Número de knudsen

El número de Knudsen (Kn) es un número adimensional definido como la relación entre la longitud media del camino libre molecular y una escala de longitud física representativa. Esta escala de longitud podría ser, por ejemplo, el radio de un cuerpo en un fluido. El número lleva el nombre del físico danés Martin Knudsen (1871-1949).

El número de Knudsen ayuda a determinar si se debe utilizar la mecánica estadística o la formulación de la mecánica continua de la dinámica de fluidos para modelar una situación. Si el número de Knudsen es cercano o mayor que uno, el camino libre medio de una molécula es comparable a una escala de longitud del problema, y el supuesto continuo de la mecánica de fluidos ya no es una buena aproximación. En tales casos, se deben utilizar métodos estadísticos.

Definición

El número de Knudsen es un número adimensional definido como

Kn=λ λ L,{displaystyle mathrm {Kn} ={frac {lambda ♪♪

dónde

λ λ {displaystyle lambda } = camino libre [L]¹]

L{displaystyle L. = escala de longitud física representativa [L¹].

La escala de longitud representativa examinada, L{displaystyle L., puede corresponder a diversos rasgos físicos de un sistema, pero más comúnmente se relaciona con un distancia sobre qué transporte térmico o transporte masivo ocurre a través de una fase de gas. Este es el caso en materiales porosos y granulares, donde el transporte térmico a través de una fase de gas depende altamente de su presión y la consiguiente vía libre de moléculas en esta fase. Para un gas Boltzmann, el camino libre medio puede ser fácilmente calculado, para que

Kn=kBT2π π d2pL=kB2π π d2*** *** RsL,{displaystyle mathrm {Kn} ={frac {k_{text{B}T}{sqrt {2}pi} ♪ {2}pL}={frac {k_{text{B}}{sqrt {2}pid d^{2}rho R_{s}L},}

dónde

kB{displaystyle k_{text{B}} es la constante de Boltzmann (1.380649 × 10^{,23 a 23} J/K en unidades SI) [M¹ L² T⁻².⁻¹]

T{displaystyle T} es la temperatura termodinámica¹]

d{displaystyle d} es el diámetro de la hoja dura de partículas [L¹]

p{displaystyle p} es la presión estática [M¹ L⁻¹ T⁻²]

Rs{displaystyle R_{s} es la constante de gas específica [L² T⁻² Silencio⁻¹] (287.05 J/(kg K) para aire),

*** *** {displaystyle rho } es la densidad [M¹ L⁻³].

Si se aumenta la temperatura, pero el volumen se mantiene constante, entonces el número de Knudsen (y el camino libre medio) no cambia (para un gas ideal). En este caso, la densidad sigue siendo la misma. Si se aumenta la temperatura y se mantiene constante la presión, entonces el gas se expande y por tanto su densidad disminuye. En este caso, el camino libre medio aumenta y también lo hace el número de Knudsen. Por lo tanto, puede ser útil tener en cuenta que el camino libre medio (y por lo tanto el número de Knudsen) realmente depende de la variable termodinámica densidad (proporcional al recíproco de la densidad) y sólo indirectamente de la temperatura y la presión.

Para la dinámica de partículas en la atmósfera, y asumiendo temperatura y presión estándar, es decir 0 °C y 1 am, tenemos λ λ {displaystyle lambda }. 8×10⁻⁸m (80 nm).

Relación con los números de Mach y Reynolds en gases

El número de Knudsen se puede relacionar con el número de Mach y el número de Reynolds.

Usando la viscosidad dinámica

μ μ =12*** *** c̄ ̄ λ λ ,{displaystyle mu ={2}rho {bar {c}lambda}

with the average molecular speed (from Maxwell–Boltzmann distribution)

c̄ ̄ =8kBTπ π m,{displaystyle {bar {c}={sqrt {8k_{text{B}T}{pi} #

el camino libre medio se determina de la siguiente manera:

λ λ =μ μ *** *** π π m2kBT.{displaystyle lambda ={mu }{rho }{sqrt {frac ♪ - Sí.

Dividiendo por L (alguna longitud característica), se obtiene el número de Knudsen:

Kn=λ λ L=μ μ *** *** Lπ π m2kBT,{displaystyle mathrm {Kn} ={frac {fnMicrode {fnh} {fnh} {fnh00} {fnh}} {fnh} {fnfn} {fnfn} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnh}}} {fnfnfnfnfnfnfnh}fnh}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}fnfnfnfnfnfnfnfn}fnh}fnfnh}}fnfn}\fnfnfnh}fnfnh}fnh}fnh}fnfnh}\\fnh}}}fn} {2K_{text{B}T}}}}} {cH00}

dónde

c̄ ̄ {displaystyle {bar {c}} es la velocidad molecular promedio de la distribución Maxwell-Boltzmann [L¹ T⁻¹]

T es la temperatura termodinámica¹]

μ es la viscosidad dinámica [M¹ L⁻¹ T⁻¹]

m es la masa molecular [M¹]

k_B es la constante de Boltzmann [M¹ L² T⁻² Silencio⁻¹]

*** *** {displaystyle rho } es la densidad [M¹ L⁻³].

El número de Mach adimensional se puede escribir como

Ma=UJUEGO JUEGO cs,{displaystyle mathrm {Ma} ={frac {U_{infty} } {c_{text{s}}}}} {fnMicrosoft Sans}}

donde la velocidad del sonido está dada por

cs=γ γ RTM=γ γ kBTm,{displaystyle c_{text{}={sqrt {frac {gamma} ¿Qué? ¿Qué?

dónde

U_JUEGO es la velocidad de freestream [L¹ T⁻¹]

R es la constante de gas universal (en SI, 8.314 47215 J K⁻¹ mol⁻¹[M]¹ L² T⁻² Silencio⁻¹ mol⁻¹]

M es la masa molar [M¹ mol⁻¹]

γ γ {displaystyle gamma } es la relación de calores específicos [1].

El número de Reynolds adimensional se puede escribir como

Re=*** *** UJUEGO JUEGO Lμ μ .{displaystyle mathrm {Re} ={frac {rho U_{infty }L}{mu} }}

Dividiendo el número de Mach por el número de Reynolds:

MaRe=UJUEGO JUEGO /cs*** *** UJUEGO JUEGO L/μ μ =μ μ *** *** Lcs=μ μ *** *** Lγ γ kBTm=μ μ *** *** Lmγ γ kBT{displaystyle {frac {mathrm} {Ma} {mhm} {Re} }={frac {U_{infty ¿Qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {f}}} {\fnfnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ L{sqrt {frac {gamma {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnh} {fnh00} {fnh00} {fnh00} {fnh00}} {fn} {fnfnfnh00}} {fnfnfnh00} {fnfnh00}} {fnfnh00fnh00}} {fnfnfnh00}}} {fnfnfnfnh00}}fnfnfnfnfnh00}}fnh00fnh00}}}}}}}}}}}}}}}} {fn\fn\fnfnfnfnhn\fnfn\fnhn\fnfn\fnfnhnhnh00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}{gamma #

y multiplicando por γ γ π π 2{fnMicroc} {gammapi } {2}}} produce el número Knudsen:

μ μ *** *** Lmγ γ kBTγ γ π π 2=μ μ *** *** Lπ π m2kBT=Kn.{displaystyle {frac {fnMicroc} {fnK} {fnMicroc} {m}{gamma {fnMicrosoft}} {fnK}} {fnK}}}}} {fnh}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fnfnK}}}}}}}}}}}}} {fnf}}}}}} {fnf}}}}} #frac {gamma pi {fnh} {fnh} {fnh} {fnfnh} {fnh} {fnfn}} {fn} {fnfnfnfnfnfnfn}}} {fnf}fnfnfnfnfnfnfnh}}}}}}}}}}}\\\\\fnfn\\fnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfn\\fn\fn\\fn\fnfn\fn\\fnfn\fnfn\fnfnfnfnfn\fnhn\\\fn\fnfn\fn\fn {2K_{text{B}T}}=mathrm {Kn}.

Por lo tanto, los números de Mach, Reynolds y Knudsen están relacionados por

Kn=MaReγ γ π π 2.{displaystyle mathrm {Kn} ={frac {mathrm {fnK} {fn} {fnK}} {fnMicroc} {fnK}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}} {f}} {fn}}}}}} {fnfnf}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {m}} {f} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {\f} {fn\\f}}}}}}\\\fn\\fnf}}fnfn\fnfnfnf}\\\\fnf}}}}}fn {gammapi - Sí.

Aplicación

El número de Knudsen se puede utilizar para determinar la rarefacción de un flujo:

• <math alttext="{displaystyle mathrm {Kn} Kn.0,01{displaystyle mathrm {Kn}<img alt="{displaystyle mathrm {Kn} : Flujo continuo
• <math alttext="{displaystyle 0.01<mathrm {Kn} 0,01.Kn.0.1{displaystyle 0.01 won}<img alt="{displaystyle 0.01<mathrm {Kn} : Flujo de deslizamiento
• <math alttext="{displaystyle 0.1<mathrm {Kn} 0.1.Kn.10{displaystyle 0.1tractomathrm {Kn}<img alt="{displaystyle 0.1<mathrm {Kn} : Corriente de transición
• 10}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Kn■10{displaystyle mathrm {Kn}10}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a24cea87a434c7e212274f51772ad759f6b9e5" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.524ex; height:2.176ex;"/>: Flujo molecular libre

Esta clasificación de regímenes es empírica y depende del problema, pero ha demostrado ser útil para modelar adecuadamente los flujos.

Los problemas con números de Knudsen altos incluyen el cálculo del movimiento de una partícula de polvo a través de la atmósfera inferior y el movimiento de un satélite a través de la exosfera. Una de las aplicaciones más utilizadas para el número de Knudsen es en microfluidos y diseño de dispositivos MEMS, donde los flujos varían desde continuos hasta moleculares libres. En los últimos años, se ha aplicado en otras disciplinas como el transporte en medios porosos, por ejemplo, yacimientos de petróleo. Se dice que los movimientos de fluidos en situaciones con un número de Knudsen alto exhiben flujo de Knudsen, también llamado flujo molecular libre.

El flujo de aire alrededor de una aeronave, como un avión de línea, tiene un número de Knudsen bajo, lo que lo sitúa firmemente en el ámbito de la mecánica continua. Usando el número de Knudsen se hace un ajuste para Stokes' La ley se puede utilizar en el factor de corrección de Cunningham, esta es una corrección de la fuerza de arrastre debido al deslizamiento en partículas pequeñas (es decir, d_p < 5 µm). El flujo de agua a través de una boquilla normalmente será una situación con un número de Knudsen bajo.

Las mezclas de gases con diferentes masas moleculares se pueden separar parcialmente enviando la mezcla a través de pequeños orificios de una pared delgada porque el número de moléculas que pasan a través de un orificio es proporcional a la presión del gas e inversamente proporcional a su masa molecular.. La técnica se ha utilizado para separar mezclas isotópicas, como el uranio, mediante membranas porosas. También se ha demostrado con éxito su uso en la producción de hidrógeno a partir de agua.

El número de Knudsen también juega un papel importante en la conducción térmica de los gases. Para materiales aislantes, por ejemplo, donde los gases están contenidos a baja presión, el número de Knudsen debe ser lo más alto posible para garantizar una baja conductividad térmica.