Número de pentatopo

En teoría de números, un número pentatopo es un número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal que comienza con la fila de 5 términos 1 4 6 4 1, ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Se llama así porque representa el número de esferas unitarias tridimensionales que se pueden empaquetar en un pentatopo (un tetraedro de 4 dimensiones) de longitudes laterales crecientes.

Los primeros números de este tipo son:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365 (secuencia A000332 en el OEIS)

Los números de pentatope pertenecen a la clase de números figurados, que pueden ser representados como patrones geométricos regulares y discretos.

Fórmula

La fórmula para el nésimo número de pentatopo está representada por el cuarto factorial ascendente de n dividido por el factorial de 4:

${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{\overline {4}} {4}}={\frac {n+1)(n+2)}{24}}}} {4}}} {4}} {4}} {4}}} {4}} {4}} {4}} {4}} {4}} {4}} {4}}} {4}}}} {4} {4}}} {4} {4}}}}}} {4}}}}}}}}}}}}}}}}}} {4}}}}} {} {4} {4} {}}}}} {\ {\ {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\fn\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Los números pentatópicos también se pueden representar como coeficientes binomiales:

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

que es el número de cuádruples distintos que se pueden seleccionar de n + 3 objetos, y se lee en voz alta como "< span class="texhtml">n más tres eligen cuatro".

Propiedades

Dos de cada tres números pentatope son también números pentagonales. Para ser precisos, (3)k − 2)th pentatope number is always the ${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}-k} {2}\derecha)}$t número pentagonal y el (3)k −1)th pentatope number is always the ${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}{2}\right)}$el número pentagonal. El (3)k)th pentatope number is the generalized pentagonal number obtained by taking the negative index ${\displaystyle -{\tfrac {3k^{2}{2}} {\c}} {\c}}$ en la fórmula para números pentagonales. (Estas expresiones siempre dan enteros).

La suma infinita de los recíprocos de todos los números pentatópicos es 4/3. Esto se puede derivar utilizando series telescópicas.

${\displaystyle \sum _{n=1}{\infty }{\frac {4}{n(n+1)(n+2)(n+3)}={\frac {4}{3}}$

Los números pentatópicos se pueden representar como la suma de los primeros n números tetraédricos:

${\displaystyle P_{n}=\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

y también están relacionados con los propios números tetraédricos:

${\displaystyle P_{n}={\tfrac {1}{4}(n+3)\mathrm {Te} _{n}$

Ningún número primo es el predecesor de un número pentatópico (sólo es necesario verificar -1 y 4 = 2²), y el mayor El número semiprimo, predecesor del pentatopo, es 1819.

Del mismo modo, los únicos primos que preceden a un número de 6 impresiones son 83 y 461.

Prueba de números de pentatopo

Podemos derivar esta prueba de la fórmula para el nésimo número de pentatopo.

Dado un entero positivo x, para probar si es un número pentatopo podemos calcular la raíz positiva usando Ferrari' método:

${\displaystyle n={\frac {\sqrt {5+4{\sqrt {24x+1}}}-3}{2}}$

El número x es pentatopo si y solo si n es un número natural. En ese caso, x es el n< /span>ésimo número de pentatopo.

Función generadora

La función generadora de números pentatópicos es

${\displaystyle {\frac {x}{4-x)}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots.}$

Aplicaciones

En bioquímica, los números del pentatopo representan el número de posibles disposiciones de n diferentes subunidades polipeptídicas en una proteína tetramérica (tetraédrica).