siempre es cierto que x z=y z. Tenga en cuenta que "=" aquí significa igualdad, no identidad.

Aplicación a la teoría de juegos combinatorios

Los números surrealistas fueron originalmente motivados por los estudios del juego Go, y existen numerosas conexiones entre los juegos populares y los surrealistas. En esta sección, usaremos un Juego en mayúsculas para el objeto matemático {L|R}, y el juego en minúsculas para juegos recreativos como Ajedrez o Go.

Consideramos juegos con estas propiedades:

• Dos jugadores (nombre Izquierda y Bien.)
• Determinista (el juego en cada paso dependerá completamente de las opciones que hagan los jugadores, en lugar de un factor aleatorio)
• No hay información oculta (como tarjetas o fichas que un jugador esconde)
• Los jugadores alternan tomando turnos (el juego puede o no permitir múltiples movimientos en un turno)
• Cada juego debe terminar en un número finito de movimientos
• Tan pronto como no quedan movimientos legales para un jugador, el juego termina, y ese jugador pierde

Para la mayoría de los juegos, la posición inicial del tablero no otorga gran ventaja a ninguno de los jugadores. A medida que avanza el juego y un jugador comienza a ganar, se producirán posiciones en el tablero en las que ese jugador tiene una clara ventaja. Para analizar juegos, es útil asociar un Juego con cada posición del tablero. El valor de una posición dada será el Juego {L|R}, donde L es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por Left. De manera similar, R es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por Derecha.

El Juego cero (llamado 0) es el Juego en el que L y R están vacíos, por lo que el siguiente jugador (L o R) pierde inmediatamente. La suma de dos Juegos G = { L1 | R1} y H = {L2 | R2 } se define como el Juego G + H = { L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2 } donde el jugador que se mueve elige en cuál de los Juegos jugar en cada etapa, y el perdedor sigue siendo el jugador que termina sin moverse legalmente. Uno puede imaginar dos tableros de ajedrez entre dos jugadores, con los jugadores haciendo movimientos alternativamente, pero con total libertad en cuanto a en qué tablero jugar. Si G es el Juego {L | R}, -G es el Juego {-R | -L}, es decir, con el papel de los dos jugadores invertido. Es fácil mostrar G - G = 0 para todos los Juegos G (donde G - H se define como G + (-H)).

Esta forma sencilla de asociar juegos con juegos produce un resultado muy interesante. Supongamos que dos jugadores perfectos juegan un juego que comienza en una posición determinada cuyo Juego asociado es x. Podemos clasificar todos los Juegos en cuatro clases de la siguiente manera:

• Si x > 0 entonces Izquierda ganará, independientemente de quién juegue primero.
• Si x < 0 entonces la derecha ganará, independientemente de quién juegue primero.
• Si x = 0 entonces el jugador que va segundo ganará.
• Si x TENIDO TENIDO 0 entonces el jugador que va primero ganará.

De manera más general, podemos definir G > H como G - H > 0, y de manera similar para <, = y ||.

La notación G || H significa que G y H son incomparables. G || H es equivalente a G−H || 0, es decir, que G > H, G < H y G = H son todas falsas. A veces se dice que los juegos incomparables se confunden entre sí, porque un jugador puede preferir uno u otro dependiendo de lo que se le agregue. Se dice que un juego confundido con cero es confuso, en oposición a positivo, negativo o cero. Un ejemplo de un juego difuso es estrella (*).

A veces, cuando un juego se acerca al final, se descompone en varios juegos más pequeños que no interactúan, excepto que el turno de cada jugador permite moverse en solo uno de ellos. Por ejemplo, en Go, el tablero se irá llenando lentamente de piezas hasta que solo haya unas pocas islas pequeñas de espacio vacío donde un jugador puede moverse. Cada isla es como un juego separado de Go, que se juega en un tablero muy pequeño. Sería útil si cada subjuego pudiera analizarse por separado y luego los resultados se combinaran para dar un análisis del juego completo. Esto no parece ser fácil de hacer. Por ejemplo, puede haber dos subjuegos en los que el primero en moverse gana, pero cuando se combinan en un gran juego, ya no es el primer jugador el que gana. Afortunadamente, hay una manera de hacer este análisis. Se puede aplicar el siguiente teorema:

Si un gran juego se descompone en dos juegos más pequeños, y los juegos pequeños han asociado Juegos de x y Sí., entonces el gran juego tendrá un juego asociado x+Sí..

Un juego compuesto por juegos más pequeños se llama suma disyuntiva de esos juegos más pequeños, y el teorema establece que el método de suma que definimos es equivalente a tomar la suma disyuntiva de los sumandos.

Históricamente, Conway desarrolló la teoría de los números surrealistas en el orden inverso al que se presenta aquí. Estaba analizando los finales de Go y se dio cuenta de que sería útil tener alguna forma de combinar los análisis de los subjuegos que no interactúan en un análisis de su suma disyuntiva. A partir de esto, inventó el concepto de Juego y el operador de suma para él. A partir de ahí pasó a desarrollar una definición de negación y comparación. Entonces notó que cierta clase de Juegos tenía propiedades interesantes; esta clase se convirtió en los números surrealistas. Finalmente, desarrolló el operador de multiplicación y demostró que los surreales son en realidad un campo, y que incluye tanto los reales como los ordinales.

Realizaciones alternativas

Los enfoques alternativos a los números surrealistas complementan la exposición de Conway en términos de juegos.

Expansión de letreros

Definiciones

En lo que ahora se llama expansión de signo o secuencia de signo de un número surrealista, un número surrealista es una función cuyo dominio es un ordinal y cuyo codominio es { −1, +1 }. Esto es equivalente a las secuencias L-R de Conway.

Defina el predicado binario "más simple que" sobre números por x es más simple que y si x es un subconjunto propio de y, es decir si dom(x) < dom(y) y x(α) = y(α) para todo α < dom(x).

Para números surrealistas, defina la relación binaria < ser de orden lexicográfico (con la convención de que los "valores indefinidos" son mayores que −1 y menores que 1). Así que x < y si se cumple uno de los siguientes:

• x es más simple que Sí. y Sí.(dom)x) = + 1;
• Sí. es más simple que x y x(dom)Sí.) = 1;
• existe un número z tales que z es más simple que x, z es más simple que Sí., x(dom)z) = − 1 y Sí.(dom)z) = + 1.

Equivalentemente, sea δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α: α < dom(x) ∧ α < dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α) }), de modo que x = y si y solo si δ(x,y) = dom(x ) = dom(y). Entonces, para los números x y y, x < y si y solo si se cumple uno de los siguientes:

• δ(x,Sí.) = dom(x) ∧ δ(x,Sí.)Sí.∧ Sí.(δ(x,Sí.) = + 1;
• δ(x,Sí.)x) ∧ δ(x,Sí.) = dom(Sí.∧ x(δ(x,Sí.) = 1;
• δ(x,Sí.)x) ∧ δ(x,Sí.)Sí.∧ x(δ(x,Sí.) = − 1 ∧ Sí.(δ(x,Sí.) = + 1.

Para los números x y y, x ≤ y si y solo si x < y ∨ x = y, y x > y si y solo si y < x. También x ≥ y si y solo si y ≤ x.

La relación < es transitivo, y para todos los números x e y, exactamente uno de x < y, x = y, x > y, sostiene (ley de la tricotomía). Esto significa que < es un orden lineal (excepto que < es una clase adecuada).

Para conjuntos de números, L y R tales que ∀x ∈ L ∀y ∈ R (x < y), existe un único número z tal que

• Оx ▪ L ()x. z∧Sí. ▪ R ()z. Sí.),
• Para cualquier número w tal quex ▪ L ()x. w∧Sí. ▪ R ()w. Sí.), w = z o z es más simple que w.

Además, z es construible a partir de L y R por inducción transfinita. z es el número más simple entre L y R. Sea el número único z denotado por σ(L,R).

Para un número x, defina su conjunto izquierdo L(x) y su conjunto derecho R(< i>x) por

• L()x♪♪ xSilencio_α: αx∧ x(α) = + 1 };
• R()x♪♪ xSilencio_α: αx∧ x(α) = − 1 },

entonces σ(L(x),R(x)) = x.

Una ventaja de esta realización alternativa es que la igualdad es identidad, no una relación definida inductivamente. Sin embargo, a diferencia de la realización de los números surrealistas de Conway, la expansión de signos requiere una construcción previa de los ordinales, mientras que en la realización de Conway, los ordinales se construyen como casos particulares de surrealistas.

Sin embargo, se pueden hacer definiciones similares que eliminan la necesidad de una construcción previa de los ordinales. Por ejemplo, podríamos dejar que las surreales sean la clase de funciones (definidas recursivamente) cuyo dominio es un subconjunto de las surrealistas que satisfacen la regla de transitividad ∀g ∈ dom f (∀h ∈ dom g (h ∈ dom f)) y cuyo rango es { −, + }. "Más simple que" ahora se define de manera muy simple: x es más simple que y si x ∈ dom y. El ordenamiento total se define considerando x e y como conjuntos de pares ordenados (como se define normalmente una función): O bien x = y, o bien el número surrealista z = x ∩ y está en el dominio de x o el dominio de y (o ambos, pero en este caso los signos deben estar en desacuerdo). Entonces tenemos x < y si x(z) = − o y(z) = + (o ambos). Convertir estas funciones en secuencias de signos es una tarea sencilla; organice los elementos de dom f en orden de simplicidad (es decir, inclusión), y luego escriba los signos que f asigna a cada uno de estos elementos en orden. Los ordinales entonces ocurren naturalmente como esos números surrealistas cuyo rango es { + }.

Suma y multiplicación

La suma x + y de dos números, x y y, se define por inducción sobre dom (x) y dom(y) por x + y = σ(L,R), donde

• L = u + Sí.: u ▪ L()x♫ x + v: v ▪ L()Sí.}
• R = u + Sí.: u ▪ R()x♫ x + v: v ▪ R()Sí.}.

La identidad aditiva viene dada por el número 0 = { }, es decir el número 0 es la única función cuyo dominio es el ordinal 0, y el inverso aditivo del número x es el número − x, dado por dom(− x) = dom(x), y, para α < dom(x), (− x)(α) = − 1 si x(α) = + 1, y (− x)(α) = + 1 si x(α) = − 1.

Se sigue que un número x es positivo si y sólo si 0 < dom(x) and x(0) = + 1, y x es negativo si y solo si 0 < dom(x) y x(0) = − 1.

El producto xy de dos números, x y y, se define por inducción sobre dom(x) y dom(y) por xy = σ(L,R), donde

• L = uy + xv − uv: u ▪ L()x), v ▪ L()Sí.. uy + xv − uv: u ▪ R()x), v ▪ R()Sí.}
• R = uy + xv − uv: u ▪ L()x), v ▪ R()Sí.. uy + xv − uv: u ▪ R()x), v ▪ L()Sí.}.

La identidad multiplicativa viene dada por el número 1 = { (0,+ 1) }, es decir el número 1 tiene dominio igual al ordinal 1, y 1(0) = + 1.

Correspondencia con la realización de Conway

El mapa desde la realización de Conway hasta las expansiones de signos viene dado por f({ L | R }) = σ(M,S), donde M = { f(x): < i>x ∈ L } y S = { f(x): x ∈ R }.

El mapa inverso de la realización alternativa a la realización de Conway viene dado por g(x) = { L | R }, donde L = { g(y): y ∈ < i>L(x) } y R = { g(y): y ∈ R(x) }.

Enfoque axiomático

En otro enfoque de los surrealistas, propuesto por Alling, la construcción explícita se pasa por alto por completo. En cambio, se da un conjunto de axiomas que cualquier enfoque particular de los surrealistas debe satisfacer. Al igual que el enfoque axiomático de los reales, estos axiomas garantizan la unicidad hasta el isomorfismo.

Un triple ${displaystyle langle mathbb {No}mahrm {}brangle}$ es un sistema de números surrealistas si y sólo si la siguiente retención:

• ■ es un orden total ${displaystyle mathbb {No}$
• b es una función ${displaystyle mathbb {No}$ sobre la clase de todos los ordinals (b se llama "función de cumpleaños" en ${displaystyle mathbb {No}$).
• Vamos A y B ser subconjuntos de ${displaystyle mathbb {No}$ tal que para todos x ▪ A y Sí. ▪ B, x. Sí. (utilizando la terminología de Alling, A,B 〉 es un "corte del camino" ${displaystyle mathbb {No}$). Entonces existe un único z ▪ ${displaystyle mathbb {No}$ tales que b(z) es mínimo y para todos x ▪ A y todos Sí. ▪ B, x. z. Sí.. (Este axioma se conoce a menudo como "Teorema de Simplicidad de Conway".)
• Además, si un ordinal α es mayor que b(x) para todos x ▪ A, B, entonces b(z) ≤ α. (Alling llama a un sistema que satisface este axioma un "sistema completo de números surrealistas".)

Tanto la construcción original de Conway como la construcción de expansión de signos de los surrealistas satisfacen estos axiomas.

Dados estos axiomas, Alling deriva la definición original de ≤ de Conway y desarrolla una aritmética surrealista.

Jerarquía de simplicidad

Una construcción de los números surrealistas como un pseudo-árbol binario máximo con simplicidad (ancestro) y relaciones de orden se debe a Philip Ehrlich. La diferencia con la definición habitual de un árbol es que el conjunto de ancestros de un vértice está bien -ordenado, pero puede no tener un elemento máximo (predecesor inmediato); en otras palabras, el tipo de orden de ese conjunto es un número ordinal general, no solo un número natural. Esta construcción también cumple con los axiomas de Alling y se puede asignar fácilmente a la representación de la secuencia de signos.

Serie Hahn

Alling también demuestra que el campo de los números surrealistas es isomorfo (como un campo ordenado) al campo de las series de Hahn con coeficientes reales en el grupo de valores de los propios números surrealistas (la representación de la serie correspondiente a la forma normal de un número surrealista, como se define anteriormente). Esto proporciona una conexión entre los números surrealistas y los enfoques matemáticos más convencionales de la teoría de campos ordenados.

Este isomorfismo convierte a los números surrealistas en un campo valorado donde la valoración es el inverso aditivo del exponente del término principal en la forma normal de Conway, por ejemplo, ν(ω) = -1. El anillo de valoración consiste entonces en los números surrealistas finitos (números con una parte real y/o infinitesimal). La razón de la inversión de signo es que los exponentes en la forma normal de Conway constituyen un conjunto bien ordenado inverso, mientras que las series de Hahn se formulan en términos de subconjuntos bien ordenados (no invertidos) del grupo de valores.

Relación con los hiperreales

Philip Ehrlich ha construido un isomorfismo entre el campo numérico surrealista máximo de Conway y los hiperreales máximos en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel.