Número educado

En teoría de números, un número cortés es un entero positivo que se puede escribir como la suma de dos o más enteros positivos consecutivos. Un número entero positivo que no es cortés se llama descortés. Los números descorteses son exactamente potencias de dos, y los números educados son los números naturales que no son potencias de dos.

Los números educados también han sido llamados números de escalera porque los diagramas de Young que representan gráficamente las particiones de un número educado en números enteros consecutivos (en la notación francesa para dibujar estos diagramas) se parecen a las escaleras. Si todos los números en la suma son estrictamente mayores que uno, los números así formados también se llaman números trapezoidales porque representan patrones de puntos dispuestos en un trapezoide.

El problema de representar números como sumas de enteros consecutivos y de contar el número de representaciones de este tipo ha sido estudiado por Sylvester, Mason, Leveque y muchos otros autores más recientes. Los números educados describen los posibles números de lados de los polígonos de Reinhardt.

Ejemplos y caracterización

Los primeros números educados son

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,... A138591 en el OEIS).

Los números descorteses son exactamente potencias de dos. Del teorema de Lambek-Moser se deduce que el nésimo número político es f(n + 1), donde

${\displaystyle f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log Está bien.$

Cortesía

La cortesía de un número positivo se define como el número de formas en que puede expresarse como la suma de números enteros consecutivos. Para cada x, la cortesía de x es igual al número de divisores impares de x que son mayores que uno. La cortesía de los números 1, 2, 3,... es

0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 1, 1, 3,... A069283 en el OEIS).

Por ejemplo, la cortesía de 9 es 2 porque tiene dos divisores impares, 3 y 9, y dos representaciones de cortesía

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

la cortesía de 15 es 3 porque tiene tres divisores impares, 3, 5 y 15, y (como es familiar para los jugadores de cribbage) tres representaciones de cortesía

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Una manera fácil de calcular la cortesía de un número positivo descomponiendo el número en sus principales factores, tomando los poderes de todos los factores principales superiores a 2, añadiendo 1 a todos ellos, multiplicando así los números obtenidos entre sí y restando 1. Por ejemplo, 90 tiene cortés 5 porque ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$; los poderes de 3 y 5 son respectivamente 2 y 1, y la aplicación de este método ${\displaystyle (2+1)\times (1+1)-1=5}$.

Construcción de representaciones educadas a partir de divisores impares

Para ver la conexión entre divisores impares y representaciones educadas, supongamos que un número x tiene el divisor impar y >1. Luego y enteros consecutivos centrados en x/y (de modo que su valor promedio sea x/y) tienen x como suma:

${\displaystyle x=\sum _{i={\frac {x}{y}-{\frac} {y-1}{\f} {\fnMic} {\fnMic} {\fnK}} {\f}}} {\f}}} {\fnMic} {\fnMic}}}}}} {\fnK}}}} {\f}} {\f}}} {\fnMic}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {\\\f}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\fn\fn\fn\fn\f}}\\\fn\\\\\fn\f}}}\fn {x}{y}+{\frac} Yo.$

Algunos de los términos de esta suma pueden ser cero o negativos. Sin embargo, si un término es cero, se puede omitir y cualquier término negativo se puede usar para cancelar los positivos, lo que lleva a una representación educada de x. (El requisito de que y > 1 corresponde al requisito de que una representación educada tenga más de un término; aplicar la misma construcción para y = 1 sólo llevaría a la trivial representación de un término x = x.) Por ejemplo, el número cortés x = 14 tiene un único divisor impar no trivial, 7. Por lo tanto, es la suma de 7 números consecutivos centrados en 14/7 = 2:

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 −1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

El primer término, −1, cancela un +1 posterior, y el segundo término, cero, puede omitirse, lo que lleva a la representación educada

14 = 2 + (2 + 1) + 2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

Por el contrario, toda representación educada de x puede formarse a partir de esta construcción. Si una representación tiene un número impar de términos, x/y es el término medio, mientras que si tiene un número par de términos y su valor mínimo es m puede extenderse de forma única a una secuencia más larga con la misma suma y un número impar de términos, incluyendo los números 2m − 1 −(m − 1), −(m − 2),..., −1, 0, 1,..., m − 2, m -1. Después de esta extensión, nuevamente, x/y es el término medio. Mediante esta construcción, las representaciones educadas de un número y sus divisores impares mayores que uno pueden colocarse en una correspondencia uno a uno, dando una prueba biyectiva de la caracterización de los números educados y la cortesía. De manera más general, la misma idea da una correspondencia de dos a uno entre, por un lado, representaciones como suma de números enteros consecutivos (permitiendo cero, números negativos y representaciones de un solo término) y, por otro lado, divisores impares (incluidos 1).

Otra generalización de este resultado establece que, para cualquier n, el número de particiones de n en números impares que tienen k valores distintos es igual el número de particiones de n en números distintos que tienen k ejecuciones máximas de números consecutivos. Aquí una ejecución es uno o más valores consecutivos de modo que el siguiente valor consecutivo más grande y el siguiente más pequeño no forman parte de la partición; por ejemplo, la partición 10 = 1 + 4 + 5 tiene dos ejecuciones, 1 y 4 + 5. Una representación educada tiene una sola ejecución, y una partición con un valor d es equivalente a una factorización de n como el producto d ⋅ (< i>n/d), por lo que el caso especial k = 1 de este resultado establece nuevamente la equivalencia entre representaciones educadas y factores impares (incluido en este caso la representación trivial n = n y el factor impar trivial 1).

Números trapezoidales

Si una representación educada comienza con 1, el número así representado es un número triangular

${\displaystyle T_{n}={\frac {n+1)}{2}=1+2+\cdots +n.}$

En caso contrario, es la diferencia de dos números triangulares no consecutivos

${\displaystyle i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j títuloi\geq 2).}$

Este segundo caso se llama número trapezoidal. También se pueden considerar números educados que no sean trapezoidales. Los únicos números de este tipo son los números triangulares con un solo divisor impar no trivial, porque para esos números, según la biyección descrita anteriormente, el divisor impar corresponde a la representación triangular y no puede haber otras representaciones educadas. Por tanto, un número educado no trapezoidal debe tener la forma de una potencia de dos multiplicada por un número primo impar. Como observan Jones y Lord, existen exactamente dos tipos de números triangulares con esta forma:

1. los números perfectos 2^{n − 1}(22)ⁿ − 1) formado por el producto de un Mersenne prime 2ⁿ − 1 con la mitad del poder más cercano de dos, y
2. los productos 2^{n − 1}(22)ⁿ + 1) de un Fermat primo 2ⁿ + 1 con la mitad de la potencia más cercana de dos.

(secuencia A068195 en el OEIS). Por ejemplo, el número perfecto 28 = 2^{3 − 1}(2³ − 1) y el número 136 = 2^{4 − 1}(2 ⁴ + 1) son ambos este tipo de número cortés. Se conjetura que hay infinitos números primos de Mersenne, en cuyo caso también hay infinitos números educados de este tipo.