Numero de fourier

En el estudio de la conducción de calor, el Cuatro más, es la proporción del tiempo, ${\displaystyle t}$, a una escala de tiempo característica para la difusión de calor, ${\displaystyle T_{d}$. Este grupo dimensional es nombrado en honor de J.B.J. Fourier, quien formuló la comprensión moderna de la conducción del calor. La escala de tiempo para la difusión caracteriza el tiempo necesario para que el calor difunda a una distancia, ${\displaystyle L.$. Para un medio con difusividad térmica, ${\displaystyle \alpha }$, esta escala de tiempo es ${\displaystyle ¿Qué?$, por lo que el número de Fourier es ${\displaystyle t/t_{d}=\alpha t/L^{2}$. El número de Fourier es a menudo denotado ${\displaystyle \mathrm {Fo}$ o ${\displaystyle \mathrm {Fo} _{L}$.

El número Fourier también se puede utilizar en el estudio de la difusión masiva, en el que la difusividad térmica es reemplazada por la difusividad masiva.

El número de Fourier se utiliza en el análisis de fenómenos de transporte dependientes del tiempo, generalmente junto con el número de Biot si hay convección presente. El número de Fourier surge naturalmente en la adimensionalización de la ecuación del calor.

Definición

La definición general del número de Fourier, Fo, es:

$${\displaystyle \mathrm {Fo}={\frac {\text{time} {\text{time scale for diffusion}}}={\frac {\frac}}}}} { t} {t_{d}}$$

Para la difusión de calor con una escala de longitud característica ${\displaystyle L.$ en un medio de difusión térmica ${\displaystyle \alpha }$, la escala de tiempo de difusión es ${\displaystyle ¿Qué?$Así que

$${\displaystyle \mathrm {Fo}={\frac {\alpha {}}}$$

Donde:

• ${\displaystyle \alpha }$ es la difusividad térmica (m²/s)
• ${\displaystyle t}$ es el tiempo (s)
• ${\displaystyle L.$ es la longitud característica a través de la cual la conducción ocurre (m)

Interpretación del número Fourier

Considere la conducción de calor transitorio en una placa de espesor ${\displaystyle L.$ que está inicialmente a temperatura uniforme, ${\displaystyle T_{0}$. Un lado de la placa se calienta a temperatura superior, ${\displaystyle T_{h] T_{0}$, a la vez ${\displaystyle t=0}$. El otro lado es adiabático. El tiempo necesario para que el otro lado del objeto muestre un cambio significativo de temperatura es el tiempo de difusión, ${\displaystyle T_{d}$.

Cuando ${\displaystyle \mathrm {Fo} \ll 1}$, no ha pasado tiempo suficiente para que el otro lado cambie la temperatura. En este caso, el cambio significativo de temperatura sólo ocurre cerca del lado calentado, y la mayoría de la placa permanece a temperatura ${\displaystyle T_{0}$.

Cuando ${\displaystyle \mathrm {Fo} \cong 1}$, cambio significativo de temperatura ocurre todo el camino a través del espesor ${\displaystyle L.$. Ninguna de las placas permanece a temperatura ${\displaystyle T_{0}$.

Cuando ${\displaystyle \mathrm {Fo} \gg 1}$, suficiente tiempo ha pasado para que la losa se acerque a estado estable. Toda la placa se acerca a la temperatura ${\displaystyle T_{h}$.

Derivación y uso

El número Fourier puede derivarse por la no dimensionación de la ecuación de difusión dependiente del tiempo. Como ejemplo, considere una vara de longitud ${\displaystyle L.$ que se calienta de una temperatura inicial ${\displaystyle T_{0}$ imponiendo una fuente de calor de temperatura ${\displaystyle T_{L} confíaT_{0}$ a la vez ${\displaystyle t=0}$ y posición ${\displaystyle x=L}$ (con ${\displaystyle x}$ a lo largo del eje de la varilla). La ecuación de calor en una dimensión espacial, ${\displaystyle x}$, se puede aplicar

$${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} T}{\partial #=\alpha {\frac\partial ^{2}T}{\partial #$$

Donde ${\displaystyle T}$ es la temperatura para ${\displaystyle 0 0,2 0$ y ${\displaystyle t fiel0}$. La ecuación diferencial se puede escalar en una forma sin dimensiones. Una temperatura indimensional puede definirse como ${\displaystyle \Theta = (T-T_{L})/(T_{0}-T_{L})}$, y la ecuación puede ser dividida por ${\displaystyle \alpha /L^{2}$:

$${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} \Theta }{\partial (\alpha t/L^{2}}={\frac {\partial ^{2}\ Theta.$$

La variable de tiempo sin dimensiones resultante es el número Fourier, ${\displaystyle \mathrm {Fo} _{L}=\alpha t/L^{2}$. La escala de tiempo característica para la difusión, ${\displaystyle ¿Qué?$, viene directamente de este escalado de la ecuación de calor.

El número Fourier se utiliza con frecuencia como el tiempo no dimensional para estudiar la conducción de calor transitorio en sólidos. Un segundo parámetro, el número de Biot surge en la nodimensionalización cuando las condiciones de límites convectivos se aplican a la ecuación de calor. Juntos, el número Fourier y el número Biot determinan la respuesta de temperatura de un sólido sometido a calefacción convectiva o refrigeración.

Aplicación a transferencia masiva

Un número análogo de Fourier puede derivarse por la no dimensionización de la segunda ley de la difusión de Fick. El resultado es un número Fourier para el transporte en masa, ${\displaystyle \mathrm {Fo} _{m}$ definida como:

$${\displaystyle \mathrm {Fo}={\frac} {Dt} {L^{2}}}}$$

donde:

• ${\displaystyle \mathrm {Fo} _{m}$ es el número Fourier para el transporte en masa
• ${\displaystyle D}$ es la difusividad de masas (m²/s)
• ${\displaystyle t}$ es el tiempo (s)
• ${\displaystyle L.$ es la escala de longitud de interés (m)

El número de Fourier de transferencia de masa se puede aplicar al estudio de ciertos problemas de difusión de masa dependientes del tiempo.