Número imaginario

Un número imaginario es un número real multiplicado por la unidad imaginaria i, que se define por su propiedad i² = −1. El cuadrado de un número imaginario bi es −b². Por ejemplo, 5i es un número imaginario y su cuadrado es −25. Por definición, el cero se considera tanto real como imaginario.

Originalmente acuñado en el siglo XVII por René Descartes como un término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó amplia aceptación tras el trabajo de Leonhard Euler (en el siglo XVIII) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss (a principios del siglo XIX).

Un número imaginario bi se puede sumar a un número real a para formar un número complejo de la forma a + bi, donde los números reales a y b se denominan, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo.

Historia

Una ilustración del plano complejo. Los números imaginarios están en el eje de coordenadas verticales.

Aunque el matemático e ingeniero griego Héroe de Alejandría es el primero en presentar un cálculo que involucraba la raíz cuadrada de un número negativo, fue Rafael Bombelli quien primero estableció las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572. El concepto había aparecido impreso antes, como en el trabajo de Gerolamo Cardano. En ese momento, los números imaginarios y los números negativos no se entendían bien y algunos los consideraban ficticios o inútiles, como lo fue alguna vez el cero. Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de números imaginarios, incluido René Descartes, quien escribió sobre ellos en su La Géométrie en la que acuñó el término imaginario y pretendía que ser despectivo. El uso de números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta el trabajo de Leonhard Euler (1707–1783) y Carl Friedrich Gauss (1777–1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Caspar Wessel (1745-1818).

En 1843, William Rowan Hamilton extendió la idea de un eje de números imaginarios en el plano a un espacio de cuatro dimensiones de imaginarios de cuaterniones en el que tres de las dimensiones son análogas a los números imaginarios en el campo complejo.

Interpretación geométrica

Rotación de 90 grados en el plano complejo

Los números geométricos e imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano de número complejo, que les permite ser presentados perpendicularmente al eje real. Una forma de ver los números imaginarios es considerar una línea de números estándar aumentando positivamente en magnitud a la derecha y aumentando negativamente en magnitud a la izquierda. At 0 on the x-eje, un Sí.-eje se puede dibujar con dirección "positiva" subiendo; números imaginarios "positivos" entonces aumentan en magnitud hacia arriba, y los números imaginarios "negativos" aumentan en magnitud hacia abajo. Este eje vertical a menudo se llama el " eje imaginario" y se denota iR,{displaystyle imathbb {R} I,{displaystyle mathbb {I} o I.

En esta representación, multiplicación por–1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen, que es un medio círculo. Multiplicación pori corresponde a una rotación de 90 grados sobre el origen que es un cuarto de un círculo. Ambos números son raíces de 1{displaystyle 1}: ()− − 1)2=1{displaystyle (-1)^{2}=1}, i4=1{displaystyle i^{4}=1}. En el campo de los números complejos, para cada n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N}, 1{displaystyle 1} tiene n{displaystyle n} las raíces φ φ n{displaystyle varphi _{n}, que significa φ φ nn=1{displaystyle varphi _{n}=1}, llamadas raíces de la unidad. Multiplicación por el primero n{displaystyle n}a raíz de la unidad provoca una rotación de 360n{displaystyle {frac {360}{n}} grados sobre el origen.

Multiplicar por un número complejo es lo mismo que girar alrededor del origen según el argumento del número complejo, seguido de una escala según su magnitud.

Raíces cuadradas de números negativos

Se debe tener cuidado al trabajar con números imaginarios que se expresan como los valores principales de las raíces cuadradas de números negativos:

6=36=()− − 4)()− − 9)ل ل − − 4− − 9=()2i)()3i)=6i2=− − 6.{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}neq {sqrt {}}{sqrt} {sqrt} {cH0} {cH0}} {cH00}} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b9}}}}}}}}}}}} {-9}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}

Eso a veces se escribe como:

− − 1=i2=− − 1− − 1=(fallacy)()− − 1)()− − 1)=1=1.{displaystyle -1=i^{2}={sqrt {-1}{sqrt {-1}{stackrel {text{ (fallacy)} {=}{=}{sqrt {-1)}={sqrt {1}=}==1.}

La falacia ocurre como la igualdad xSí.=xSí.{fnK} {fn} {fnK}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}} falla cuando las variables no se limitan adecuadamente. En ese caso, la igualdad no se mantiene ya que ambos números son negativos, lo que puede demostrarse:

− − x− − Sí.=ixiSí.=i2xSí.=− − xSí.ل ل xSí.,{displaystyle {sqrt {-x}{sqrt {-y}=i{sqrt {x} {sqrt {y}=i^{2}{sqrt {x}{sqrt {y}}=-{sqrt {xy}neq {sqrt {xy}}}}}}}}

donde tanto x como y son números reales positivos.