Número de Rayleigh

En mecánica de fluidos, el número de Rayleigh (Ra, en honor a Lord Rayleigh) para un fluido es un número adimensional asociado con el flujo impulsado por la flotabilidad, también conocido como convección libre (o natural). Caracteriza el régimen de flujo del fluido: un valor en un cierto rango inferior denota flujo laminar; un valor en un rango más alto, flujo turbulento. Por debajo de cierto valor crítico, no hay movimiento del fluido y la transferencia de calor es por conducción y no por convección. Para la mayoría de los propósitos de ingeniería, el número de Rayleigh es grande, entre 10⁶ y 10⁸.

El número de Rayleigh se define como el producto del número de Grashof (Gr), que describe la relación entre la flotabilidad y la viscosidad dentro de un fluido, y el número de Prandtl (Pr), que describe la relación entre la difusividad del momento y la difusividad térmica: Ra = Gr × Pr. Por lo tanto, también puede verse como la relación entre las fuerzas de flotabilidad y viscosidad multiplicadas por la relación entre el impulso y las difusividades térmicas: Ra = B/μ × ν/α. Está estrechamente relacionado con el número de Nusselt (Nu).

Derivación

El número de Rayleigh describe el comportamiento de los fluidos (como el agua o el aire) cuando la densidad de masa del fluido no es uniforme. Las diferencias de densidad de masa generalmente son causadas por diferencias de temperatura. Por lo general, un fluido se expande y se vuelve menos denso a medida que se calienta. La gravedad hace que las partes más densas del fluido se hundan, lo que se denomina convección. Lord Rayleigh estudió el caso de la convección de Rayleigh-Bénard. Cuando el número de Rayleigh, Ra, está por debajo de un valor crítico para un fluido, no hay flujo y la transferencia de calor es puramente por conducción; cuando supera ese valor, el calor se transfiere por convección natural.

Cuando la diferencia de densidad de masa es causada por la diferencia de temperatura, Ra es, por definición, la relación de la escala de tiempo para el transporte térmico difusivo a la escala de tiempo para el transporte térmico convectivo a la velocidad ${displaystyle u}$:

${displaystyle mathrm {Ra} ={frac {mbox{time scale for térmica transport via diffusion}{mbox{time scale for térmica transport via convection at speed}~u}}} {mbox{time scale for térmica transport via convection at speed}}}}}}}$

Esto significa que el número de Rayleigh es un tipo de número de Péclet. Para un volumen de líquido de tamaño ${displaystyle l}$ en las tres dimensiones y la diferencia de densidad de masa ${displaystyle Delta rho }$, la fuerza debida a la gravedad es de la orden ${displaystyle Delta rho l^{3}g}$, donde ${displaystyle g}$ es la aceleración debido a la gravedad. De la ecuación de Stokes, cuando el volumen de fluido se hunde, la arrastre viscosa es de la orden ${displaystyle eta lu}$, donde ${displaystyle eta }$ es la viscosidad dinámica del fluido. Cuando estas dos fuerzas se equiparan, la velocidad ${displaystyle usim Delta rho l^{2}g/eta }$. Por lo tanto, la escala de tiempo para el transporte a través del flujo es ${displaystyle l/usim eta /Delta rho lg}$. La escala de tiempo para la difusión térmica a través de una distancia ${displaystyle l}$ es ${displaystyle l^{2}/alpha }$, donde ${displaystyle alpha }$ es la difusividad térmica. Así el número de Rayleigh Ra es

${displaystyle mathrm {Ra} ={frac} {l}/alpha }{eta Delta rho lg}={frac {Delta rho l^{3}g}{eta alpha }={frac {rho beta Delta Tl^{3}g}{eta alpha }$

donde aproximamos la diferencia de densidad ${displaystyle Delta rho =rho beta Delta T}$ para un fluido de densidad de masa promedio ${displaystyle rho }$, coeficiente de expansión térmica ${displaystyle beta }$ y una diferencia de temperatura ${displaystyle Delta T}$ distancia ${displaystyle l}$.

El número de Rayleigh se puede escribir como el producto del número de Grashof y el número de Prandtl:

${displaystyle mathrm {Ra} =mathrm {Gr} mathrm {Pr}$

Definición clásica

Para la convección libre cerca de una pared vertical, el número de Rayleigh se define como:

${displaystyle mathrm {Ra} _{x}={frac {gbeta }{nu alpha }(T_{s}-T_{infty })x^{3}=mathrm {Gr} _{x}mathrm {Pr}$

donde:

x es la longitud característica

Ra_x es el número de Rayleigh para la longitud característica x

g es aceleración debido a la gravedad

β es el coeficiente de expansión térmica (igual a 1/T, para gases ideales, donde T es temperatura absoluta).

${displaystyle nu }$ es la viscosidad cinemática

α es la difusividad térmica

T_s es la temperatura superficial

T_JUEGO es la temperatura quiescente (temperatura fluida lejos de la superficie del objeto)

Gr_x es el número Grashof de longitud característica x

Pr es el número de Prandtl

En lo anterior, las propiedades del fluido Pr, ν, α y β se evalúan a la temperatura de la película, que se define como:

${displaystyle T_{f}={frac {T_{s}+T_{infty} - Sí.$

Para un flujo de calentamiento de pared uniforme, el número de Rayleigh modificado se define como:

${displaystyle mathrm {Ra} _{x}{*}={frac {gbeta q''_{o}{nu alpha k}x^{4}} {}}$

donde:

q_o es el flujo de calor de superficie uniforme

k es la conductividad térmica.

Otras aplicaciones

Aleaciones de solidificación

El número de Rayleigh también se puede utilizar como criterio para predecir inestabilidades por convección, como los A-segregados, en la zona blanda de una aleación en solidificación. El número de Rayleigh de la zona blanda se define como:

${displaystyle mathrm {Ra} ={frac {frac} {Delta rho }{rho {fnMicroc {fnMicroc} {Delta rho }{rho - ¿Qué?$

donde:

K es la permeabilidad media (de la parte inicial de la mush)

L es la escala de longitud característica

α es la difusividad térmica

. es la viscosidad cinemática

R es la solidificación o la velocidad del isomo.

Se prevé que se formen segregados A cuando el número de Rayleigh supere cierto valor crítico. Este valor crítico es independiente de la composición de la aleación, y esta es la principal ventaja del criterio del número de Rayleigh sobre otros criterios de predicción de inestabilidades conveccionales, como el criterio de Suzuki.

Torabi Rad et al. mostró que para las aleaciones de acero el número de Rayleigh crítico es 17. Pickering et al. exploró el criterio de Torabi Rad y verificó aún más su eficacia. También se desarrollaron números de Rayleigh críticos para superaleaciones de plomo-estaño y níquel.

Medios porosos

El número de Rayleigh arriba es para la convección en un líquido a granel como el aire o el agua, pero la convección también puede ocurrir cuando el fluido está dentro y llena un medio poroso, como roca porosa saturada con agua. Luego el número de Rayleigh, a veces llamado Número de Rayleigh-Darcy, es diferente. En un líquido a granel, es decir, no en un medio poroso, de la ecuación de Stokes, la velocidad de caída de un dominio de tamaño ${displaystyle l}$ líquido ${displaystyle usim Delta rho l^{2}g/eta }$. En medio poroso, esta expresión es reemplazada por la ley de Darcy ${displaystyle usim Delta rho kg/eta }$, con ${displaystyle k}$ la permeabilidad del medio poroso. El número de Rayleigh o Rayleigh-Darcy es entonces

${displaystyle mathrm {Ra} ={frac {rho beta Delta Tklg {eta alpha }$

Esto también se aplica a los A-segregados, en la zona blanda de una aleación en solidificación.

Aplicaciones geofísicas

En geofísica, el número de Rayleigh es de fundamental importancia: indica la presencia y la fuerza de la convección dentro de un cuerpo fluido como el manto terrestre. El manto es un sólido que se comporta como un fluido a lo largo de escalas de tiempo geológico. El número de Rayleigh para el manto de la Tierra debido únicamente al calentamiento interno, Ra_H, viene dado por:

${displaystyle mathrm {Ra} ¿Qué? {grho _{0} {2}beta HD.$

donde:

H es la tasa de producción de calor radiogénico por unidad de masa

. es la viscosidad dinámica

k es la conductividad térmica

D es la profundidad del manto.

Un número de Rayleigh para el calentamiento inferior del manto desde el núcleo, Ra_T, también se puede definir como:

${displaystyle mathrm {Ra} ¿Qué? Delta T_{sa}D^{3}C_{P}{eta K}}$

donde:

ΔT_sa es la diferencia de temperatura superadiabática entre la temperatura del manto de referencia y el límite del manto central

C_P es la capacidad de calor específica a presión constante.

Los valores altos del manto terrestre indican que la convección dentro de la Tierra es vigorosa y variable en el tiempo, y que la convección es responsable de casi todo el calor transportado desde el interior profundo a la superficie.