Número de beth

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Infinito Cardenal número

En las matemáticas, particularmente en la teoría de conjunto, números de Beth son una cierta secuencia de números cardinales infinitos (también conocidos como números transfinitos), convencionalmente escritos $beth _{0}, beth _{1}, beth _{2}, beth _{3}, dots$ , donde $beth$ es la segunda carta hebrea (Beth). Los números de la Beth están relacionados con los números de aleph ( ${displaystyle aleph _{0}, aleph _{1}, dots }$ ), pero a menos que la hipótesis continuum generalizada es verdad, hay números indexados por $aleph$ que no están indexados por $beth$ .

Definición

Los números de Beth se definen mediante recursividad transfinita:

${displaystyle beth _{0}=aleph _{0},}$
$beth _{alpha +1}=2^{beth _{alpha }},$
$<math alttext="{displaystyle beth _{lambda }=sup{beth _{alpha }:alpha .. λ λ =Sup{}.. α α :α α .λ λ },{displaystyle beth _{lambda }=sup{beth _{alpha }:alpha se hizolambda },}<img alt="{displaystyle beth _{lambda }=sup{beth _{alpha }:alpha$

Donde $alpha$ es un ordinal y $lambda$ es un ordinal límite.

El cardenal $beth _{0}=aleph _{0}$ es la cardinalidad de cualquier conjunto contablemente infinito como el conjunto $mathbb {N}$ de números naturales, de modo que ${displaystyle beth _{0}=|mathbb {N} |}$ .

Vamos $alpha$ ser un ordinal, y $A_alpha$ ser un conjunto con la cardenalidad ${displaystyle beth _{alpha }=|A_{alpha }|}$ . Entonces,

${displaystyle {mathcal {P}}(A_{alpha })}$ denota el conjunto de poder $A_alpha$ (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de $A_alpha$ ),
el conjunto ${displaystyle 2^{A_{alpha }}subset {mathcal {P}}(A_{alpha }times 2)}$ denota el conjunto de todas las funciones de $A_alpha$ a {0,1},
el cardenal ${displaystyle 2^{beth _{alpha }}}$ es el resultado de la exponencia cardenal, y
${displaystyle beth _{alpha +1}=2^{beth _{alpha }}=|2^{A_{alpha }}|=|{mathcal {P}}(A_{alpha })|}$ es la cardinalidad del conjunto de poder $A_alpha$ .

Dada esta definición,

beth _{0}, beth _{1}, beth _{2}, beth _{3}, dots

son respectivamente las cardinalidades de

{displaystyle mathbb {N} {mathcal {P}}(mathbb {N}), {mathcal {P}}({mathcal {P}}(mathbb {N})), {mathcal {P}}({mathcal {P}}({mathcal {P}}(mathbb {N}))), dots.}

así que el segundo número de la Beth $beth _{1}$ es igual a ${mathfrak {c}}$ , la cardenalidad del continuum (la cardinalidad del conjunto de los números reales), y el tercer número de la Beth $beth _{2}$ es la cardinalidad del conjunto de poder del continuum.

Debido al teorema de Cantor, cada conjunto de la secuencia anterior tiene una cardinalidad estrictamente mayor que el que le precede. Para ordinales límite infinitos, λ, el número beth correspondiente se define como el supremo de los números beth para todos los ordinales estrictamente menores que λ:

<math alttext="{displaystyle beth _{lambda }=sup{beth _{alpha }:alpha .. λ λ =Sup{}.. α α :α α .λ λ }.{displaystyle beth _{lambda }=sup{beth _{alpha }alpha - No.<img alt="beth _{lambda }=sup{beth _{alpha }:alpha

Uno también puede demostrar que los universos von Neumann ${displaystyle V_{omega +alpha }}$ tienen cardenalidad ${displaystyle beth _{alpha }}$ .

Relación con los números aleph

Asumiendo el axioma de la elección, las cardenalidades infinitas se ordenan linealmente; no dos cardenalidades pueden dejar de ser comparables. Así pues, ya que por definición no hay cardenalidades infinitas entre $aleph _{0}$ y $aleph _{1}$ , sigue que

beth _{1}geq aleph _{1}.

Repetir este argumento (ver inducción transfinita) rendimientos $beth _{alpha }geq aleph _{alpha }$ para todos los ordinal $alpha$ .

La hipótesis del continuo es equivalente a

beth _{1}=aleph _{1}.

La hipótesis continuum generalizada dice que la secuencia de los números de la litera así definida es la misma que la secuencia de números aleph, es decir, $beth _{alpha }=aleph _{alpha }$ para todos los ordinal $alpha$ .

Cardenales específicos

Beth nula

Puesto que esto se define $aleph _{0}$ , o aleph null, se establece con cardenalidad $beth _{0}$ incluir:

los números naturales N
los números racionales Q
los números algebraicos
los números computables y conjuntos computables
el conjunto de conjuntos finitos de enteros
el conjunto de multisets finitos de enteros
el conjunto de secuencias finitas de enteros

Beth uno

Conjuntos con cardenalidad $beth _{1}$ incluir:

los números trascendental
los números irracionales
los números reales R
los números complejos C
los números reales incomputables
Espacio euclidiano Rⁿ
el conjunto de potencia de los números naturales (el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales)
el conjunto de secuencias de enteros (es decir, todas las funciones N → Z, a menudo denotado Z^N)
el conjunto de secuencias de números reales, R^N
el conjunto de todas las funciones analíticas reales de R a R
el conjunto de todas las funciones continuas de R a R
el conjunto de subconjuntos finitos de números reales
el conjunto de todas las funciones analíticas de C a C (las funciones holomorfas)

Beth dos

$beth _{2}$ (pronunciado dos) también se conoce como 2^c (pronunciado dos al poder de c).

Conjuntos con cardenalidad $beth _{2}$ incluir:

El conjunto de potencia del conjunto de números reales, por lo que es el número de subconjuntos de la línea real, o el número de conjuntos de números reales
El conjunto de poder del conjunto de números naturales
El conjunto de todas las funciones de R a R ()R^R)
El conjunto de todas las funciones de R^m a Rⁿ
El conjunto de potencia del conjunto de todas las funciones del conjunto de números naturales a sí mismo, por lo que es el número de conjuntos de secuencias de números naturales
Las compactaciones Stone-Čech de R, Q, y N
El conjunto de fractales deterministas en Rⁿ
El conjunto de fractales aleatorios en Rⁿ

Beth omega

$beth _{omega }$ (pronunciado beth omega) es el cardenal límite fuerte más pequeño incontable.

Generalización

El símbolo más general $beth _{alpha }(kappa)$ , para ordinals α y cardenales κ, se utiliza ocasionalmente. Se define por:

beth _{0}(kappa)=kappa

{displaystyle beth _{alpha +1}(kappa)=2^{beth _{alpha }(kappa)},}

<math alttext="{displaystyle beth _{lambda }(kappa)=sup{beth _{alpha }(kappa):alpha .. λ λ ()κ κ )=Sup{}.. α α ()κ κ ):α α .λ λ }{displaystyle beth _{lambda }(kappa)=sup{beth _{alpha }(kappa):alpha יlambda}}<img alt="{displaystyle beth _{lambda }(kappa)=sup{beth _{alpha }(kappa):alpha

si λ es un ordinal límite.

Así que

{displaystyle beth _{alpha }=beth _{alpha }(aleph _{0}).}

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), para cualesquiera cardinales κ y μ, existe un ordinal α tal que:

{displaystyle kappa leq beth _{alpha }(mu).}

Y en ZF, para cualquier cardinal κ y ordinales α y β:

{displaystyle beth _{beta }(beth _{alpha }(kappa))=beth _{alpha +beta }(kappa).}

En consecuencia, en ZF faltan elementos ur con o sin el axioma de elección, para cualquier cardinal κ y μ, la igualdad

{displaystyle beth _{beta }(kappa)=beth _{beta }(mu)}

se cumple para todos los ordinales suficientemente grandes β. Es decir, existe un ordinal α tal que la igualdad se cumple para cada ordinal β ≥ α.

Esto también es válido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elementos ur (con o sin el axioma de elección), siempre que los elementos ur formen un conjunto que sea equinumero con un conjunto puro (un conjunto cuya clausura transitiva no contiene elementos ur). Si se cumple el axioma de elección, entonces cualquier conjunto de elementos ur es equinumero con un conjunto puro.

Determinación de Borel

La determinación de Borel está implícita en la existencia de todos los niveles de índice contable.

Contenido relacionado

Más resultados...