Numero lucas

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Infinito serie entero donde el siguiente número es la suma de los dos anteriores

La secuencia de Lucas es una secuencia de números enteros que lleva el nombre del matemático François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), quien estudió tanto esa secuencia como la estrechamente relacionada secuencia de Fibonacci. Los números individuales de la secuencia de Lucas se conocen como números de Lucas. Los números de Lucas y los números de Fibonacci forman instancias complementarias de secuencias de Lucas.

La secuencia de Lucas tiene la misma relación recursiva que la secuencia de Fibonacci, donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, pero con valores iniciales diferentes. Esto produce una secuencia en la que las proporciones de términos sucesivos se acercan a la proporción áurea y, de hecho, los términos en sí son redondeos de potencias enteras de la proporción áurea. La secuencia también tiene una variedad de relaciones con los números de Fibonacci, como el hecho de que sumar dos números de Fibonacci cualesquiera con dos términos de diferencia en la secuencia de Fibonacci da como resultado el número de Lucas en el medio.

Los primeros números de Lucas son

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349... A000032 en el OEIS)

que coincide, por ejemplo, con el número de conjuntos de vértice independientes para gráficos cíclicos $C_{n}$ de longitud ${displaystyle ngeq 2}$ .

Definición

Como con los números Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos términos inmediatamente anteriores, formando así una secuencia de enteros Fibonacci. Los dos primeros números de Lucas son ${displaystyle L_{0}=2}$ y $L_{1}=1$ , que difiere de los dos primeros números Fibonacci $F_{0}=0$ y $F_{1}=1$ . Aunque está estrechamente relacionado con la definición, Lucas y Fibonacci presentan propiedades distintas.

Los números de Lucas se pueden definir de la siguiente manera:

1.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Ln:={}2sin=0;1sin=1;Ln− − 1+Ln− − 2sin■1.{displaystyle L_{n}:={begin{cases}2 limit{text{if }n=0;1 }n=1;L_{n-1}+L_{n-2} - No.1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7448356c3c7e0e59bfd88c7a388ccd36a33859" style="vertical-align: -3.671ex; width:32.573ex; height:8.509ex;"/>

(donde n pertenece a los números naturales)

Todas las secuencias enteras tipo Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz Wythoff; la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda fila. Además, como todas las secuencias enteras tipo Fibonacci, la proporción entre dos números de Lucas consecutivos converge a la proporción áurea.

Extensión a enteros negativos

Uso ${displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$ , uno puede extender los números Lucas a números negativos para obtener una secuencia doblemente infinita:

..., 11, 7, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 7, 11,...

L_{n}

para

-5leq {}nleq 5

se muestran).

La fórmula para términos con índices negativos en esta secuencia es

L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.!

Relación con los números de Fibonacci

Los números de Lucas están relacionados con los números de Fibonacci por muchas identidades. Entre estos se encuentran los siguientes:

${displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}$
${displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
${displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
${displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
${displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}$
${displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$ Así que ${displaystyle lim _{nto infty }{frac {L_{n}}{F_{n}}}={sqrt {5}}}$ .
${displaystyle vert L_{n}-{sqrt {5}}F_{n}vert ={frac {2}{varphi ^{n}}}to 0}$
${displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$ ; en particular, ${displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} over 5}}$ Así que ${displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$ .

Su fórmula cerrada viene dada por:

{displaystyle L_{n}=varphi ^{n}+(1-varphi)^{n}=varphi ^{n}+(-varphi)^{-n}=left({1+{sqrt {5}} over 2}right)^{n}+left({1-{sqrt {5}} over 2}right)^{n},,}

Donde $varphi$ es la relación de oro. Alternativamente, en cuanto a $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ la magnitud del término $(-varphi)^{-n}$ es menos de 1/2, $L_{n}$ es el entero más cercano a $varphi ^{n}$ o, equivalentemente, la parte entero de $varphi ^{n}+1/2$ , también escrito como $lfloor varphi ^{n}+1/2rfloor$ .

Did you mean:

Combining the above with Binet 's formula,

F_{n}={frac {varphi ^{n}-(1-varphi)^{n}}{sqrt {5}}},,

una fórmula para $varphi ^{n}$ se obtiene:

varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{sqrt {5}}} over 2},.

Para números enteros n ≥ 2, también obtenemos:

{displaystyle varphi ^{n}=L_{n}-(-varphi)^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}

con resto R satisfactorio

<math alttext="{displaystyle vert Rvert SilencioRSilencio.3Ln- - 5{displaystyle vert Rvert <img alt="{displaystyle vert Rvert

Identidades de Lucas

Muchas de las identidades de Fibonacci tienen paralelos en los números de Lucas. Por ejemplo, la identidad de Cassini se convierte en

{displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}

También

{displaystyle sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}

{displaystyle sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}

{displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}

Donde ${displaystyle textstyle F_{n}={frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$ .

{displaystyle L_{n}^{k}=sum _{j=0}^{lfloor {frac {k}{2}}rfloor }(-1)^{nj}{binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}

Donde ${displaystyle L'_{n}=L_{n}}$ excepto para ${displaystyle L'_{0}=1}$ .

Por ejemplo si n Es extraño. ${displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$ y ${displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

Comprobando, ${displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$ , y ${displaystyle 256=322-4(18)+6}$

Función generadora

Dejar

{displaystyle Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+cdots =sum _{n=0}^{infty }L_{n}x^{n}}

sea la función generadora de los números de Lucas. Por un cálculo directo,

{displaystyle {begin{aligned}Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+sum _{n=2}^{infty }L_{n}x^{n}\&=2+x+sum _{n=2}^{infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\&=2+x+sum _{n=1}^{infty }L_{n}x^{n+1}+sum _{n=0}^{infty }L_{n}x^{n+2}\&=2+x+x(Phi (x)-2)+x^{2}Phi (x)end{aligned}}}

que se puede reorganizar como

{displaystyle Phi (x)={frac {2-x}{1-x-x^{2}}}}

${displaystyle Phi !left(-{frac {1}{x}}right)}$ da la función generadora para los números indizados negativos de Lucas, ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=sum _{n=0}^{infty }L_{-n}x^{-n}}$ , y

{displaystyle Phi !left(-{frac {1}{x}}right)={frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}

$Phi (x)$ satisfice la ecuación funcional

{displaystyle Phi (x)-Phi !left(-{frac {1}{x}}right)=2}

Como la función generadora de los números de Fibonacci viene dada por

{displaystyle s(x)={frac {x}{1-x-x^{2}}}}

tenemos

{displaystyle s(x)+Phi (x)={frac {2}{1-x-x^{2}}}}

lo que prueba que

{displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}

{displaystyle 5s(x)+Phi (x)={frac {2}{x}}Phi (-{frac {1}{x}})=2{frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{frac {x}{1-x-x^{2}}}}

Did you mean:

prove that

{displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}

La descomposición en fracciones parciales viene dada por

{displaystyle Phi (x)={frac {1}{1-phi x}}+{frac {1}{1-psi x}}}

Donde $phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}$ es la relación de oro y ${displaystyle psi ={frac {1-{sqrt {5}}}{2}}}$ es su conjugado.

Esto se puede utilizar para probar la función generadora, como

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }L_{n}x^{n}=sum _{n=0}^{infty }(phi ^{n}+psi ^{n})x^{n}=sum _{n=0}^{infty }phi ^{n}x^{n}+sum _{n=0}^{infty }psi ^{n}x^{n}={frac {1}{1-phi x}}+{frac {1}{1-psi x}}=Phi (x)}

Relaciones de congruencia

Si ${displaystyle F_{n}geq 5}$ es un número de Fibonacci entonces ningún número de Lucas es divisible por $F_{n}$ .

$L_{n}$ es congruente con 1 modulo $n$ si $n$ es primo, pero algunos valores compuestos de $n$ también tienen esta propiedad. Estos son los pseudoprimes Fibonacci.

${displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$ es congruente con 0 modulo 5.

Primas de Lucas

(feminine)

Un primo de Lucas es un número de Lucas que es primo. Los primeros números primos de Lucas son

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879,... (secuencia) A005479 en el OEIS).

Los índices de estos números primos son (por ejemplo, L₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467,... A001606 en el OEIS).

En septiembre de 2015, el número primo de Lucas más grande confirmado es L₁₄₈₀₉₁, que tiene 30950 dígitos decimales. En agosto de 2022, el número primo probable de Lucas más grande conocido es L_5466311, con 1.142.392 dígitos decimales.

Si L_n es primo, entonces n es 0, primo o una potencia de 2. L _2^m es primo para m = 1, 2, 3 y 4 y no se conocen otros valores de < soy.

Polinomios de Lucas

Del mismo modo que los polinomios Fibonacci se derivan de los números Fibonacci, los polinomios Lucas ${displaystyle L_{n}(x)}$ son una secuencia polinomio derivada de los números Lucas.

Fracciones continuas para potencias de la proporción áurea

Se pueden obtener aproximaciones racionales cercanas a las potencias de la proporción áurea a partir de sus fracciones continuas.

Para números enteros positivos n, las fracciones continuas son:

{displaystyle varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},ldots ]}

{displaystyle varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,ldots ]}

Por ejemplo:

{displaystyle varphi ^{5}=[11;11,11,11,ldots ]}

es el límite de

{displaystyle {frac {11}{1}},{frac {122}{11}},{frac {1353}{122}},{frac {15005}{1353}},ldots }

siendo el error en cada término aproximadamente el 1% del error en el término anterior; y

{displaystyle varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,ldots ]}

es el límite de

{displaystyle {frac {17}{1}},{frac {18}{1}},{frac {305}{17}},{frac {323}{18}},{frac {5473}{305}},{frac {5796}{323}},{frac {98209}{5473}},{frac {104005}{5796}},ldots }

siendo el error en cada término aproximadamente el 0,3% del del segundo término anterior.

Aplicaciones

Los números de Lucas son el segundo patrón más común en los girasoles después de los números de Fibonacci, cuando se cuentan las espirales en sentido horario y antihorario, según un análisis de 657 girasoles en 2016.

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