Número Real

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En matemáticas, un número real es un valor de una cantidad continua que puede representar una distancia a lo largo de una línea (o alternativamente, una cantidad que puede representarse como una expansión decimal infinita). El adjetivo real en este contexto fue introducido en el siglo XVII por René Descartes, quien distinguió entre raíces reales e imaginarias de polinomios. Los números reales incluyen todos los números racionales, como el entero −5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales, como ${ sqrt {2}}$ (1.41421356..., la raíz cuadrada de 2, un número algebraico irracional). Incluidos dentro de los irracionales están los números reales trascendentales, como π (3,14159265...). Además de medir la distancia, los números reales se pueden usar para medir cantidades como el tiempo, la masa, la energía, la velocidad y muchas más. El conjunto de números reales se denota con el símbolo R o $matemáticas {R}$ ya veces se le llama "los reales".

Los números reales se pueden considerar como puntos en una línea infinitamente larga llamada línea numérica o línea real, donde los puntos correspondientes a los números enteros están igualmente espaciados. Cualquier número real se puede determinar mediante una representación decimal posiblemente infinita, como la de 8,632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades de una décima parte del tamaño del anterior. La línea real se puede considerar como parte del plano complejo, y los números reales se pueden considerar como parte de los números complejos.

Estas descripciones de los números reales no son lo suficientemente rigurosas según los estándares modernos de las matemáticas puras. El descubrimiento de una definición apropiadamente rigurosa de los números reales, de hecho, la comprensión de que se necesitaba una definición mejor, fue uno de los desarrollos más importantes de las matemáticas del siglo XIX. La definición axiomática estándar actual es que los números reales forman el único campo ordenado completo de Dedekind ( $matemáticas {R}$ ; +; ·; <), hasta un isomorfismo,mientras que las definiciones constructivas populares de números reales incluyen declararlos como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy (de números racionales), cortes de Dedekind o representaciones decimales infinitas, junto con interpretaciones precisas para las operaciones aritméticas y la relación de orden. Todas estas definiciones satisfacen la definición axiomática y por lo tanto son equivalentes.

El conjunto de todos los números reales es incontable, en el sentido de que mientras tanto el conjunto de todos los números naturales como el conjunto de todos los números reales son conjuntos infinitos, no puede haber una función biunívoca de los números reales a los números naturales.. De hecho, la cardinalidad del conjunto de todos los números reales, denotada ${mathfrak {c}}$ y llamada cardinalidad del continuo, es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales (denotado $alef _{0}$ , 'alef-cero').

La afirmación de que no existe ningún subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente mayor que $alef _{0}$ y estrictamente menor que ${mathfrak {c}}$ se conoce como hipótesis del continuo (CH). No es demostrable ni refutable utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (ZFC), la base estándar de las matemáticas modernas. De hecho, algunos modelos de ZFC cumplen con CH, mientras que otros la violan.

Historia

Los egipcios utilizaron fracciones simples alrededor del año 1000 a. C.; los "Shulba Sutras" védicos ("Las reglas de los acordes") en c. 600 aC incluyen lo que puede ser el primer "uso" de números irracionales. El concepto de irracionalidad fue implícitamente aceptado por los primeros matemáticos indios como Manava (c. 750-690 a. C.), quienes sabían que las raíces cuadradas de ciertos números, como 2 y 61, no se podían determinar con exactitud. Alrededor del 500 a. C., los matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales, en particular la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.

La Edad Media trajo consigo la aceptación del cero, los números negativos, los enteros y los números fraccionarios, primero por los matemáticos indios y chinos, y luego por los matemáticos árabes, quienes también fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos (este último hecho posible por el desarrollo del álgebra). Los matemáticos árabes fusionaron los conceptos de "número" y "magnitud" en una idea más general de números reales. El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) fue el primero en aceptar los números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación (a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas).

En el siglo XVI, Simon Stevin creó la base para la notación decimal moderna e insistió en que no hay diferencia entre los números racionales e irracionales a este respecto.

En el siglo XVII, Descartes introdujo el término "real" para describir las raíces de un polinomio, distinguiéndolas de las "imaginarias".

En los siglos XVIII y XIX, hubo mucho trabajo sobre los números irracionales y trascendentales. Johann Heinrich Lambert (1761) dio la primera prueba defectuosa de que π no puede ser racional; Adrien-Marie Legendre (1794) completó la demostración y demostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. Paolo Ruffini (1799) y Niels Henrik Abel (1842) construyeron pruebas del teorema de Abel-Ruffini: que las ecuaciones quínticas generales o superiores no pueden resolverse mediante una fórmula general que involucre solo operaciones aritméticas y raíces.

Évariste Galois (1832) desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales, lo que dio origen al campo de la teoría de Galois. Joseph Liouville (1840) demostró que ni e ni e pueden ser raíz de una ecuación cuadrática entera, y luego estableció la existencia de números trascendentales; Georg Cantor (1873) amplió y simplificó enormemente esta demostración. Charles Hermite (1873) demostró por primera vez que e es trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882) demostró que π es trascendental. Weierstrass (1885) simplificó mucho la demostración de Lindemann, y David Hilbert (1893) la simplificó aún más, y finalmente Adolf Hurwitz y Paul Gordan la simplificaron.

El desarrollo del cálculo en el siglo XVIII utilizó todo el conjunto de los números reales sin haberlos definido con rigor. La primera definición rigurosa fue publicada por Georg Cantor en 1871. En 1874, demostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito, pero el conjunto de todos los números algebraicos es contablemente infinito. Contrariamente a las creencias generalizadas, su primer método no fue su famoso argumento diagonal, que publicó en 1891. Para obtener más información, consulte la primera prueba de incontabilidad de Cantor.

Definición

El sistema de números reales ${displaystyle (mathbb {R};{}+{};{}cdot {};{}<{})}$ se puede definir axiomáticamente hasta un isomorfismo, que se describe a continuación. También hay muchas maneras de construir "el" sistema de números reales, y un enfoque popular implica comenzar con números naturales, luego definir números racionales algebraicamente y finalmente definir números reales como clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o como cortes de Dedekind, que son ciertos. subconjuntos de números racionales. Otro enfoque es partir de alguna axiomatización rigurosa de la geometría euclidiana (por ejemplo, de Hilbert o de Tarski) y luego definir geométricamente el sistema de números reales. Se ha demostrado que todas estas construcciones de los números reales son equivalentes, en el sentido de que los sistemas numéricos resultantes son isomorfos.

Enfoque axiomático

Sea $matemáticas {R}$ el conjunto de todos los números reales, entonces:

El conjunto $matemáticas {R}$ es un campo, lo que significa que la suma y la multiplicación están definidas y tienen las propiedades habituales.
El campo está ordenado, lo que significa que hay un orden total ≥ tal que para todos los números reales x, y y z:
- si x ≥ y, entonces x + z ≥ y + z;
- si x ≥ 0 y y ≥ 0, entonces xy ≥ 0.
El orden es Dedekind-completo, lo que significa que cada subconjunto no vacío S de $matemáticas {R}$ con un límite superior en $matemáticas {R}$ tiene un límite superior mínimo (también conocido como supremo) en $matemáticas {R}$ .

La última propiedad es la que diferencia a los números reales de los números racionales (y de otros campos ordenados más exóticos). Por ejemplo, ${displaystyle {xin mathbb {Q}:x^{2}<2}}$ tiene un límite superior racional (p. ej., 1,42), pero no menos límite superior racional, porque ${ sqrt {2}}$ no es racional.

Estas propiedades implican la propiedad de Arquímedes (que no está implícita en otras definiciones de completitud), que establece que el conjunto de números enteros no tiene límite superior en los reales. De hecho, si esto fuera falso, entonces los enteros tendrían un límite superior mínimo N; entonces, N – 1 no sería un límite superior, y habría un número entero n tal que n > N – 1, y por lo tanto n + 1 > N, lo cual es una contradicción con la propiedad de límite superior de N.

Los números reales están especificados de forma única por las propiedades anteriores. Más precisamente, dados dos campos ordenados completos de Dedekind ${ estilo de visualización mathbb {R} _ {1}}$ y ${ estilo de visualización mathbb {R} _ {2}}$ , existe un único isomorfismo de campo de ${ estilo de visualización mathbb {R} _ {1}}$ a ${displaystyle mathbb {R_{2}} }$ . Esta unicidad nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.

Para otra axiomatización de $matemáticas {R}$ , véase la axiomatización de los reales de Tarski.

Construcción a partir de los números racionales

Los números reales pueden construirse como una terminación de los números racionales, de tal forma que una sucesión definida por una expansión decimal o binaria como (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415;...) converge a un único número real —en este caso π. Para detalles y otras construcciones de números reales, vea construcción de los números reales.

Propiedades

Propiedades básicas

Cualquier número real distinto de cero es negativo o positivo.
La suma y el producto de dos números reales no negativos es nuevamente un número real no negativo, es decir, son cerrados bajo estas operaciones y forman un cono positivo, dando lugar así a un orden lineal de los números reales a lo largo de un número línea.
Los números reales constituyen un conjunto infinito de números que no se pueden asignar inyectivamente al conjunto infinito de números naturales, es decir, hay infinitos números reales incontables, mientras que los números naturales se denominan infinitos numerables. Esto establece que, en cierto sentido, hay más números reales que elementos en cualquier conjunto contable.
Hay una jerarquía de subconjuntos numerables infinitos de los números reales, por ejemplo, los números enteros, los números racionales, los números algebraicos y los números computables, siendo cada conjunto un subconjunto propio del siguiente en la secuencia. Los complementos de todos estos conjuntos (números reales irracionales, trascendentales y no computables) en los reales son todos conjuntos infinitos incontables.
Los números reales se pueden utilizar para expresar medidas de cantidades continuas. Pueden expresarse mediante representaciones decimales, teniendo la mayoría de ellas una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal; estos a menudo se representan como 324.823122147..., donde los puntos suspensivos (tres puntos) indican que aún habría más dígitos por venir. Esto sugiere el hecho de que podemos denotar con precisión solo unos pocos números reales seleccionados con un número finito de símbolos.

Más formalmente, los números reales tienen las dos propiedades básicas de ser un campo ordenado y tener la propiedad de límite superior mínimo. El primero dice que los números reales comprenden un campo, con suma y multiplicación así como división por números distintos de cero, que pueden ordenarse totalmente en una recta numérica de manera compatible con la suma y la multiplicación. El segundo dice que, si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces tiene una cota superior mínima real. La segunda condición distingue los números reales de los números racionales: por ejemplo, el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 es un conjunto con un límite superior (por ejemplo, 1,5) pero sin límite superior mínimo (racional): por lo tanto, los números racionales no satisfacen la propiedad del límite superior mínimo.

Lo completo

Una razón principal para usar números reales es que muchas secuencias tienen límites. Más formalmente, los reales son completos (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes, que es un sentido diferente al de la completitud del orden de Dedekind en la sección anterior):

Una secuencia (x _n) de números reales se llama secuencia de Cauchy si para cualquier ε > 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | X _norte - X _metro | es menor que ε para todo n y m que son ambos mayores que N. Esta definición, proporcionada originalmente por Cauchy, formaliza el hecho de que los x _n eventualmente vienen y permanecen arbitrariamente cerca uno del otro.

Una sucesión (x _n) converge al límite x si sus elementos eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca de x, es decir, si para cualquier ε > 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | X _norte - X | es menor que ε para n mayor que N.

Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy, y lo contrario es cierto para los números reales, y esto significa que el espacio topológico de los números reales es completo.

El conjunto de los números racionales no está completo. Por ejemplo, la sucesión (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421;...), donde cada término suma un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es de Cauchy pero no converge a un número racional (en los números reales, en cambio, converge a la raíz cuadrada positiva de 2).

La propiedad de completitud de los reales es la base sobre la que se construye el cálculo y, más en general, el análisis matemático. En particular, la prueba de que una sucesión es una sucesión de Cauchy permite probar que una sucesión tiene un límite, sin calcularlo, e incluso sin saberlo.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}$

converge a un número real para cada x, porque las sumas $sum _{n=N}^{M}{frac {x^{n}}{n!}}$

puede hacerse arbitrariamente pequeño (independientemente de M) eligiendo N lo suficientemente grande. Esto prueba que la sucesión es de Cauchy, y por lo tanto converge, demostrando que $e^{x}$ está bien definida para todo x.

"El campo ordenado completo"

Los números reales a menudo se describen como "el campo ordenado completo", una frase que se puede interpretar de varias maneras.

En primer lugar, un pedido puede ser de celosía completa. Es fácil ver que ningún campo ordenado puede ser un retículo completo, porque no puede tener el elemento más grande (dado cualquier elemento z, z + 1 es más grande).

Además, una orden puede ser completa de Dedekind, ver § Enfoque axiomático. El resultado de unicidad al final de esa sección justifica el uso de la palabra "el" en la frase "campo ordenado completo" cuando este es el sentido de "completo" al que se refiere. Este sentido de completud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de los cortes de Dedekind, ya que esa construcción parte de un campo ordenado (los racionales) y luego forma la compleción de Dedekind de forma estándar.

Estas dos nociones de completitud ignoran la estructura de campo. Sin embargo, un grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura uniforme, y las estructuras uniformes tienen una noción de completitud; la descripción en § Completitud es un caso especial. (Nos referimos a la noción de completitud en espacios uniformes en lugar de la noción relacionada y más conocida para espacios métricos, ya que la definición de espacio métrico se basa en tener una caracterización de los números reales). No es cierto que $matemáticas {R}$ sea el único uniformemente campo ordenado completo, pero es el único campo de Arquímedes uniformemente completo, y de hecho, a menudo se escucha la frase "campo de Arquímedes completo" en lugar de "campo ordenado completo". Cada campo de Arquímedes uniformemente completo también debe ser Dedekind-completo (y viceversa), justificando el uso de "el" en la frase "el campo de Arquímedes completo". Este sentido de completud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de las sucesiones de Cauchy (la construcción que se desarrolla en su totalidad en este artículo), ya que parte de un campo de Arquímedes (los racionales) y forma la terminación uniforme de este en un estándar. camino.

Pero el uso original de la frase "campo de Arquímedes completo" fue de David Hilbert, quien todavía quería decir algo más. Quería decir que los números reales forman el campo de Arquímedes más grande en el sentido de que cualquier otro campo de Arquímedes es un subcampo de $matemáticas {R}$ . Por lo tanto $matemáticas {R}$ , es "completo" en el sentido de que no se le puede agregar nada más sin que deje de ser un campo de Arquímedes. Este sentido de completud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de números surrealistas, ya que esa construcción comienza con una clase propia que contiene todos los campos ordenados (los surrealistas) y luego selecciona de ella el subcampo de Arquímedes más grande.

Propiedades avanzadas

Los reales son incontables; es decir, estrictamente hay más números reales que números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. De hecho, la cardinalidad de los reales es igual a la del conjunto de subconjuntos (es decir, el conjunto potencia) de los números naturales, y el argumento diagonal de Cantor establece que la cardinalidad de este último conjunto es estrictamente mayor que la cardinalidad de $matemáticas {N}$ . Dado que el conjunto de los números algebraicos es contable, casi todos los números reales son trascendentales. La inexistencia de un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente entre la de los enteros y los reales se conoce como hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo no se puede probar ni refutar; es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Como espacio topológico, los números reales son separables. Esto se debe a que el conjunto de racionales, que es contable, es denso en los números reales. Los números irracionales también son densos en los números reales, sin embargo son incontables y tienen la misma cardinalidad que los reales.

Los números reales forman un espacio métrico: la distancia entre x e y se define como el valor absoluto | x − y |. En virtud de ser un conjunto totalmente ordenado, también llevan una topología de orden; la topología que surge de la métrica y la que surge del orden son idénticas, pero producen diferentes presentaciones para la topología: en la topología del orden como intervalos ordenados, en la topología métrica como epsilon-balls. La construcción de cortes de Dedekind usa la presentación de topología de orden, mientras que la construcción de secuencias de Cauchy usa la presentación de topología métrica. Los reales forman un espacio métrico contráctil (por lo tanto conexo y simplemente conexo), separable y completo de dimensión 1 de Hausdorff. Los números reales son localmente compactos pero no compactos. Hay varias propiedades que las especifican de manera única; por ejemplo, todas las topologías de orden ilimitadas, conectadas y separables son necesariamente homeomorfas a los reales.

Todo número real no negativo tiene raíz cuadrada en $matemáticas {R}$ , aunque ningún número negativo la tiene. Esto muestra que el orden en $matemáticas {R}$ está determinado por su estructura algebraica. Además, todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades constituyen $matemáticas {R}$ el principal ejemplo de un campo cerrado real. Probar esto es la primera mitad de una prueba del teorema fundamental del álgebra.

Los reales llevan una medida canónica, la medida de Lebesgue, que es la medida de Haar sobre su estructura como grupo topológico normalizado tal que el intervalo unitario [0;1] tiene medida 1. Existen conjuntos de números reales que no son medibles de Lebesgue, por ejemplo, conjuntos Vitali.

El axioma supremo de los reales se refiere a subconjuntos de los reales y por lo tanto es un enunciado lógico de segundo orden. No es posible caracterizar los reales solo con lógica de primer orden: el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso numerable de los números reales que satisfacen exactamente las mismas oraciones en lógica de primer orden que los propios números reales. El conjunto de números hiperreales satisface las mismas oraciones de primer orden que $matemáticas {R}$ . Los campos ordenados que satisfacen las mismas oraciones de primer orden que $matemáticas {R}$ se denominan modelos no estándar de $matemáticas {R}$ . Esto es lo que hace que el análisis no estándar funcione; al demostrar un enunciado de primer orden en algún modelo no estándar (que puede ser más fácil que demostrarlo en $matemáticas {R}$ ), sabemos que el mismo enunciado también debe ser cierto para $matemáticas {R}$ .

El campo $matemáticas {R}$ de los números reales es un campo de extensión del campo $matemáticas {Q}$ de los números racionales y, $matemáticas {R}$ por lo tanto, puede verse como un espacio vectorial sobre $matemáticas {Q}$ . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección garantiza la existencia de una base de este espacio vectorial: existe un conjunto B de números reales tal que cada número real se puede escribir de manera única como una combinación lineal finita de elementos de este conjunto, usando sólo coeficientes racionales, y tales que ningún elemento de B sea una combinación lineal racional de los demás. Sin embargo, este teorema de existencia es puramente teórico, ya que tal base nunca se ha descrito explícitamente.

El teorema del buen orden implica que los números reales pueden estar bien ordenados si se asume el axioma de elección: existe un orden total $matemáticas {R}$ con la propiedad de que todo subconjunto no vacío $matemáticas {R}$ tiene un elemento mínimo en este orden. (La ordenación estándar ≤ de los números reales no es una buena ordenación ya que, por ejemplo, un intervalo abierto no contiene un elemento mínimo en esta ordenación). Nuevamente, la existencia de tal buena ordenación es puramente teórica, ya que no ha sido explícitamente descrito. Si se supone V=L además de los axiomas de ZF, se puede demostrar que una buena ordenación de los números reales se puede definir explícitamente mediante una fórmula.

Un número real puede ser computable o no computable; ya sea algorítmicamente aleatorio o no; y ya sea aritméticamente aleatorio o no.

Aplicaciones y conexiones con otras áreas

Números reales y lógica.

Los números reales se formalizan con mayor frecuencia utilizando la axiomatización de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, pero algunos matemáticos estudian los números reales con otros fundamentos lógicos de las matemáticas. En particular, los números reales también se estudian en matemáticas inversas y en matemáticas constructivas.

Los números hiperreales desarrollados por Edwin Hewitt, Abraham Robinson y otros amplían el conjunto de los números reales al introducir números infinitesimales e infinitos, lo que permite construir cálculos infinitesimales de una manera más cercana a las intuiciones originales de Leibniz, Euler, Cauchy y otros.

La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson enriquece sintácticamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel al introducir un predicado unario "estándar". En este enfoque, los infinitesimales son elementos (no "estándar") del conjunto de los números reales (en lugar de ser elementos de una extensión de los mismos, como en la teoría de Robinson).

La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del conjunto de los números reales es $aleph _{1}$ ; es decir, el número cardinal infinito más pequeño después $alef _{0}$ de, la cardinalidad de los números enteros. Paul Cohen demostró en 1963 que es un axioma independiente de los demás axiomas de la teoría de conjuntos; es decir: se puede elegir la hipótesis del continuo o su negación como axioma de la teoría de conjuntos, sin contradicción.

En física

En las ciencias físicas, la mayoría de las constantes físicas, como la constante gravitatoria universal, y las variables físicas, como la posición, la masa, la velocidad y la carga eléctrica, se modelan utilizando números reales. De hecho, las teorías físicas fundamentales como la mecánica clásica, el electromagnetismo, la mecánica cuántica, la relatividad general y el modelo estándar se describen utilizando estructuras matemáticas, normalmente variedades suaves o espacios de Hilbert, que se basan en números reales, aunque las medidas reales de cantidades físicas son de exactitud y precisión finitas.

Los físicos han sugerido ocasionalmente que una teoría más fundamental reemplazaría los números reales con cantidades que no forman un continuo, pero tales propuestas siguen siendo especulativas.

En cómputo

Con algunas excepciones, la mayoría de las calculadoras no funcionan con números reales. En cambio, trabajan con aproximaciones de precisión finita llamadas números de coma flotante. De hecho, la mayoría de los cálculos científicos utilizan la aritmética de coma flotante. Los números reales satisfacen las reglas habituales de la aritmética, pero los números de coma flotante no.

Las computadoras no pueden almacenar directamente números reales arbitrarios con infinitos dígitos. La precisión alcanzable está limitada por la cantidad de bits asignados para almacenar un número, ya sea como números de coma flotante o números de precisión arbitraria. Sin embargo, los sistemas de álgebra computacional pueden operar con cantidades irracionales exactamente manipulando fórmulas para ellas (como o) en lugar de su aproximación racional o decimal. En general, no es posible determinar si dos expresiones de este tipo son iguales (el problema constante). ${ sqrt {2}},$ ${ estilo de visualización arcsin (2/23),}$ ${ estilo de visualización estilo de texto int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx}$

Un número real se llama computable si existe un algoritmo que produce sus dígitos. Debido a que solo hay muchos algoritmos contables, pero un número incontable de reales, casi todos los números reales no son computables. Además, la igualdad de dos números computables es un problema indecidible. Algunos constructivistas aceptan la existencia de solo aquellos reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero solo contable.

"Reales" en la teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos, específicamente en la teoría descriptiva de conjuntos, el espacio de Baire se utiliza como sustituto de los números reales, ya que estos últimos tienen algunas propiedades topológicas (conectividad) que son un inconveniente técnico. Los elementos del espacio de Baire se denominan "reales".

Vocabulario y notación

Los matemáticos utilizan principalmente el símbolo R para representar el conjunto de todos los números reales. Alternativamente, se puede usar $matemáticas {R}$ la letra "R" en negrita de pizarra, que se puede codificar en Unicode (y HTML) como U+211D ℝ (ℝ, ℝ). Como este conjunto está naturalmente dotado de la estructura de un campo, el campo de expresión de los números reales se usa con frecuencia cuando se consideran sus propiedades algebraicas.

Los conjuntos de números reales positivos y números reales negativos a menudo se indican $mathbb{R} ^{+}$ y ${ estilo de visualización mathbb {R} ^ {-}}$ , respectivamente; $mathbb {R} _{+}$ y ${ estilo de visualización mathbb {R} _ {-}}$ también se utilizan. Los números reales no negativos se pueden anotar, ${ estilo de visualización mathbb {R} _ { geq 0}}$ pero a menudo se ve este conjunto anotado ${displaystyle mathbb {R} ^{+}cup {0}.}$ En las matemáticas francesas, los números reales positivos y los números reales negativos comúnmente incluyen cero, y estos conjuntos se anotan respectivamente ${displaystyle mathbb {R_{+}} }$ y ${displaystyle mathbb {R_{-}}.}$ En este entendimiento, los conjuntos respectivos sin cero se llaman números reales estrictamente positivos y números reales estrictamente negativos, y se anotan ${displaystyle mathbb {R} _{+}^{*}}$ y ${ estilo de visualización mathbb {R} _ {-}^{*}.}$

La notación $mathbb{R} ^{n}$ se refiere al conjunto de las n -tuplas de elementos de $matemáticas {R}$ (espacio real de coordenadas), que se pueden identificar con el producto cartesiano de n copias de ${ estilo de visualización mathbb {R}.}$ Es un espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo de los números reales, a menudo llamado el espacio de coordenadas de dimensión n; este espacio puede identificarse con el espacio euclidiano n -dimensional tan pronto como se haya elegido un sistema de coordenadas cartesianas en este último. En esta identificación, un punto del espacio euclidiano se identifica con la tupla de sus coordenadas cartesianas.

En matemáticas, real se usa como adjetivo, lo que significa que el campo subyacente es el campo de los números reales (o el campo real). Por ejemplo, matriz real, polinomio real y álgebra de Lie real. La palabra también se usa como sustantivo, lo que significa un número real (como en "el conjunto de todos los reales").

Generalizaciones y extensiones

Los números reales se pueden generalizar y extender en varias direcciones diferentes:

Los números complejos contienen soluciones a todas las ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, son un campo algebraicamente cerrado a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un campo ordenado.
El sistema de números reales afinemente extendido agrega dos elementos +∞ y −∞. Es un espacio compacto. Ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo, pero sigue teniendo un orden total; además, es una red completa.
La línea proyectiva real agrega solo un valor ∞. También es un espacio compacto. Una vez más, ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento distinto de cero por cero. Tiene un orden cíclico descrito por una relación de separación.
La línea real larga pega ℵ ₁ * + ℵ ₁ copias de la línea real más un solo punto (aquí ℵ ₁ * denota el orden inverso de ℵ ₁) para crear un conjunto ordenado que es "localmente" idéntico a los números reales, pero de alguna manera más largo; por ejemplo, hay una incrustación que conserva el orden de ℵ ₁ en la línea real larga pero no en los números reales. La línea real larga es el conjunto ordenado más grande que es completo y localmente arquimediano. Al igual que con los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un campo o un grupo aditivo.
Los campos ordenados que se extienden a los reales son los números hiperreales y los números surrealistas; ambos contienen números infinitesimales e infinitamente grandes y, por lo tanto, son campos ordenados no arquimedianos.
Los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices cuadradas complejas autoadjuntas) generalizan los reales en muchos aspectos: pueden ser ordenados (aunque no totalmente ordenados), son completos, todos sus valores propios son reales y forman un álgebra asociativa real. Los operadores definidos positivos corresponden a los reales positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.

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