Número pentagonal centrado

Un número pentagonal centrado es un número figurado centrado que representa un pentágono con un punto en el centro y todos los demás puntos que rodean el centro en capas pentagonales sucesivas. El número pentagonal centrado para n viene dado por la fórmula

${displaystyle P_{n}={5n^{2}-5n+2} over 2},ngeq 1}$

Los primeros pocos números pentagonales centrados son

1, 6, 16, 31, 51, 76 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976 A005891 en el OEIS).

La combinación de dos números pentagonales centrados consecutivos forma un primo en notación ácida (331391).

Propiedades

• La paridad de los números pentagonales centrados sigue el patrón extraño-even-odd, y en la base 10 las unidades siguen el patrón 1-6-6-1.
• Los números pentagonales centrados siguen las siguientes relaciones de Recurrencia:

${displaystyle P_{n}=P_{n-1}+5n,P_{0}=1}$

${displaystyle P_{n}=3(P_{n-1}-P_{n-2})+P_{n-3},P_{0}=1,P_{1}=6,P_{2}=16}$

• Los números pentagonales centrados se pueden expresar utilizando números triangulares:

${displaystyle P_{n}=5T_{n-1}+1}$