Número real definible
Informalmente, un número real definible es un número real que puede ser especificado por su descripción. La descripción puede expresarse como una construcción o como una fórmula de un lenguaje formal. Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 2, 2{displaystyle {sqrt {2}}, se puede definir como la solución positiva única de la ecuación x2=2{displaystyle x^{2}=2}, y se puede construir con una brújula y una recta.
Diferentes elecciones de un lenguaje formal o su interpretación dan lugar a diferentes nociones de definibilidad. Las variedades específicas de números definibles incluyen los números constructivos de geometría, los números algebraicos y los números computables. Debido a que los lenguajes formales solo pueden tener muchas fórmulas contables, cada noción de números definibles tiene como máximo muchos números reales definibles contables. Sin embargo, según el argumento de la diagonal de Cantor, hay innumerables números reales, por lo que casi todos los números reales son indefinibles.
Números construibles
Una forma de especificar un número real utiliza técnicas geométricas. Un número real r{displaystyle r} es un número constructible si hay un método para construir un segmento de línea de longitud r{displaystyle r} usando una brújula y una recta, comenzando con un segmento de línea fija de la longitud 1.
Cada entero positivo y cada número racional positivo es construible. La raíz cuadrada positiva de 2 es construible. Sin embargo, la raíz cúbica de 2 no se puede construir; esto está relacionado con la imposibilidad de duplicar el cubo.
Números algebraicos reales
Un número real r{displaystyle r} se llama un número algebraico real si hay un polinomio p()x){displaystyle p(x)}, con sólo coeficientes enteros, para que r{displaystyle r} es una raíz de p{displaystyle p}, es decir, p()r)=0{displaystyle p(r)=0}. Cada número algebraico real se puede definir individualmente utilizando la relación de orden en los reales. Por ejemplo, si un polinomio q()x){displaystyle q(x)} tiene 5 raíces reales, la tercera se puede definir como la única r{displaystyle r} tales que q()r)=0{displaystyle q(r)=0} y tal que hay dos números distintos menos que r{displaystyle r} en que q{displaystyle q} es cero.
Todos los números racionales son algebraicos y todos los números construibles son algebraicos. Hay números como la raíz cúbica de 2 que son algebraicos pero no construibles.
Los números algebraicos reales forman un subcampo de los números reales. Esto significa que 0 y 1 son números algebraicos y, además, si a{displaystyle a} y b{displaystyle b} son números algebraicos, entonces son a+b{displaystyle a+b}, a− − b{displaystyle a-b}, ab{displaystyle ab} y, si b{displaystyle b} no es cero, a/b{displaystyle a/b}.
Los números algebraicos reales también tienen la propiedad, que va más allá de ser un subcampo de los reales, que para cada entero positivo n{displaystyle n} y cada número algebraico real a{displaystyle a}, todo el n{displaystyle n}las raíces de a{displaystyle a} que son números reales también son algebraicos.
Solo hay muchos números algebraicos contables, pero hay muchos números reales incontables, por lo que, en el sentido de la cardinalidad, la mayoría de los números reales no son algebraicos. Esta prueba no constructiva de que no todos los números reales son algebraicos fue publicada por primera vez por Georg Cantor en su artículo de 1874 "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales".
Los números no algebraicos se llaman números trascendentales. Los números trascendentales más conocidos son π y e.
Números reales computables
Un número real es un número computable si hay un algoritmo que, dado un número natural n{displaystyle n}, produce una expansión decimal para el número exacto a n{displaystyle n} lugares decimales. Esta noción fue introducida por Alan Turing en 1936.
Los números computables incluyen los números algebraicos junto con muchos números trascendental incluyendo π π {displaystyle pi} y e{displaystyle e}. Como los números algebraicos, los números computables también forman un subcampo de los números reales, y los números computables positivos están cerrados bajo tomar n{displaystyle n}raíces para cada positivo n{displaystyle n}.
No todos los números reales son computables. Los ejemplos específicos de números reales no computables incluyen los límites de las secuencias de Specker y los números reales algorítmicamente aleatorios, como los números Ω de Chaitin.
Definibilidad en aritmética
Otra noción de definabilidad proviene de las teorías formales de la aritmética, como Peano aritmética. El lenguaje de la aritmética tiene símbolos para 0, 1, la operación sucesora, adición y multiplicación, destinado a ser interpretado de la manera habitual sobre los números naturales. Debido a que no hay variables de este rango de idiomas sobre los números reales, se necesita un tipo diferente de definabilidad para referirse a números reales. Un número real a{displaystyle a} es definible en el lenguaje de la aritmética (o aritmética) si es El corte de la humanidad se puede definir como un predicado en ese idioma; es decir, si hay una fórmula de primer orden φ φ {displaystyle varphi } en el lenguaje de la aritmética, con tres variables libres, tal que
El lenguaje de segundo orden de la aritmética es el mismo que el lenguaje de primer orden, excepto que las variables y los cuantificadores pueden abarcar conjuntos de naturales. Un real que es de segundo orden definible en el lenguaje de la aritmética se llama analítico.
Todo número real computable es aritmético, y los números aritméticos forman un subcampo de los reales, al igual que los números analíticos. Todo número aritmético es analítico, pero no todo número analítico es aritmético. Debido a que solo hay muchos números analíticos contables, la mayoría de los números reales no son analíticos y, por lo tanto, tampoco aritméticos.
Todo número computable es aritmético, pero no todo número aritmético es computable. Por ejemplo, el límite de una secuencia de Specker es un número aritmético que no es computable.
Las definiciones de realidades aritméticas y analíticas pueden ser estratificadas en la jerarquía aritmética y la jerarquía analítica. En general, un real es computable si y sólo si su El corte de la humanidad está a nivel Δ Δ 10{displaystyle Delta _{1} {0}} de la jerarquía aritmética, uno de los niveles más bajos. Del mismo modo, los reales con cortes aritméticos de la Dedekind forman el nivel más bajo de la jerarquía analítica.
Definibilidad en modelos de ZFC
Un número real a{displaystyle a} es primer orden definible en el lenguaje de la teoría del conjunto, sin parámetros, si hay una fórmula φ φ {displaystyle varphi } en el lenguaje de la teoría de conjuntos, con una variable libre, tal que a{displaystyle a} es el número real único tal que φ φ ()a){displaystyle varphi (a)} sostiene. Esta noción no puede ser expresada como una fórmula en el lenguaje de la teoría del conjunto.
Todos los números analíticos, y en particular todos los números computables, son definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Así los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos incluyen todos los números reales conocidos como 0, 1, π π {displaystyle pi}, e{displaystyle e}, et cetera, junto con todos los números algebraicos. Asumiendo que forman un conjunto en el modelo, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos sobre un modelo particular de ZFC forman un campo.
Cada modelo establecido M{displaystyle M} de la teoría de conjunto ZFC que contiene incontablemente muchos números reales deben contener números reales que no son definibles dentro M{displaystyle M} (sin parámetros). Esto se deriva del hecho de que sólo hay muchas fórmulas contables, y por lo tanto sólo muchos elementos de M{displaystyle M} puede ser definible sobre M{displaystyle M}. Así, si M{displaystyle M} tiene incontablemente muchos números reales, uno puede probar de "fuera" M{displaystyle M} que no todo número real M{displaystyle M} es definible M{displaystyle M}.
Este argumento se vuelve más problemático si se aplica a los modelos de clase de ZFC, como el universo von Neumann. La afirmación "el número real x{displaystyle x} es definible sobre clase modelo N{displaystyle N}"no se puede expresar como una fórmula de ZFC. Análogamente, la cuestión de si el universo von Neumann contiene números reales que no puede definir no puede expresarse como una frase en el idioma de ZFC. Además, hay modelos contables de ZFC en los que todos los números reales, todos los conjuntos de números reales, funciones en los reales, etc. son definibles.
