Número perfecto

Ilustración del número perfecto del número 6

En teoría de números, un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores positivos, excluyendo el número en sí. Por ejemplo, 6 tiene divisores 1, 2 y 3 (excluyéndose a sí mismo), y 1 + 2 + 3 = 6, por lo que 6 es un número perfecto.

La suma de divisores de un número, excluyendo el número en sí, se llama su suma ali ", por lo que un número perfecto es igual a su suma ali ". Equivalentemente, un número perfecto es un número que es la mitad de la suma de todos sus divisores positivos incluyendo sí mismo; en símbolos, ${displaystyle sigma _{1}(n)=2n}$ Donde ${displaystyle sigma ¿Qué?$ es la función suma de visores. Por ejemplo, 28 es perfecto como 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Esta definición es antigua, apareciendo tan temprano como los Elementos de Euclides (VII.22) donde se llama τتλειος ⋅ριθός ()perfecto, ideal, o número completo). Euclid también demostró una regla de formación (IX.36) por la cual ${displaystyle q(q+1)/2}$ es un número incluso perfecto cuando ${displaystyle q}$ es un principio de la forma ${displaystyle 2^{p}-1}$ para entero positivo ${displaystyle p}$- lo que ahora se llama Mersenne. Dos milenios después, Leonhard Euler demostró que todos los números perfectos son de esta forma. Esto se conoce como el teorema Euclid-Euler.

No se sabe si existen números perfectos impares, ni si existen infinitos números perfectos. Los primeros números perfectos son 6, 28, 496 y 8128 (secuencia A000396 en el OEIS).

Historia

En unos 300 BC Euclid mostró que si 2^p− 1 es primo entonces 2^p−1(22)^p− 1) es perfecto. Los primeros cuatro números perfectos fueron los únicos conocidos por las matemáticas griegas tempranas, y el matemático Nicomachus señaló 8128 tan temprano como alrededor de 100 dC. En el lenguaje moderno, Nicomachus declara sin pruebas que cada uno número perfecto es de la forma ${displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ Donde ${displaystyle 2^{n}-1}$ es primo. Parece estar inconsciente de que n tiene que ser la primera. También dice (incorrecto) que los números perfectos terminan en 6 o 8 alternativamente. (Los primeros 5 números perfectos terminan con dígitos 6, 8, 6, 8, 6; pero el sexto también termina en 6.) Philo de Alejandría en su libro del primer siglo "Sobre la creación" menciona números perfectos, afirmando que el mundo fue creado en 6 días y las órbitas de la luna en 28 días porque 6 y 28 son perfectos. Philo es seguido por Orígenes, y por Didymus el ciego, que añade la observación de que sólo hay cuatro números perfectos que son menos de 10.000. (Comentario sobre Génesis 1. 14-19). San Agustín define números perfectos en Ciudad de Dios (Libro XI, Capítulo 30) a principios del siglo V dC, repitiendo la afirmación de que Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es el número perfecto más pequeño. El matemático egipcio Ismail ibn Fallūs (1194–1252) mencionó los siguientes tres números perfectos (33,550,336; 8,589,869,056; y 137,438,691,328) y enumera algunos más que ahora se sabe que son incorrectos. La primera mención europea conocida del quinto número perfecto es un manuscrito escrito entre 1456 y 1461 por un matemático desconocido. En 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi identificó el sexto (8.589.869.869.056) y el séptimo (137,438,691,328) números perfectos, y también demostró que cada número perfecto obtenido de la regla de Euclid termina con un 6 o un 8.

Números perfectos pares

Euclid demostró que 2^p−1(2^p − 1) es un número par perfecto siempre que 2^p − 1 es primo (Elements, Prop. IX.36).

Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos son generados por la fórmula 2^p−1(2^p − 1), con p un número primo, de la siguiente manera:

para p 2: 2¹(22)²−1) = 2 × 3 = 6

para p = 3: 2²(22)³−1) = 4 × 7 = 28

para p = 5: 2⁴(22)⁵− 1) = 16 × 31 = 496

para p = 7: 2⁶(22)⁷− 1) = 64 × 127 = 8128.

Los números primos de la forma 2^p − 1 se conocen como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, que estudió teoría de números y números perfectos. Para que 2^p − 1 sea primo, es necesario que el propio p sea primo. Sin embargo, no todos los números de la forma 2^p − 1 con un primo p son primos; por ejemplo, 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 no es un número primo. De hecho, los números primos de Mersenne son muy raros: de los 2 610 944 números primos p hasta 43 112 609, 2^p − 1 es primo solo para 47 de ellos.

Aunque Nicomachus había declarado (sin pruebas) que Todos números perfectos eran de la forma ${displaystyle 2^{n-1}left(2^{n}-1right)}$ Donde ${displaystyle 2^{n}-1}$ es primo (aunque dijo esto algo diferente), Ibn al-Haytham (Alhazen) circa AD 1000 conjetura solamente que cada incluso el número perfecto es de esa forma. No fue hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró que la fórmula 2^p−1(22)^p− 1) dará todos los números perfectos. Así, hay una correspondencia de uno a uno entre los números perfectos y los primos de Mersenne; cada Mersenne prime genera un número aún perfecto, y viceversa. Este resultado se conoce a menudo como el teorema Euclid-Euler.

Una búsqueda exhaustiva realizada por el proyecto de computación distribuida GIMPS ha demostrado que los primeros 48 números perfectos pares son 2^p−1(2^{p< /i>} − 1) para

p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269 A000043 en el OEIS).

También se han descubierto tres números perfectos superiores, a saber, aquellos para los que p = 74207281, 77232917 y 82589933. Aunque todavía es posible que haya otros dentro de este rango, las pruebas iniciales pero exhaustivas de GIMPS no ha revelado otros números perfectos para p por debajo de 109332539. Hasta diciembre de 2018, se conocen 51 números primos de Mersenne y, por lo tanto, 51 números perfectos pares (el mayor de los cuales es 2^82589932 × (2^82589933 − 1) con 49 724 095 dígitos). No se sabe si hay infinitos números perfectos, ni si hay infinitos números primos de Mersenne.

Además de tener la forma 2^p−1(2^p − 1), cada par número perfecto es el (2^p − 1)th número triangular (y por lo tanto igual a la suma de los enteros de 1 a 2^p − 1) y el 2 ^p−1th número hexagonal. Además, cada número perfecto par excepto el 6 es el ((2^p + 1)/3)th centrado nonagonal número y es igual a la suma de los primeros 2^(p−1)/2 cubos impares (cubos impares hacia arriba al cubo de 2^(p+1)/2-1):

${2}2}2}=1+2+3,[8pt]28=2}left(2^{3}-1right)}=1+3+4+4+7=1}{3}{2}{2}=0}=2}=0} {3}333333333333333333333333333333333333333333133333333333333333333333333333333333333333333333333333333331333333333333333333333333 +123^{3}+125^{3}+127^{3}end{aligned}}$

Los números perfectos pares (excepto 6) son de la forma

${displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{frac {left(2^{p}-2right)times left(2^{p}+1right)}{2}=1+9times T_{left(2^{p}-2right)/3}}$

con cada número triangular resultante T₇ = 28, T₃₁ = 496, T₁₂₇ = 8128 (después de restar 1 al número perfecto y dividir el resultado por 9) terminando en 3 o 5, la secuencia que comienza con T₂ = 3, T₁₀ = 55, T₄₂ = 903, T₂₇₃₀ = 3727815,... Esto se puede reformular de la siguiente manera: sumando los dígitos de cualquier número perfecto par (excepto 6), entonces sumando los dígitos del número resultante y repitiendo este proceso hasta obtener un solo dígito (llamado raíz digital), siempre se obtiene el número 1. Por ejemplo, la raíz digital de 8128 es 1, porque 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 y 1 + 0 = 1. Esto funciona con todos los números perfectos 2^p−1(2^{p< /i>} − 1) con primos impares p y, de hecho, con todos los números de la forma 2^m−1(2^m − 1) para un entero impar (no necesariamente primo) m.

Debido a su forma, 2^p−1(2^p − 1), todo par perfecto el número se representa en forma binaria como p unos seguidos de p − 1 ceros; por ejemplo,

6₁₀ = 2² + 2¹ = 110₂,

28₁₀ = 2⁴ + 2³ + 2² = 11100₂,

496₁₀ = 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ = 111110000₂, y

8128₁₀ = 2¹² + 2¹¹ + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ = 1111111000000₂.

Así, todo número par perfecto es un número pernicioso.

Todo número par perfecto es también un número práctico (cf. Conceptos relacionados).

Números perfectos impares

Se desconoce si existen números perfectos impares, aunque se han obtenido varios resultados. En 1496, Jacques Lefèvre afirmó que la regla de Euclides da todos los números perfectos, lo que implica que no existe ningún número perfecto impar. Euler declaró: "Si... hay números perfectos impares es una pregunta muy difícil". Más recientemente, Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que, de hecho, no debería existir ningún número perfecto impar. Todos los números perfectos son también números armónicos de Ore, y también se ha conjeturado que no hay números armónicos impares de Ore distintos de 1. Muchas de las propiedades demostradas sobre los números perfectos impares también se aplican a los números de Descartes., y Pace Nielsen ha sugerido que un estudio suficiente de esos números puede conducir a una prueba de que no existen números perfectos impares.

Todo número perfecto impar N debe cumplir las siguientes condiciones:

• N ■ 10¹⁵⁰⁰.
• N no es divisible por 105.
• N es de la forma N (mod 12) o N (mod 468) o N ngel 81 (mod 324).
• N es de la forma

${displaystyle N=q^{alpha }p_{1} {2e_{1}cdots ¿Qué?$

Donde:

• q,p₁,...,p_k son primas diferentes (Euler).
• q (mod 4) (Euler).
• El factor primario más pequeño de N es en la mayoría ${fnMicroc} {k-1}{2}}$
• Cualquiera q^α■ 10⁶², o p_j^2e_j ■ 10⁶² para algunos j.
• ${displaystyle N won2^{(4^{k+1}-2^{k+1}}}$
• ${displaystyle alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+cdots +2e_{k}geq {frac {66k-191}{25}}$.
• ${displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}cdots - ¿Qué? {17}{26}}$.

• El factor principal más grande de N es mayor que 10⁸ y menos que ${displaystyle {sqrt[{3N}}}$
• El segundo factor principal más grande es mayor que 10⁴, y es menos que ${displaystyle {sqrt}{2N}}}$.
• El tercer factor principal más grande es mayor que 100, y menos que ${displaystyle {sqrt[{6}} {2N}}$
• N tiene al menos 101 factores principales y al menos 10 factores principales distintos. Si 3 no es uno de los factores N, entonces N tiene al menos 12 factores principales distintos.

Además, se conocen varios resultados menores sobre los exponentes e₁,..., e_k.

• No todos e_i(mod 3).
• No todos e_i(mod 5).
• Si todo e_i1 (mod 3) o 2 (mod 5), luego el factor primario más pequeño N debe mentir entre 10⁸ y 10¹⁰⁰⁰.
• Más generalmente, si todos 2e_i+1 tienen un factor primario en un conjunto finito dado S, entonces el factor primario más pequeño N debe ser más pequeño que una constante computable efectiva dependiendo sólo de S.
• Sie₁,...,e_k)= (1,..., 1, 2,..., 2) con t y u dos, entonces ${displaystyle (t-1)/4leq uleq 2t+{sqrt {alpha }$.
• ()e₁,...,e_k) ل (1,..., 1, 3), (1,..., 1, 5), (1,..., 1, 6).
• Si e₁ = e_k = e, entonces
  • e no pueden ser 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 o 18.
  • ${displaystyle kleq 2e^{2}+8e+2}$ y ${displaystyle ¡No!$.

En 1888, Sylvester declaró:

... una meditación prolongada sobre el tema me ha satisfecho de que la existencia de uno de esos [el número perfecto] — su escape, por decirlo así, de la compleja red de condiciones que la atrapó en todos los lados— estaría poco corto de un milagro.

Resultados menores

Todos los números perfectos pares tienen una forma muy precisa; los números perfectos impares no existen o son raros. Hay una serie de resultados sobre números perfectos que en realidad son bastante fáciles de probar pero, sin embargo, superficialmente impresionantes; algunos de ellos también se rigen por la fuerte ley de los números pequeños de Richard Guy:

• El único número perfecto de la forma x³+ 1 es 28 (Makowski 1962).
• 28 es también el único número incluso perfecto que es una suma de dos cubos positivos de enteros (Gallardo 2010).
• Los recíprocos de los divisores de un número perfecto N debe añadir hasta 2 (para conseguir esto, tomar la definición de un número perfecto, ${displaystyle sigma _{1}(n)=2n}$, y dividir ambos lados por n):
  • Para 6, tenemos ${displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2}$;
  • Para 28, tenemos ${displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$, etc.
• El número de divisores de un número perfecto (incluso o extraño) debe ser uniforme, porque N no puede ser un cuadrado perfecto.
  • De estos dos resultados sigue que cada número perfecto es el número armónico de un Ore.
• Los números incluso perfectos no son números trapezoidales; es decir, no pueden ser representados como la diferencia de dos números triangulares no consecutivos positivos. Sólo hay tres tipos de números no trapezoidales: incluso números perfectos, poderes de dos, y los números de la forma ${displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ formado como el producto de una prima Fermat ${displaystyle 2^{n}+1}$ con un poder de dos de una manera similar a la construcción de números incluso perfectos de Mersenne primos.
• El número de números perfectos menos que n es menos que ${displaystyle c{sqrt {n}}$, donde c ■ 0 es una constante. De hecho es ${displaystyle o({sqrt {n})}$, usando poca notación.
• Cada número perfecto termina en 6 o 28, base 10; y, con la única excepción de 6, termina en 1, base 9. Por lo tanto, en particular la raíz digital de cada número perfecto incluso más de 6 es 1.
• El único número perfecto sin cuadrado es 6.

Conceptos relacionados

diagrama de Euler abundante, primitivo abundante, altamente abundante, superabundante, colosalmente abundante, altamente composite, superior altamente composite, raro y perfecto número bajo 100 en relación con números deficientes y compuestos

La suma de los divisores propios da varios otros tipos de números. Los números donde la suma es menor que el número mismo se llaman deficientes, y donde es mayor que el número, abundantes. Estos términos, junto con el mismo perfecto, provienen de la numerología griega. Un par de números que son la suma de los divisores propios de cada uno se denominan amistosos, y los ciclos más grandes de números se denominan sociables. Un número entero positivo tal que cada número entero positivo más pequeño es una suma de divisores distintos de él es un número práctico.

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la función divisor restringida s()n) σ()n) − n, y la secuencia aliquot asociada a un número perfecto es una secuencia constante. Todos los números perfectos también ${displaystyle {fnMithcal}}$- números perfectos, o números de Granville.

Un número semiperfecto es un número natural que es igual a la suma de todos o algunos de sus divisores propios. Un número semiperfecto que es igual a la suma de todos sus divisores propios es un número perfecto. Los números más abundantes también son semiperfectos; Los números abundantes que no son semiperfectos se llaman números extraños.