Numero hexagonal
Un número hexagonal es un número figurado. El nésimo número hexagonal hn es el número de puntos distintos en un Patrón de puntos que consiste en los contornos de hexágonos regulares con lados de hasta n puntos, cuando los hexágonos se superponen de manera que comparten un vértice.
The formula for the nnth hexagonal number
- hn=2n2− − n=n()2n− − 1)=2n()2n− − 1)2.{displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={frac {2n(2n-1)}{2}}}}
Los primeros números hexagonales (secuencia A000384 en el OEIS) son:
- 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...
Cada número hexagonal es un número triangular, pero sólo cada otro número triangular (el 1.º, 3.º, 5.º, 7.º, etc.) es un número hexagonal. Al igual que un número triangular, la raíz digital en base 10 de un número hexagonal solo puede ser 1, 3, 6 o 9. El patrón de raíz digital, que se repite cada nueve términos, es "1 6 6 1 9 3 1 3 9".
Todo número par perfecto es hexagonal, dado por la fórmula
- Mp2p− − 1=MpMp+12=h()Mp+1)/2=h2p− − 1{displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{frac {M_{p}+1}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}
- Donde Mp es una prima Mersenne. No se conocen números extraños perfectos, por lo tanto todos los números perfectos conocidos son hexagonales.
- Por ejemplo, el número 2 hexagonal es 2×3 = 6; el 4 es 4×7 = 28; el 16 es 16×31 = 496; y el 64 es 64×127 = 8128.
El número más grande que no se puede escribir como suma de cuatro números hexagonales como máximo es 130. Adrien-Marie Legendre demostró en 1830 que cualquier número entero mayor que 1791 se puede expresar de esta manera.
Además, sólo dos números enteros no se pueden expresar con cinco números hexagonales (pero sí con seis), siendo estos 11 y 26.
Los números hexagonales no deben confundirse con los números hexagonales centrados, que modelan el envase estándar de las salchichas vienesas. Para evitar ambigüedades, los números hexagonales a veces se denominan "números hexagonales arrinconados".
Prueba de números hexagonales
Se puede probar eficientemente si un entero positivo x es un número hexagonal calculando
- n=8x+1+14.{displaystyle n={frac {cHFF} {8x+1}+1}{4}}
Si n es un número entero, entonces x es el nésimo número hexagonal. Si n no es un número entero, entonces x no es hexagonal.
Relaciones de congruencia
- hn↑ ↑ n()mod4){displaystyle h_{n}equiv No lo sé.
- h3n+h2n+hn↑ ↑ 0()mod2){displaystyle ¿Qué? ¿Qué?
Otras propiedades
Expresión usando notación sigma
El número nésimo de la secuencia hexagonal también se puede expresar usando la notación sigma como
- hn=.. k=0n− − 1()4k+1){displaystyle h_{n}=sum ¿Qué?
donde la suma vacía se considera 0.
Suma de los números hexagonales recíprocos
Did you mean:The sum of the reciprocal hexagonal numbers is 2ln(2), were ln denotes natural logarithm.
- .. k=1JUEGO JUEGO 1k()2k− − 1)=limn→ → JUEGO JUEGO 2.. k=1n()12k− − 1− − 12k)=limn→ → JUEGO JUEGO 2.. k=1n()12k− − 1+12k− − 1k)=2limn→ → JUEGO JUEGO ().. k=12n1k− − .. k=1n1k)=2limn→ → JUEGO JUEGO .. k=1n1n+k=2limn→ → JUEGO JUEGO 1n.. k=1n11+kn=2∫ ∫ 0111+xdx=2[In ()1+x)]01=2In 2.. 1.386294{displaystyle {begin{aligned}sum ##{k=1} {infty }{frac {1}{k(2k-1)} {=lim _{nto infty }2sum _{k=1}{n}left({frac=0} {1}{2k-1}}-{2k}right)\fnnto infty }2sum _{k=1}{n}left({frac=0} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}fn}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fnh {1}{2k-1}+{frac} {1}{2k}-{frac} {1}{k}right)\fn2lim _{nto infty ¿Qué? - ¿Qué? {1}{k}right)\fn2lim _{nto infty - ¿Qué? {1}{n+k}\\fnm} {fnntonnn} {fn}sum} - ¿Qué? {1}{1+{frac {k} {n}}\\fn}\\fn}\\\fn}\\\\\c}\\\\\\\\\\\\\c}\\\c}\\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\c}\\\\\\\\\\\c}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c}\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? {1}{1+x}dx\\fn2[ln(1+x)]_{0}\\=2ln {2}\\\\\\\\\\\\\\\cH009}\fn1}fn1}fn1}}}\\fn1}}}}}}}\\\\\\\\\cH009}\\cH00}}}}}}}\\\\\\cH00}}}\\\\\\\\\\\\cH3n1}}}\\\\\\\\\cH004cH3n1}}}\\\\\cH004\cH00}}cH
![{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k(2k-1)}}&=lim _{nto infty }2sum _{k=1}^{n}left({frac {1}{2k-1}}-{frac {1}{2k}}right)\&=lim _{nto infty }2sum _{k=1}^{n}left({frac {1}{2k-1}}+{frac {1}{2k}}-{frac {1}{k}}right)\&=2lim _{nto infty }left(sum _{k=1}^{2n}{frac {1}{k}}-sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}right)\&=2lim _{nto infty }sum _{k=1}^{n}{frac {1}{n+k}}\&=2lim _{nto infty }{frac {1}{n}}sum _{k=1}^{n}{frac {1}{1+{frac {k}{n}}}}\&=2int _{0}^{1}{frac {1}{1+x}}dx\&=2[ln(1+x)]_{0}^{1}\&=2ln {2}\&approx {1.386294}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd22e6ce120e4a191ce829eef5363645d1c71e1)
Multiplicando el índice
Uso de reordenamiento Se proporciona el siguiente conjunto de fórmulas:
h2n=4hn+2n{displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}
h3n=9hn+6n{displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}
...{displaystyle...}
hmAlternativa Alternativa n=m2hn+()m2− − m)n{displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}
Relación de proporción
Usando la fórmula final anterior con respecto a m y luego n y luego reduciendo y moviendo un poco se puede llegar a la siguiente ecuación:
hm+mhn+n=()mn)2{fnMicroc} {h_{m}+m}{h_{n}=n}=left({frac} {m} {n}right)}{2}
12()n− − 1){displaystyle 12^{(n-1)} para no tener hn{displaystyle H_{n} divisores.
Números cuadrados hexagonales
La secuencia de números que son tanto hexagonales como cuadrados perfectos comienza con 1, 1225, 1413721,... OEIS: A046177.