Número de sesgos

En teoría de números, Número de Skewes es cualquiera de varios números grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como límites superiores para el menor número natural x{displaystyle x} para la cual

operatorname {li} (x),}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()x)■li⁡ ⁡ ()x),{displaystyle pi (x)operatorname {li} (x),}operatorname {li} (x)," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f12964d2a54bafacbf5b00030d0e1211b70e11" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.649ex; height:2.843ex;"/>

Donde π es la función de contabilidad principal y li es la función integral logarítmica. El número de Skewes es mucho mayor, pero ahora se sabe que hay un cruce entre <math alttext="{displaystyle pi (x)π π ()x).li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x) obedeciófnción {li} (x)}<img alt="{displaystyle pi (x) y operatorname {li} (x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()x)■li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)operatorname {li} (x)}operatorname {li} (x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40337c3799297fff3bafb5b2800d625b837b275b" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.002ex; height:2.843ex;"/> cerca <math alttext="{displaystyle e^{727.95133}e727.95133.1.397× × 10316.{displaystyle e^{727.95133}traducido1.397times 10^{316}<img alt="{displaystyle e^{727.95133} No se sabe si es el cruce más pequeño.

Números sesgados

J.E. Littlewood, que era el supervisor de investigación de Skewes, había probado en Littlewood (1914) que hay tal número (y por lo tanto, un primer número de ese número); y de hecho encontró que el signo de la diferencia π π ()x)− − li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)-operatorname {li} (x)} cambia infinitamente muchas veces. All numerical evidence then available to suggest that π π ()x){displaystyle pi (x)} era siempre menos que li⁡ ⁡ ()x).{displaystyle operatorname {li} (x).} La prueba de Littlewood no exhibió, sin embargo, un número tan concreto x{displaystyle x}.

Skewes (1933) demostró que, asumiendo que la hipótesis Riemann es verdadera, existe un número x{displaystyle x} Violación <math alttext="{displaystyle pi (x)π π ()x).li⁡ ⁡ ()x),{displaystyle pi (x) obedeciófnción {li} (x),}<img alt="{displaystyle pi (x) infra

<math alttext="{displaystyle e^{e^{e^{79}}}eee79.10101034.{displaystyle ¿Qué?<img alt="e^{e^{e^{79}}}

En Skewes (1955), sin asumir la hipótesis de Riemann, Skewes demostró que debe existir un valor de x{displaystyle x} infra

<math alttext="{displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}eeee7.705.101010964.{displaystyle ¿Qué?<img alt="e^{{e^{{e^{{e^{{7.705}}}}}}}}

La tarea de Skewes era hacer que la prueba de existencia de Littlewood fuera efectiva: exhibir un límite superior concreto para el primer cambio de signo. Según Georg Kreisel, en ese momento esto no se consideraba obvio ni siquiera en principio.

Estimaciones más recientes

Estos límites superiores se han reducido considerablemente utilizando cálculos informáticos a gran escala de ceros de la función Riemann zeta. La primera estimación para el valor real de un punto de cruce fue dada por Lehman (1966), quien mostró que en algún lugar entre 1.53× × 101165{displaystyle 1.53times 10^{1165} y 1.65× × 101165{displaystyle 1.65times 10^{1165} hay más que 10500{displaystyle 10^{500} enteros consecutivos x{displaystyle x} con operatorname {li} (x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()x)■li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)operatorname {li} (x)}operatorname {li} (x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40337c3799297fff3bafb5b2800d625b837b275b" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.002ex; height:2.843ex;"/>. Sin asumir la hipótesis de Riemann, H. J. J. te Riele (1987) demostró ser un límite superior de 7× × 10370{displaystyle 7times 10^{370}. Una estimación mejor 1.39822× × 10316{displaystyle 1.39822times 10^{316} descubierto por Bays " Hudson (2000), quien mostró que hay al menos 10153{displaystyle 10^{153} enteros consecutivos cerca de este valor donde operatorname {li} (x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()x)■li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)operatorname {li} (x)}operatorname {li} (x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40337c3799297fff3bafb5b2800d625b837b275b" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.002ex; height:2.843ex;"/>. Bays y Hudson encontraron algunos valores mucho más pequeños de x{displaystyle x} Donde π π ()x){displaystyle pi (x)} se acerca li⁡ ⁡ ()x){displaystyle operatorname {li} (x)}; la posibilidad de que haya puntos de cruce cerca de estos valores no parece haber sido definitivamente descartado todavía, aunque los cálculos informáticos sugieren que son poco probable que existan. Chao & Plymen (2010) dio una pequeña mejora y corrección al resultado de Bays y Hudson. Saouter " Demichel (2010) encontró un intervalo menor para un cruce, que fue ligeramente mejorado por Zegowitz (2010). La misma fuente muestra que existe un número x{displaystyle x} Violación <math alttext="{displaystyle pi (x)π π ()x).li⁡ ⁡ ()x),{displaystyle pi (x) obedeciófnción {li} (x),}<img alt="{displaystyle pi (x) infra <math alttext="{displaystyle e^{727.9513468}e727.9513468.1.39718× × 10316{displaystyle e^{727.9513468}traducido1.39718times 10^{316}<img alt="{displaystyle e^{727.9513468}. Esto se puede reducir a <math alttext="{displaystyle e^{727.9513386}e727.9513386.1.39717× × 10316{displaystyle e^{727.9513386}traducido1.39717times 10^{316}<img alt="{displaystyle e^{727.9513386} suponiendo la hipótesis Riemann. Stoll & Demichel (2011) dio 1.39716× × 10316{displaystyle 1.39716times 10^{316}.

Rigorously, Rosser & Schoenfeld (1962) demostró que no hay puntos de cruce por debajo x=108{displaystyle x=10^{8}}, mejorada por Brent (1975) a 8× × 1010{displaystyle 8times 10^{10}, por Kotnik (2008) a 1014{displaystyle 10^{14}, por Platt ' Trudgian (2014) a 1.39× × 1017{displaystyle 1.39times 10^{17}, y por Büthe (2015) a 1019{displaystyle 10^{19}.

No hay valor explícito x{displaystyle x} conocido por cierto para tener la propiedad operatorname {li} (x),}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()x)■li⁡ ⁡ ()x),{displaystyle pi (x)operatorname {li} (x),}operatorname {li} (x)," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f12964d2a54bafacbf5b00030d0e1211b70e11" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.649ex; height:2.843ex;"/> Aunque los cálculos de la computadora sugieren algunos números explícitos que son muy probables para satisfacer esto.

Aunque la densidad natural de los enteros positivos para los cuales operatorname {li} (x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()x)■li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)operatorname {li} (x)}operatorname {li} (x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40337c3799297fff3bafb5b2800d625b837b275b" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.002ex; height:2.843ex;"/> no existe, Wintner (1941) mostró que la densidad logarítmica de estos enteros positivos existe y es positiva. Rubinstein & Sarnak (1994) mostró que esta proporción es de alrededor de 0.00000026, lo que es sorprendentemente grande dado lo lejos que uno tiene para encontrar el primer ejemplo.

Fórmula de Riemann

Riemann dio una fórmula explícita para π π ()x){displaystyle pi (x)}, cuyos términos principales son (ignorando algunas preguntas sutiles de convergencia)

π π ()x)=li⁡ ⁡ ()x)− − 12li⁡ ⁡ ()x)− − .. *** *** li⁡ ⁡ ()x*** *** )+términos más pequeños{displaystyle pi (x)=operatorname {li} (x)-{tfrac {1}{2}operatorname {li} ({sqrt {x,}})-sum _{rho }operatorname {li} (x^{rho })+{text{smaller terms}}}}}}

donde la suma está sobre todo *** *** {displaystyle rho } en el conjunto de ceros no-triviales de la función Riemann zeta.

El término de error más grande en la aproximación π π ()x).. li⁡ ⁡ ()x){displaystyle pi (x)approx operatorname {li} (x)} (si la hipótesis Riemann es verdadera) es negativa 12li⁡ ⁡ ()x){displaystyle {tfrac {2}fnh}fnK}}fnK}}}, mostrando eso li⁡ ⁡ ()x){displaystyle operatorname {li} (x)} es generalmente más grande que π π ()x){displaystyle pi (x)}. Los otros términos arriba son algo más pequeños, y además tienden a tener diferentes argumentos complejos aparentemente aleatorios, así que en su mayoría cancelan. Ocasionalmente, sin embargo, varios de los más grandes podrían tener aproximadamente el mismo argumento complejo, en cuyo caso se reforzarán mutuamente en lugar de cancelar y abrumarán el término 12li⁡ ⁡ ()x){displaystyle {tfrac {2}fnh}fnK}}fnK}}}.

La razón por la que el número de Skewes es tan grande es que estos términos más pequeños son bastante mucho menor que el principal término de error, principalmente porque el primer complejo cero de la función zeta tiene una parte bastante grande imaginario, por lo que un gran número (several cientos) de ellos necesitan tener aproximadamente el mismo argumento para abrumar el término dominante. La oportunidad de N{displaystyle N} números complejos al azar que tienen aproximadamente el mismo argumento es alrededor de 1 en 2N{displaystyle 2^{N}. Esto explica por qué π π ()x){displaystyle pi (x)} a veces es más grande que li⁡ ⁡ ()x),{displaystyle operatorname {li} (x),} y también por qué es raro que esto suceda. También muestra por qué encontrar lugares donde esto sucede depende de cálculos a gran escala de millones de ceros de alta precisión de la función Riemann zeta.

El argumento anterior no es una prueba, ya que supone que los ceros de la función Riemann zeta son al azar, lo que no es cierto. Roughly speaking, Littlewood's proof consists of Dirichlet's aproximation theorem to show that sometimes many terms have about the same argument. En caso de que la hipótesis Riemann sea falsa, el argumento es mucho más simple, esencialmente porque los términos li⁡ ⁡ ()x*** *** ){displaystyle operatorname {li} (x^{rho })} por ceros violando la hipótesis Riemann (con parte real mayor que 1/2) son eventualmente más grandes que li⁡ ⁡ ()x1/2){displaystyle operatorname {li} (x^{1/2})}.

La razón del término 12li()x1/2){displaystyle {tfrac {2}mathrm {li} (x^{1/2}}} es que, casi hablando, li()x){displaystyle mathrm {li} (x)} en realidad cuenta poderes de los primos, en lugar de los primos mismos, con pn{displaystyle p^{n} ponderado por 1n{fnMicroc} {1}{n}}. El término 12li()x1/2){displaystyle {tfrac {2}mathrm {li} (x^{1/2}}} es aproximadamente análogo a una corrección de segundo orden contable para cuadrados de primos.

Equivalente a k-tuplas primas

Existe una definición equivalente del número de Skewes para los primeros k-tuples (Tóth (2019)). Vamos P=()p,p+i1,p+i2,...,p+ik){displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},p+i_{k} denota una prima (k+ 1)-tuple, π π P()x){displaystyle pi _{P}(x)} el número de primos p{displaystyle p} infra x{displaystyle x} tales que p,p+i1,p+i2,...,p+ik{displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},p+i_{k} son todos primos, vamos liP⁡ ⁡ ()x)=∫ ∫ 2xdt()In⁡ ⁡ t)k+1{displaystyle operatorname {li_{P} (x)=int _{2}{x}{frac {dt}{(ln t)^{k+1}}} {}}}} {fn0} {fn0}} y dejar CP{displaystyle C_{P} denota su constante de Hardy-Littlewood (ver Primera conjetura de Hardy-Littlewood). Entonces el primer primo p{displaystyle p} que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para el (k+ 1)-tuple P{displaystyle P}, es decir, la primera primera p{displaystyle p} tales que

C_{P}operatorname {li} _{P}(p),}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π P()p)■CPliP⁡ ⁡ ()p),{displaystyle pi _{P}(p) confianzaC_{P}operatorname {li} _{P}(p),}C_{P}operatorname {li} _{P}(p),}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2570ceb31d2912d9f46bc86d150947176af24fd3" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.77ex; height:2.843ex;"/>

(si existe tal primo) es el Skewes número para P.{displaystyle P.}

La siguiente tabla muestra los números Skewes actualmente conocidos para tuplas k primos:

El número de Skewes (si existe) para primos sexy ()p,p+6){displaystyle (p,p+6)} sigue siendo desconocido.

También se desconoce si todas las k-tuplas admisibles tienen un número Skewes correspondiente.