![{displaystyle {begin{aligned}mu (Lcap (-m,,m))&leq sum _{q=2}^{infty }sum _{p=-mq}^{mq}{frac {2}{q^{n}}}=sum _{q=2}^{infty }{frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\[6pt]&leq (4m+1)sum _{q=2}^{infty }{frac {1}{q^{n-1}}}leq (4m+1)int _{1}^{infty }{frac {dq}{q^{n-1}}}leq {frac {4m+1}{n-2}}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d36a654ea8c18076652316c0f629e7296de668)
![{displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639e73e66272db8028293ece10b0061f525e25a2)
![{displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f976cfc27283525eeb792b783e89631e2b3e670)
![{displaystyle I_{0}(1)/I_{1}(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f973f7d78015f45677e35d5ff94fbbcb760895b)
![{displaystyle [0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927866ce112ee424ca17d19bbda6f1549cf6acb6)
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![{displaystyle [1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506c64be429fa25061230796614f892adb462dcf)
![{displaystyle [9;1,6,1,2,47,1,8,1,1,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cd0d84c391e832a0cdb0759c26207621d77a5e)
![{displaystyle [1;1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc53baddd8cc86c0ffad5df116b2ec6b1b9c35d6)
![{displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2feca0bfcd16eb7e2339515107f1d5be8794c9ae)
![{displaystyle [0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee31bb580b9eac32bc9e80c68d0c6bdc755251bc)
![{displaystyle [0;5,15,6,3,5,3,4,2,65,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c492e840b9eb9c33ad9ffa357759c27f2d2d1c)
![{displaystyle [0;6,18,7,1,1,4,5,62,2,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fa05bf3f59dad43507226d032fabc1e0c7860b)
![{displaystyle [0;7,21,8,1,3,1,8,2,6,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805e33b8d5fc9295df419bdab484d2314a528e68)
![{displaystyle [0;10,30,12,1,1,7,3,2,1,3,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb50778c0919470966e27abfe2b6b93d51bb3f5a)
![{displaystyle [0;4,12,5,12,1,1,1,3,2,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a7007c15142ceac161e892bccc499db7fadb19)
![{displaystyle [0;8,24,10,24,1,77,1,1,5,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7047a6490b3938bb2434225ed595f08ab94251e7)
![{displaystyle [0;16,48,20,49,1,4,1,3,1,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84d53fc0f6103f90d38cb2ce6c2f43b3a3f079b)
![{displaystyle [1;1,4,2,1,2,3,7,3,3,30,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c225964f283eda61ec2d9c19404c5a436101239b)
![{displaystyle [1;1,10,2,1,1,2,3,6,1,3,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cda00eb0bd0f2b4415ba98c8ba7cd72be874355)
![{displaystyle [1;1,16,2,1,1,3,1,6,1,24,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78dadd9ce3f8f8118be1f3596cd61b890e2d8c54)
![{displaystyle [1;1,22,2,1,1,5,2,3,10,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b59b61f9c5234a6fa1720daedcf06be6fd68a81)
![{displaystyle [1;1,28,2,1,1,6,1,72,2,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff99f2432c5b09432803d0e73b6360ce87692909)
![{displaystyle [1;1,34,2,1,1,8,1,1,5,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430aa3b4dcb6b82fd042cf2ff0e311d366cef76f)
![{displaystyle [2;9,1,1,2,2,8,2,1,3,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45be026374804f2371d44d91ed71a54445730ee)
![{displaystyle [2;15,1,1,2,3,1,2,10,1,4,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2081f43420f4a06ed6f5c7f9193cde030499590)
![{displaystyle [2;18,1,1,2,4,2,5,33,6,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a94e676226e2f80dcc700989358bbd802856a3)
![{displaystyle [2;21,1,1,2,5,4,3,2,1,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ae70566229dbc30a183940d0d55ca764c42294)
![{displaystyle [2;24,1,1,2,6,92,3,3,1,16,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b919fd28eebb18bf0e664ea3a869d63f1ec8a2fa)
![{displaystyle [2;27,1,1,2,6,1,3,1,2,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d16d8ab0ecc0d9a056bd099507d32bd6e5dc5f)
![{displaystyle [2;30,1,1,2,7,1,1,3,4,63,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fbb916379e61230e48343255192960a18ff198)
![{displaystyle [2;33,1,1,2,8,2,2,1,9,4,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bba4f7a2eece88d2f704232cd5f62378ce10848)
![{displaystyle [2;36,1,1,2,9,8,5,1,38,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9f44690c121cd6f23b3d2988036b073b29aca7)
![{displaystyle [2;1,10,2,2,1,1,17,1,4,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab7547b65c542af857f50ee1a79351f3a020661)
![{displaystyle [0;1,2,1,1,22,14,3,1,1,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b027d5dbdb30f9008b52fa3d3f5f102ce3d75c35)
![{displaystyle [4;10,1,1,5,7,2,2,1,31,2,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3427edb439c630df789b431651e2032c637a0a)
![{displaystyle [0;2,7,7,1,1,1,3,9,9,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7c9c10ae280402b954a13367013d94ca5cd25b)
![{displaystyle [3;5,1,1,4,1,2,19,1,3,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50b2bfd8bc6e0d2b16e0e49381155e7f41cb8bc)
![{displaystyle C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdfbe21e531000afdfdbc11db2d69eda619a76a)
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Número de Liouville
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En teoría de números, un número de Liouville es un número real x con la propiedad de que, para todo entero positivo n, existe un par de enteros (p, q) con q > 1 tal que
- <math alttext="{displaystyle 0<left|x-{frac {p}{q}}right|0.Silenciox− − pqSilencio.1qn{displaystyle 0 wonleft {fnMicrosoft}fnMicroc {1} {q} {}}}}<img alt="{displaystyle 0<left|x-{frac {p}{q}}right|.
Los números de Liouville son "casi racionales" y, por lo tanto, se pueden aproximar "bastante cerca" por secuencias de números racionales. Son precisamente aquellos números trascendentales que se pueden aproximar más estrechamente mediante números racionales que cualquier número irracional algebraico. En 1844, Joseph Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales, estableciendo así por primera vez la existencia de números trascendentales. Se sabe que π y e no son números de Liouville.
La existencia de los números de Liouville (la constante de Liouville)
Aquí mostramos que los números de Liouville existen al exhibir una construcción que produce tales números.
Para cualquier número entero b ≥ 2 y cualquier secuencia de números enteros (a1, a 2, …,) tal que ak ∈ {0, 1, 2, …, b − 1} para todos los k y ak ≠ 0 para infinitos k, define el número
- x=.. k=1JUEGO JUEGO akbk!.{displaystyle x=sum _{k=1}{infty }{frac {a_{k} {b^{k}}}}}}
En el caso especial cuando b = 10 y ak = 1, para todos los k, el número resultante x se llama constante de Liouville:
- L = 0.11000100000000000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001...
De la definición de x se deduce que su representación en base b es
- x=()0.a1a2000a300000000000000000000000a40000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a5...... )b{2}000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}ldots right)_{b};}000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}ldotsright)_{b};}
donde el nésimo término está en el (n!)ésimo lugar.
Dado que esta representación en base b no se repite, se deduce que x no es un número racional. Por lo tanto, para cualquier número racional p/q, tenemos |x − p/q| > 0.
Ahora, para cualquier entero n ≥ 1, defina qn y pn de la siguiente manera:
- qn=bn!;pn=qn.. k=1nakbk!=.. k=1nakbn!− − k!.{displaystyle q_{n}=b^{n!},quad P_{n}=q_{n}sum ¿Qué? {a_{k}{b^{k}}=sum ¿Qué?
Entonces
- <math alttext="{displaystyle {begin{aligned}0<left|x-{frac {p_{n}}{q_{n}}}right|&=left|x-{frac {q_{n}sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}}{q_{n}}}right|=left|x-sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right|=left|sum _{k=1}^{infty }{frac {a_{k}}{b^{k!}}}-sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right|=left|left(sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}+sum _{k=n+1}^{infty }{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right)-sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right|=sum _{k=n+1}^{infty }{frac {a_{k}}{b^{k!}}}\[6pt]&leq sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{b^{k!}}}0.Silenciox− − pnqnSilencio=Silenciox− − qn.. k=1nakbk!qnSilencio=Silenciox− − .. k=1nakbk!Silencio=Silencio.. k=1JUEGO JUEGO akbk!− − .. k=1nakbk!Silencio=Silencio().. k=1nakbk!+.. k=n+1JUEGO JUEGO akbk!)− − .. k=1nakbk!Silencio=.. k=n+1JUEGO JUEGO akbk!≤ ≤ .. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk!... k=()n+1)!JUEGO JUEGO b− − 1bk=b− − 1b()n+1)!+b− − 1b()n+1)!+1+b− − 1b()n+1)!+2+...=b− − 1b()n+1)!b0+b− − 1b()n+1)!b1+b− − 1b()n+1)!b2+...=b− − 1b()n+1)!.. k=0JUEGO JUEGO 1bk=b− − 1b()n+1)!⋅ ⋅ bb− − 1=bb()n+1)!≤ ≤ bn!b()n+1)!=1b()n+1)!− − n!=1b()n+1)n!− − n!=1bn()n!)+n!− − n!=1b()n!)n=1qnn{displaystyle {begin{aligned}0 Segnuncióleft {p_{n}{q_{n}}}derecha paciente=left tolerax-{frac} {q_{n}sum - ¿Qué? Está bien. - ¿Qué? {a_{k}{b^{k}}}right sobre la vida ¿Qué? {a_{k} {b^{k}}}-sum - ¿Qué? {a_{k}{b^{k}}}} 'justo en la vida=left uponleft - ¿Qué? {a_{k} {b^{k}}}}+sum ¿Qué? Bueno... - ¿Qué? {a_{k}{b^{k}}}right perpetua=sum ¿Qué? {a_{k}{b^{k}}}[6pt] Condenleq sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{k}} {sum _{k=(n+1)}{infty }{frac {b-1}{b}}}={frac {b-1}{b}{(n+1)}}}+{frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}+{frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}}}+...={\b}{b}{b}{b}{}{b}{b}{b}{b}{b}{b}{b}{b} {b}{b}{b}{b}{b}{b}{b}{b}{b}{b} {b}{b}{b}{b}{} {b}{}{b} {b}{b}{b}{b}}{}{}}}}{}}}}}}}} {b}{b}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}}} {b-1} {b^{(n+1)!}b^{0}}+{frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}}}}+{frac {b-1}{b^{(n+1)}b^{2}}}}+...={b}{b^{(n+1)}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}} {b}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}} ¿Por qué? {fnMicroc {b} {b}={b}}leq {fnMicroc {0} {fn0}}}={frac {1}{b^{(n+1)!-n}}}}={frac {1}{b^{(n+1)n!}={frac}} {frac} {fc} {fc}}} {fnfc}} {fn}}}}} {fn}}} {fn0}}}}}} {fnfn}}}}} {f} {fn} {fn} {fn} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}}}}}}}}}}}}}fn} {fnfnfnfn}}}}}}fnfnfnfn}}}}}}}}}} {1}{b^{n(n)+n!-n!}={frac {1}{b^{(n)n}}={frac {1} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}} {fn} {fn}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {<img alt="{displaystyle {begin{aligned}0<left|x-{frac {p_{n}}{q_{n}}}right|&=left|x-{frac {q_{n}sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}}{q_{n}}}right|=left|x-sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right|=left|sum _{k=1}^{infty }{frac {a_{k}}{b^{k!}}}-sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right|=left|left(sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}+sum _{k=n+1}^{infty }{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right)-sum _{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{b^{k!}}}right|=sum _{k=n+1}^{infty }{frac {a_{k}}{b^{k!}}}\[6pt]&leq sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{b^{k!}}}
Por lo tanto, concluimos que cualquier x es un número de Liouville.
Notas sobre la prueba
- La desigualdad .. k=n+1JUEGO JUEGO akbk!≤ ≤ .. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk!{displaystyle sum _{k=n+1}{infty }{frac ¡Lleq! sum _{k=n+1}{infty }{frac {b-1}{b^{k}}}} como sigue: ak######, 1, 2,...# bPara todos k, por lo menos ak= b−1. La suma más grande posible ocurriría si la secuencia de enteros (a1, a2,...) fueron (b−1, b1,...), es decir. ak= b1, para todos k. .. k=n+1JUEGO JUEGO akbk!{displaystyle sum _{k=n+1}{infty }{frac {a_{k} {b^{k}}}}} por lo tanto será menos o igual a esta suma más grande posible.
- La fuerte desigualdad <math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{b^{k!}}}.. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk!... k=()n+1)!JUEGO JUEGO b− − 1bk{displaystyle {begin{aligned}sum ¿Qué? {b-1}{k}} {sum _{k=(n+1)}{infty }{frac {b-1}{k}}end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{b^{k!}}} sigue nuestra motivación para eliminar la serie por medio de reducirla a una serie para la que conocemos una fórmula. En la prueba hasta ahora, el propósito de introducir la desigualdad en 1. viene de la intuición que .. k=0JUEGO JUEGO 1bk=bb− − 1{displaystyle sum _{k=0}{infty }{frac {1}{k}={frac} {b}{b-1}} (la fórmula de la serie geométrica); por lo tanto, si podemos encontrar una desigualdad .. k=n+1JUEGO JUEGO akbk!{displaystyle sum _{k=n+1}{infty }{frac {a_{k} {b^{k}}}}} que introduce una serie con (b1) en el numerador, y si podemos trabajar para reducir aún más el término denominador bk!{displaystyle b^{k}}a bk{displaystyle b^{k}, así como cambiar los índices de la serie de 0 a JUEGO JUEGO {displaystyle infty }, entonces podremos eliminar ambas series y (b1) términos, acercarnos a una fracción de la forma 1bexponente× × n{displaystyle {frac {1}{b^{text{exponent}times., que es el final de la prueba. Seguimos esta motivación aquí seleccionando ahora de la suma .. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk!{displaystyle sum _{k=n+1}{infty }{frac {b-1}{b^{k}}}} una suma parcial. Observe que, por cualquier término en .. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk!{displaystyle sum _{k=n+1}{infty }{frac {b-1}{b^{k}}}}, desde b ≥ 2, entonces <math alttext="{displaystyle {frac {b-1}{b^{k!}}}b− − 1bk!.b− − 1bk{displaystyle {frac {b-1}{b^{k}} {frac}} {frac}}} {b-1}{b^ {k}}}}<img alt="{displaystyle {frac {b-1}{b^{k!}}}, para todos k (excepto cuando n=1). Por lo tanto, <math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{b^{k!}}}.. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk!... k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk{displaystyle {begin{aligned}sum ¿Qué? {b-1}{b^{k}} {b-1} {b} {b}{k}}}} {b} {b} {b} {b} {b}}} {b} {b}} {b} {b} {} {} {b} {b}{b}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Qué? {b-1}{k}}end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=n+1}^{infty }{frac {b-1}{b^{k!}}} (desde entonces, incluso si n=1, todos los términos posteriores son más pequeños). Para manipular los índices para que k comienza en 0, seleccionamos una suma parcial desde dentro .. k=n+1JUEGO JUEGO b− − 1bk{displaystyle sum _{k=n+1}{infty }{frac {b-1}{b^ {k}}}} (también menos que el valor total ya que es una suma parcial de una serie cuyos términos son todos positivos). Escogeremos la suma parcial formada a partir de k =n+1)! que sigue de nuestra motivación para escribir una nueva serie con k=0, es decir, notando que b()n+1)!=b()n+1)!b0{displaystyle b^{(n+1)}=b^{(n+1)}b^{0}}.
- Para la desigualdad final bb()n+1)!≤ ≤ bn!b()n+1)!{displaystyle {frac {b}{(n+1)}}leq ¡No!, hemos elegido esta desigualdad particular (verdad porque b ≥ 2, donde la igualdad sigue si n=1) porque deseamos manipular bb()n+1)!{displaystyle {frac {b}}}}} en algo de la forma 1bexponente× × n{displaystyle {frac {1}{b^{text{exponent}times.. Esta desigualdad particular nos permite eliminar (n+1)! y el numerador, utilizando la propiedad que (n+1)! – n# =n!n, poniendo así el denominador en forma ideal para la sustitución qn=bn!{displaystyle ¡No!.
Irracionalidad
Aquí vamos a mostrar que el número x=c/d,{displaystyle ~x=c/d~,} Donde c y d son enteros y 0~,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d■0,{displaystyle - ¿Qué?0~,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703cbcea31647c7ba115ddb84d04853157264d82" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.285ex; height:2.509ex;"/> no puede satisfacer las desigualdades que definen un número de Liouville. Puesto que cada número racional puede ser representado como tal c/d,{displaystyle ~c/d~,} habremos probado que no Liouville número puede ser racional.
Más específicamente, mostramos que para cualquier entero positivo n lo suficientemente grande d>0~}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2n− − 1■d■0{displaystyle ~2^{n-1}]d>0~}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b2653d57d124075f8228f3072803fcb01ba9a4" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.218ex; height:2.676ex;"/> [equivalentemente, para cualquier entero positivo 1+log _{2}(d)~}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1+log2 ()d){displaystyle ~n confidencial1+log _{2}(d)~
1+log _{2}(d)~}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b403c9d5f111846bc039f72e1fd6adfa4f5d17" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.708ex; height:2.843ex;"/>No hay par de enteros ()p,q){displaystyle ~(,p,,q,)~ existe que satisface simultáneamente el par de desigualdades entre corchetes
- <math alttext="{displaystyle 0<left|x-{frac {,p,}{q}}right|0.Silenciox− − pqSilencio.1qn.{fnMicroc {fnMicroc}fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {1}{;q^{n}}~}<img alt="{displaystyle 0<left|x-{frac {,p,}{q}}right|
Si la afirmación es verdadera, entonces se obtiene la conclusión deseada.
Vamos p y q ser cualquier entero con 1~.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">q■1.{displaystyle - ¿Qué?1~.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabb3a6dee6d1b22c559fffc8f7193787d9b7e3f" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.139ex; height:2.509ex;"/> Entonces tenemos,
- Silenciox− − pqSilencio=Silenciocd− − pqSilencio=Silenciocq− − dpSilenciodq{displaystyle left WordPressx-{frac {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}
Si Silenciocq− − dpSilencio=0,{displaystyle left WordPressc,q-d,. entonces tendríamos
- Silenciox− − pqSilencio=Silenciocq− − dpSilenciodq=0,{displaystyle left WordPressx-{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans,}=0~,}
significa que tal par de enteros ()p,q){displaystyle ~(,p,,q,)~ violaría el primero desigualdad en la definición de número de Liouville, independientemente de cualquier opción n.
Si, por otro lado, desde 0~,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciocq− − dpSilencio■0,{displaystyle ~left WordPressc,q-d,pright confianza0~,}0~,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19672dabd9a7b10c61a6f1b7186a492a600a9fba" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.826ex; height:2.843ex;"/> entonces, desde cq− − dp{displaystyle c,q-d,p} es un entero, podemos afirmar la desigualdad más aguda Silenciocq− − dpSilencio≥ ≥ 1.{displaystyle left WordPressc,q-d,pright durablegeq 1~.} De esto sigue que
- Silenciox− − pqSilencio=Silenciocq− − dpSilenciodq≥ ≥ 1dq{displaystyle left WordPressx-{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {1}{,d,q,}}
Ahora para cualquier entero 1+log _{2}(d)~,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1+log2 ()d),{displaystyle ~n confidencial1+log _{2}(d)~,}1+log _{2}(d)~,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19a0235ab5c0e66393b3dbb3104ee2c4d30d168" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.355ex; height:2.843ex;"/> la última desigualdad implica
- {frac {1}{,2^{n-1}q,}}geq {frac {1}{;q^{n},}}~.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciox− − pqSilencio≥ ≥ 1dq■12n− − 1q≥ ≥ 1qn.{displaystyle left WordPressx-{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc {c} {fnMicroc} {fnMicroc} {f}}}}}}}}} {fnMientras, uhfnfnfnfnfnKcfnKfnKfnKfnfnKfnfnKfnfnKfnfnKfnKfnKfnKfnKfncfnKcfnKfnKfnfnfnfnKfnfnKcfnfnKfnfnKc}cfnMi {1}{,2^{n-1}q,}gq {fnMicroc} {1}{;q^{n}}~}
{frac {1}{,2^{n-1}q,}}geq {frac {1}{;q^{n},}}~.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496732f6671c1eac9aff5175048bb1f4431c46d9" style="vertical-align: -2.838ex; width:34.377ex; height:6.343ex;"/>
Por lo tanto, en el caso 0~}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciocq− − dpSilencio■0{displaystyle ~left WordPressc,q-d,pright confianza0~0~}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fa1e3348c9a2cc1e2f5c2efd06cadb4e46eecd" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.179ex; height:2.843ex;"/> tal par de enteros ()p,q){displaystyle ~(,p,,q,)~ violaría el segundo desigualdad en la definición de un número de Liouville, para algunos enteros positivos n.
Concluimos que no hay par de enteros ()p,q),{displaystyle ~(,p,,q,)~,} con 1~,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">q■1,{displaystyle - ¿Qué?1~,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc4f08d05c04fb24c2950c40cf274ea64740ed1" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.139ex; height:2.509ex;"/> que calificaría tal x=c/d,{displaystyle ~x=c/d~,} como número de Liouville.
Por lo tanto, un número de Liouville, si existe, no puede ser racional.
(La sección sobre la constante de Liouville prueba que los números de Liouville existen mostrando la construcción de uno. La prueba dada en esta sección implica que este número debe ser irracional).
Incontabilidad
Considere, por ejemplo, el número
- 3.1400010000000000000050000....
3.14(3 ceros)1(17 ceros)5(95 ceros)9(599 ceros)2(4319 ceros)6...
¡donde los dígitos son cero excepto en las posiciones n! donde el dígito es igual al nésimo dígito que sigue al punto decimal en la expansión decimal de π.
Como se muestra en la sección sobre la existencia de los números de Liouville, este número, así como cualquier otro decimal no terminador con sus dígitos distintos de cero situados de manera similar, satisface la definición de un número de Liouville. Como el conjunto de todas las sucesiones de dígitos no nulos tiene la cardinalidad del continuo, ocurre lo mismo con el conjunto de todos los números de Liouville.
Además, los números de Liouville forman un subconjunto denso del conjunto de números reales.
Números y medidas de Liouville
Desde el punto de vista de la teoría de la medida, el conjunto de todos los números de Liouville L es pequeño. Más precisamente, su medida de Lebesgue, λ(L), es cero. La prueba dada sigue algunas ideas de John C. Oxtoby.
Para enteros positivos n > 2 y q ≥ 2 conjunto:
- Vn,q=⋃ ⋃ p=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ()pq− − 1qn,pq+1qn){displaystyle V_{n,q}=bigcup limits _{p=-infty }infty({frac {p}{q}-{frac} {1}{n}} {frac} {p}{q}+{frac} {1}{q^ {n}}derecha)}
tenemos
- L⊆ ⊆ ⋃ ⋃ q=2JUEGO JUEGO Vn,q.{displaystyle Lsubseteq bigcup ¿Qué? }V_{n,q}
Observe que para cada entero positivo n ≥ 2 y m ≥ 1, también tenemos
- L∩ ∩ ()− − m,m)⊆ ⊆ ⋃ ⋃ q=2JUEGO JUEGO Vn,q∩ ∩ ()− − m,m)⊆ ⊆ ⋃ ⋃ q=2JUEGO JUEGO ⋃ ⋃ p=− − mqmq()pq− − 1qn,pq+1qn).{displaystyle Lcap (-m,m)subseteq bigcup limits _{q=2}{infty }V_{n,q}cap (-m,m)subseteq bigcup limits _{q=2}{infty }bigcup limits ¿Por qué? {p}{q}-{frac} {1}{n}} {frac} {fn} {fn}}derecha).
Desde
- Silencio()pq+1qn)− − ()pq− − 1qn)Silencio=2qn{displaystyle left durableleft({frac {fn} {fn}}derecha)-left({frac {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}fn}fnfn}fnfn}fnf}fnfnh}fnfn}fn}fnh}fnh}fn}fnh}fnh}fn}fnfn}fn}fn}fnh}fnh}fn}fn}fnh}fnh}fnh}fn}fn}fnhnh}fnhnh}fn}fn}fnhn}fnh}fnh}fn}fn}fnhnh}fnh}fnh}fnh}p}fn {fn} {fn}derecha]derecha a la vida={frac} {2} {q} {}}}
y n > 2 tenemos
- μ μ ()L∩ ∩ ()− − m,m))≤ ≤ .. q=2JUEGO JUEGO .. p=− − mqmq2qn=.. q=2JUEGO JUEGO 2()2mq+1)qn≤ ≤ ()4m+1).. q=2JUEGO JUEGO 1qn− − 1≤ ≤ ()4m+1)∫ ∫ 1JUEGO JUEGO dqqn− − 1≤ ≤ 4m+1n− − 2.{displaystyle {begin{aligned}mu} (Lcap (-m,,m) ¿Qué? ¿Qué? {2} {fn}}=== {2mq+1)}[6pt] ¿Qué? {1}{n-1}}leq [4m+1)int _{1}{infty }{frac {dq^{n-1}}leq {fnMicroc {4m+1}{n-2}}} {fnunció}}
Ahora
- limn→ → JUEGO JUEGO 4m+1n− − 2=0{displaystyle lim _{nto infty}{frac {4m+1}{n-2}=0}
y se sigue que para cada entero positivo m, L ∩ (−m, m) tiene Lebesgue mide cero. En consecuencia, también lo ha hecho L.
Por el contrario, la medida de Lebesgue del conjunto de todos los números reales trascendentales es infinita (puesto que el conjunto de los números algebraicos es un conjunto nulo).
Estructura del conjunto de números de Liouville
Para cada entero positivo n, establezca
- <math alttext="{displaystyle ~U_{n}=bigcup limits _{q=2}^{infty }~bigcup limits _{p=-infty }^{infty }~left{xin mathbb {R}:0<left|x-{frac {p}{,q,}}right|Un=⋃ ⋃ q=2JUEGO JUEGO ⋃ ⋃ p=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO {}x▪ ▪ R:0.Silenciox− − pqSilencio.1qn}=⋃ ⋃ q=2JUEGO JUEGO ⋃ ⋃ p=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ()pq− − 1qn,pq+1qn)∖ ∖ {}pq}{displaystyle ~U_{n}=bigcup limits _{q=2}{infty }~bigcup limits - No. }~left{xin mathbb {R}:0 seleccionlefttenciónx-{frac Bien escrito {1}{;q^{n}derecha}=bigcup limits _{q=2}{infty }~bigcup limits - ¿Qué? {p}{q}-{frac} {1} {fn}~}~{fc} {fnMicroc} Bueno... {fnMicrosoft Sans Serif}}<img alt="{displaystyle ~U_{n}=bigcup limits _{q=2}^{infty }~bigcup limits _{p=-infty }^{infty }~left{xin mathbb {R}:0<left|x-{frac {p}{,q,}}right|
El conjunto de todos los números de Liouville se puede escribir como
- L=⋂ ⋂ n=1JUEGO JUEGO Un=⋂ ⋂ n▪ ▪ N1⋃ ⋃ q⩾ ⩾ 2⋃ ⋃ p▪ ▪ Z()()pq− − 1qn,pq+1qn)∖ ∖ {}pq}).{displaystyle ~L~=~bigcap limits ¿Qué? }U_{n}~=~bigcap limits _{nin mathbb {N} _{1}}~bigcup limits _{qgeqslant 2}~bigcup limits _{pin mathbb {Z},left(,left(,{frac {,p,}{q}}}}} {fracfrac {1}{;q^{n}}~,~{frac {fnMicroc} Bueno...
Cada uno Un{displaystyle ~U_{n} ~ es un conjunto abierto; como su cierre contiene todos los fundamentos (el p/q{displaystyle ~p/q~ de cada intervalo perforado), es también un subconjunto denso de línea real. Puesto que es la intersección de muchos de esos conjuntos densos abiertos, L es comediante, es decir, es un dense Gδ set.
Medida de irracionalidad
El Medida de irracionalidad de Liouville-Roth ()exponente de irracionalidad, exponente de aproximación, o Liouville-Roth constante) de un número real x es una medida de cómo "cercamente" puede ser aproximado por los racionales. Generalizar la definición de los números de Liouville, en lugar de permitir cualquier n en el poder de q, encontramos el mayor valor posible para μ tales que <math alttext="{displaystyle 0<left|x-{frac {p}{q}}right|0.Silenciox− − pqSilencio.1qμ μ {displaystyle 0 wonleft {fnMicrosoft}fnMicroc {1}{m} {m} {cH00} {cH00} {cH00} {c} {cH00}} {cH00}} {c} {cH00} {cHFF} {cH00}} {ccH00} {cH00} {cH00}}} {ccc} {c} {c}} {ccccccccccccccccH00} {cH00} {ccc} {cccc} {ccccc} {ccc} {c} {cccc} {cccccccccccccccccccccccccc }<img alt="{displaystyle 0<left|x-{frac {p}{q}}right| está satisfecho por un número infinito de pares enteros (p, qCon q ■ 0. Este valor máximo μ se define como la medida de irracionalidad x. Para cualquier valor μ menos que este límite superior, el conjunto infinito de todos los racionales p/q satisfacer la desigualdad anterior produce una aproximación x. Por el contrario, si μ es mayor que el límite superior, entonces hay en la mayoría finitamente muchos (p, qCon q > 0 que satisface la desigualdad; por lo tanto, la desigualdad opuesta sostiene para todos los valores más grandes q. En otras palabras, dada la medida de irracionalidad μ de un número real x, siempre que una aproximación racional x.p/q, p,q▪N rendimientos n+ 1 dígitos decimales exactos, tenemos
- 110n≥ ≥ Silenciox− − pqSilencio≥ ≥ 1qμ μ +ε ε {displaystyle {frac {1}{n}}gq left habitx-{frac} {} {fn}fnK} {fnK} {f}} {fn}}fn}f}fn} {fn} {fn}}}fn} {fn} {fn}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} "varepsilon"
para cualquier ε>0, excepto como máximo un número finito de "afortunados" pares (p, q).
Como consecuencia del teorema de aproximación de Dirichlet, todo número irracional tiene una medida de irracionalidad de al menos 2. Por otro lado, una aplicación del lema de Borel-Cantelli muestra que casi todos los números tienen una medida de irracionalidad igual a 2.
A continuación se muestra una tabla de límites superiores e inferiores conocidos para las medidas de irracionalidad de ciertos números.
| Number x {displaystyle x} | Irrationality measure μ ( x ) {displaystyle mu (x)} | Simple continued fraction [ a 0 ; a 1 , a 2 , . . . ] {displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...]} | Notes | |
|---|---|---|---|---|
| Lower bound | Upper bound | |||
| Rational number p q {displaystyle {frac {p}{q}}} where p , q ∈ Z {displaystyle p,qin mathbb {Z} } and q ≠ 0 {displaystyle qneq 0} | 1 | Finite continued fraction. | Every rational number
p
q
{displaystyle {frac {p}{q}}}
has an irrationality measure of exactly 1.
Examples include 1, 2 and 0.5 | |
| Irrational algebraic number a {displaystyle a} | 2 | Infinite continued fraction. Periodic if quadratic irrational. | By the Thue–Siegel–Roth theorem the irrationality measure of any irrational algebraic number is exactly 2. Examples include square roots like 2 , 3 {displaystyle {sqrt {2}},{sqrt {3}}} and 5 {displaystyle {sqrt {5}}} and the golden ratio φ {displaystyle varphi } . | |
| e 2 / k , k ∈ Z + {displaystyle e^{2/k},kin mathbb {Z} ^{+}} | 2 | Infinite continued fraction. | If the elements
a
n
{displaystyle a_{n}}
of the continued fraction expansion of an irrational number
x
{displaystyle x}
satisfy
a
n
<
c
n
+
d
{displaystyle a_{n}<cn+d}
for positive
c
{displaystyle c}
and
d
{displaystyle d}
, the irrationality measure
μ
(
x
)
=
2
{displaystyle mu (x)=2}
.
Examples include e {displaystyle e} or I 0 ( 1 ) / I 1 ( 1 ) {displaystyle I_{0}(1)/I_{1}(1)} where the continued fractions behave predictably: e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , . . . ] {displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]} and I 0 ( 1 ) / I 1 ( 1 ) = [ 2 ; 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22... ] {displaystyle I_{0}(1)/I_{1}(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]} | |
| tanh ( 1 k ) , k ∈ Z + {displaystyle tanh left({frac {1}{k}}right),kin mathbb {Z} ^{+}} | 2 | |||
| tan ( 1 k ) , k ∈ Z + {displaystyle tan left({frac {1}{k}}right),kin mathbb {Z} ^{+}} | 2 | |||
| h q ( 1 ) {displaystyle h_{q}(1)} | 2 | 2.49846... | Infinite continued fraction. | q ∈ { ± 2 , ± 3 , ± 4 , . . . } {displaystyle qin {pm 2,pm 3,pm 4,...}} , h q ( 1 ) {displaystyle h_{q}(1)} is a q {displaystyle q} -harmonic series. |
| ln q ( 2 ) {displaystyle {text{ln}}_{q}(2)} | 2 | 2.93832... | q ∈ { ± 1 2 , ± 1 3 , ± 1 4 , . . . } {displaystyle qin left{pm {frac {1}{2}},pm {frac {1}{3}},pm {frac {1}{4}},...right}} , ln q ( x ) {displaystyle ln _{q}(x)} is a q {displaystyle q} -logarithm. | |
| ln q ( 1 − z ) {displaystyle ln _{q}(1-z)} | 2 | 3.76338... | q ∈ { ± 1 2 , ± 1 3 , ± 1 4 , . . . } {displaystyle qin left{pm {frac {1}{2}},pm {frac {1}{3}},pm {frac {1}{4}},...right}} , 0 < | z | ≤ 1 {displaystyle 0<|z|leq 1} | |
| ln ( 2 ) {displaystyle ln(2)} | 2 | 3.57455... | [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,...]} | |
| ln ( 3 ) {displaystyle ln(3)} | 2 | 5.11620... | [ 1 ; 10 , 7 , 9 , 2 , 2 , 1 , 3 , 1 , 1 , 32 , . . . ] {displaystyle [1;10,7,9,2,2,1,3,1,1,32,...]} | |
| ζ ( 3 ) {displaystyle zeta (3)} | 2 | 5.51389... | [ 1 ; 4 , 1 , 18 , 1 , 1 , 1 , 4 , 1 , 9 , 9 , . . . ] {displaystyle [1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,...]} | |
| π 2 {displaystyle pi ^{2}} and ζ ( 2 ) {displaystyle zeta (2)} | 2 | 5.09541... |
[
9
;
1
,
6
,
1
,
2
,
47
,
1
,
8
,
1
,
1
,
2
,
.
.
.
]
{displaystyle [9;1,6,1,2,47,1,8,1,1,2,...]}
and
[ 1 ; 1 , 1 , 1 , 4 , 2 , 4 , 7 , 1 , 4 , 2 , . . . ] {displaystyle [1;1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,...]} |
π 2 {displaystyle pi ^{2}} and ζ ( 2 ) = π 2 / 6 {displaystyle zeta (2)=pi ^{2}/6} are linearly dependent over Q {displaystyle mathbb {Q} } . |
| π {displaystyle pi } | 2 | 7.10320... | [ 3 ; 7 , 15 , 1 , 292 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , . . . ] {displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]} | It has been proven that if the series ∑ n = 1 ∞ csc 2 n n 3 {displaystyle displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {csc ^{2}n}{n^{3}}}} (where n is in radians) converges, then π {displaystyle pi } 's irrationality measure is at most 2.5; and that if it diverges, the irrationality measure is at least 2.5. |
| arctan ( 1 / 3 ) {displaystyle arctan(1/3)} | 2 | 6.09675... | [ 0 ; 3 , 9 , 3 , 1 , 5 , 1 , 6 , 3 , 1 , 2 , . . . ] {displaystyle [0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,...]} | Of the form arctan ( 1 / k ) {displaystyle arctan(1/k)} |
| arctan ( 1 / 5 ) {displaystyle arctan(1/5)} | 2 | 4.788... | [ 0 ; 5 , 15 , 6 , 3 , 5 , 3 , 4 , 2 , 65 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;5,15,6,3,5,3,4,2,65,1,...]} | |
| arctan ( 1 / 6 ) {displaystyle arctan(1/6)} | 2 | 6.24... | [ 0 ; 6 , 18 , 7 , 1 , 1 , 4 , 5 , 62 , 2 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;6,18,7,1,1,4,5,62,2,1,...]} | |
| arctan ( 1 / 7 ) {displaystyle arctan(1/7)} | 2 | 4.076... | [ 0 ; 7 , 21 , 8 , 1 , 3 , 1 , 8 , 2 , 6 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;7,21,8,1,3,1,8,2,6,1,...]} | |
| arctan ( 1 / 10 ) {displaystyle arctan(1/10)} | 2 | 4.595... | [ 0 ; 10 , 30 , 12 , 1 , 1 , 7 , 3 , 2 , 1 , 3 , . . . ] {displaystyle [0;10,30,12,1,1,7,3,2,1,3,...]} | |
| arctan ( 1 / 4 ) {displaystyle arctan(1/4)} | 2 | 5.793... | [ 0 ; 4 , 12 , 5 , 12 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;4,12,5,12,1,1,1,3,2,1,...]} | Of the form arctan ( 1 / 2 k ) {displaystyle arctan(1/2^{k})} |
| arctan ( 1 / 8 ) {displaystyle arctan(1/8)} | 2 | 3.673... | [ 0 ; 8 , 24 , 10 , 24 , 1 , 77 , 1 , 1 , 5 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;8,24,10,24,1,77,1,1,5,1,...]} | |
| arctan ( 1 / 16 ) {displaystyle arctan(1/16)} | 2 | 3.068... | [ 0 ; 16 , 48 , 20 , 49 , 1 , 4 , 1 , 3 , 1 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;16,48,20,49,1,4,1,3,1,1,...]} | |
| π / 3 {displaystyle pi /{sqrt {3}}} | 2 | 4.60105... | [ 1 ; 1 , 4 , 2 , 1 , 2 , 3 , 7 , 3 , 3 , 30 , . . . ] {displaystyle [1;1,4,2,1,2,3,7,3,3,30,...]} | Of the form 2 k − 1 arctan ( 2 k − 1 k − 1 ) {displaystyle {sqrt {2k-1}}arctan left({frac {sqrt {2k-1}}{k-1}}right)} |
| 7 arctan ( 7 / 3 ) {displaystyle {sqrt {7}}arctan({{sqrt {7}}/3})} | 2 | 3.94704... | [ 1 ; 1 , 10 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 , 6 , 1 , 3 , . . . ] {displaystyle [1;1,10,2,1,1,2,3,6,1,3,...]} | |
| 11 arctan ( 11 / 5 ) {displaystyle {sqrt {11}}arctan({{sqrt {11}}/5})} | 2 | 3.76069... | [ 1 ; 1 , 16 , 2 , 1 , 1 , 3 , 1 , 6 , 1 , 24 , . . . ] {displaystyle [1;1,16,2,1,1,3,1,6,1,24,...]} | |
| 15 arctan ( 15 / 7 ) {displaystyle {sqrt {15}}arctan({{sqrt {15}}/7})} | 2 | 3.66666... | [ 1 ; 1 , 22 , 2 , 1 , 1 , 5 , 2 , 3 , 10 , 2 , . . . ] {displaystyle [1;1,22,2,1,1,5,2,3,10,2,...]} | |
| 19 arctan ( 19 / 9 ) {displaystyle {sqrt {19}}arctan({{sqrt {19}}/9})} | 2 | 3.60809... | [ 1 ; 1 , 28 , 2 , 1 , 1 , 6 , 1 , 72 , 2 , 1 , . . . ] {displaystyle [1;1,28,2,1,1,6,1,72,2,1,...]} | |
| 23 arctan ( 23 / 11 ) {displaystyle {sqrt {23}}arctan({{sqrt {23}}/11})} | 2 | 3.56730... | [ 1 ; 1 , 34 , 2 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 5 , 2 , . . . ] {displaystyle [1;1,34,2,1,1,8,1,1,5,2,...]} | |
| 7 ln ( 4 + 7 3 ) {displaystyle {sqrt {7}}ln left({frac {4+{sqrt {7}}}{3}}right)} | 2 | 6.64610... | [ 2 ; 9 , 1 , 1 , 2 , 2 , 8 , 2 , 1 , 3 , 2 , . . . ] {displaystyle [2;9,1,1,2,2,8,2,1,3,2,...]} | Of the form 2 k + 1 ln ( 2 k + 1 + 1 2 k + 1 − 1 ) {displaystyle {sqrt {2k+1}}ln left({frac {{sqrt {2k+1}}+1}{{sqrt {2k+1}}-1}}right)} |
| 11 ln ( 6 + 11 5 ) {displaystyle {sqrt {11}}ln left({frac {6+{sqrt {11}}}{5}}right)} | 2 | 5.82337... | [ 2 ; 15 , 1 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 10 , 1 , 4 , . . . ] {displaystyle [2;15,1,1,2,3,1,2,10,1,4,...]} | |
| 13 ln ( 7 + 13 6 ) {displaystyle {sqrt {13}}ln left({frac {7+{sqrt {13}}}{6}}right)} | 2 | 3.51433... | [ 2 ; 18 , 1 , 1 , 2 , 4 , 2 , 5 , 33 , 6 , 2 , . . . ] {displaystyle [2;18,1,1,2,4,2,5,33,6,2,...]} | |
| 15 ln ( 8 + 15 7 ) {displaystyle {sqrt {15}}ln left({frac {8+{sqrt {15}}}{7}}right)} | 2 | 5.45248... | [ 2 ; 21 , 1 , 1 , 2 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 , . . . ] {displaystyle [2;21,1,1,2,5,4,3,2,1,1,...]} | |
| 17 ln ( 9 + 17 8 ) {displaystyle {sqrt {17}}ln left({frac {9+{sqrt {17}}}{8}}right)} | 2 | 3.47834... | [ 2 ; 24 , 1 , 1 , 2 , 6 , 92 , 3 , 3 , 1 , 16 , . . . ] {displaystyle [2;24,1,1,2,6,92,3,3,1,16,...]} | |
| 19 ln ( 10 + 19 9 ) {displaystyle {sqrt {19}}ln left({frac {10+{sqrt {19}}}{9}}right)} | 2 | 5.23162... | [ 2 ; 27 , 1 , 1 , 2 , 6 , 1 , 3 , 1 , 2 , 1 , . . . ] {displaystyle [2;27,1,1,2,6,1,3,1,2,1,...]} | |
| 21 ln ( 11 + 21 10 ) {displaystyle {sqrt {21}}ln left({frac {11+{sqrt {21}}}{10}}right)} | 2 | 3.45356... | [ 2 ; 30 , 1 , 1 , 2 , 7 , 1 , 1 , 3 , 4 , 63 , . . . ] {displaystyle [2;30,1,1,2,7,1,1,3,4,63,...]} | |
| 23 ln ( 12 + 23 11 ) {displaystyle {sqrt {23}}ln left({frac {12+{sqrt {23}}}{11}}right)} | 2 | 5.08120... | [ 2 ; 33 , 1 , 1 , 2 , 8 , 2 , 2 , 1 , 9 , 4 , . . . ] {displaystyle [2;33,1,1,2,8,2,2,1,9,4,...]} | |
| 5 ln ( 3 / 2 ) {displaystyle 5ln(3/2)} | 2 | 3.43506... | [ 2 ; 36 , 1 , 1 , 2 , 9 , 8 , 5 , 1 , 38 , 1 , . . . ] {displaystyle [2;36,1,1,2,9,8,5,1,38,1,...]} | |
| π 3 ± ln ( 3 ) {displaystyle {frac {pi }{sqrt {3}}}pm ln(3)} | 4.5586... | [ 2 ; 1 , 10 , 2 , 2 , 1 , 1 , 17 , 1 , 4 , 1 , . . . ] {displaystyle [2;1,10,2,2,1,1,17,1,4,1,...]} and [ 0 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 22 , 14 , 3 , 1 , 1 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;1,2,1,1,22,14,3,1,1,1,...]} | ||
| 3 ln ( 2 + 3 ) ± π 3 {displaystyle {sqrt {3}}ln(2+{sqrt {3}})pm {frac {pi }{sqrt {3}}}} | 6.1382... | [ 4 ; 10 , 1 , 1 , 5 , 7 , 2 , 2 , 1 , 31 , 2 , . . . ] {displaystyle [4;10,1,1,5,7,2,2,1,31,2,...]} and [ 0 ; 2 , 7 , 7 , 1 , 1 , 1 , 3 , 9 , 9 , 1 , . . . ] {displaystyle [0;2,7,7,1,1,1,3,9,9,1,...]} | ||
| ln ( 5 ) + π 2 {displaystyle ln(5)+{frac {pi }{2}}} | 59.976... | [ 3 ; 5 , 1 , 1 , 4 , 1 , 2 , 19 , 1 , 3 , . . . ] {displaystyle [3;5,1,1,4,1,2,19,1,3,...]} | ||
| T 2 ( 1 / b ) , b ≥ 2 {displaystyle T_{2}(1/b),bgeq 2} | 2 | 4 | Infinite continued fraction. | T 2 ( 1 / b ) := ∑ n = 1 ∞ t n b n − 1 {displaystyle T_{2}(1/b):=sum _{n=1}^{infty }t_{n}b^{n-1}} where t n {displaystyle t_{n}} is the n {displaystyle n} -th term of the Thue–Morse sequence. |
| Champernowne constants C b {displaystyle C_{b}} in base b ≥ 2 {displaystyle bgeq 2} | b {displaystyle b} | Infinite continued fraction. | Examples include C 10 = 0.1234567891011... = [ 0 ; 8 , 9 , 1 , 149083 , 1 , . . . ] {displaystyle C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]} | |
| Liouville numbers L {displaystyle L} | ∞ {displaystyle infty } | Infinite continued fraction, not behaving predictable. | The Liouville numbers are precisely those numbers having infinite irrationality measure. | |
Base de irracionalidad
La base de irracionalidad es una medida de irracionalidad introducida por J. Sondow como medida de irracionalidad para los números de Liouville. Se define de la siguiente manera:
Vamos α α {displaystyle alpha } ser un número irracional. Si existe un número real β β ≥ ≥ 1{displaystyle beta geq 1} con la propiedad que para cualquier 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0 " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>, hay un entero positivo q()ε ε ){displaystyle q(varepsilon)} tales que
- {frac {1}{(beta +varepsilon)^{q}}}{text{ for all integers }}p,q{text{ with }}qgeq q(varepsilon)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silencioα α − − pqSilencio■1()β β +ε ε )qpara todos los enterosp,qconq≥ ≥ q()ε ε ){displaystyle left durablealpha -{frac {beta +varepsilon)}{text{ for all integers }p,q{text{ with }qgeq q(varepsilon)}}}p,q{text{ with }qvarepsilon)}
{frac {1}{(beta +varepsilon)^{q}}}{text{ for all integers }}p,q{text{ with }}qgeq q(varepsilon)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa09a1d36658c45ac3be8ccaaef5cad6740c544" style="vertical-align: -2.671ex; width:52.166ex; height:6.176ex;"/>,
entonces β β {displaystyle beta } se llama la base de irracionalidad α α {displaystyle alpha } y está representado β β ()α α ){displaystyle beta (alpha)}
Si no es así β β {displaystyle beta } existe, entonces α α {displaystyle alpha } se llama super Liouville número.
Ejemplo: La serie ε ε 2e=1+121+1421+18421+1168421+132168421+...... {displaystyle varepsilon ##{2e}=1+{1}}}+{frac {1}{4^{2}}}}}}+{frac {1}{8^{4^{2}}}}{2e} {1}}{2e}}{2e}}{2e}}}{2e}}}{2e}}}{2e}}}}}}{4}{4}{4}{4}{2e}{2e}{4}{2e}{2e}{2e}{2e}{2e}{2e}{2e}{2e}}}}{2e}}}}}}{2e}{2e}{2e}{2e}{2e}}}}}{2e}{2e}{2e}}{2e}}{2e}{2e}}}}}}}}{2e}}{2e}{2e}}{4}}}{2e}{2e}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}} {fnMicroc {1}}}} {fnMicroc {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+ldots }} {ccH0} es un super Liouville número, mientras la serie τ τ 2=.. n=1JUEGO JUEGO 1n2=12+122+1222+12222+122222+...... {displaystyle tau _{2}=sum _{n=1}{infty }{frac {1} {fn}={fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}} {f}}} {fnfn}} {fn}}}}} {f} {f}} {fn}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {fn}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}f} {f} {f}f}f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}}}}}}}}}} {1}{2}}+{frac {1}{2}}{2}}}+{frac} {frac}} {f}}}}} {f} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\f}}}}\\\\\\\\f}f}\f}f}f}f}\f}f}f}f}\\f}fn}fn}f}\f}f}\f}\f}\\fn {1}{2^{2}}}}+{2}{2^{2^{2}}}}}}+{frac {1}{2^{2^{2^{2}}}}}}}}}+ldots }} {2}{2^{2^{2^{2}}}}}}}}}}}}}+ldots}}}}}}}{2}}}{2}}{2}}{2}{2}}}}}}}{2}}}}}}{2}}}}{2}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} es un número de Liouville con base de irracionalidad 2.ba{displaystyle {} {b}a}} representa la tetración.)
Números de Liouville y trascendencia
Establecer que un número dado es un número de Liouville proporciona una herramienta útil para demostrar que un número dado es trascendental. Sin embargo, no todo número trascendental es un número de Liouville. Los términos en la expansión de fracciones continuas de cada número de Liouville son ilimitados; usando un argumento de conteo, uno puede mostrar que debe haber muchos números trascendentales incontables que no son Liouville. Usando la expansión explícita de fracción continua de e, uno puede mostrar que e es un ejemplo de un número trascendental que no es Liouville. Mahler demostró en 1953 que π es otro ejemplo.
La prueba procede estableciendo primero una propiedad de los números algebraicos irracionales. Esta propiedad esencialmente dice que los números algebraicos irracionales no pueden ser bien aproximados por números racionales, donde la condición para "bien aproximado" se vuelve más estricto para denominadores más grandes. Un número de Liouville es irracional pero no tiene esta propiedad, por lo que no puede ser algebraico y debe ser trascendental. El siguiente lema suele conocerse como teorema de Liouville (en aproximación diofántica), existiendo varios resultados conocidos como teorema de Liouville.
A continuación, mostraremos que ningún número de Liouville puede ser algebraico.
Lema: Si α es un número irracional que es la raíz de un polinomio irreducible f de grado n > 0 con coeficientes enteros, entonces existe un número real A > 0 tal que, para todos los enteros p, q, con q > 0,
- {frac {A}{q^{n}}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silencioα α − − pqSilencio■Aqn{displaystyle left durablealpha -{frac Está bien. {} {fn}}}}
{frac {A}{q^{n}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583def7ccc609c868575a5e1006f41b238deb128" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.86ex; height:5.843ex;"/>
Prueba del Lema: Sea M el valor máximo de |f ′(x)| (el valor absoluto de la derivada de f) sobre el intervalo [α − 1, α + 1]. Sean α1, α2,..., α m sean las distintas raíces de f que difieren de α. Seleccione algún valor A > 0 satisfactorio
- <math alttext="{displaystyle AA.min()1,1M,Silencioα α − − α α 1Silencio,Silencioα α − − α α 2Silencio,...... ,Silencioα α − − α α mSilencio){displaystyle A meantmin left(1,{frac {1}{M},left sometidaalpha -alpha _{1}right forever,left permanentlyalpha - 'alpha _{2} 'derecha, 'ldotsleft arrestalpha - 'alpha _{m} 'justo 'right)}<img alt="A
Ahora suponga que existen algunos números enteros p, q que contradicen el lema. Entonces
- <math alttext="{displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}}right|leq {frac {A}{q^{n}}}leq ASilencioα α − − pqSilencio≤ ≤ Aqn≤ ≤ A.min()1,1M,Silencioα α − − α α 1Silencio,Silencioα α − − α α 2Silencio,...... ,Silencioα α − − α α mSilencio){displaystyle left durablealpha -{frac {p}{q}right foreverleq {fnMicroc {fn}}leq Un hecho min left(1,{frac {1}{M}},left durablealpha -alpha _{1}right durable,left underalpha - 'alpha _{2} 'derecha, 'ldotsleft arrestalpha - 'alpha _{m} 'justo 'right)}<img alt="left|alpha -{frac {p}{q}}right|leq {frac {A}{q^{n}}}leq A
Entonces p/q está en el intervalo [α − 1, α + 1]; y p/q no está en {α1, α 2,..., αm}, entonces p/q no es raíz de f; y no hay raíz de f entre α y p/q.
Por el teorema del valor medio, existe un x0 entre p/q y α tal que
- f()α α )− − f()pq)=()α α − − pq)⋅ ⋅ f.()x0){displaystyle f(alpha)-f({tfrac {p}{q})=(alpha -{frac {p}{q})cdot f'(x_{0})}
Dado que α es una raíz de f pero p/q no lo es, vemos que |f ′(x0)| > 0 y podemos reorganizar:
- Silencioα α − − pqSilencio=Silenciof()α α )− − f()pq)SilencioSilenciof.()x0)Silencio=Silenciof()pq)f.()x0)Silencio{displaystyle left durablealpha -{frac {fnK}f}fnK})}=f}=eff}=eff} {f} {f})} {f}}} {f}}}}}=eff)}=eff} {f} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}} {p}}}} {p}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Ahora, f es de la forma .. i=0n{displaystyle sum _{i=0} {n}} ci xi donde cada ci es un entero; por lo que podemos expresarf()p/q)
- Silenciof()pq)Silencio=Silencio.. i=0ncipiq− − iSilencio=1qnSilencio.. i=0ncipiqn− − iSilencio≥ ≥ 1qn{fnMicrosoft Sans Serif}justo)derecho a la vida=izquierda ¿Por qué? {1}{q^{n}left foreversum ¿Por qué? {fnK} {fn}} {fnK}}} {fnK}}}} {fn} {fn}}} {fn}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
la última desigualdad se cumple porque p/q no es raíz de f y la ci son números enteros.
Así tenemos que |f(p/q)| ≥ 1/qn. Dado que |f ′(x0)| ≤ M por la definición de M, y 1/M > A por la definición de A, tenemos que
- {frac {A}{q^{n}}}geq left|alpha -{frac {p}{q}}right|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silencioα α − − pqSilencio=Silenciof()pq)f.()x0)Silencio≥ ≥ 1Mqn■Aqn≥ ≥ Silencioα α − − pqSilencio{displaystyle left durablealpha -{frac {f} {f} {f}} {f}} {f}}}} {f'(x_{0}}}}}justo de la vida {fn} {fn} {fn} {fn}}gn}gqeqleft - {frac {p}{q} 'justo en la vida
{frac {A}{q^{n}}}geq left|alpha -{frac {p}{q}}right|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77be789441bed97ae45d64618125b70fae5b8a" style="vertical-align: -3.505ex; width:44.687ex; height:8.176ex;"/>
lo cual es una contradicción; por lo tanto, tales p, q existen; demostrando el lema.
Prueba de afirmación: Como consecuencia de este lema, sea x un número de Liouville; como se indica en el texto del artículo, x es entonces irracional. Si x es algebraico, entonces por el lema, existe algún número entero n y algún real positivo A tal que para todo p, q
- {frac {A}{q^{n}}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciox− − pqSilencio■Aqn{displaystyle left WordPressx-{frac Está bien. {} {fn}}}}
{frac {A}{q^{n}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b6844e3b5caa273a14e493fd772b46fdb585e1" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.702ex; height:5.843ex;"/>
Sea r un entero positivo tal que 1/(2r) ≤ A. Si hacemos m = r + n, y dado que x es un número de Liouville, entonces existen números enteros a, b donde b > 1 tal que
- <math alttext="{displaystyle left|x-{frac {a}{b}}right|Silenciox− − abSilencio.1bm=1br+n=1brbn≤ ≤ 12r1bn≤ ≤ Abn{displaystyle left WordPressx-{frac Está bien. {1}{m}={frac} {1}{b^{r+n}}={frac {1}{b^{n}}leq} {fnK}} {fn}} {fn}}m}}m} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}}}} {m} {fn}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {m}}}}}}} {f}} {f}}f}}}}}}f}}}f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}f}fn}}}f}f}f}fn}f}f}f}fn}}fn}fn}f}}f}f}f}f}}}}}}}fn {fnK}}}<img alt="left|x-{frac {a}{b}}right|
lo que contradice el lema. Por lo tanto, si existe un número de Liouville, no puede ser algebraico y, por lo tanto, debe ser trascendental.
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