Número doble

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Números reales, con un elemento de nil cuadrado unido

En álgebra, el Números duales son un sistema de números hipercomplex introducido por primera vez en el siglo XIX. Son expresiones de la forma $a + bε$ , donde $a$ y $b$ son números reales, y $ε$ es un símbolo tomado para satisfacer ${displaystyle varepsilon ^{2}=0}$ con ${displaystyle varepsilon neq 0}$ .

Los números duales se pueden sumar por componentes y multiplicar por la fórmula

{displaystyle (a+bvarepsilon)(c+dvarepsilon)=ac+(ad+bc)varepsilon}

que se deriva de la propiedad $ε 2 = 0$ y del hecho de que la multiplicación es una operación bilineal.

Los números duales forman un álgebra conmutativa de dimensión dos sobre los reales, y también un anillo local artiniano. Son uno de los ejemplos más simples de un anillo que tiene elementos nilpotentes distintos de cero.

Historia

Los números duales fueron introducidos en 1873 por William Clifford y fueron utilizados a principios del siglo XX por el matemático alemán Eduard Study, quien los utilizó para representar el ángulo dual que mide la posición relativa de dos líneas oblicuas en el espacio. El estudio definió un ángulo dual como $θ + dε$ , donde $θ$ es el ángulo entre las direcciones de dos líneas en un espacio tridimensional y $d$ es una distancia entre ellos. La generalización $n$ -dimensional, el número de Grassmann, fue introducida por Hermann Grassmann a finales del siglo XIX.

Definición en álgebra abstracta

En álgebra abstracta, el álgebra de números duales se define a menudo como el cociente de un anillo polinomio sobre los números reales ${displaystyle (mathbb {R})}$ por el ideal principal generado por el cuadrado del indeterminado, es decir

{displaystyle mathbb {R} [X]/leftlangle X^{2}rightrangle.}

Representación matricial

El número dual ${displaystyle a+bepsilon }$ puede ser representado por la matriz cuadrada ${displaystyle {begin{pmatrix}a&b\0&aend{pmatrix}}}$ . En esta representación la matriz ${displaystyle {begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}}$ cuadrados a la matriz cero, correspondiente al número dual $varepsilon$ .

Hay otras formas de representar números duales como matrices cuadradas. Consisten en representar el doble número $1$ por la matriz de identidad, y $epsilon$ por cualquier matriz cuyo cuadrado es la matriz cero; es decir, en el caso de $2\times2$ matrices, cualquier matriz no cero de la forma

{begin{pmatrix}a&b\c&-aend{pmatrix}}

con ${displaystyle a^{2}+bc=0.}$

Diferenciación

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática. Considere los números duales reales anteriores. Dado cualquier polinomio real $P (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 +... + p n x n$ , es sencillo extender el dominio de este polinomio de los números reales a los números duales. Entonces tenemos este resultado:

{displaystyle {begin{aligned}P(a+bvarepsilon)={}&p_{0}+p_{1}(a+bvarepsilon)+cdots +p_{n}(a+bvarepsilon)^{n}\={}&p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}bvarepsilon +2p_{2}abvarepsilon +cdots +np_{n}a^{n-1}bvarepsilon \[3pt]={}&P(a)+bP^{prime }(a)varepsilonend{aligned}}}

donde $P'$ es el derivado de $P$ .

De manera más general, podemos extender cualquier función real (analítica) a los números duales observando su serie de Taylor:

{displaystyle f(a+bvarepsilon)=sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)b^{n}varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)varepsilon}

ya que todos los términos relacionados con $ε 2$ o mayores son trivialmente 0 según la definición de $ε$ .

Al calcular las composiciones de estas funciones sobre los números duales y examinar el coeficiente de $ε$ en el resultado, encontramos que tenemos automáticamente calculó la derivada de la composición.

Un método similar funciona para polinomios de variables $n$ , utilizando el álgebra exterior de un $n$ espacio vectorial dimensional.

Geometría

El "círculo unitario" de números duales consiste en aquellos con $a = \pm1$ ya que estos satisfacen $zz * = 1$ donde $z * = a - bε$ . Sin embargo, tenga en cuenta que

{displaystyle e^{bvarepsilon }=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(bvarepsilon right)^{n}}{n!}}=1+bvarepsilon}

así que el mapa exponencial aplicado al eje $ε$ cubre solo la mitad del "círculo".

Sea $z = a + bε$ . Si $a \neq 0$ y $m = b / a$ , luego $z = a (1 + mε)$ es la descomposición polar del número dual $z$ , y la pendiente $m$ es su parte angular. El concepto de una rotación en el plano numérico dual es equivalente a un mapeo de corte vertical ya que $(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

En espacio y tiempo absolutos la transformación de Galileo

{displaystyle left(t',x'right)=(t,x){begin{pmatrix}1&v\0&1end{pmatrix}},,}

eso es

{displaystyle t'=t,quad x'=vt+x,}

relaciona el sistema de coordenadas en reposo con un marco de referencia móvil de velocidad $v$ . Con números duales $t + xε$ que representan eventos a lo largo de una dimensión de espacio y tiempo, la misma transformación se efectúa con la multiplicación por 1 + vε.

Ciclos

Dados dos números duales $p$ y $q$ , determinan el conjunto de $z$ tales que la diferencia de pendientes ("ángulo de Galileo&# 34;) entre las líneas desde $z$ hasta $p$ y $q$ es constante. Este conjunto es un ciclo en el plano numérico dual; dado que la ecuación que establece la diferencia en las pendientes de las líneas a una constante es una ecuación cuadrática en la parte real de $z$ , un ciclo es una parábola. La "rotación cíclica" del plano numérico dual ocurre como un movimiento de su línea proyectiva. Según Isaak Yaglom, el ciclo $Z = {z : y = αx 2}$ es invariante bajo la composición del cortante

{displaystyle x_{1}=x,quad y_{1}=vx+y}

con la traducción

{displaystyle x'=x_{1}={frac {v}{2a}},quad y'=y_{1}+{frac {v^{2}}{4a}}.}

División

La división de números duales se define cuando la parte real del denominador es distinta de cero. El proceso de división es análogo a la división compleja en que el denominador se multiplica por su conjugado para cancelar las partes no reales.

Por lo tanto, para dividir una ecuación de la forma

{displaystyle {frac {a+bvarepsilon }{c+dvarepsilon }}}

multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del denominador:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {a+bvarepsilon }{c+dvarepsilon }}&={frac {(a+bvarepsilon)(c-dvarepsilon)}{(c+dvarepsilon)(c-dvarepsilon)}}\[5pt]&={frac {ac-advarepsilon +bcvarepsilon -bdvarepsilon ^{2}}{c^{2}+cdvarepsilon -cdvarepsilon -d^{2}varepsilon ^{2}}}\[5pt]&={frac {ac-advarepsilon +bcvarepsilon -0}{c^{2}-0}}\[5pt]&={frac {ac+varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\[5pt]&={frac {a}{c}}+{frac {bc-ad}{c^{2}}}varepsilon end{aligned}}}

que se define cuando c es distinto de cero.

Si, por el contrario, $c$ es cero mientras que $d$ no lo es, entonces la ecuación

{displaystyle {a+bvarepsilon =(x+yvarepsilon)dvarepsilon }={xdvarepsilon +0}}

no tiene solución si $a$ no es cero
es resuelto por cualquier número dual de la forma $b / d + yε$ .

Esto significa que la parte no real del "cociente" es arbitrario y, por lo tanto, la división no está definida para números duales puramente no reales. De hecho, son (trivialmente) divisores de cero y forman claramente un ideal del álgebra asociativa (y por lo tanto del anillo) de los números duales.

Aplicaciones en mecánica

Los números duales encuentran aplicaciones en la mecánica, especialmente para la síntesis cinemática. Por ejemplo, los números duales hacen posible transformar las ecuaciones de entrada/salida de un enlace esférico de cuatro barras, que incluye solo juntas rotoides, en un mecanismo espacial de cuatro barras (rotoide, rotoide, rotoide, cilíndrico). Los ángulos dualizados están formados por una parte primitiva, los ángulos, y una parte dual, que tiene unidades de longitud. Consulte la teoría del tornillo para obtener más información.

Generalizaciones

Esta construcción se puede realizar de manera más general: para un anillo conmutativo $R$ uno puede definir los números duales sobre $R$ como el cociente del anillo polinomial $R [X]$ por el ideal $(X 2)$ : la imagen de $X$ luego tiene cuadrado igual a cero y corresponde al elemento $ε$ desde arriba.

Módulo arbitrario de elementos de cero cuadrado

Hay una construcción más general de los números duales. Dado un anillo conmutativo $R$ y un módulo $M$ , hay un anillo ${displaystyle R[M]}$ llamado el anillo de números duales que tiene las siguientes estructuras:

Es el $R$ - Mobiliario ${displaystyle Roplus M}$ con la multiplicación definida por ${displaystyle (r,i)cdot left(r',i'right)=left(rr',ri'+r'iright)}$ para ${displaystyle r,r'in R}$ y ${displaystyle i,i'in I.}$

El álgebra de números duales es el caso especial donde ${displaystyle M=R}$ y ${displaystyle varepsilon =(0,1).}$

Superespacio

Los números duales encuentran aplicaciones en la física, donde constituyen uno de los ejemplos no triviales más simples de un superespacio. De manera equivalente, son supernúmeros con un solo generador; los supernúmeros generalizan el concepto a $n$ generadores distintos $ε$ , cada anti-conmutación, posiblemente tomando $n$ hasta el infinito. Superspace generaliza ligeramente los supernúmeros, al permitir múltiples dimensiones de desplazamiento.

La motivación para introducir los números duales en la física se deriva del principio de exclusión de Pauli para los fermiones. La dirección a lo largo de $ε$ se denomina "fermiónico" dirección, y el componente real se denomina "bosónico" dirección. La dirección fermiónica recibe este nombre del hecho de que los fermiones obedecen al principio de exclusión de Pauli: bajo el intercambio de coordenadas, la función de onda de la mecánica cuántica cambia de signo y, por lo tanto, se desvanece si se juntan dos coordenadas; esta idea física es capturada por la relación algebraica $ε 2 = 0$ .

Línea proyectiva

La idea de una línea proyectiva sobre números duales fue propuesta por Grünwald y Corrado Segre.

Así como la esfera de Riemann necesita un punto del polo norte en el infinito para cerrar la línea proyectiva compleja, una línea en el infinito logra cerrar el plano de los números duales en un cilindro.

Suponga que $D$ es el anillo de números duales $x + yε$ y $U$ es el subconjunto con $x \neq 0$ . Entonces $U$ es el grupo de unidades de $D$ . Sea $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U o b \in U}$ . Una relación se define en B de la siguiente manera: $(a, b) ~ (c, d)$ cuando hay una $u$ en $U$ tal que $ua = c$ y $ub = d$ . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia. Los puntos de la línea proyectiva sobre $D$ son clases de equivalencia en $B$ bajo esta relación: $P (D) = B /~$ . Se representan con coordenadas proyectivas $[a, b]$ .

Considere la incrustación $D \to P () D)$ por $z \to z, 1]$ . Entonces puntos $[1,1] n]$ , para $n 2 = 0$ , están dentro $P () D)$ pero no son la imagen de ningún punto bajo la incrustación. $P () D)$ es mapeado sobre un cilindro por proyección: Tome un cilindro tangente al avión número doble en la línea $mathbb {R}$ , $ε 2 = 0$ . Ahora tome la línea opuesta en el cilindro para el eje de un lápiz de planos. Los aviones que intersectan el avión de doble número y el cilindro proporcionan una correspondencia de puntos entre estas superficies. El plano paralelo al plano de doble número corresponde a puntos $[1,1] n]$ , $n 2 = 0$ en la línea proyectiva sobre números duales.

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