Número palindrómico

Un número palindrómico (también conocido como palíndromo numérico o palíndromo numérico) es un número (como 16461) que sigue siendo el mismo cuando sus dígitos están invertidos. En otras palabras, tiene simetría de reflexión a través de un eje vertical. El término palindromic se deriva de palindrome, que se refiere a una palabra (como rotor o racecar) cuya ortografía no cambia cuando se invierten las letras.. Los primeros 30 números palindrómicos (en decimal) son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,... A002113 en el OEIS).

Los números palindrómicos reciben mayor atención en el ámbito de las matemáticas recreativas. Un problema típico pide números que posean una determinada propiedad y sean palindrómicos. Por ejemplo:

• Los primos palindrómicos son 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151... A002385 en el OEIS).
• Los números cuadrados palindrómicos son 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,... (secuencia) A002779 en el OEIS).

Es obvio que en cualquier base hay infinitos números palindrómicos, ya que en cualquier base la secuencia infinita de números escritos (en esa base) como 101, 1001, 10001, 100001, etc. consiste únicamente en números palindrómicos.

Definición formal

Aunque los números palindrómicos se consideran con mayor frecuencia en el sistema decimal, el concepto de palindromicidad se puede aplicar a los números naturales en cualquier sistema numérico. Considere un número n > 0 en base b ≥ 2, donde se escribe en notación estándar con k+1 dígitos a_i como:

${displaystyle n=sum ¿Qué?$

con, como siempre, 0 ≤ a_i < b para todo i y a_k ≠ 0. Entonces n es palindrómico si y solo si a_i = a_k−i para todos los i. El cero se escribe 0 en cualquier base y también es palindrómico por definición.

Números palindrómicos decimales

Todos los números en base 10 (y de hecho en cualquier base) con un dígito son palindrómicos, por lo que hay diez números palindrómicos decimales con un dígito:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Hay 9 números palindrómicos de dos cifras:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Hay 90 números palindrómicos con tres dígitos (usando la regla del producto: 9 opciones para el primer dígito, que también determina el tercer dígito, multiplicado por 10 opciones para el segundo dígito):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

También hay 90 números palindrómicos con cuatro dígitos (nuevamente, 9 opciones para el primer dígito multiplicadas por diez opciones para el segundo dígito. Los otros dos dígitos están determinados por la elección de los dos primeros):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

entonces hay 199 números palindrómicos debajo de 10⁴.

Por debajo de 10⁵ hay 1099 números palindrómicos y para otros exponentes de 10ⁿ tenemos: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,... (secuencia A070199 en el OEIS). El número de números palindrómicos que tienen alguna otra propiedad se enumeran a continuación:

Poderes perfectos

Hay muchas potencias perfectas palindrómicas n^k, donde n es un número natural y k es 2, 3 o 4.

• Plazas palindromicas: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944,... (secuencia) A002779 en el OEIS)
• Cubos palindromicos: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001,... A002781 en el OEIS)
• Cuatro poderes palindromicos: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001,... A186080 en el OEIS)

Los nueve primeros términos de la sucesión 1², 11², 111², 1111²,... forman los palíndromos 1, 121, 12321, 1234321,... (secuencia A002477 en el OEIS)

El único número no palindrómico conocido cuyo cubo es un palíndromo es 2201, y es una conjetura que la raíz cuarta de todas las cuartas potencias del palíndromo es un palíndromo con 100000...000001 (10ⁿ + 1).

G. J. Simmons conjeturó que no hay palíndromos de forma n^k para k > 4 (y n > 1).

Otras bases

Los números palindrómicos se pueden considerar en sistemas numéricos distintos al decimal. Por ejemplo, los números palindrómicos binarios son aquellos con las representaciones binarias:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001,... A057148 en el OEIS)

o en decimal:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33... A006995 en el OEIS)

Los primos de Fermat y los primos de Mersenne forman un subconjunto de los primos palindrómicos binarios.

Cualquier número ${displaystyle n}$ es palindromica en todas las bases ${displaystyle b}$ con ${displaystyle b títulon}$ (En serio, porque ${displaystyle n}$ es entonces un número de un dígito), y también en base ${displaystyle n-1}$ (porque ${displaystyle n}$ entonces ${displaystyle 11_{n-1}}$). Incluso excluyendo los casos en los que el número es menor que la base, la mayoría de los números son palindromicos en más de una base. Por ejemplo, ${displaystyle 1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}$, ${displaystyle 1991_{10}=7C7_{16}$. Número ${displaystyle n}$ nunca es palindrómico en base ${displaystyle b}$ si ${displaystyle n/2leq bleq n-2}$.

Un número que no es palindromico en todas las bases b en el rango 2 ≤b≤n− 2 se puede llamar Número estrictamente no palindromico. Por ejemplo, el número 6 está escrito como "110" en la base 2, "20" en la base 3, y "12" en la base 4, ninguno de los cuales son palindromas. Todos los números estrictamente no-palindromicos mayores de 6 son primos. De hecho, si ${displaystyle n confía6}$ es composite, entonces o ${displaystyle n=ab}$ para algunos ${displaystyle 2leq aludeb}$, en cuyo caso n es el palindrome "aa" en la base ${displaystyle b-1}$, o si no es un cuadrado perfecto ${displaystyle n=a^{2}$, en cuyo caso n es el palindromo "121" en la base ${displaystyle a-1}$ (excepto el caso especial de ${displaystyle N=9=1001_{2}$).

Números antipalindrómicos

Si los dígitos de un número natural no sólo tienen que ser revertidos en orden, sino también restados de ${displaystyle b-1}$ para ceder la secuencia original de nuevo, entonces se dice que el número antipalindromic. Formally, en la descomposición habitual de un número natural en sus dígitos ${displaystyle A_{i}$ en base ${displaystyle b}$, un número es antipalindromic iff ${displaystyle A_{i}=b-1-a_{k-i}$.

Proceso Lychrel

Los números no palindrómicos se pueden emparejar con los palindrómicos mediante una serie de operaciones. Primero, el número no palindrómico se invierte y el resultado se suma al número original. Si el resultado no es un número palindrómico, se repite hasta dar un número palindrómico. Tal número se llama "un palíndromo retrasado".

No se sabe si todos los números no palindrómicos pueden emparejarse con números palindrómicos de esta manera. Si bien no se ha demostrado que ningún número no esté emparejado, muchos no parecen estarlo. Por ejemplo, 196 no produce un palíndromo incluso después de 700 000 000 de iteraciones. Cualquier número que nunca se vuelve palindrómico de esta manera se conoce como número de Lychrel.

El 24 de enero de 2017, el número 1.999.291.987.030.606.810 se publicó en OEIS como A281509 y anunció "El palíndromo más retrasado conocido más grande". La secuencia de 125 palíndromos más retrasados de 261 pasos que preceden a 1.999.291.987.030.606.810 y que no se informó antes se publicó por separado como A281508.

Suma de las recíprocas

La suma de los recíprocos de los números palindrómicos es una serie convergente, cuyo valor es aproximadamente 3,37028... (secuencia A118031 en el OEIS).

Números de Scherezade

Los números de Scherezade son un conjunto de números identificados por Buckminster Fuller en su libro Synergetics. Fuller no da una definición formal para este término, pero a partir de los ejemplos que da, se puede entender que son aquellos números que contienen un factor del primorial n#, donde n≥13 y es el mayor factor primo del número. Fuller llamó a estos números números de Scheherazade porque deben tener un factor de 1001. Scheherazade es la narradora de Las mil y una noches y cuenta una nueva historia cada noche para retrasar su ejecución.. Dado que n debe ser al menos 13, el primorial debe ser al menos 1·2·3·5·7·11·13, y 7×11×13 = 1001. Fuller también se refiere a poderes de 1001 como números de Scherezade. El primorial más pequeño que contiene el número de Scherezade es 13# = 30.030.

Fuller señaló que algunos de estos números son palindrómicos por grupos de dígitos. Por ejemplo, 17# = 510,510 muestra una simetría de grupos de tres dígitos. Fuller llamó a estos números Scheherazade Sublimely Rememberable Comprehensive Dividends, o números SSRCD. Fuller señala que 1001 elevado a una potencia no solo produce números sublimemente recordables que son palindrómicos en grupos de tres dígitos, sino que también los valores de los grupos son los coeficientes binomiales. Por ejemplo,

${displaystyle (1001)^{6}=1,006,015,020,015,006,001}$

Esta secuencia falla en (1001)¹³ porque hay un dígito de acarreo tomado en el grupo de la izquierda en algunos grupos. Fuller sugiere escribir estos desbordamientos en una línea aparte. Si se hace esto, utilizando más líneas de desbordamiento según sea necesario, la simetría se conserva indefinidamente a cualquier potencia. Muchos otros números de Scherezade muestran simetrías similares cuando se expresan de esta manera.

Sumas de palíndromos

En 2018, se publicó un artículo que demuestra que todo número entero positivo se puede escribir como la suma de tres números palindrómicos en todos los sistemas numéricos con base 5 o mayor.