Número de bobinado

Esta curva tiene el número dos alrededor del punto p.

En matemáticas, el número de vueltas o índice de vueltas de una curva cerrada en el plano alrededor de un punto dado es un número entero que representa el número total de veces que la curva se desplaza en sentido contrario a las agujas del reloj. alrededor del punto, es decir, el número de vueltas de la curva. El número de vueltas depende de la orientación de la curva y es negativo si la curva se desplaza alrededor del punto en el sentido de las agujas del reloj.

Los números de bobinado son objetos de estudio fundamentales en la topología algebraica y juegan un papel importante en el cálculo vectorial, el análisis complejo, la topología geométrica, la geometría diferencial y la física (como en la teoría de cuerdas).

Descripción intuitiva

Un objeto que viaja a lo largo de la curva roja hace dos vueltas en sentido contrario alrededor de la persona en el origen.

Supongamos que tenemos una curva cerrada y orientada en el plano xy. Podemos imaginar la curva como la trayectoria de movimiento de algún objeto, con la orientación indicando la dirección en la que se mueve el objeto. Entonces, el número de vueltas de la curva es igual al número total de vueltas en sentido antihorario que el objeto da alrededor del origen.

Al contar el número total de vueltas, el movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj cuenta como positivo, mientras que el movimiento en el sentido de las agujas del reloj cuenta como negativo. Por ejemplo, si el objeto primero rodea el origen cuatro veces en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego rodea el origen una vez en el sentido de las agujas del reloj, entonces el número total de vueltas de la curva es tres.

Usando este esquema, una curva que no se desplaza alrededor del origen tiene un número de vuelta cero, mientras que una curva que se desplaza en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen tiene un número de vuelta negativo. Por lo tanto, el número de vueltas de una curva puede ser cualquier número entero. Las siguientes imágenes muestran curvas con números de bobinado entre −2 y 3:

⋯ ⋯ {displaystyle cdots }
	−2	−1	0
				⋯ ⋯ {displaystyle cdots }
	1	2	3

Definición formal

Vamos γ γ :[0,1]→ → C∖ ∖ {}a}{displaystyle gamma:[0,1]to mathbb {C} setminus {a} ser un camino cerrado continuo en el plano menos un punto. El número de vientos γ γ {displaystyle gamma } alrededor a{displaystyle a} es el entero

viento()γ γ ,a)=s()1)− − s()0),{displaystyle {text{wind} {gammaa)=s(1)-s(0),}

Donde ()*** *** ,s){displaystyle (rhos)} es el camino escrito en coordenadas polares, es decir, el camino elevado a través del mapa de cobertura

0}times mathbb {R} to mathbb {C} setminus {a}:(rho _{0},s_{0})mapsto a+rho _{0}e^{i2pi s_{0}}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p:R■0× × R→ → C∖ ∖ {}a}:()*** *** 0,s0)↦ ↦ a+*** *** 0ei2π π s0.{displaystyle p:mathbb {R} _{ Conf0}times mathbb {R} to mathbb {C} setminus {a}:(rho _{0},s_{0})mapsto a+rho ¿Qué? - Sí.0}times mathbb {R} to mathbb {C} setminus {a}:(rho _{0},s_{0})mapsto a+rho _{0}e^{i2pi s_{0}}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2c55496d1a301394dcfb475cd67fc2d3a216d4" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:47.785ex; height:3.176ex;"/>

El número de viento está bien definido debido a la existencia y singularidad del camino levantado (dado el punto de partida en el espacio de cobertura) y porque todas las fibras de p{displaystyle p} son de la forma *** *** 0× × ()s0+Z){displaystyle rho _{0}times (s_{0}+mathbb {Z} (así que la expresión anterior no depende de la elección del punto de partida). Es un entero porque el camino está cerrado.

Definiciones alternativas

El número de devanado a menudo se define de diferentes maneras en varias partes de las matemáticas. Todas las definiciones siguientes son equivalentes a la dada anteriormente:

Numeración de Alejandro

August Ferdinand Möbius propuso una regla combinatoria simple para definir el número de bobinado en 1865 y nuevamente de forma independiente por James Waddell Alexander II en 1928. Cualquier curva divide el plano en varias regiones conectadas, una de las cuales es ilimitada. Los números de vuelta de la curva alrededor de dos puntos en la misma región son iguales. El número de vueltas alrededor (en cualquier punto) de la región ilimitada es cero. Finalmente, los números de bobinado para dos regiones adyacentes difieren exactamente en 1; la región con el mayor número de devanados aparece en el lado izquierdo de la curva (con respecto al movimiento hacia abajo de la curva).

Geometría diferencial

En geometría diferencial, se suele suponer que las ecuaciones paramétricas son diferenciables (o al menos diferenciables por partes). En este caso, la coordenada polar θ está relacionada con las coordenadas rectangulares x e y por la ecuación:

dSilencio Silencio =1r2()xdSí.− − Sí.dx)Donder2=x2+Sí.2.{displaystyle dtheta ={1}}left(x,dy-y,dxright)quad {text{where{where} }r^{2}=x^{2}+y^{2}

Que se encuentra diferenciando la siguiente definición para θ:

Silencio Silencio ()t)=arctan⁡ ⁡ ()Sí.()t)x()t)){displaystyle theta (t)=arctan {bigg (}{frac {y(t)}{x(t)}{bigg)}}} {bigg]}

Por el teorema fundamental del cálculo, el cambio total en θ es igual a la integral de dθ. Por lo tanto, podemos expresar el número de vueltas de una curva derivable como una integral de línea:

viento()γ γ ,0)=12π π ∮ ∮ γ γ ()xr2dSí.− − Sí.r2dx).{displaystyle {text{wind}} {gamma0)={frac {1}{2pi}oint _{gamma },left({frac {x}}},dy-{frac {}} {y}{r^{2}}}}}}},dxright). }

El dθ de una forma (definido en el complemento del origen) es cerrado pero no exacto, y genera el primer grupo de cohomología de De Rham del plano punteado. En particular, si ω es cualquier forma diferenciable cerrada definida en el complemento del origen, entonces la integral de ω a lo largo de bucles cerrados da un múltiplo del número de vueltas.

Análisis complejo

Los números de viento juegan un papel muy importante a lo largo del análisis complejo (c.f. la declaración del teorema de residuos). En el contexto del análisis complejo, el número de viento de una curva cerrada γ γ {displaystyle gamma } en el plano complejo se puede expresar en términos de la compleja coordinación z = x + i. Específicamente, si escribimos z=reⁱ, entonces

dz=eiSilencio Silencio dr+ireiSilencio Silencio dSilencio Silencio {displaystyle dz=e^{itheta }dr+ire {itheta }dtheta }

y por lo tanto

dzz=drr+idSilencio Silencio =d[In⁡ ⁡ r]+idSilencio Silencio .{displaystyle {frac {dz}={frac {r}}+i,dtheta =d[ln r]+i,dtheta.}

As γ γ {displaystyle gamma } es una curva cerrada, el cambio total In⁡ ⁡ ()r){displaystyle ln(r)} es cero, y por lo tanto el integral de dzz{fnMicroc {fnK}}}} es igual a i{displaystyle i} multiplicado por el cambio total en Silencio Silencio {displaystyle theta }. Por lo tanto, el número de viento del camino cerrado γ γ {displaystyle gamma } sobre el origen se da por la expresión

12π π i∮ ∮ γ γ dzz.{displaystyle {frac}{2pi} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{frac {dz} {z},}

Más generalmente, si γ γ {displaystyle gamma } es una curva cerrada parametrizada por t▪ ▪ [α α ,β β ]{displaystyle tin [alphabeta], el número de viento de γ γ {displaystyle gamma } sobre z0{displaystyle z_{0}, también conocido como índice de z0{displaystyle z_{0} con respecto a γ γ {displaystyle gamma }, se define para complejo z0∉ ∉ γ γ ()[α α ,β β ]){displaystyle z_{0}notin gamma ([alphabeta]} como

Indγ γ ()z0)=12π π i∮ ∮ γ γ dEspecificaciones Especificaciones Especificaciones Especificaciones − − z0=12π π i∫ ∫ α α β β γ γ .()t)γ γ ()t)− − z0dt.{displaystyle mathrm {Ind} _{gamma }(z_{0}={frac {1}{2pi ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{frac {dzeta }{zeta - ¿Qué? {1}{2pi ¿Qué? No.

Este es un caso especial de la famosa fórmula integral de Cauchy.

Algunas de las propiedades básicas del número de devanados en el plano complejo vienen dadas por el siguiente teorema:

Teorema. Vamos γ γ :[α α ,β β ]→ → C{displaystyle gamma:[alphabeta]to mathbb {C} ser un camino cerrado y dejar Ω Ω {displaystyle Omega } ser el complemento conjunto de la imagen de γ γ {displaystyle gamma }, es decir, Ω Ω :=C∖ ∖ γ γ ()[α α ,β β ]){displaystyle Omega:=mathbb {C} setminus gamma ([alphabeta]}. Luego el índice de z{displaystyle z} con respecto a γ γ {displaystyle gamma },

Indγ γ :Ω Ω → → C,z↦ ↦ 12π π i∮ ∮ γ γ dEspecificaciones Especificaciones Especificaciones Especificaciones − − z,{displaystyle mathrm {Ind} _{gamma }: Omega to mathbb {C} zmapsto {1}{2pi ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{zeta - ¿Qué?

is (i) integer-valued, i.e., Indγ γ ()z)▪ ▪ Z{displaystyle mathrm {Ind} _{gamma }(z)in mathbb {Z} para todos z▪ ▪ Ω Ω {displaystyle zin Omega }ii) constante sobre cada componente (es decir, subconjunto máximo conectado) Ω Ω {displaystyle Omega }; y iii) cero si z{displaystyle z} está en el componente sin límites Ω Ω {displaystyle Omega }.

Como corolario inmediato, este teorema da el número de viento de un camino circular γ γ {displaystyle gamma } acerca de un punto z{displaystyle z}. Como es de esperar, el número de vientos cuenta el número de bucles (contador) γ γ {displaystyle gamma } # z{displaystyle z}:

Corollario. Si γ γ {displaystyle gamma } es el camino definido por γ γ ()t)=a+reint,0≤ ≤ t≤ ≤ 2π π ,n▪ ▪ Z{displaystyle gamma (t)=a+re^{int}, 0leq tleq 2pi\ nin mathbb {Z}, entonces <math alttext="{displaystyle mathrm {Ind} _{gamma }(z)={begin{cases}n,&|z-a|r.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Indγ γ ()z)={}n,Silencioz− − aSilencio.r;0,Silencioz− − aSilencio■r.{displaystyle mathrm {Ind} _{gamma }(z)={begin{cases}n, habitz-a perpetuarlo;, limitándose a vivirz-a perpetuar.end{cases}}}<img alt="{displaystyle mathrm {Ind} _{gamma }(z)={begin{cases}n,&|z-a|r.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088786fc2ac83653455b23c9f496781e49b0be0a" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.65ex; height:6.176ex;"/>

Topología

En topología, el número de bobinado es un término alternativo para el grado de un mapeo continuo. En física, los números de bobinado se denominan con frecuencia números cuánticos topológicos. En ambos casos se aplica el mismo concepto.

El ejemplo anterior de una curva que serpentea alrededor de un punto tiene una simple interpretación topológica. El complemento de un punto en el plano es homotopy equivalente al círculo, tal que los mapas del círculo a sí mismos son realmente todo lo que hay que considerar. Se puede demostrar que cada uno de estos mapas se puede deformar continuamente a (es homotopic a) uno de los mapas estándar S1→ → S1:s↦ ↦ sn{displaystyle S^{1}to S^{1}:smapsto s^{n}, donde la multiplicación en el círculo se define identificando con el círculo de unidad complejo. El conjunto de clases de homotopy de mapas de un círculo a un espacio topológico forman un grupo, que se llama el primer grupo homotopy o grupo fundamental de ese espacio. El grupo fundamental del círculo es el grupo de los enteros, Z; y el número de viento de una curva compleja es sólo su clase de homotopy.

Los mapas de la 3 esfera a sí misma también se clasifican por un número entero que también se denomina número de devanado o, a veces, índice de Pontryagin.

Número de giro

Esta curva tiene curvatura total 6π, Número de giro 3, aunque sólo tiene Número de viento 2 sobre 2 p.

También se puede considerar el número de vueltas del camino con respecto a la tangente del camino mismo. Como trayectoria seguida en el tiempo, este sería el número de vueltas con respecto al origen del vector velocidad. En este caso, el ejemplo ilustrado al principio de este artículo tiene un número de bobinado de 3, porque el bucle pequeño está contado.

Esto solo se define para rutas inmersas (es decir, para rutas diferenciables sin derivadas que desaparecen en ninguna parte) y es el grado del mapa tangencial de Gauss.

Esto se denomina número de giro, número de rotación, índice de rotación o índice de la curva, y se puede calcular como la curvatura total dividida por 2π.

Polígonos

En los polígonos, el número de giro se denomina densidad del polígono. Para polígonos convexos y, más generalmente, polígonos simples (que no se cortan a sí mismos), la densidad es 1, según el teorema de la curva de Jordan. Por el contrario, para un polígono de estrella regular {p/q}, la densidad es q.

Curvas espaciales

El número de giro no puede definirse para curvas espaciales, ya que el grado requiere dimensiones iguales. Sin embargo, para convexa local, curvas de espacio cerrado, se puede definir signo giratorio tangente como ()− − 1)d{displaystyle (-1)^{d}, donde d{displaystyle d} es el número de vuelta de la proyección estereográfica de su indicatriz tangente. Sus dos valores corresponden a las dos clases de homotopia no degeneradas de curvas localmente convexas.

Número de devanado y ecuaciones ferromagnéticas de Heisenberg

El número de devanado está estrechamente relacionado con las ecuaciones ferromagnéticas de Heisenberg continuas de (2 + 1) dimensiones y sus extensiones integrables: la ecuación de Ishimori, etc. Las soluciones de las últimas ecuaciones se clasifican por el número de devanado o carga topológica (invariante topológica y /o número cuántico topológico).

Aplicaciones

Visualización del algoritmo de número de viento de Dan Sunday. Un número de viento de 0 significa que el punto está fuera del polígono; otros valores indican que el punto está dentro del polígono

Punto en polígono

El número de vueltas de un punto con respecto a un polígono se puede usar para resolver el problema de punto en polígono (PIP), es decir, se puede usar para determinar si el punto está dentro del polígono o no.

En general, el algoritmo de emisión de rayos es una mejor alternativa al problema PIP, ya que no requiere funciones trigonométricas, al contrario que el algoritmo del número de devanado. Sin embargo, el algoritmo del número de bobinado se puede acelerar para que tampoco requiera cálculos que involucren funciones trigonométricas. La versión acelerada del algoritmo, también conocida como algoritmo de Sunday, es recomendable en los casos en los que también se deben tener en cuenta los polígonos no simples.