Número esfénico

En teoría de números, un número esfénico (del griego: σφήνα, 'cuña') es un número entero positivo que es el producto de tres números primos distintos. Debido a que hay infinitos números primos, también hay infinitos números esfénicos.

Definición

Un número esfénico es un producto pqr donde p, q y r son tres números primos distintos. En otras palabras, los números esfénicos son los 3-casi primos libres de cuadrados.

Ejemplos

El número esfénico más pequeño es 30 = 2 × 3 × 5, el producto de los tres números primos más pequeños. Los primeros números esfénicos son

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165,... A007304 en el OEIS)

A partir de 2020, el mayor número esfénico conocido es

(22)^82.589.933 −1) × (2^77,232,917 −1) × (2^74.207.281 - 1).

Es el producto de los tres primos más grandes conocidos.

Divisoras

Todos los números esfénicos tienen exactamente ocho divisores. Si expresamos el número esférico como n=p⋅ ⋅ q⋅ ⋅ r{displaystyle n=pcdot qcdot r}, donde p, q, y r son principios distintos, entonces el conjunto de divisores de n será:

{}1,p,q,r,pq,pr,qr,n}.{displaystyle left{1, p, q, r, pq, pr, qr, nright}

El Converse no se mantiene. Por ejemplo, 24 no es un número esfénico, pero tiene exactamente ocho divisores.

Propiedades

Todos los números esfénicos son, por definición, libres, porque los factores primos deben ser distintos.

La función Möbius de cualquier número esfénico es −1.

Los polinomios ciclotómicos CCPR CCPR n()x){displaystyle Phi _{n}(x)}, tomada sobre todos los números esféricos n, puede contener coeficientes arbitrariamente grandes (para n un producto de dos primos los coeficientes son ± ± 1{displaystyle pm 1} o 0).

Cualquier múltiplo de un número esfénico (excepto por 1) no es un número esfénico. Esto es fácilmente demostrable mediante el proceso de multiplicación agregando otro factor primo o elevando al cuadrado un factor existente.

Números esfénicos consecutivos

El primer caso de dos enteros esfénicos consecutivos es 230 = 2×5×23 y 231 = 3×7×11. El primer caso de tres es 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131 y 1311 = 3×19×23. No hay caso de más de tres, porque cada cuarto entero positivo consecutivo es divisible por 4 = 2×2 y por lo tanto no está libre de cuadrados.

Los números 2013 (3×11×61), 2014 (2×19×53) y 2015 (5×13×31) son todos esfénicos. Los próximos tres años esfénicos consecutivos serán 2665 (5×13×41), 2666 (2×31×43) y 2667 (3×7×127) (secuencia A165936 en la OEIS).