Número de Strouhal

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Número sin dimensiones que describe los mecanismos de flujo oscilante

En análisis dimensional, el número de Strouhal (St, o a veces Sr para evitar el conflicto con el número de Stanton) es un número adimensional describir los mecanismos de flujo oscilante. El parámetro lleva el nombre de Vincenc Strouhal, un físico checo que experimentó en 1878 con cables que experimentaban desprendimiento de vórtices y cantos en el viento. El número de Strouhal es una parte integral de los fundamentos de la mecánica de fluidos.

El número de Strouhal a menudo se da como

 ${displaystyle {text{St}}={frac {fL}{U}},}$

donde f es la frecuencia de desprendimiento de vórtices, L es la longitud característica (por ejemplo, el diámetro hidráulico o el espesor de la superficie aerodinámica) y U es la velocidad del flujo. En ciertos casos, como el vuelo agitado (hundimiento), esta longitud característica es la amplitud de la oscilación. Esta selección de longitud característica se puede utilizar para presentar una distinción entre el número de Strouhal y la frecuencia reducida:

 ${displaystyle {text{St}}={frac {kA}{pi c}},}$

donde k es la frecuencia reducida y A es la amplitud de la oscilación.

Número de Strouhal (Sr) como función del número Reynolds (R) para un cilindro circular largo.

Para números de Strouhal grandes (del orden de 1), la viscosidad domina el flujo del fluido, lo que da como resultado un movimiento oscilante colectivo del 'tapón' del fluido. Para números de Strouhal bajos (del orden de 10⁻⁴ e inferiores), la parte del movimiento de alta velocidad y estado casi estacionario domina la oscilación. La oscilación en números de Strouhal intermedios se caracteriza por la acumulación y el rápido desprendimiento posterior de vórtices.

Para esferas en flujo uniforme en el rango de números de Reynolds de 8×10² < Re < 2×10⁵ coexisten dos valores del número de Strouhal. La frecuencia más baja se atribuye a la gran inestabilidad de la estela, es independiente del número de Reynolds Re y es aproximadamente igual a 0,2. El número de Strouhal de mayor frecuencia es causado por inestabilidades a pequeña escala de la separación de la capa de corte.

Derivación

Conocer la segunda ley de Newton declarando fuerza es equivalente a la aceleración de tiempos masivos, o $F=ma$ , y esa aceleración es el derivado de la velocidad, o ${displaystyle {tfrac {U}{t}}}$ (velocidad corporal/tiempo) en el caso de la mecánica de fluidos, vemos

 ${displaystyle F={dfrac {mU}{t}}}$ ,

Puesto que la velocidad característica se puede representar como longitud por unidad de tiempo, ${displaystyle {tfrac {L}{t}}}$ , tenemos

 ${displaystyle F={dfrac {mU^{2}}{L}}}$ ,

dónde,

m = masa,

U = velocidad característica,

L = longitud característica.

Dividir ambos lados por ${displaystyle {tfrac {mU^{2}}{L}}}$ , tenemos

 ${displaystyle {tfrac {FL}{mU^{2}}}=1={text{constant}}}$  ⇒  ${displaystyle {tfrac {mU^{2}}{FL}}=1={text{constant}}}$ ,

dónde,

m = masa,

U = velocidad característica,

F = fuerzas externas netas,

L = longitud característica.

Esto proporciona una base adimensional para una relación entre la masa, la velocidad característica, las fuerzas externas netas y la longitud (tamaño) que se puede utilizar para analizar los efectos de la mecánica de fluidos en un cuerpo con masa.

Si las fuerzas externas netas son predominantemente elásticas, podemos usar la Ley de Hooke para ver

 ${displaystyle F=kDelta L}$ ,

dónde,

k = constante primaveral (estiffness of elastic element),

ΔL = deformación (cambio de longitud).

Sumas ${displaystyle Delta Lpropto L}$ , entonces ${displaystyle Fapprox kL}$ . Con la frecuencia de resonancia natural del sistema elástico, $omega _{0}^{2}$ , ser igual a ${displaystyle {tfrac {k}{m}}}$ , tenemos

 ${displaystyle {dfrac {mU^{2}}{FL}}={dfrac {mU^{2}}{kL^{2}}}={dfrac {U^{2}}{omega _{0}^{2}L^{2}}}}$ ,

dónde,

m = masa,

U = velocidad característica,

$omega _{0}$ = frecuencia de resonancia natural,

ΔL = deformación (cambio de longitud).

Dado que la frecuencia de movimiento cíclico puede ser representada por ${displaystyle f={tfrac {omega _{0}^{2}L}{U}}}$ Tenemos,

 ${displaystyle {dfrac {U^{2}}{omega _{0}^{2}L^{2}}}={dfrac {U}{fL}}={text{constant}}={dfrac {fL}{U}}={text{St (Strouhal Number)}}}$ ,

dónde,

f = frecuencia,

L = longitud característica,

U = velocidad característica.

Aplicaciones

Micro/Nanorobótica

En el campo de la micro y nanorobótica, el número de Strouhal se usa junto con el número de Reynolds para analizar el impacto de un flujo fluídico oscilatorio externo en el cuerpo de un microrobot. Al considerar un microrobot con movimiento cíclico, el número de Strouhal se puede evaluar como

 ${displaystyle {text{St}}={dfrac {fL}{U}}}$ ,

dónde,

f = frecuencia de movimiento cíclico,

L = longitud característica del robot,

U = velocidad característica.

El análisis de un microrobot utilizando el número de Strouhal permite evaluar el impacto que el movimiento del fluido en el que se encuentra tiene sobre su movimiento en relación con las fuerzas de inercia que actúan sobre el robot, independientemente de que las fuerzas dominantes sean elásticas o no.

Médica

(feminine)

En el campo de la medicina, los microrobots que utilizan movimientos de natación para moverse pueden realizar micromanipulaciones en entornos inalcanzables.

La ecuación utilizada para un vaso sanguíneo:

 ${displaystyle {text{St}}={dfrac {fD}{V}}}$ ,

dónde,

f = frecuencia de oscilación del movimiento de natación microbot

D = diámetro del vaso sanguíneo

V = flujo viscoelástico inestable

El número de Strouhal se usa como una relación del número de Deborah (De) y el número de Weissenberg (Wi):

 ${displaystyle {text{St}}={dfrac {text{De}}{text{Wi}}}}$ .

El número de Strouhal también se puede utilizar para obtener el número de Womersley (Wo). El caso del flujo sanguíneo se puede categorizar como un flujo viscoelástico inestable, por lo tanto, el número de Womersley es

 ${displaystyle {text{Wo}}={sqrt {{dfrac {pi }{2}}*{text{Re}}*{text{St}}}}}$ ,

O considerando ambas ecuaciones,

 ${displaystyle {text{Wo}}={sqrt {{dfrac {pi }{2}}*{text{Re}}*{dfrac {text{De}}{text{Wi}}}}}}$ .

Metrología

En metrología, específicamente en medidores de turbina de flujo axial, el número de Strouhal se usa en combinación con el número de Roshko para brindar una correlación entre el caudal y la frecuencia. La ventaja de este método sobre el método de frecuencia/viscosidad versus factor K es que tiene en cuenta los efectos de la temperatura en el medidor.

 ${displaystyle {text{St}}={frac {f}{U}}C^{3},}$

dónde,

f = frecuencia de medición,

U = caudal,

C = coeficiente lineal de expansión para el material de carcasa medidor.

Esta relación deja a Strouhal sin dimensiones, aunque a menudo se usa una aproximación sin dimensiones para C³, lo que da como resultado unidades de pulsos/volumen (igual que el factor K).

Esta relación entre caudal y frecuencia también se puede encontrar en el campo aeronáutico. Teniendo en cuenta las llamas pulsantes de difusión de chorro de coflujo de metano-aire, obtenemos

 ${displaystyle {text{St}}={dfrac {aw_{j}}{U_{j}}}}$ ,

dónde,

a = radio de chorro de combustible

w = frecuencia de modulación

U = velocidad de salida del chorro de combustible

Para un número de Strouhal pequeño (St=0,1), la modulación forma una desviación en el flujo que viaja muy lejos río abajo. A medida que crece el número de Strouhal, la frecuencia no dimensional se aproxima a la frecuencia natural de una llama parpadeante y eventualmente tendrá una pulsación mayor que la llama.

Locomoción de animales

En animales que nadan o vuelan, el número de Strouhal se define como

 ${displaystyle {text{St}}={frac {f}{U}}A,}$

dónde,

f = frecuencia de oscilación (beat de cola, ala-flapping, etc.),

U = caudal,

A = amplitud de oscilación pico a pico.

En el vuelo o la natación de los animales, la eficiencia de propulsión es alta en un rango estrecho de constantes de Strouhal, generalmente alcanzando un máximo de 0,2 < San < 0.4 rango. Esta gama se utiliza en la natación de delfines, tiburones y peces óseos, y en el vuelo de crucero de aves, murciélagos e insectos. Sin embargo, en otras formas de vuelo se encuentran otros valores. Intuitivamente, la relación mide la inclinación de los trazos, vistos desde un lado (por ejemplo, suponiendo movimiento a través de un fluido estacionario): f es la frecuencia del trazo, A es la amplitud, entonces el numerador fA es la mitad de la velocidad vertical de la punta del ala, mientras que el denominador V es la velocidad horizontal. Así, el gráfico de la punta del ala forma una sinusoide aproximada con aspecto (pendiente máxima) el doble de la constante de Strouhal.

Movimiento eficiente

El número de Strouhal se usa más comúnmente para evaluar el flujo oscilante como resultado del movimiento de un objeto a través de un fluido. El número de Strouhal refleja la dificultad que tienen los animales para viajar eficientemente a través de un fluido con sus movimientos cíclicos de propulsión. El número se relaciona con la eficiencia de propulsión, que alcanza su punto máximo entre el 70 y el 80 % cuando se encuentra dentro del rango óptimo del número de Strouhal de 0,2 a 0,4. Mediante el uso de factores como la frecuencia de brazada, la amplitud de cada brazada y la velocidad, el número de Strouhal puede analizar la eficiencia y el impacto de las fuerzas propulsoras de un animal a través de un fluido, como las de nadar o volador. Por ejemplo, el valor representa las limitaciones para lograr una mayor eficiencia de propulsión, lo que afecta el movimiento cuando se navega y las fuerzas aerodinámicas cuando se está suspendido.

Las mayores fuerzas reactivas y las propiedades que actúan contra el objeto, como la viscosidad y la densidad, reducen la capacidad del movimiento de un animal para caer dentro del rango ideal del número de Strouhal al nadar. A través de la evaluación de diferentes especies que vuelan o nadan, se encontró que el movimiento de muchas especies de aves y peces cae dentro del rango Strouhal óptimo. Sin embargo, el número de Strouhal varía más dentro de la misma especie que en otras especies según el método de cómo se mueven de manera restringida en respuesta a las fuerzas aerodinámicas.

Ejemplo: Alcid

El número de Strouhal tiene una importancia significativa en el análisis del vuelo de los animales, ya que se basa en las líneas de corriente y la velocidad del animal a medida que viaja a través del fluido. Su importancia se demuestra a través del movimiento de los álcidos a medida que pasan por diferentes medios (del aire al agua). La evaluación de los alcidos determinó la peculiaridad de poder volar bajo el rango eficiente del número de Strouhal en aire y agua a pesar de una gran masa en relación con el área de sus alas. El eficiente movimiento de doble medio del álcido se desarrolló a través de la selección natural, donde el medio ambiente desempeñó un papel en la evolución de los animales a lo largo del tiempo para caer dentro de un cierto rango eficiente. El movimiento del medio dual demuestra cómo los álcidos tenían dos patrones de vuelo diferentes basados en las velocidades de carrera a medida que se movía a través de cada fluido. Sin embargo, como el ave viaja a través de un medio diferente, tiene que enfrentar la influencia de la densidad y la viscosidad del fluido. Además, el ácido también tiene que resistir la flotabilidad que actúa hacia arriba cuando se mueve horizontalmente.

Escalamiento del número de Strouhal

Análisis de escala

Para determinar la importancia del número de Strouhal en diferentes escalas, se puede realizar un análisis de escala, un método de simplificación para analizar el impacto de los factores a medida que cambian con respecto a alguna escala. Cuando se considera en el contexto de microrrobótica y nanorrobótica, el tamaño es el factor de interés al realizar análisis de escala.

El análisis de escala del número Strouhal permite analizar la relación entre las fuerzas de masas y las fuerzas inerciales como ambos cambios respecto al tamaño. Tomando su forma original subived, ${displaystyle {tfrac {mU^{2}}{FL}}}$ , entonces podemos relacionar cada término a tamaño y ver cómo cambia la relación como cambios de tamaño.

Dado ${displaystyle m=V*rho }$ donde m es masa, V es volumen, y $rho$ es densidad, podemos ver la masa directamente relacionada con el tamaño como escalas de volumen con longitud (L). Tomando el volumen para ser $L^3$ , podemos relacionar directamente masa y tamaño como

 ${displaystyle mapprox L^{3}}$ .

Velocidad característica (U) es en términos de ${displaystyle {tfrac {text{distance}}{text{time}}}}$ , y escalas de distancia relativa con tamaño, por lo tanto

 ${displaystyle U^{2}approx L^{2}}$ .

Las escalas netas de las fuerzas externas (F) en relación con la masa y la aceleración, dadas por ${displaystyle F=m*a}$ . La aceleración es en términos de ${displaystyle {tfrac {text{distance}}{{text{time}}^{2}}}}$ , por lo tanto ${displaystyle aapprox L}$ . Se estableció la relación de tamaño masivo ${displaystyle mapprox L^{3}}$ , así que considerando las tres relaciones, tenemos

 ${displaystyle Fapprox L^{4}}$ .

La longitud (L) ya denota tamaño y sigue siendo L.

Tomando todo esto en conjunto, obtenemos

 ${displaystyle {dfrac {mU^{2}}{FL}}approx {dfrac {L^{3}L^{2}}{L^{4}L}}approx {dfrac {L^{5}}{L^{5}}}approx L^{0}=1}$ .

Con el número de Strouhal que relaciona la masa con las fuerzas de inercia, esto se puede esperar ya que estos dos factores escalarán proporcionalmente con el tamaño y no aumentarán ni disminuirán en importancia con respecto a su contribución al comportamiento del cuerpo en el movimiento cíclico del líquido.

Relación con el número de Richardson

La relación de escala entre el número de Richardson y el número de Strouhal está representada por la ecuación:

 ${displaystyle {text{St}}_{l}=b{text{Ri}}_{l}^{a}}$ ,

donde a y b son constantes dependiendo de la condición.

Para chorros y penachos flotantes de helio redondos:

 ${displaystyle {text{St}}_{D}sim {text{Ri}}_{D}^{0.38}}$ .

Cuando $<math alttext="{displaystyle {text{Ri}}Ri.100{displaystyle {text{Ri}}traducido100} <img alt="{displaystyle {text{Ri}}$ ,

 ${displaystyle {text{St}}_{D}=0.8{text{Ri}}_{D}^{0.38}}$ .

Cuando $<math alttext="{displaystyle 100<{text{Ri}}100.Ri.500{displaystyle 100 won {text{Ri}}traducido 500} <img alt="{displaystyle 100<{text{Ri}}$ ,

 ${displaystyle {text{St}}_{D}=2.1{text{Ri}}_{D}^{0.28}}$ .

Para chorros y penachos planos flotantes:

 ${displaystyle {text{St}}_{W}=0.55{text{Ri}}_{W}^{0.45}}$ .

Para escalado independiente de la forma:

 ${displaystyle {text{St}}_{Rh}=e^{-1}{text{Ri}}_{Rh}^{tfrac {2}{5}}}$

Relación con el número de Reynolds

El número de Strouhal y el número de Reynolds deben tenerse en cuenta al abordar el método ideal para desarrollar un cuerpo hecho para moverse a través de un fluido. Además, la relación de estos valores se expresa a través de la teoría del cuerpo alargado de Lighthill, que relaciona las fuerzas reactivas experimentadas por un cuerpo que se mueve a través de un fluido con sus fuerzas de inercia. Se determinó que el número de Strouhal dependía del número adimensional de Lighthill, que a su vez se relaciona con el número de Reynolds. Entonces se puede ver que el valor del número de Strouhal disminuye con un número de Reynolds creciente y aumenta con un número de Lighthill creciente.

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