Número de Fermat

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En matemáticas, un número de Fermat, llamado así por Pierre de Fermat, quien los estudió por primera vez, es un número entero positivo de la forma

{displaystyle F_{n}=2^{2^{n}+1,}

donde n es un número entero no negativo. Los primeros números de Fermat son:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617,... A000215 en el OEIS).

Si 2^k + 1 es primo y k > 0, entonces k debe ser una potencia de 2, entonces 2^k + 1 es un número de Fermat; estos números primos se denominan primos de Fermat. A partir de 2023, los únicos números primos de Fermat conocidos son F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 y F_{4< /sub> = 65537 (secuencia A019434 en el OEIS); las heurísticas sugieren que no hay más.}

Propiedades básicas

Los números de Fermat satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

{displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}

{displaystyle F_{n}=F_{0}cdots F_{n-1}+2}

para n ≥ 1,

{displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}F_{0}cdots F_{n-2}

{displaystyle F_{n}=F_{n-1}{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}

para n ≥ 2. Cada una de estas relaciones puede probarse por inducción matemática. De la segunda ecuación, podemos deducir el teorema de Goldbach (llamado así por Christian Goldbach): no hay dos números de Fermat que compartan un factor entero común mayor que 1. Para ver esto, suponga que 0 ≤ < yo>yo < j y F_i y F_j tienen un factor común a > 1. Entonces a divide ambos

{displaystyle F_{0}cdots F_{j-1}

y F_j; por tanto, a divide su diferencia, 2. Dado que a > 1, esto obliga a a = 2. Esto es una contradicción, porque cada número de Fermat es claramente impar. Como corolario, obtenemos otra demostración de la infinitud de los números primos: para cada F_n, elige un factor primo p _n; entonces la secuencia {p_n} es una secuencia infinita de números primos distintos.

Otras propiedades

No Fermat prime se puede expresar como la diferencia de dos pa potencias, donde p es una prima rara.
Con excepción de F₀ y F₁, el último dígito de un número de Fermat es 7.
La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (secuencia A051158 en el OEIS) es irracional. (Solomon W. Golomb, 1963)

Primalidad

Los números de Fermat y los números primos de Fermat fueron estudiados por primera vez por Pierre de Fermat, quien conjeturó que todos los números de Fermat son primos. De hecho, los primeros cinco números de Fermat F₀,..., F₄ se muestran fácilmente como primos. La conjetura de Fermat fue refutada por Leonhard Euler en 1732 cuando demostró que

{displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641times 6700417.}

Euler demostró que todo factor de F_n debe tener la forma k 2ⁿ⁺¹ + 1 (luego mejorado a k 2ⁿ⁺² + 1 de Lucas) para n ≥ 2.

Que 641 es factor de F₅ se deduce de las igualdades 641 = 2⁷ × 5 + 1 y 641 = 2 ⁴ + 5⁴. De la primera igualdad se sigue que 2⁷ × 5 ≡ −1 (mod 641) y por lo tanto (elevado a la cuarta potencia) que 2²⁸ × 5⁴ ≡ 1 (mod 641). Por otro lado, la segunda igualdad implica que 5⁴ ≡ −2⁴ (mod 641). Estas congruencias implican que 2³² ≡ −1 (mod 641).

Fermat probablemente estaba al tanto de la forma de los factores que Euler demostró más tarde, por lo que parece curioso que no haya seguido el cálculo directo para encontrar el factor. Una explicación común es que Fermat cometió un error de cálculo.

No hay otros primos de Fermat conocidos F_n con n > 4, pero se sabe poco sobre los números de Fermat para n grandes. De hecho, cada uno de los siguientes es un problema abierto:

I F_n composite para todos n■ ¿4?
¿Hay infinitamente muchos primos de Fermat? (Eisenstein 1844)
¿Hay infinitamente muchos números compuestos de Fermat?
¿Existe un número de Fermat que no es libre de cuadrado?

A partir de 2014, se sabe que F_n es compuesto por 5 ≤ n ≤ 32, aunque de estos, solo se conocen factorizaciones completas de F_n para 0 ≤ n ≤ 11, y no hay factores primos conocidos para n = 20 y n = 24. El número de Fermat más grande que se sabe que es compuesto es F_18233954, y su factor primo 7 × 2^18233956 + 1 se descubrió en octubre de 2020.

Argumentos heurísticos

La heurística sugiere que F₄ es el último primo de Fermat.

El teorema de los números primos implica que un entero aleatorio en un intervalo adecuado alrededor de N es primo con probabilidad 1 / ln N. Si se usa la heurística de que un número de Fermat es primo con la misma probabilidad que un entero aleatorio de su tamaño, y que F₅,..., F ₃₂ son compuestos, entonces el número esperado de primos de Fermat más allá de F₄ (o de manera equivalente, más allá de F₃₂) debe ser

{displaystyle sum _{ngeq 33}{frac {1}{ln} ¿Por qué? 2}2^{-32} Seleccion3.36times 10^{-10}

Uno puede interpretar este número como un límite superior para la probabilidad de que exista un primo de Fermat más allá de F₄.

Este argumento no es una prueba rigurosa. Por un lado, asume que los números de Fermat se comportan de forma 'aleatoria', pero los factores de los números de Fermat tienen propiedades especiales. Boklan y Conway publicaron un análisis más preciso que sugiere que la probabilidad de que haya otro primo de Fermat es menos de uno en mil millones.

Condiciones equivalentes

Vamos ${displaystyle F_{n}=2^{2^{n}+1}$ ser el nnúmero de Fermat. La prueba de Pépin dice que para n■ 0,

{displaystyle F_{n}

es primo si y sólo si

{displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}equiv -1{pmod {fn}}}

La expresión ${displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}$ puede ser evaluado modulo ${displaystyle F_{n}$ por repetidas peleas. Esto hace que la prueba sea un algoritmo de tiempo polinomio rápido. Pero los números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo un puñado de ellos pueden ser probados en una cantidad razonable de tiempo y espacio.

Hay algunas pruebas para números de la forma k 2^m + 1, como factores de números de Fermat, para primalidad.

Teorema de Proth (1878). Vamos

{displaystyle N}

{displaystyle k}

{displaystyle 2}

^{${displaystyle m}$} +

{displaystyle 1}

con extraño

{displaystyle k}

{displaystyle 2}

^{${displaystyle m}$}. Si hay un entero ${displaystyle a}$ tales que

{displaystyle a^{(N-1)/2}equiv -1{pmod {N}}

entonces

{displaystyle N}

es primo. Por el contrario, si la congruencia anterior no sostiene, y además

{displaystyle left({frac {a} {N}right)=-1}

(Ver símbolo Jacobi)

entonces

{displaystyle N}

es composite.

Si N = F_n > 3, entonces el símbolo de Jacobi anterior siempre es igual a −1 para a = 3, y este caso especial del teorema de Proth se conoce como prueba de Pépin. Aunque la prueba de Pépin y el teorema de Proth se han implementado en computadoras para demostrar la composición de algunos números de Fermat, ninguna prueba proporciona un factor no trivial específico. De hecho, no se conocen factores primos específicos para n = 20 y 24.

Factorización

Debido al tamaño de los números de Fermat, es difícil factorizar o incluso comprobar la primalidad. La prueba de Pépin da una condición necesaria y suficiente para la primalidad de los números de Fermat, y puede ser implementada por ordenadores modernos. El método de curva elíptica es un método rápido para encontrar pequeños divisores primarios de números. Proyecto de cálculo distribuido Fermatsearch ha encontrado algunos factores de los números de Fermat. El proth.exe de Yves Gallot se ha utilizado para encontrar factores de grandes números de Fermat. Édouard Lucas, mejorando el resultado mencionado de Euler, demostró en 1878 que cada factor del número de Fermat ${displaystyle F_{n}$ , con n al menos 2, es de la forma ${displaystyle ktimes 2^{n+2}+1}$ (véase el número Proth), donde k es un entero positivo. Por sí mismo, esto hace fácil probar la primalidad de los primos Fermat conocidos.

Las factorizaciones de los primeros doce números de Fermat son:

F₀	=	2¹	+	1	=	3 es primo
F₁	=	2²	+	1	=	5 es primo
F₂	=	2⁴	+	1	=	17 es primo
F₃	=	2⁸	+	1	=	257 es primo
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65,537 es el mayor conocido Fermat prime
F₅	=	2³²	+	1	=	4.294.967.297
					=	641 × 6.700.417 (totalmente factorizado 1732)
F₆	=	2⁶⁴	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617 (20 dígitos)
					=	274,177 × 67,280,421,310,721 (14 dígitos) (totalmente factored 1855)
F₇	=	2¹²⁸	+	1	=	340,282,366,920,938,463,374,607,431,768,211,457 (39 dígitos)
					=	59,649,589,127,497,217 (17 dígitos) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 dígitos) (finales en 1970)
F₈	=	2²⁵⁶	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129, 639.937 (78 dígitos)
					=	1,238,926,361,552,897 (16 dígitos) × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,321 (62 dígitos) (finada en 1980)
F₉	=	2⁵¹²	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,853,882,811,946,946,433,6 49,006,084,097 (155 dígitos)
					=	2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 dígitos) × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759, 504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 dígitos) (totalmente factorados en 1990)
F₁₀	=	2¹⁰²⁴	+	1	=	179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 dígitos)
					=	45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 dígitos) × 130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 dígitos) (totalmente factorado 1995)
F₁₁	=	2²⁰⁴⁸	+	1	=	32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 dígitos)
					=	319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 dígitos) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 dígitos) × 173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 dígitos) (totalmente factorizado 1988)

Hasta noviembre de 2021, solo se han tenido en cuenta por completo de F₀ a F₁₁. El proyecto de computación distribuida Fermat Search busca nuevos factores de los números de Fermat. El conjunto de todos los factores de Fermat es A050922 (o, ordenado, A023394) en OEIS.

Los siguientes factores de los números de Fermat se conocían antes de 1950 (desde entonces, las computadoras digitales han ayudado a encontrar más factores):

Año	Finder	Número de Fermat	Factor
1732	Euler	${displaystyle F_{5}$	${displaystyle 5cdot 2^{7}+1}$
1732	Euler	${displaystyle F_{5}$ (totalmente factorado)	${displaystyle 52347cdot 2^{7}+1}$
1855	Clausen	${displaystyle F_{6}$	${displaystyle 1071cdot 2^{8}+1}$
1855	Clausen	${displaystyle F_{6}$ (totalmente factorado)	${displaystyle 262814145745cdot 2^{8}+1}$
1877	Pervushin	${displaystyle F_{12}$	${displaystyle 7cdot 2^{14}+1}$
1878	Pervushin	${displaystyle F_{23}$	${displaystyle 5cdot 2^{25}+1}$
1886	Seelhoff	${displaystyle F_{36}$	${displaystyle 5cdot 2^{39}+1}$
1899	Cunningham	${displaystyle F_{11}$	${displaystyle 39cdot 2^{13}+1}$
1899	Cunningham	${displaystyle F_{11}$	${displaystyle 119cdot 2^{13}+1}$
1903	Occidental	${displaystyle F_{9}$	${displaystyle 37cdot 2^{16}+1}$
1903	Occidental	${displaystyle F_{12}$	${displaystyle 397cdot 2^{16}+1}$
1903	Occidental	${displaystyle F_{12}$	${displaystyle 973cdot 2^{16}+1}$
1903	Occidental	${displaystyle F_{18}$	${displaystyle 13cdot 2^{20}+1}$
1903	Cullen	${displaystyle F_{38}$	${displaystyle 3cdot 2^{41}+1}$
1906	Morehead	${displaystyle F_{73}$	${displaystyle 5cdot 2^{75}+1}$
1925	Kraitchik	${displaystyle F_{15}$	${displaystyle 579cdot 2^{21}+1}$

En enero de 2021, se conocen 356 factores primos de los números de Fermat y se sabe que 312 números de Fermat son compuestos. Cada año se encuentran varios factores Fermat nuevos.

Pseudoprimos y números de Fermat

Al igual que los números compuestos de la forma 2^p − 1, cada número compuesto de Fermat es un pseudoprimo fuerte en base 2. Esto se debe a que todos los pseudoprimos fuertes en base 2 son también pseudoprimos de Fermat, es decir

{displaystyle 2^{F_{n}-1}equiv 1{pmod {fn}}

para todos los números de Fermat.

En 1904, Cipolla mostró que el producto de al menos dos números principales o compuestos de Fermat ${displaystyle F_{a}F_{b}dots F_{s},}$ ${displaystyle a título personal}$ será un Fermat pseudoprime a base 2 si y sólo si ${displaystyle 2} {fnMicrosoft Sans Serif}$ .

Otros teoremas sobre los números de Fermat

Lemma.—Si n es un entero positivo,

{displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)sum ¿Qué?

Prueba

${displaystyle {begin{aligned}(a-b)sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué?$

Theorem— Si ${displaystyle 2^{k}+1}$ es una prima extraña, entonces ${displaystyle k}$ es un poder de 2.

Prueba

Si ${displaystyle k}$ es un entero positivo, pero no un poder de 2, debe tener un factor principal extraño ${displaystyle s fiel2}$ , y podemos escribir ${displaystyle k=rs}$ Donde ${displaystyle 1leq r madek}$ .

Por el lema anterior, para el entero positivo ${displaystyle m}$ ,

{displaystyle (a-b)mid (a^{m}-b^{m}}

Donde ${displaystyle mid }$ significa "evenly divide". Sustitución ${displaystyle a=2^{r},b=-1}$ , y ${displaystyle m=s}$ y usando eso ${displaystyle s}$ Es extraño.

{displaystyle (2^{r}+1)mid (2^{rs}+1),}

y así

{displaystyle (2^{r}+1)mid (2^{k}+1). }

Porque... ${displaystyle 1 won2^{r}+1 0}$ , sigue que ${displaystyle 2^{k}+1}$ no es primo. Por lo tanto, por contraposición ${displaystyle k}$ debe ser un poder de 2.

Theorem— Una prima de Fermat no puede ser una prima de Wieferich.

Prueba

Mostramos si ${displaystyle p=2^{m}+1}$ es una prima Fermat (y por lo tanto por lo anterior, m es un poder de 2), entonces la congruencia ${displaystyle 2^{p-1}equiv 1{bmod {}}$ no aguanta.

Desde ${displaystyle 2m habitp-1}$ Podemos escribir ${displaystyle p-1=2mlambda }$ . Si la congruencia dada sostiene, entonces ${displaystyle p^{2} }-1}$ , y por consiguiente

{displaystyle 0equiv {2^{2mlambda #### {2}{m}=(2^{m}-1)left (1+2^{2m}+2^{4m}+cdots +2^{2(lambda -1)m}right)equiv -2lambda {pmod {2^{m}}}}

Por lo tanto ${displaystyle 2^{m}+1 sufrimiento2lambda }$ , y por consiguiente ${displaystyle 2lambda geq 2^{m}+1}$ . Esto conduce a ${displaystyle p-1geq m(2^{m}+1)}$ , que es imposible desde ${displaystyle mgeq 2}$ .

Theorem(Édouard Lucas)— Cualquier divisor primo p de ${displaystyle F_{n}=2^{2^{n}+1}$ es de la forma ${displaystyle k2^{n+2}+1}$ siempre n ■ 1.

Sketch of proof

Vamos G_p denota el grupo de no cero enteros modulo p bajo multiplicación, que tiene orden p−1. Note que 2 (principalmente hablando, su modulo de imagen p) tiene orden multiplicativo igual a ${displaystyle 2^{n+1}$ dentro G_p (since ${displaystyle 2^{2^{n+1}}$ es el cuadrado de ${displaystyle 2^{2^{n}}$ −1 modulo F_nAsí que, por el teorema de Lagrange, p − 1 es divisible ${displaystyle 2^{n+1}$ y p tiene la forma ${displaystyle k2^{n+1}+1}$ para algunos enteros kComo lo sabía Euler. Édouard Lucas fue más lejos. Desde n Ø 1, la primera p arriba es congruente con 1 modulo 8. Por lo tanto (como fue conocido por Carl Friedrich Gauss), 2 es un modulo de residuos cuadráticos p, es decir, hay entero a tales que ${displaystyle p sometidaa^{2}-2.}$ Entonces la imagen de a tiene orden ${displaystyle 2^{n+2}$ en el grupo G_p y (utilizando el teorema de Lagrange otra vez), p − 1 es divisible ${displaystyle 2^{n+2}$ y p tiene la forma ${displaystyle s2^{n+2}+1}$ para algunos enteros s.

De hecho, se puede ver directamente que 2 es un modulo de residuos cuadráticos p, desde

{displaystyle left(1+2^{2^{n-1}right)}equiv 2^{1+2^{n-1}{pmod {p}}}

Puesto que una potencia extraña de 2 es un modulo de residuos cuadráticos p, así es 2 en sí mismo.

Un número de Fermat no puede ser un número perfecto o parte de un par de números amistosos. (Luca 2000)

La serie de recíprocos de todos los divisores primos de los números de Fermat es convergente. (Křížek, Luca & Somer 2002)

Si nⁿ + 1 es primo, existe un entero m tal que n = 2^{2^m}. La ecuacion nⁿ + 1 = F_(2^m+m) se sostiene en ese caso.

Sea P(F_n). Entonces,

{displaystyle P(F_{n}geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}

(Grytczuk, Luca ' Wójtowicz 2001)

Relación con polígonos construibles

Número de lados de polígonos constructibles conocidos que tienen hasta 1000 lados (bold) o recuento lateral extraño (rojo)

Carl Friedrich Gauss desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae y formuló una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss afirmó que esta condición también era necesaria, pero nunca publicó una prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel:

An n-polígono regular lateral se puede construir con brújula y hendidura si y sólo si n es el producto de un poder de 2 y diferentes primos de Fermat: en otras palabras, si y sólo si n es de la forma n = 2^kp₁p₂...p_s, donde k, s son enteros no negativos y los p_i son distintos primos de Fermat.

Un entero positivo n es de la forma anterior si y solo si su totient φ(n) es una potencia de 2.

Aplicaciones de los números de Fermat

Generación de números pseudoaleatorios

Los números primos de Fermat son particularmente útiles para generar secuencias pseudoaleatorias de números en el rango 1... N, donde N es una potencia de 2. El más común El método utilizado es tomar cualquier valor semilla entre 1 y P − 1, donde P es un primo de Fermat. Ahora multiplique esto por un número A, que es mayor que la raíz cuadrada de P y es una raíz primitiva módulo P (es decir, es no un residuo cuadrático). Luego tome el resultado módulo P. El resultado es el nuevo valor para el RNG.

{displaystyle V_{j+1}=(Atimes V_{j}){bmod {P}}

(ver generador lineal congruential, RANDU)

Esto es útil en informática, ya que la mayoría de las estructuras de datos tienen miembros con 2^X valores posibles. Por ejemplo, un byte tiene 256 (2⁸) valores posibles (0–255). Por lo tanto, para llenar un byte o bytes con valores aleatorios, se puede usar un generador de números aleatorios que produzca valores de 1 a 256, tomando el byte el valor de salida −1. Los números primos de Fermat muy grandes son de particular interés en el cifrado de datos por este motivo. Este método produce solo valores pseudoaleatorios, ya que después de P − 1 repeticiones, la secuencia se repite. Un multiplicador mal elegido puede hacer que la secuencia se repita antes de P − 1.

Números de Fermat generalizados

Números de la forma ${displaystyle a^{2^{overset {fn}fn}! {}}}$ con a, b cualquier entero coprime, a ■ b Se llaman números de Fermat generalizados. Una prima extraña p es un número de Fermat generalizado si y sólo si p es congruente con 1 (mod 4). (Aquí sólo consideramos el caso n Ø 0, so 3 = ${displaystyle 2^{2^{0}!+1}$ no es un contraexample.)

Un ejemplo de un primo probable de esta forma es 1215¹³¹⁰⁷² + 242¹³¹⁰⁷² (encontrado por Kellen Shenton).

Por analogía con los números ordinarios de Fermat, es común escribir números generales de Fermat de la forma ${displaystyle a^{2^{overset {n}}fn}!$ como F_n()a). En esta notación, por ejemplo, el número 100.000,001 se escribiría como F₃(10). En lo siguiente nos limitaremos a los principios de esta forma, ${displaystyle a^{2^{overset {n}}fn}!$ , tales primos se llaman "Fermat primes base a". Por supuesto, estos principios existen sólo si a es incluso.

Si requerimos n > 0, entonces el cuarto problema de Landau pregunta si hay infinitos primos de Fermat generalizados F_n(a).

Primas de Fermat generalizadas

(feminine)

Debido a la facilidad para probar su primalidad, los números primos de Fermat generalizados se han convertido en los últimos años en un tema de investigación dentro del campo de la teoría de números. Muchos de los primos más grandes conocidos en la actualidad son primos de Fermat generalizados.

Los números generales de Fermat pueden ser primos sólo para incluso $a$ Porque si $a$ es extraño entonces cada número generalizado de Fermat será divisible por 2. El número primo más pequeño ${displaystyle F_{n}(a)}$ con ${displaystyle n título4}$ es ${displaystyle F_{5}(30)}$ , o 30³² + 1. Además, podemos definir "la mitad de los números generales de Fermat" para una base extraña, un número medio generalizado de Fermat a base a (por extraño) a) es ${fnMicroc {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn} {fn}} {fn}}}} {fnK}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}$ , y también es de esperar que habrá sólo finitamente muchos primos fermat generalizados medio para cada base impar.

(En la lista, los números de Fermat generalizados ( ${displaystyle F_{n}(a)}$ ) a un incluso $a$ son ${displaystyle a^{2^{n}!+1}$ , por extraño $a$ , ellos son ${displaystyle {frac {fn}fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}} {fn0}} {fnfnK}}}}} {fnfn}}}}}}}}}}}$ . Si $a$ es un poder perfecto con un exponente extraño (secuencia A070265 en el OEIS), entonces todo el número generalizado de Fermat puede ser factor algebraico, por lo que no pueden ser primos)

(Para el número más pequeño ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo, ver OEIS: A253242)

${displaystyle a}$	números ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo	${displaystyle a}$	números ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo	${displaystyle a}$	números ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo	${displaystyle a}$	números ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo
2	0, 1, 2, 3, 4,...	18	0,...	34	2,...	50	...
3	0, 1, 2, 4, 5, 6,...	19	1,...	35	1, 2, 6,...	51	1, 3, 6,...
4	0, 1, 2, 3,...	20	1, 2,...	36	0, 1,...	52	0,...
5	0, 1, 2,...	21	0, 2, 5,...	37	0,...	53	3,...
6	0, 1, 2,...	22	0,...	38	...	54	1, 2, 5,...
7	2,...	23	2,...	39	1, 2,...	55	...
8	(none)	24	1, 2,...	40	0, 1,...	56	1, 2,...
9	0, 1, 3, 4, 5,...	25	0, 1,...	41	4,...	57	0, 2,...
10	0, 1,...	26	1,...	42	0,...	58	0,...
11	1, 2,...	27	(none)	43	3,...	59	1,...
12	0,...	28	0, 2,...	44	4,...	60	0,...
13	0, 2, 3,...	29	1, 2, 4,...	45	0, 1,...	61	0, 1, 2,...
14	1,...	30	0, 5,...	46	0, 2, 9,...	62	...
15	1,...	31	...	47	3,...	63	...
16	0, 1, 2,...	32	(none)	48	2,...	64	(none)
17	2,...	33	0, 3,...	49	1,...	65	1, 2, 5,...

b	conocido generalizado (half) b
2	3, 5, 17, 257, 65537
3	2, 5, 41, 21523361, 926510094425921, 17168419101462562328924544641
4	5, 17, 257, 65537
5	3, 13, 313
6	7, 37, 1297
7	1201
8	(no es posible)
9	5, 41, 21523361, 926510094425921, 17168419101462562328924544641
10	11, 101
11	61, 7321
12	13
13	7, 14281, 407865361
14	197
15	113
16	17, 257, 65537
17	41761
18	19
19	181
20	401, 160001
21	11, 97241, 1023263388750334684164671319051311082339521
22	23
23	139921
24	577, 331777
25	13, 313
26	677
27	(no es posible)
28	29, 614657
29	421, 353641, 1251236840173674393761
30	31, 185302018885184100000000000000000001
31
32	(no es posible)
33	17, 703204309121
34	1336337
35	613, 750313, 330616742651687834074918381127337110499579842147487712949050636668246738736343104392290115356445313
36	37, 1297
37	19
38
39	761, 1156721
40	41, 1601
41	31879515457326527173216321
42	43
43	5844100138801
44	197352587024076973231046657
45	23, 1013
46	47, 4477457, 46⁵¹²+1 (852 dígitos: 214787904487...289480994817)
47	11905643330881
48	5308417
49	1201
50

(Consulte para obtener más información (bases pares hasta 1000), consulte también para bases impares)

(Para el más pequeño de la forma ${displaystyle F_{n}(a,b)}$ (por extraño) ${displaystyle a+b}$ ), ver también OEIS: A111635)

${displaystyle a}$	${displaystyle b}$	números ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle {frac {fn}+b^{2}{n}{gcd(a+b,2)}}(=F_{n}(a,b)}$ es primo
2	1	0, 1, 2, 3, 4,...
3	1	0, 1, 2, 4, 5, 6,...
3	2	0, 1, 2,...
4	1	0, 1, 2, 3,...
4	3	0, 2, 4,...
5	1	0, 1, 2,...
5	2	0, 1, 2,...
5	3	1, 2, 3,...
5	4	1, 2,...
6	1	0, 1, 2,...
6	5	0, 1, 3, 4,...
7	1	2,...
7	2	1, 2,...
7	3	0, 1, 8,...
7	4	0, 2,...
7	5	1, 4...
7	6	0, 2, 4,...
8	1	(none)
8	3	0, 1, 2,...
8	5	0, 1, 2,...
8	7	1, 4...
9	1	0, 1, 3, 4, 5,...
9	2	0, 2,...
9	4	0, 1,...
9	5	0, 1, 2,...
9	7	2,...
9	8	0, 2, 5,...
10	1	0, 1,...
10	3	0, 1, 3,...
10	7	0, 1, 2,...
10	9	0, 1, 2,...
11	1	1, 2,...
11	2	0, 2,...
11	3	0, 3,...
11	4	1, 2,...
11	5	1,...
11	6	0, 1, 2,...
11	7	2, 4, 5,...
11	8	0, 6,...
11	9	1, 2,...
11	10	5,...
12	1	0,...
12	5	0, 4,...
12	7	0, 1, 3,...
12	11	0,...
13	1	0, 2, 3,...
13	2	1, 3, 9,...
13	3	1, 2,...
13	4	0, 2,...
13	5	1, 2, 4,...
13	6	0, 6,...
13	7	1,...
13	8	1, 3, 4,...
13	9	0, 3,...
13	10	0, 1, 2, 4,...
13	11	2,...
13	12	1, 2, 5,...
14	1	1,...
14	3	0, 3,...
14	5	0, 2, 4, 8,...
14	9	0, 1, 8,...
14	11	1,...
14	13	2,...
15	1	1,...
15	2	0, 1,...
15	4	0, 1,...
15	7	0, 1, 2,...
15	8	0, 2, 3,...
15	11	0, 1, 2,...
15	13	1, 4...
15	14	0, 1, 2, 4,...
16	1	0, 1, 2,...
16	3	0, 2, 8,...
16	5	1, 2,...
16	7	0, 6,...
16	9	1, 3,...
16	11	2, 4...
16	13	0, 3,...
16	15	0,...

(Para la base más pequeña $a$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo, ver OEIS: A056993)

${displaystyle n}$	bases $a$ tales que ${displaystyle F_{n}(a)}$ es primo (sólo considerar $a$ )	OEIS sequence
0	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150,...	A006093
1	2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184,...	A005574
2	2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228,...	A000068
3	2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782,...	A006314
4	2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642,...	A006313
5	30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568,...	A006315
6	102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388,...	A006316
7	120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582,...	A056994
8	278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332,...	A056995
9	46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992,...	A057465
10	824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670,...	A057002
11	150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654,...	A088361
12	1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696,...	A088362
13	30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600,...	A226528
14	67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664,...	A226529
15	70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870,...	A226530
16	48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540,...	A251597
17	62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192,...	A253854
18	24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772,...	A244150
19	75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, 4896418, 5897794,...	A243959
20	919444, 1059094, 1951734, 1963736,...	A321323

La menor base b tal que b^2ⁿ + 1 es primos son

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444,... (secuencia) A056993 en el OEIS)

Los k más pequeños tales que (2n)^k + 1 son primos son

1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1,... (El próximo término es desconocido) (secuencia) A079706 en el OEIS OEIS: A228101 y OEIS: A084712)

Una teoría más elaborada se puede utilizar para predecir el número de bases para las cuales ${displaystyle F_{n}(a)}$ será mejor para fijar ${displaystyle n}$ . Se puede esperar que el número de primos de Fermat generalizados se arrastre como ${displaystyle n}$ se aumenta en 1.

Primos de Fermat generalizados más grandes conocidos

La siguiente es una lista de los 5 primos de Fermat generalizados más grandes conocidos. Todo el top-5 es descubierto por los participantes en el proyecto PrimeGrid.

Rank	Primer número	Notación de Fermat generalizada	Número de dígitos	Fecha de descubrimiento
1	1963736^1048576+ 1	F₂₀(1963736)	6,598,776	Sep 2022
2	1951734^1048576+ 1	F₂₀(1951734)	6,595,985	2022
3	1059094^1048576+ 1	F₂₀(1059094)	6,317,602	Nov 2018
4	919444^1048576+ 1	F₂₀(919444)	6,253,210	Sep 2017
5	25×2^13719266+ 1	F₁(5×2^6859633)	4.129,912	Sep 2022

En las páginas principales se pueden encontrar los 100 principales números primos de Fermat generalizados actuales.

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