Número natural

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La capital doble N símbolo, a menudo utilizado para denotar el conjunto de todos los números naturales (ver Glosario de símbolos matemáticos).

Los números naturales se pueden utilizar para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas,...)

En matemáticas, los números naturales son aquellos números que se usan para contar (como en "hay seis monedas sobre la mesa") y ordenar (como en "esta es la tercera ciudad más grande del país"). Los números que se usan para contar se llaman números cardinales, y los números que se usan para ordenar se llaman números ordinales. Los números naturales a veces se usan como etiquetas, conocidos como números nominales, que no tienen ninguna de las propiedades de los números en un sentido matemático (por ejemplo, números de camisetas deportivas).

Algunas definiciones, incluida la norma ISO 80000-2, comienzan los números naturales con $0$ , correspondientes a los enteros no negativos $0, 1, 2, 3,...$ , mientras que otros comienzan con $1$ , correspondientes a los enteros positivos $1, 2, 3,...$ Los textos que excluyen el cero de los números naturales a veces se refieren a los números naturales junto con el cero como números enteros, mientras que en otros escritos, ese término se usa para los números enteros (incluidos los números enteros negativos).

Los números naturales forman un conjunto. Muchos otros conjuntos de números se construyen al extender sucesivamente el conjunto de números naturales: los enteros, incluyendo una identidad aditiva 0 (si aún no en) y un inverso aditivo $- n$ para cada número natural no cero $n$ ; los números racionales, incluyendo un inverso multiplicativo ${displaystyle 1/n}$ para cada entero no cero $n$ (y también el producto de estos inversos por enteros); los números reales incluyendo los límites de (convergente) secuencias Cauchy de los racionales; los números complejos, al unir a los números reales una raíz cuadrada de −1 (y también las sumas y productos de ellos); y así sucesivamente. Esta cadena de extensiones incrusta canónicamente los números naturales en los otros sistemas de números.

Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primos, se estudian en la teoría de números. Los problemas relacionados con el conteo y el ordenamiento, como la partición y las enumeraciones, se estudian en combinatoria.

En el lenguaje común, particularmente en la educación primaria, los números naturales pueden llamarse números de conteo para excluir intuitivamente los enteros negativos y el cero, y también para contrastar la discreción de contar con la continuidad de la medición— un sello característico de los números reales.

Historia

Raíces antiguas

Se cree que el hueso de Ishango (en exposición en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales) ha sido utilizado hace 20.000 años por aritmética número natural.

El método más primitivo de representar un número natural es colocar una marca para cada objeto. Más tarde, se podría probar la igualdad, el exceso o la escasez de un conjunto de objetos, tachando una marca y eliminando un objeto del conjunto.

El primer gran avance en la abstracción fue el uso de numerales para representar números. Esto permitió que se desarrollaran sistemas para registrar grandes números. Los antiguos egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numeración con distintos jeroglíficos para 1, 10 y todas las potencias de 10 hasta más de 1 millón. Una talla de piedra de Karnak, que data de alrededor de 1500 a. C. y ahora en el Louvre de París, representa 276 como 2 centenas, 7 decenas y 6 unidades; y análogamente para el número 4.622. Los babilonios tenían un sistema de valor posicional basado esencialmente en los números 1 y 10, usando la base sesenta, de modo que el símbolo de sesenta era el mismo que el símbolo de uno, y su valor se determinaba por el contexto.

Un avance muy posterior fue el desarrollo de la idea de que el 0 se puede considerar como un número, con su propio numeral. El uso de un dígito 0 en la notación de valor posicional (dentro de otros números) se remonta al año 700 a. C. por los babilonios, quienes omitieron dicho dígito cuando habría sido el último símbolo del número. Las civilizaciones olmeca y maya usaban 0 como un número separado desde el siglo I a. C., pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica. El uso de un número 0 en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta en 628 EC. Sin embargo, el 0 se había utilizado como número en el computus medieval (el cálculo de la fecha de la Pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en 525 EC, sin ser denotado por un número. Los números romanos estándar no tienen un símbolo para 0; en cambio, nulla (o la forma genitiva nullae) de nullus, la palabra latina para "ninguno", se empleó para denota un valor 0.

El primer estudio sistemático de los números como abstracciones suele atribuirse a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes. Algunos matemáticos griegos trataban el número 1 de forma diferente a los números más grandes, a veces ni siquiera como un número. Euclides, por ejemplo, definió primero una unidad y luego un número como una multitud de unidades, por lo tanto, según su definición, una unidad no es un número y no hay números únicos (por ejemplo, dos unidades cualquiera de indefinidamente muchas unidades es un 2).

También se realizaron estudios independientes sobre números aproximadamente al mismo tiempo en India, China y Mesoamérica.

Definiciones modernas

En la Europa del siglo XIX, hubo una discusión matemática y filosófica sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Una escuela de naturalismo afirmó que los números naturales eran una consecuencia directa de la psique humana. Henri Poincaré fue uno de sus defensores, al igual que Leopold Kronecker, quien resumió su creencia como "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre".

En oposición a los naturalistas, los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas. En la década de 1860, Hermann Grassmann sugirió una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de las definiciones. Posteriormente, se construyeron dos clases de tales definiciones formales; más tarde aún, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Frege inició las definiciones teóricas de conjuntos de los números naturales. Inicialmente definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia biunívoca con un conjunto particular. Sin embargo, esta definición resultó dar lugar a paradojas, incluida la paradoja de Russell. Para evitar tales paradojas, se modificó el formalismo para que un número natural se defina como un conjunto particular, y se dice que cualquier conjunto que se pueda poner en correspondencia biunívoca con ese conjunto tiene ese número de elementos.

La segunda clase de definiciones fue introducida por Charles Sanders Peirce, refinada por Richard Dedekind y explorada más a fondo por Giuseppe Peano; este enfoque ahora se llama aritmética de Peano. Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales: cada número natural tiene un sucesor y cada número natural distinto de cero tiene un predecesor único. La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos. Uno de esos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. Los teoremas que se pueden demostrar en ZFC pero que no se pueden demostrar con los axiomas de Peano incluyen el teorema de Goodstein.

Con todas estas definiciones, es conveniente incluir 0 (correspondiente al conjunto vacío) como número natural. Incluir 0 es ahora la convención común entre los teóricos y lógicos de conjuntos. Otros matemáticos también incluyen 0, y los lenguajes informáticos a menudo comienzan desde cero al enumerar elementos como contadores de bucle y elementos de cadena o matriz. Por otro lado, muchos matemáticos han mantenido la antigua tradición de tomar 1 como el primer número natural.

Notación

El conjunto de todos los números naturales está denotado $N$ o ${displaystyle mathbb {N}$ Los textos más antiguos se emplean ocasionalmente $J$ como el símbolo de este conjunto.

Dado que los números naturales pueden contener $0$ o no, puede ser importante saber a qué versión se hace referencia. Esto a menudo se especifica por el contexto, pero también se puede hacer usando un subíndice o un superíndice en la notación, como:

Naturales sin cero: ${displaystyle {1,2,...}=mathbb # Mathbb # {N} {fn}=Mathbb {N} {0}smallsetminus {0}=Mathbb {N} _{1}$
Naturales con cero: ${displaystyle {0,1,2,...}=Mathbb {N} {fn}=Mathbb # Mathbb # {N} {fn}cup} {0}$

Alternativamente, ya que los números naturales forman naturalmente un subconjunto de los enteros (a menudo denotado ${displaystyle mathbb {Z}$ ), pueden denominarse los enteros positivos o no negativos, respectivamente. Para ser inequívoco sobre si 0 está incluido o no, a veces un subscript (o superscripto) "0" se añade en el caso anterior, y un superscripto " $*$ " se añade en este último caso:

{displaystyle {1,2,3,dots }={xin mathbb [Z]:x confía0]=Mathbb {Z} {fn}=fnMithbb {Z} _{}0}

{displaystyle {0,1,2,dots }={xin mathbb [Z]:xgeq Oh, Dios mío. {Z}

Propiedades

Adición

Dado el conjunto ${displaystyle mathbb {N}$ de números naturales y la función sucesor ${displaystyle Scolon mathbb {N} to mathbb {N}$ enviar cada número natural al siguiente, se puede definir la adición de números naturales recursivamente estableciendo $a + 0 = a$ y $a + S () b) S () a + b)$ para todos $a$ , $b$ . Entonces... ${displaystyle (mathbb {N}+)}$ es un monoide comunitario con elemento de identidad Es un monoide libre en un generador. Este monoide comunitario satisface la propiedad de cancelación, por lo que puede ser incrustado en un grupo. El grupo más pequeño que contiene los números naturales es los enteros.

Si 1 se define como $S (0)$ , entonces $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ . Es decir, $b + 1$ es simplemente el sucesor de $b$ .

Multiplicación

Analógicamente, dado que se ha definido la adición, un operador de multiplicación ${displaystyle times }$ se puede definir mediante $a \times 0 = 0$ y $a \times S(b) = a \times b) + a$ . Esto gira ${fnMicrosoft Sans Serif}$ en un monoide libre conmutativo con elemento de identidad 1; un generador establecido para este monoide es el conjunto de números primos.

Relación entre suma y multiplicación

La adición y la multiplicación son compatibles, que se expresa en la ley de distribución: $a \times b + c) = a \times b) + (a \times c)$ . Estas propiedades de adición y multiplicación hacen que los números naturales sean una instancia de una semiring conmutativa. Los parecidos son una generalización algebraica de los números naturales donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa. La falta de inversos aditivos, lo que equivale al hecho de que ${displaystyle mathbb {N}$ no está cerrado bajo resta (es decir, restar uno natural de otro no siempre resulta en otro natural), significa que ${displaystyle mathbb {N}$ es no un anillo; en su lugar es una semiring (también conocido como rig).

Si los números naturales se toman como "excluidos 0", y "a partir de 1", las definiciones de + y × son como arriba, excepto que comienzan con $a + 1 = S () a)$ y $a \times 1 = a$ . Además, ${displaystyle (mathbb {}+)}$ no tiene elemento de identidad.

Orden

En esta sección, las variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ , y se asume el orden estándar de las operaciones.

Un orden total en los números naturales se define haciendo que $a \leq b$ si y solo si existe otro número natural $c$ donde $a + c = < i>b$ . Este orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si $a$ , $b$ y $c$ son números naturales y $a \leq b$ , luego $a + c \leq b + c$ y $ac \leq bc$ .

Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados: todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal; para los números naturales, esto se denota como $ω$ (omega).

División

En esta sección, las variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ , y se asume el orden estándar de las operaciones.

Si bien en general no es posible dividir un número natural entre otro y obtener un número natural como resultado, el procedimiento de división con resto o división euclidiana está disponible como sustituto: para dos cualesquiera números naturales $a$ y $b$ con $b \neq 0$ hay números naturales $q$ y $< i>r$ tal que

{displaystyle a=bq+r{text{ and } {fnMicrosoft Sans Serif}

El número $q$ se llama cociente y $r< /i>$ se llama el resto de la división de $a$ por $b$ . Los números $q$ y $r$ están determinados únicamente por $a$ y $b$ . Esta división euclidiana es clave para varias otras propiedades (divisibilidad), algoritmos (como el algoritmo euclidiano) e ideas en la teoría de números.

Propiedades algebraicas satisfechas por los números naturales

Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) de números naturales, tal como se definen anteriormente, tienen varias propiedades algebraicas:

Cierre debajo de la adición y la multiplicación: para todos los números naturales $a$ y $b$ , ambos $a + b$ y $a \times b$ son números naturales.
Asociación: para todos los números naturales $a$ , $b$ , y $c$ , $a + b + c) = a + b) + c$ y $a \times b \times c) = a \times b) \times c$ .
Computatividad: para todos los números naturales $a$ y $b$ , $a + b = b + a$ y $a \times b = b \times a$ .
Existencia de elementos de identidad: para cada número natural $a$ , $a + 0 = a$ y $a \times 1 = a$ .
Si los números naturales se toman como "excluidos 0", y "comenzando a 1", entonces por cada número natural $a$ , $a \times 1 = a$ . Sin embargo, la propiedad "existencia de elemento de identidad aditivo" no está satisfecha
Distribución de la multiplicación sobre adición para todos los números naturales $a$ , $b$ , y $c$ , $a \times b + c) = a \times b) + (a \times c)$ .
Sin divisores no cero: si $a$ y $b$ son números naturales tales que $a \times b = 0$ , entonces $a = 0$ o $b = 0$ (o ambas).
Si los números naturales se toman como "excluidos 0", y "a partir de 1", la propiedad "no no cero divisores" no está satisfecha.

Generalizaciones

Dos generalizaciones importantes de los números naturales surgen de los dos usos de contar y ordenar: números cardinales y números ordinales.

Un número natural se puede utilizar para expresar el tamaño de un conjunto finito; más precisamente, un número cardenal es una medida para el tamaño de un conjunto, que es incluso adecuado para conjuntos infinitos. Este concepto de "tamaño" se basa en mapas entre conjuntos, tal que dos conjuntos tienen el mismo tamaño, exactamente si existe una bijeción entre ellos. El conjunto de números naturales en sí, y cualquier imagen bijeactiva de él, se dice que contablemente infinito y tener cardenalidad aleph-null ( $א 0$ ).
Los números naturales también se utilizan como números ordinal lingüísticos: "primero", "segundo", "tercer", etc. De esta manera pueden ser asignados a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de cualquier conjunto contablemente infinito bien ordenado. Esta asignación se puede generalizar a las bienordenaciones generales con una cardenalidad más allá de la contableidad, para producir los números ordinal. También se puede utilizar un número ordinal para describir la noción de "tamaño" para un conjunto bien ordenado, en un sentido diferente de la cardinalidad: si hay un orden de isomorfismo (¡más que una bijeción!) entre dos conjuntos bien ordenados, tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como $\cdot$ ; este es también el número ordinal del conjunto de números naturales en sí.

El menor ordinal de cardinalidad $ℵ 0$ (es decir, el ordinal inicial de $ℵ 0$ ) es $ω$ pero muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal $ℵ 0 < /span> tienen un número ordinal mayor que ω .$

Para conjuntos finitos bien ordenados, existe una correspondencia uno a uno entre los números ordinales y cardinales; por tanto, ambos pueden expresarse por el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también se puede usar para describir la posición de un elemento en una secuencia finita o infinita más grande.

Skolem desarrolló en 1933 un modelo contable no estándar de aritmética que satisface la aritmética de Peano (es decir, los axiomas de Peano de primer orden). Los números hipernaturales son un modelo incontable que se puede construir a partir de los números naturales ordinarios mediante la construcción de ultrapoder.

Georges Reeb solía decir provocativamente que "los integres ingenuos no llenan" ${displaystyle mathbb {N}$ . Otras generalizaciones se examinan en el artículo sobre números.

Definiciones formales

Existen dos métodos estándar para definir formalmente los números naturales. La primera, debida a Giuseppe Peano, consiste en una teoría axiomática autónoma denominada aritmética de Peano, basada en unos axiomas denominados axiomas de Peano.

La segunda definición se basa en la teoría de conjuntos. Define los números naturales como conjuntos específicos. Más precisamente, cada número natural $n$ se define como un conjunto explícitamente definido, cuyos elementos permiten contar los elementos de otros conjuntos, en el sentido que la oración "un conjunto $S$ tiene $n$ elementos" significa que existe una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos $n$ y $S$ .

Los conjuntos utilizados para definir los números naturales satisfacen los axiomas de Peano. De ello se deduce que todo teorema que puede enunciarse y demostrarse en la aritmética de Peano también puede demostrarse en la teoría de conjuntos. Sin embargo, las dos definiciones no son equivalentes, ya que hay teoremas que pueden establecerse en términos de la aritmética de Peano y probarse en la teoría de conjuntos, que no son probables dentro de la aritmética de Peano. Un ejemplo probable es el último teorema de Fermat.

La definición de los números enteros como conjuntos que satisfacen los axiomas de Peano proporciona un modelo de la aritmética de Peano dentro de la teoría de conjuntos. Una consecuencia importante es que, si la teoría de conjuntos es consistente (como suele suponerse), entonces la aritmética de Peano es consistente. En otras palabras, si se pudiera probar una contradicción en la aritmética de Peano, entonces la teoría de conjuntos sería contradictoria, y cada teorema de la teoría de conjuntos sería tanto verdadero como incorrecto.

Axiomas de Peano

Los cinco axiomas de Peano son los siguientes:

0 es un número natural.
Cada número natural tiene un sucesor que es también un número natural.
0 no es el sucesor de ningún número natural.
Si el sucesor ${displaystyle x}$ iguala al sucesor ${displaystyle y}$ , entonces ${displaystyle x}$ iguales ${displaystyle y}$ .
El axioma de la inducción: Si una declaración es verdadera de 0, y si la verdad de esa declaración para un número implica su verdad para el sucesor de ese número, entonces la declaración es verdadera para cada número natural.

Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, pero son nombrados en su honor. Algunas formas de los axiomas Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de ${displaystyle x}$ es ${displaystyle x+1}$ .

Definición de teoría de conjuntos

Intuitivamente, el número natural $n$ es la propiedad común de todos los conjuntos que tienen estilo $n$ elementos. Por lo tanto, parece natural definir $n$ como una clase de equivalencia bajo la relación "puede hacerse en una correspondencia uno a uno& #34;. Desafortunadamente, esto no funciona en la teoría de conjuntos, ya que tal clase de equivalencia no sería un conjunto (debido a la paradoja de Russell). La solución estándar es definir un conjunto particular con $n$ elementos que se llamarán número natural $n$ .

La siguiente definición fue publicada por primera vez por John von Neumann, aunque Levy atribuye la idea al trabajo inédito de Zermelo en 1916. Como esta definición se extiende al conjunto infinito como una definición de número ordinal, los conjuntos considerados a continuación a veces se denominan von Neumann ordinales

La definición procede de la siguiente manera:

Call $0 = {}$ El set vacío.
Define el sucesor $S () a)$ de cualquier conjunto $a$ por $S () a) a . a}$ .
Por el axioma del infinito, existen conjuntos que contienen 0 y se cierran bajo la función sucesora. Se dice que tales grupos son inductivo. La intersección de todos los conjuntos inductivos sigue siendo un conjunto inductivo.
Esta intersección es el conjunto del números naturales.

Se deduce que los números naturales se definen iterativamente de la siguiente manera:

$0 = {}$ ,
$1 = 0 0 {0} = {0} = {}$ ,
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {} {}}}$ ,
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2} = {} {} {}}, {} {} {}}}}}$ ,
$n = n -1 \cup {n - 1,... n - Sí.$ ,
etc.

Se puede comprobar que los números naturales satisfacen los axiomas de Peano.

Con esta definición, dado un número natural $n$ , la oración "un conjunto $S$ tiene $n$ elementos" se puede definir formalmente como "existe una biyección de $n$ a $S$ . Esto formaliza la operación de contar los elementos de $S$ . Además, $n \leq m$ si y solo si $n$ es un subconjunto de $m$ . En otras palabras, la inclusión de conjuntos define el orden total habitual en los números naturales. Este orden es un buen orden.

Se sigue de la definición que cada número natural es igual al conjunto de todos los números naturales menores que él. Esta definición se puede extender a la definición de ordinales de von Neumann para definir todos los números ordinales, incluidos los infinitos: "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños".

Si uno no acepta el axioma del infinito, los números naturales pueden no formar un conjunto. Sin embargo, los números naturales aún se pueden definir individualmente como se indicó anteriormente y aún satisfacen los axiomas de Peano.

Hay otras construcciones teóricas de conjuntos. En particular, Ernst Zermelo proporcionó una construcción que hoy en día solo tiene interés histórico y, a veces, se la denomina Ordinales de Zermelo. Consiste en definir $0$ como el conjunto vacío, y $S (a) = {a}$ .

Con esta definición, cada número natural es un conjunto único. Entonces, la propiedad de los números naturales para representar cardinalidades no es directamente accesible; solo la propiedad ordinal (siendo el $n$ ésimo elemento de una secuencia) es inmediata. A diferencia de la construcción de von Neumann, los ordinales de Zermelo no se extienden a infinitos ordinales.

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