Número Grashof

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Cantidad sin dimensión; proporción de la flotabilidad de un fluido a la viscosidad

En mecánica de fluidos (especialmente en termodinámica de fluidos), el número de Grashof ( $Gr$ , por Franz Grashof) es un número adimensional que se aproxima a la relación entre la flotabilidad y las fuerzas viscosas que actúan sobre un fluido. Surge con frecuencia en el estudio de situaciones que involucran convección natural y es análogo al número de Reynolds ( $Re$ ).

Definición

Transferencia de calor

La convección libre es causada por un cambio en la densidad de un fluido debido a un cambio o gradiente de temperatura. Por lo general, la densidad disminuye debido a un aumento de la temperatura y hace que el fluido suba. Este movimiento es causado por la fuerza de flotación. La fuerza principal que resiste el movimiento es la fuerza viscosa. El número de Grashof es una forma de cuantificar las fuerzas opuestas.

El número de Grashof es:

{mathrm {Gr}}_{L}={frac {gbeta (T_{s}-T_{infty })L^{3}}{nu ^{2}}},

para placas planas verticales

{mathrm {Gr}}_{D}={frac {gbeta (T_{s}-T_{infty })D^{3}}{nu ^{2}}},

para tuberías

{mathrm {Gr}}_{D}={frac {gbeta (T_{s}-T_{infty })D^{3}}{nu ^{2}}},

para cuerpos hinchables

donde:

$g$ es aceleración gravitacional debido a la Tierra
$β$ es el coeficiente de expansión térmica (igual a aproximadamente $1/ T$ para gases ideales)
$T s$ es la temperatura superficial
$T JUEGO$ es la temperatura de vracs
$L$ es la longitud vertical
$D$ es el diámetro
$.$ es la viscosidad cinemática.

La $L$ y la $D indican la base de la escala de longitud para el número de Grashof.$

La transición a flujo turbulento ocurre en el rango $108 < Gr L < 10 9$ para convección natural de placas planas verticales. A números de Grashof más altos, la capa límite es turbulenta; a números de Grashof más bajos, la capa límite es laminar, es decir, en el rango $103 < Gr L < 10 6$ .

Transferencia de masa

Existe una forma análoga del número de Grashof que se utiliza en casos de problemas de transferencia de masa por convección natural. En el caso de la transferencia de masa, la convección natural es causada por gradientes de concentración en lugar de gradientes de temperatura.

{displaystyle mathrm {Gr} _{c}={frac {gbeta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{nu ^{2}}}}

dónde

{displaystyle beta ^{*}=-{frac {1}{rho }}left({frac {partial rho }{partial C_{a}}}right)_{T,p}}

$g$ es aceleración gravitacional debido a la Tierra
$C a, s$ es la concentración de especies $a$ en la superficie
$C a,a$ es la concentración de especies $a$ en medio ambiente
$L$ es la longitud característica
$.$ es la viscosidad cinemática
$***$ es la densidad del fluido
$C a$ es la concentración de especies $a$
$T$ es la temperatura (constante)
$p$ es la presión (constante).

Relación con otros números adimensionales

El número de Rayleigh, que se muestra a continuación, es un número adimensional que caracteriza los problemas de convección en la transferencia de calor. Existe un valor crítico para el número de Rayleigh, por encima del cual se produce el movimiento del fluido.

{displaystyle mathrm {Ra} _{x}=mathrm {Gr} _{x}mathrm {Pr} }

La relación entre el número de Grashof y el cuadrado del número de Reynolds se puede usar para determinar si se puede despreciar la convección forzada o libre para un sistema, o si hay una combinación de las dos. Esta relación característica se conoce como número de Richardson ( $Ri$ ). Si la relación es mucho menor que uno, entonces se puede ignorar la convección libre. Si la relación es mucho mayor que uno, se puede ignorar la convección forzada. En caso contrario, el régimen es combinado de convección forzada y libre.

{displaystyle mathrm {Ri} ={frac {mathrm {Gr} }{mathrm {Re} ^{2}}}gg 1implies {text{ignore forced convection}}}

{displaystyle mathrm {Ri} ={frac {mathrm {Gr} }{mathrm {Re} ^{2}}}approx 1implies {text{combined forced and free convection}}}

{displaystyle mathrm {Ri} ={frac {mathrm {Gr} }{mathrm {Re} ^{2}}}ll 1implies {text{ignore free convection}}}

Derivación

El primer paso para llegar al número Grashof está manipulando el coeficiente de expansión del volumen, ${mathrm {beta }}$ como sigue.

{displaystyle beta ={frac {1}{v}}left({frac {partial v}{partial T}}right)_{p}={frac {-1}{rho }}left({frac {partial rho }{partial T}}right)_{p}}

El $v$ en la ecuación anterior, que representa volumen específico, no es el mismo que el $v$ en las secciones posteriores de esta derivación, que representará una velocidad. Esta relación parcial del coeficiente de expansión del volumen, ${mathrm {beta }}$ , con respecto a la densidad del fluido, ${mathrm {rho }}$ , dada la presión constante, puede ser reescrito como

{displaystyle rho =rho _{0}(1-beta Delta T)}

donde:

$rho _{0}$ es la densidad del fluido de vracs
$rho$ es la densidad de la capa fronteriza
${displaystyle Delta T=(T-T_{0})}$ , la diferencia de temperatura entre la capa de límites y el fluido de vracs.

Hay dos formas diferentes de encontrar el número de Grashof desde este punto. Uno involucra la ecuación de energía mientras que el otro incorpora la fuerza de flotación debido a la diferencia de densidad entre la capa límite y el fluido a granel.

Ecuación de energía

Esta discusión que involucra la ecuación de energía es con respecto al flujo rotacionalmente simétrico. Este análisis tendrá en cuenta el efecto de la aceleración gravitacional sobre el flujo y la transferencia de calor. Las ecuaciones matemáticas a continuación se aplican tanto al flujo simétrico rotacional como al flujo plano bidimensional.

{displaystyle {frac {partial }{partial s}}(rho ur_{0}^{n})+{frac {partial }{partial y}}(rho vr_{0}^{n})=0}

donde:

$s$ es la dirección de rotación, es decir, dirección paralela a la superficie
$u$ es la velocidad tangencial, es decir, velocidad paralela a la superficie
$y$ es la dirección planar, es decir, dirección normal a la superficie
$v$ es la velocidad normal, es decir, la velocidad normal a la superficie
$r_{0}$ es el radio.

En esta ecuación, el superíndice $n$ es para diferenciar entre el flujo rotacionalmente simétrico del flujo plano. Las siguientes características de esta ecuación son verdaderas.

$n$ = 1: flujo simétrico rotacional
$n$ = 0: plano, flujo bidimensional
$g$ es aceleración gravitacional

Esta ecuación se expande a lo siguiente con la adición de propiedades físicas del fluido:

{displaystyle rho left(u{frac {partial u}{partial s}}+v{frac {partial u}{partial y}}right)={frac {partial }{partial y}}left(mu {frac {partial u}{partial y}}right)-{frac {dp}{ds}}+rho g.}

A partir de aquí podemos simplificar aún más la ecuación de impulso estableciendo la velocidad del fluido a 0 ( $u=0$ ).

{displaystyle {frac {dp}{ds}}=rho _{0}g}

Esta relación muestra que el gradiente de presión es simplemente un producto de la densidad del fluido a granel y la aceleración gravitacional. El siguiente paso es introducir el gradiente de presión en la ecuación de cantidad de movimiento.

{displaystyle rho left(u{frac {partial u}{partial s}}+v{frac {partial u}{partial y}}right)=mu left({frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}right)+rho gbeta (T-T_{0})}

Más simplificación de la ecuación de impulso viene sustituyendo el coeficiente de expansión del volumen, relación densidad ${displaystyle rho _{0}-rho =beta rho (T-T_{0})}$ , encontrado arriba, y relación de viscosidad cinemática, $nu ={frac {mu }{rho }}$ , en la ecuación de impulso.

{displaystyle uleft({frac {partial u}{partial s}}right)+vleft({frac {partial v}{partial y}}right)=nu left({frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}right)+gbeta (T-T_{0})}

Para encontrar el número de Grashof desde este punto, la ecuación anterior debe ser no dimensionada. Esto significa que cada variable en la ecuación no debe tener dimensión y debe ser una relación característica a la geometría y configuración del problema. Esto se hace dividiendo cada variable por cantidades constantes correspondientes. Las longitudes se dividen por una longitud característica, $L_{c}$ . Velocidades se dividen por velocidades de referencia apropiadas, $V$ , que, teniendo en cuenta el número Reynolds, da $V={frac {{mathrm {Re}}_{L}nu }{L_{c}}}$ . Las temperaturas se dividen por la diferencia de temperatura apropiada, ${displaystyle (T_{s}-T_{0})}$ . Estos parámetros sin dimensiones parecen los siguientes:

$s^{*}={frac {s}{L_{c}}}$ ,
$y^{*}={frac {y}{L_{c}}}$ ,
$u^{*}={frac {u}{V}}$ ,
$v^{*}={frac {v}{V}}$ , y
${displaystyle T^{*}={frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$ .

Los asteriscos representan parámetros adimensionales. La combinación de estas ecuaciones adimensionales con las ecuaciones de impulso da la siguiente ecuación simplificada.

{displaystyle u^{*}{frac {partial u^{*}}{partial s^{*}}}+v^{*}{frac {partial u^{*}}{partial y^{*}}}=left[{frac {gbeta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{nu ^{2}}}right]{frac {T^{*}}{mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{frac {1}{mathrm {Re} _{L}}}{frac {partial ^{2}u^{*}}{partial {y^{*}}^{2}}}}

donde:

T_{s}

es la temperatura superficial

T_{0}

es la temperatura del fluido de vracs

L_{c}

es la longitud característica.

El parámetro adimensional encerrado entre corchetes en la ecuación anterior se conoce como número de Grashof:

{displaystyle mathrm {Gr} ={frac {gbeta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{nu ^{2}}}.}

Teorema π de Buckingham

Otra forma de análisis dimensional que resultará en el número Grashof se conoce como el teorema de Buckingham π. Este método tiene en cuenta la fuerza de flotabilidad por volumen de unidad, $F_{b}$ debido a la diferencia de densidad en la capa de límites y el fluido de vracs.

{displaystyle F_{b}=(rho -rho _{0})g}

Esta ecuación se puede manipular para dar,

{displaystyle F_{b}=-beta grho _{0}Delta T.}

La lista de variables que se utilizan en el método π de Buckingham se incluye a continuación, junto con sus símbolos y dimensiones.

Variable	Signatura	Dimensiones
Longitud significativa	$L$	$mathrm{L}$
Viscosidad fluida	$mu$	${mathrm {{frac {M}{Lt}}}}$
Capacidad de calor fluida	$c_{p}$	${mathrm {{frac {Q}{MT}}}}$
Conductividad térmica fluida	$k$	${mathrm {{frac {Q}{LtT}}}}$
Coeficiente de expansión del volumen	$beta$	${mathrm {{frac {1}{T}}}}$
Aceleración gravitacional	$g$	${mathrm {{frac {L}{t^{2}}}}}$
Diferencia de temperatura	$Delta T$	$mathrm {T}$
Coeficiente de transferencia de calor	$h$	${mathrm {{frac {Q}{L^{2}tT}}}}$

Con referencia al teorema de Buckingham π hay $9 - 5 = 4$ grupos sin dimensión. Elija $L$ , $mu$ $k$ , $g$ y $beta$ como variables de referencia. Así $pi$ Los grupos son los siguientes:

pi _{1}=L^{a}mu ^{b}k^{c}beta ^{d}g^{e}c_{p}

pi _{2}=L^{f}mu ^{g}k^{h}beta ^{i}g^{j}rho

pi _{3}=L^{k}mu ^{l}k^{m}beta ^{n}g^{o}Delta T

pi _{4}=L^{q}mu ^{r}k^{s}beta ^{t}g^{u}h

Resolver estos $pi$ grupos dan:

{displaystyle pi _{1}={frac {mu (c_{p})}{k}}=mathrm {Pr} }

pi _{2}={frac {l^{3}grho ^{2}}{mu ^{2}}}

pi _{3}=beta Delta T

{displaystyle pi _{4}={frac {hL}{k}}=mathrm {Nu} }

De los dos grupos $pi _{2}$ y $pi _{3},$ el producto forma el número Grashof:

pi_2 pi_3=frac{beta g rho^2 Delta T L^3}{mu^2} = mathrm{Gr}.

Tomando $nu ={frac {mu }{rho }}$ y ${displaystyle Delta T=(T_{s}-T_{0})}$ la ecuación anterior se puede renderizar como el mismo resultado de derivar el número Grashof de la ecuación de energía.

{mathrm {Gr}}={frac {beta gDelta TL^{3}}{nu ^{2}}}

En convección forzada, el número de Reynolds gobierna el flujo de fluido. Pero, en la convección natural, el número de Grashof es el parámetro adimensional que gobierna el flujo del fluido. El uso de la ecuación de energía y la fuerza de flotación combinada con el análisis dimensional proporciona dos formas diferentes de derivar el número de Grashof.

Razonamiento físico

También es posible derivar el número de Grashof mediante la definición física del número de la siguiente manera:

{displaystyle mathrm {Gr} ={frac {mathrm {Buoyancy~Force} }{mathrm {Friction~Force} }}={frac {mg}{tau A}}={frac {L^{3}rho beta (Delta T)g}{mu (V/L)L^{2}}}={frac {L^{2}beta (Delta T)g}{nu V}}}

Sin embargo, la expresión anterior, especialmente la parte final en el lado derecho, es ligeramente diferente del número de Grashof que aparece en la literatura. Se puede usar la siguiente escala dimensionalmente correcta en términos de viscosidad dinámica para tener la forma final.

{displaystyle mathrm {mu } =rho VL}

{displaystyle mathrm {Gr} ={frac {L^{3}beta (Delta T)g}{nu ^{2}}}}

{displaystyle mathrm {V} ={frac {L^{2}beta (Delta T)g}{nu Gr}}}

Efectos del número de Grashof en el flujo de diferentes fluidos

En una investigación reciente realizada sobre los efectos del número de Grashof en el flujo de diferentes fluidos impulsados por convección sobre varias superficies. Usando la pendiente de la línea de regresión lineal a través de los puntos de datos, se concluye que el aumento en el valor del número de Grashof o cualquier parámetro relacionado con la flotabilidad implica un aumento en la temperatura de la pared y esto hace que los enlaces entre el fluido se vuelvan más débiles, la fuerza de la fricción interna para disminuir, la gravedad se vuelve lo suficientemente fuerte (es decir, hace que el peso específico sea apreciablemente diferente entre las capas de fluido inmediatas adyacentes a la pared). Los efectos del parámetro de flotabilidad son muy significativos en el flujo laminar dentro de la capa límite formada en un cilindro que se mueve verticalmente. Esto solo se puede lograr cuando se consideran la temperatura de superficie prescrita (PST) y el flujo de calor de pared prescrito (WHF). Se puede concluir que el parámetro de flotabilidad tiene un efecto positivo insignificante en el número de Nusselt local. Esto solo es cierto cuando la magnitud del número de Prandtl es pequeña o se considera el flujo de calor de pared prescrito (WHF). El número de Sherwood, el número de Bejan, la generación de entropía, el número de Stanton y el gradiente de presión son propiedades crecientes de los parámetros relacionados con la flotabilidad, mientras que los perfiles de concentración, la fuerza de fricción y los microorganismos móviles son propiedades decrecientes.

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