Número de Bernoulli

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secuencia de número racional

Números de Bernoulli $B \pm n$
$n$	fracción	decimal
0	1	+1.000000000
1	±1/2	±0.500000000
2	1/6	+0.166666666
3	0	+0.000000
4	−1/30	0.0−33333333
5	0	+0.000000
6	1/42	+0.023809523
7	0	+0.000000
8	−1/30	0.0−33333333
9	0	+0.000000
10	5/66	+0.075757575
11	0	+0.000000
12	−691/2730	−0,253113553
13	0	+0.000000
14	7/6	+1.166666666
15	0	+0.000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0.000000
20	−174611/330	−5−29.1242424

En matemáticas, los números de Bernoulli $B n$ son una secuencia de números racionales que ocurren con frecuencia en el análisis. Los números de Bernoulli aparecen en (y pueden ser definidos por) las expansiones de la serie de Taylor de las funciones tangente e hiperbólica, en la fórmula de Faulhaber para la suma de las m-ésimas potencias de la primera n enteros positivos, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en expresiones para ciertos valores de la función zeta de Riemann.

Los valores de los primeros 20 números de Bernoulli se dan en la tabla adyacente. Dos convenios se utilizan en la literatura, denotado aquí por ${displaystyle B_{n}^{-{}}}$ y ${displaystyle B_{n}^{+{}}}$ ; difieren sólo para $n = 1$ , donde ${displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$ y ${displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ . Por cada extraño $n ■ 1$ , $B n = 0$ . Por todos $n ■ 0$ , $B n$ es negativo si $n$ es divisible por 4 y positivo lo contrario. Los números Bernoulli son valores especiales de los polinomios Bernoulli $B_{n}(x)$ , con ${displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$ y ${displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$ .

Los números de Bernoulli fueron descubiertos casi al mismo tiempo por el matemático suizo Jacob Bernoulli, de quien reciben su nombre, y de forma independiente por el matemático japonés Seki Takakazu. El descubrimiento de Seki se publicó póstumamente en 1712 en su obra Katsuyō Sanpō; El de Bernoulli, también póstumamente, en su Ars Conjectandi de 1713. La nota G de Ada Lovelace sobre el motor analítico de 1842 describe un algoritmo para generar números de Bernoulli con el de Babbage máquina. Como resultado, los números de Bernoulli tienen la distinción de ser el tema del primer programa informático complejo publicado.

Notación

El superíndice $\pm$ que se usa en este artículo distingue las dos convenciones de signos para los números de Bernoulli. Solo se ve afectado el término $n = 1$ :

$B - n$ con $B - 1 = 1 / 2$ ()OEIS: A027641 / OEIS: A027642) es la convención de firmas prescrita por NIST y los libros de texto más modernos.
$B + n$ con $B + 1 = + 1 / 2$ ()OEIS: A164555 / OEIS: A027642) fue utilizado en la literatura antigua, y (desde 2022) por Donald Knuth siguiendo el "Manifiesto de Bernoulli" de Peter Luschny.

En las fórmulas siguientes, se puede cambiar de una convención de firmas al otro con la relación ${displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$ , o para entero $n$ = 2 o más, simplemente ignorarlo.

Dado que $B n = 0$ para todos los $n > 1$ , y muchas fórmulas solo involucran números de Bernoulli de índice par, algunos autores escriben " $B n$ " en lugar de $B 2 n$ . Este artículo no sigue esa notación.

Historia

Historia temprana

Los números de Bernoulli tienen su origen en la historia temprana del cálculo de sumas de potencias enteras, que han sido de interés para los matemáticos desde la antigüedad.

Una página de Seki Takakazu Katsuyō Sanpō (1712), coeficientes binomiales tabulares y números Bernoulli

Métodos para calcular la suma de los primeros $n$ enteros positivos, la suma de los cuadrados y de los cubos de los primeros Se conocían $n$ enteros positivos, pero no había 'fórmulas' reales, solo descripciones dadas completamente en palabras. Entre los grandes matemáticos de la antigüedad que consideraron este problema se encuentran Pitágoras (c. 572–497 a. C., Grecia), Arquímedes (287–212 a. C., Italia), Aryabhata (n. 476, India), Abu Bakr al-Karaji (m. 1019, Persia) y Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965–1039, Irak).

Durante finales del siglo XVI y principios del XVII, los matemáticos lograron avances significativos. En el oeste, Thomas Harriot (1560–1621) de Inglaterra, Johann Faulhaber (1580–1635) de Alemania, Pierre de Fermat (1601–1665) y su colega matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) desempeñaron papeles importantes.

Thomas Harriot parece haber sido el primero en derivar y escribir fórmulas para sumas de potencias usando notación simbólica, pero incluso él calculó solo hasta la suma de las cuartas potencias. Johann Faulhaber dio fórmulas para sumas de potencias hasta la potencia 17 en su Academia Algebrae de 1631, mucho más altas que nadie antes que él, pero no dio una fórmula general.

Blaise Pascal en 1654 probó la identidad de Pascal relacionando las sumas de las $p$ ésimas potencias de la primera $n$ enteros positivos para $p = 0, 1, 2,..., k$ .

El matemático suizo Jakob Bernoulli (1654–1705) fue el primero en darse cuenta de la existencia de una sola secuencia de constantes $B 0, B 1, B 2,...$ que proporcionan una fórmula uniforme para todas las sumas de poderes

La alegría que experimentó Bernoulli cuando dio con el patrón necesario para calcular rápida y fácilmente los coeficientes de su fórmula para la suma de $c$ ésima potencia para cualquier número entero positivo $c$ se puede ver en su comentario. El escribio:

"Con la ayuda de esta tabla, me llevó menos de la mitad de una hora para encontrar que los diez poderes de los primeros 1000 números que se agregan juntos darán la suma 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500."

El resultado de Bernoulli se publicó póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubrió de forma independiente los números de Bernoulli y su resultado se publicó un año antes, también póstumamente, en 1712. Sin embargo, Seki no presentó su método como una fórmula basada en una secuencia de constantes.

La fórmula de Bernoulli para las sumas de potencias es la formulación más útil y generalizable hasta la fecha. Los coeficientes en la fórmula de Bernoulli ahora se llaman números de Bernoulli, siguiendo una sugerencia de Abraham de Moivre.

La fórmula de Bernoulli a veces se denomina fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, quien encontró formas extraordinarias de calcular la suma de potencias, pero nunca declaró la fórmula de Bernoulli. Según Knuth, Carl Jacobi publicó por primera vez una prueba rigurosa de la fórmula de Faulhaber en 1834. El estudio en profundidad de Knuth sobre la fórmula de Faulhaber concluye (la notación no estándar en el LHS se explica más adelante).):

"Faulhaber nunca descubrió los números de Bernoulli; es decir, nunca se dio cuenta de que una única secuencia de constantes

B 0, B 1, B 2,

... proporcionaría un uniforme

{displaystyle quad sum n^{m}={frac {1}{m+1}}left(B_{0}n^{m+1}+{binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+cdots +{binom {m+1}{m}}B_{m}nright)}

{displaystyle quad sum n^{m}={frac {1}{m+1}}left(B_{0}n^{m+1}-{binom {m+1}{1}}B_{1}^{-{}}n^{m}+{binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-cdots +(-1)^{m}{binom {m+1}{m}}B_{m}nright)}

por todas las sumas de poderes. Nunca mencionó, por ejemplo, el hecho de que casi la mitad de los coeficientes resultó ser cero después de haber convertido sus fórmulas para

. n m

de polinomios en $N$ a los polinomios en $n$ ."

Reconstrucción de "Summae Potestatum"

Jakob Bernoulli "Summae Potestatum", 1713

${displaystyle }$

Los números de Bernoulli OEIS: A164555(n)/OEIS: A027642(n) fueron presentados por Jakob Bernoulli en el libro Ars Conjectandi publicado póstumamente en 1713 página 97. La fórmula principal se puede ver en la segunda mitad del facsímil correspondiente. Los coeficientes constantes denotan $A$ , $B$ , $C$ y $D$ de Bernoulli se asignan a la notación que ahora prevalece como A = B₂, B = B₄, $C = B 6$ , $D = B 8$ . La expresión $c \cdot c -1\cdot c -2\cdot c - 3$ significa $c \cdot(c -1)\cdot(c -2)\cdot(c -3)$ : los puntos pequeños se utilizan como símbolos de agrupación. Usando la terminología actual, estas expresiones son potencias factoriales descendentes $c k$ . La notación factorial $k!$ como abreviatura de $1 \times 2 \times... \times k$ no se introdujo hasta 100 años después. El símbolo integral en el lado izquierdo se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675, quien lo usó como una letra larga $S$ para "summa&# 34; (suma). La letra $n$ en el lado izquierdo no es un índice de suma pero da el límite superior del rango de suma que debe entenderse como 1, 2,..., n. Poniendo las cosas juntas, para $c$ positivos, hoy en día es probable que un matemático escriba la fórmula de Bernoulli como:

{displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{c}={frac {n^{c+1}}{c+1}}+{frac {1}{2}}n^{c}+sum _{k=2}^{c}{frac {B_{k}}{k!}}c^{underline {k-1}}n^{c-k+1}.}

Esta fórmula sugiere configurar $B 1 = 1 / 2$ al cambiar de modo -llamado 'arcaico' enumeración que usa solo los índices pares 2, 4, 6... a la forma moderna (más sobre diferentes convenciones en el siguiente párrafo). Lo más llamativo en este contexto es el hecho de que el factorial descendente $c k -1$ tiene para $k = 0$ el valor $1 / c + 1$ . Por lo tanto, la fórmula de Bernoulli se puede escribir

{displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{c}=sum _{k=0}^{c}{frac {B_{k}}{k!}}c^{underline {k-1}}n^{c-k+1}}

si $B 1 = 1/2$ , recuperando el valor que Bernoulli le dio al coeficiente en esa posición.

La fórmula para ${displaystyle textstyle sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ in the first half of the quote by Bernoulli above contains an error at the last term; it should be ${displaystyle -{tfrac {3}{20}}n^{2}}$ en lugar de ${displaystyle -{tfrac {1}{12}}n^{2}}$ .

Definiciones

Se han encontrado muchas caracterizaciones de los números de Bernoulli en los últimos 300 años, y cada una podría usarse para presentar estos números. Aquí solo se mencionan tres de los más útiles:

una ecuación recursiva,
una fórmula explícita,
una función generadora.

Para la prueba de la equivalencia de los tres enfoques.

Definición recursiva

Los números de Bernoulli obedecen a fórmulas de suma

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=delta _{m,0}\sum _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1end{aligned}}}

Donde ${displaystyle m=0,1,2...}$ y $δ$ denota el Kronecker delta. Solving for ${displaystyle B_{m}^{mp {}}}$ da las fórmulas recursivas

{displaystyle {begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=delta _{m,0}-sum _{k=0}^{m-1}{binom {m}{k}}{frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\B_{m}^{+}&=1-sum _{k=0}^{m-1}{binom {m}{k}}{frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.end{aligned}}}

Definición explícita

En 1893 Louis Saalschütz enumera un total de 38 fórmulas explícitas para los números Bernoulli, generalmente dando alguna referencia en la literatura antigua. Uno de ellos es (porque $mgeq 1$ ):

{displaystyle {begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=sum _{k=0}^{m}sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{binom {k}{v}}{frac {v^{m}}{k+1}}\B_{m}^{+}&=sum _{k=0}^{m}sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{binom {k}{v}}{frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.end{aligned}}}

Función generadora

Las funciones generadoras exponenciales son

{displaystyle {begin{alignedat}{3}{frac {t}{e^{t}-1}}&={frac {t}{2}}left(operatorname {coth} {frac {t}{2}}-1right)&&=sum _{m=0}^{infty }{frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\{frac {t}{1-e^{-t}}}&={frac {t}{2}}left(operatorname {coth} {frac {t}{2}}+1right)&&=sum _{m=0}^{infty }{frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.end{alignedat}}}

donde la sustitución es ${displaystyle tto -t}$ .

La función generadora (ordinaria)

{displaystyle z^{-1}psi _{1}(z^{-1})=sum _{m=0}^{infty }B_{m}^{+}z^{m}}

es una serie asintótica. Contiene la función trigamma $ψ 1$ .

Números de Bernoulli y la función zeta de Riemann

Los números de Bernoulli dados por la función Riemann zeta.

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann:

B + n = n (1 - n)

para

n \geq 1

Aquí el argumento de la función zeta es 0 o negativo.

Por medio de la ecuación funcional zeta y la fórmula de reflexión gamma se puede obtener la siguiente relación:

{displaystyle B_{2n}={frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2pi)^{2n}}}zeta (2n)quad }

para

n \geq 1

Ahora el argumento de la función zeta es positivo.

Entonces se sigue de $ζ \to 1$ ( $n \to \infty$ ) y la fórmula de Stirling que

{displaystyle |B_{2n}|sim 4{sqrt {pi n}}left({frac {n}{pi e}}right)^{2n}quad }

para

n \to

Cálculo eficiente de los números de Bernoulli

En algunas aplicaciones, es útil poder calcular los números de Bernoulli $B 0$ a $B p - 3$ módulo $p$ , donde $p$ es un primo; por ejemplo, para probar si la conjetura de Vandiver se cumple para $p$ , o incluso para determinar si $p$ es una prima irregular. No es factible realizar dicho cálculo utilizando las fórmulas recursivas anteriores, ya que al menos (un múltiplo constante de) $p 2$ se requerirían operaciones aritméticas. Afortunadamente, se han desarrollado métodos más rápidos que solo requieren $O (p (log p) 2)$ operaciones (ver notación O grande).

David Harvey describe un algoritmo para calcular los números de Bernoulli calculando $B n$ módulo $p$ para muchos primos pequeños $p$ , y luego reconstruir $B n$ a través del teorema del resto chino. Harvey escribe que la complejidad de tiempo asintótica de este algoritmo es $O (n 2 log(n) 2 + ε)$ y afirma que esta implementación es significativamente más rápida que las implementaciones basadas en otros métodos. Con esta implementación, Harvey calculó $B n$ para $n = 10 8$ . La implementación de Harvey se ha incluido en SageMath desde la versión 3.1. Antes de eso, Bernd Kellner calculó $B n$ con total precisión para $n = 10 6$ en diciembre de 2002 y Oleksandr Pavlyk para $n = 10 7$ con Mathematica en abril de 2008.

Computadora	Año	n	Digits*
J. Bernoulli	~1689	10	1
L. Euler	1748	30	8
J. C. Adams	1878	62	36
D. E. Knuth, T. J. Buckholtz	1967	1672	3330
G. Fee, S. Plouffe	1996	10000	27677
G. Fee, S. Plouffe	1996	100000	376755
B. C. Kellner	2002	1000000	4767529
O. Pavlyk	2008	10000000	57675260
D. Harvey	2008	100000000	676752569

* Digits es para ser entendido como el exponente de 10 cuando

B n

está escrito como un número real de notación científica normalizada.

Un posible algoritmo para calcular los números de Bernoulli en el lenguaje de programación Julia viene dado por

b = Array{}Float64.undef, n+1)b[1] = 1b[2] = -0.5para m=2:n para k=0:m para v=0:k b[m+1] += ()-1)^v * binomial()k,v) * v^()m) / ()k+1) final finalfinalretorno b

Aplicaciones de los números de Bernoulli

Análisis asintótico

Posiblemente, la aplicación más importante de los números de Bernoulli en matemáticas es su uso en la fórmula de Euler-Maclaurin. Suponiendo que $f$ es una función diferenciable con suficiente frecuencia, la fórmula de Euler-Maclaurin se puede escribir como

{displaystyle sum _{k=a}^{b-1}f(k)=int _{a}^{b}f(x),dx+sum _{k=1}^{m}{frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}

Esta formulación asume la convención $B - 1 = - 1 / 2 . Usando la convención B + 1 = + 1 / 2 la fórmula se convierte$

{displaystyle sum _{k=a+1}^{b}f(k)=int _{a}^{b}f(x),dx+sum _{k=1}^{m}{frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}

Aquí. ${displaystyle f^{(0)}=f}$ (es decir, el derivado de cero-orden de $f$ es sólo $f$ ). Además, ${displaystyle f^{(-1)}}$ denota un antiderivado $f$ . Por el teorema fundamental del cálculo,

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}

Por lo tanto, la última fórmula se puede simplificar aún más a la siguiente forma sucinta de la fórmula de Euler-Maclaurin

{displaystyle sum _{k=a}^{b}f(k)=sum _{k=0}^{m}{frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}

Esta forma es, por ejemplo, la fuente de la importante expansión de Euler-Maclaurin de la función zeta

{displaystyle {begin{aligned}zeta (s)&=sum _{k=0}^{m}{frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{overline {k-1}}+R(s,m)\&={frac {B_{0}}{0!}}s^{overline {-1}}+{frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{overline {0}}+{frac {B_{2}}{2!}}s^{overline {1}}+cdots +R(s,m)\&={frac {1}{s-1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{12}}s+cdots +R(s,m).end{aligned}}}

Aquí $s k$ denota la potencia factorial ascendente.

Los números de Bernoulli también se usan con frecuencia en otros tipos de expansiones asintóticas. El siguiente ejemplo es la expansión asintótica clásica de tipo Poincaré de la función digamma $ψ$ .

{displaystyle psi (z)sim ln z-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}

Suma de potencias

Los números de Bernoulli ocupan un lugar destacado en la expresión de forma cerrada de la suma de las $m$ ésimas potencias de la primera $n$ enteros positivos. Para $m, n \geq 0$ definir

{displaystyle S_{m}(n)=sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+cdots +n^{m}.}

Esta expresión siempre se puede reescribir como un polinomio en $n$ de grado $m + 1. Los coeficientes de estos polinomios están relacionados con los números de Bernoulli mediante la fórmula de Bernoulli :$

{displaystyle S_{m}(n)={frac {1}{m+1}}sum _{k=0}^{m}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!sum _{k=0}^{m}{frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}

donde $(m + 1 k)$ denota el coeficiente binomial.

Por ejemplo, tomar $m$ como 1 da los números triangulares $0, 1, 3, 6,...$ OEIS: A000217.

{displaystyle 1+2+cdots +n={frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}

Tomando $m$ como 2 da los números piramidales cuadrados $0, 1, 5, 14,...$ OEIS: A000330.

{displaystyle 1^{2}+2^{2}+cdots +n^{2}={frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={tfrac {1}{3}}left(n^{3}+{tfrac {3}{2}}n^{2}+{tfrac {1}{2}}nright).}

Algunos autores usan la convención alternativa para los números de Bernoulli y expresan la fórmula de Bernoulli de esta manera:

{displaystyle S_{m}(n)={frac {1}{m+1}}sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}

La fórmula de Bernoulli a veces se denomina fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, quien también encontró formas notables de calcular sumas de potencias.

V. Guo y J. Zeng generalizaron la fórmula de Faulhaber a un análogo q.

Serie Taylor

Los números de Bernoulli aparecen en la expansión de la serie de Taylor de muchas funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas.

Tangent: $<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}};x^{2n-1},&left|xright|&#⁡ ⁡ x=.. n=1JUEGO JUEGO ()− − 1)n− − 122n()22n− − 1)B2n()2n)!x2n− − 1,SilencioxSilencio.π π 2{displaystyle {begin{aligned}tan xiéndose=sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n-1}2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{2n}{2n}}}};x^{2n-1}, infravalorleft{xderechacc}}}} {ccccccccccccccc] } {2}\end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}};x^{2n-1},&left|xright|&$

Cotangent: $<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}cot x&{}={frac {1}{x}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&qquad 0<|x|cot⁡ ⁡ x=1x.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)nB2n()2x)2n()2n)!,0.SilencioxSilencio.π π .{displaystyle {begin{aligned}cot x recíproca{}={frac {1}{x}sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}(2x)^{2n}{2n}{2n}}}}}}}} {qendquad 0 {c}{c}c}c} {c}c}}}cc}cccccccccccccccccn}cn}ccccccccccn}cn}cn}cn}cn}cn}ccn}ccccn}cccn}cn}cccccncccccn}ccn<img alt="{displaystyle {begin{aligned}cot x&{}={frac {1}{x}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&qquad 0<|x|$

Tangente hiperbólico: $<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}};x^{2n-1},&|x|&Tanh⁡ ⁡ x=.. n=1JUEGO JUEGO 22n()22n− − 1)B2n()2n)!x2n− − 1,SilencioxSilencio.π π 2.{displaystyle {begin{aligned}tanh x sensible=sum _{n=1}{infty }{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{(2n)}};x^{2n-1}, convictx estarían castigados {frac {pic {pic} } {2}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}};x^{2n-1},&|x|&$

Cotangente hiperbólico: $<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}coth x&{}={frac {1}{x}}sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&qquad qquad 0<|x|Coth⁡ ⁡ x=1x.. n=0JUEGO JUEGO B2n()2x)2n()2n)!,0.SilencioxSilencio.π π .{displaystyle {begin{aligned}coth xiéndose{}={frac {1}{x}sum _{n=0}{infty }{frac {B_{2n}(2x)}{2n}{(2n}}}}}}}}}}}}}}}}} {qquadqquadqquad} {qqqquad} {qqqqquad} {qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)} {} {} {} {} {} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}}}} {c} {c} {c} {c} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 0 fue intimidado<img alt="{displaystyle {begin{aligned}coth x&{}={frac {1}{x}}sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&qquad qquad 0<|x|$

Serie Laurent

Los números de Bernoulli aparecen en la siguiente serie de Laurent:

Función Digamma: ${displaystyle psi (z)=ln z-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

Uso en topología

La fórmula de Kervaire-Milnor para el orden del grupo cíclico de clases de difeomorfismo de esferas exóticas (4n − 1) que unen variedades paralelizables implica números de Bernoulli. Sea $ES n$ el número de esferas tan exóticas para $n \geq 2$ , entonces

{displaystyle {textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})operatorname {Numerator} left({frac {B_{4n}}{4n}}right).}

El teorema de la firma de Hirzebruch para el género L de una variedad cerrada orientada suave de dimensión 4n también involucra números de Bernoulli.

Conexiones con números combinatorios

La conexión del número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios se basa en la teoría clásica de las diferencias finitas y en la interpretación combinatoria de los números de Bernoulli como ejemplo de un principio combinatorio fundamental, el principio de inclusión-exclusión.

Conexión con los números de Worpitzky

La definición a seguir fue desarrollada por Julius Worpitzky en 1883. Además de la aritmética elemental, solo la función factorial $n!$ y la función de potencia $k m$ . Los números de Worpitzky sin signo se definen como

{displaystyle W_{n,k}=sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{frac {k!}{v!(k-v)!}}.}

También se pueden expresar a través de los números de Stirling de segunda clase

W_{n,k}=k! left{ {n+1atop k+1} right}.

Luego se introduce un número de Bernoulli como una suma de inclusión-exclusión de los números de Worpitzky ponderados por la secuencia armónica 1, 1/2, 1/3,...

{displaystyle B_{n}=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{frac {W_{n,k}}{k+1}} = sum _{k=0}^{n}{frac {1}{k+1}}sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k choose v}.}

B 0 = 1

B 1 = 1 - 1 / 2

B 2 = 1 - 3 / 2 + 2 / 3

B 3 = 1 - 7 / 2 + 12 / 3 - 6 / 4

B 4 = 1 - 15 / 2 + 50 / 3 - 60 / 4 + 24 / 5

B 5 = 1 - 31 / 2 + 180 / 3 - 390 / 4 + 360 / 5 - 120 / 6

B 6 = 1 - 63 / 2 + 602 / 3 - 2100 / 4 + 3360 / 5 - 2520 / 6 + 720 / 7

Esta representación tiene $B + 1 = + 1 / 2$ .

Considere la secuencia $s n$ , $n \geq 0$ . De los números de Worpitzky OEIS: A028246, OEIS: A163626 aplicado a $s 0, s 0, s 1, s 0, s 1, s 2, s 0, s 1, s 2, s 3,...$ es idéntica a la transformada Akiyama–Tanigawa aplicada a $s n$ (ver Conexión con los números de Stirling del primer tipo). Esto se puede ver a través de la tabla:

Identidad de
La representación de Worpitzky y Akiyama-Tanigawa transforman
1					0	1				0	0	1			0	0	0	1		0	0	0	0	1
1	−1				0	2	−2			0	0	3	−3		0	0	0	4	−4
1	−3	2			0	4	−10	6		0	0	9	,21 - 21	12
1	−7	12	−6		0	8	,38 - 38	54	−24−
1	−15	50	,60 - 60	24

La primera fila representa $s 0, s 1, s 2, s 3, s 4 .$

Por lo tanto, para el segundo número fraccionario de Euler OEIS: A198631 ( $n$ ) / OEIS: A006519 ( $n + 1$ ):

E 0 = 1

E 1 = 1 - 1 / 2

E 2 = 1 - 3 / 2 + 2 / 4

E 3 = 1 - 7 / 2 + 12 / 4 - 6 / 8

E 4 = 1 - 15 / 2 + 50 / 4 - 60 / 8 + 24 / 16

E 5 = 1 - 31 / 2 + 180 / 4 - 390 / 8 + 360 / 16 - 120 / 32

E 6 = 1 - 63 / 2 + 602 / 4 - 2100 / 8 + 3360 / 16 - 2520 / 32 + 720 / 64

Una segunda fórmula que representa los números de Bernoulli por los números de Worpitzky es para $n \geq 1$

{displaystyle B_{n}={frac {n}{2^{n+1}-2}}sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k},W_{n-1,k}.}

La segunda representación simplificada de Worpitzky de los segundos números de Bernoulli es:

OEIS: A164555 ( $n + 1$ ) / OEIS: A027642( $n + 1$ ) = $n + 1 / 2 n + 2 - 2$ × OEIS: A198631( $n$ ) / OEIS: A006519( $n + 1$ )

que vincula los segundos números de Bernoulli con los segundos números fraccionarios de Euler. El principio es:

1 / 2, 1 / 6, 0, 1 / 30, 0, 1 / 42,... = 1 / 2, 1 / 3, 3 / 14, 2 / 15, 5 / 62, 1 / 21,...) \times (1, 1 / 2, 0, 1 / 4, 0, 1 / 2,...)

Los numeradores del primer paréntesis son OEIS: A111701 (ver Conexión con los números de Stirling del primer tipo).

Conexión con números de Stirling de segunda especie

Si $S (k, m)$ denota números de Stirling del segundo tipo entonces uno tiene:

{displaystyle j^{k}=sum _{m=0}^{k}{j^{underline {m}}}S(k,m)}

donde $j m$ denota el factorial descendente.

Si uno define los polinomios de Bernoulli $B k (j)$ como:

{displaystyle B_{k}(j)=ksum _{m=0}^{k-1}{binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}

donde $B k$ para $k = 0, 1, 2,...$ son los números de Bernoulli.

Luego, después de la siguiente propiedad del coeficiente binomial:

{displaystyle {binom {j}{m}}={binom {j+1}{m+1}}-{binom {j}{m+1}}}

uno tiene,

{displaystyle j^{k}={frac {B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}}.}

Uno también tiene lo siguiente para los polinomios de Bernoulli,

{displaystyle B_{k}(j)=sum _{n=0}^{k}{binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}

El coeficiente de $j$ en $(j m + 1)$ es $(-1) m / m + 1 .$

Comparando el coeficiente de $j$ en las dos expresiones de los polinomios de Bernoulli, se tiene:

{displaystyle B_{k}=sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{frac {m!}{m+1}}S(k,m)}

(dando como resultado $B 1 = + 1 / 2$ ) que es un explícito fórmula para los números de Bernoulli y se puede utilizar para demostrar el teorema de Von-Staudt Clausen.

Conexión con números de Stirling de primera clase

Las dos fórmulas principales que relacionan los números de Stirling sin signo del primer tipo $[n m]$ a los números de Bernoulli (con $B 1 = + 1 / 2$ ) son

frac{1}{m!}sum_{k=0}^m (-1)^{k} left[{m+1atop k+1}right] B_k = frac{1}{m+1},

y la inversión de esta suma (para $n \geq 0$ , $m \geq 0$ )

{displaystyle {frac {1}{m!}}sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}left[{m+1 atop k+1}right]B_{n+k}=A_{n,m}.}

Aquí el número $A n, m$ son los números racionales de Akiyama-Tanigawa, los primeros de los cuales se muestran en la siguiente tabla.

Akiyama–Tanigawa number
$m$ $n$	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	−1/30	...	...	...	...

Los números de Akiyama-Tanigawa satisfacen una relación de recurrencia simple que se puede aprovechar para calcular iterativamente los números de Bernoulli. Esto conduce al algoritmo que se muestra en la sección 'descripción algorítmica' arriba. Consulte OEIS: A051714/OEIS: A051715.

Una autosecuencia es una secuencia que tiene su transformada binomial inversa igual a la secuencia con signo. Si la diagonal principal es ceros = OEIS: A000004, la autosecuencia es del primer tipo. Ejemplo: OEIS: A000045, los números de Fibonacci. Si la diagonal principal es la primera diagonal superior multiplicada por 2, es de segunda clase. Ejemplo: OEIS: A164555/OEIS: A027642, los segundos números de Bernoulli (ver OEIS: A190339). La transformada de Akiyama–Tanigawa aplicada a $2 - n$ = 1/OEIS: A000079 conduce a OEIS: A198631 (n) / OEIS: A06519 (n + 1). Por eso:

Akiyama–Tanigawa transforma para el segundo número de Euler
$m$ $n$	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	...
2	0	1/4	3/8	...	...
3	−1/4	−1/4	...	...	...
4	0	...	...	...	...

Consulte OEIS: A209308 y OEIS: A227577. OEIS: A198631 ( $n$ ) / OEIS: A006519 ( $n + 1$ ) son los segundos números de Euler (fraccionales) y una autosecuencia del segundo tipo.

()OEIS: A164555 ()

n + 2

)OEIS: A027642 ()

n + 2

) =

1 / 6, 0, 1 / 30, 0, 1 / 42,...

) ×

2 n + 3 - 2 / n + 2

3, 14 / 3, 15 / 2, 62 / 5, 21,...

) OEIS: A198631 ()

n + 1

)OEIS: A006519 ()

n + 2

) =

1 / 2, 0, 1 / 4, 0, 1 / 2,...

También valioso para OEIS: A027641 / OEIS: A027642 (ver Conexión con números de Worpitzky).

Conexión con el triángulo de Pascal

Hay fórmulas que conectan el triángulo de Pascal con los números de Bernoulli

{displaystyle B_{n}^{+}={frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}

Donde ${displaystyle |A_{n}|}$ es el determinante de una parte matriz de Hessenberg n-por-n del triángulo de Pascal cuyos elementos son: $1+i\{i+1 choose k-1}&{text{otherwise}}end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ai,k={}0sik■1+i()i+1k− − 1)de otra manera{displaystyle a_{i,k}={begin{cases}0 }k confía1+i{i+1 {fnMicrosoft Sans Serif}}1+i\{i+1 choose k-1}&{text{otherwise}}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4f7b80a1d52102e1d9205d944f21f3ad5ece1e" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.4ex; height:6.509ex;"/>$

Ejemplo:

{displaystyle B_{6}^{+}={frac {det {begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\1&3&3&0&0&0\1&4&6&4&0&0\1&5&10&10&5&0\1&6&15&20&15&6\1&7&21&35&35&21end{pmatrix}}}{7!}}={frac {120}{5040}}={frac {1}{42}}}

Conexión con números eulerianos

Hay fórmulas que conectan los números eulerianos $⟨ n m ⟩$ a números de Bernoulli:

{displaystyle {begin{aligned}sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}leftlangle {n atop m}rightrangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){frac {B_{n+1}}{n+1}},\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}leftlangle {n atop m}rightrangle {binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.end{aligned}}}

Ambas fórmulas son válidas para $n \geq 0$ si $B 1$ se establece en 1/ 2. Si $B 1$ se establece en −1/2 son válidos solo para $n \geq 1$ y $n \geq 2$ respectivamente.

Una representación de árbol binario

Los polinomios de Stirling $σ n (x)$ están relacionados con los números de Bernoulli por $B n = n! σ n (1)$ . S. C. Woon describió un algoritmo para calcular $σ n (1)$ como un árbol binario:

El algoritmo recursivo de Woon (para $n \geq 1$ ) comienza asignando al nodo raíz $N = [1,2]$ . Dado un nodo $N = [a 1, a 2,..., a k]$ del árbol, el hijo izquierdo del nodo es $L (N) = [- a 1, a 2 + 1, a 3,..., a k]$ y el hijo derecho $R (N) = [a 1, 2, a 2,..., a k]$ . Un nodo $N = [a 1, a 2,..., a k]$ se escribe como $\pm[a 2,..., a k]$ en el parte inicial del árbol representado arriba con ± denotando el signo de $a 1$ .

Dado un nodo $N$ el factorial de $N$ se define como

{displaystyle N!=a_{1}prod _{k=2}^{operatorname {length} (N)}a_{k}!.}

Restringido a los nodos $N$ de un nivel de árbol fijo $n$ la suma de $1 / N!$ es $σ n (1)$ , por lo tanto

{displaystyle B_{n}=sum _{stackrel {N{text{ node of}}}{{text{ tree-level }}n}}{frac {n!}{N!}}.}

Por ejemplo:

B 1 = 1! 1 / ¡2!)

B 2 ¡2! 1 / ¡3! + 1 / ¡2!)

B 3 ¡3! 1 / ¡4! - 1 / ¡2!3! - 1 / ¡3!2! + 1 / ¡2!)

Representación integral y continuación

La integral

{displaystyle b(s)=2e^{sipi /2}int _{0}^{infty }{frac {st^{s}}{1-e^{2pi t}}}{frac {dt}{t}}={frac {s!}{2^{s-1}}}{frac {zeta (s)}{{}pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={frac {2s!zeta (s)}{(2pi i)^{s}}}}

tiene como valores especiales $b (2 n) = B 2 n$ para $n > 0$ .

Por ejemplo, $b (3) = 3 / 2 ζ (3) π -3 i$ y $b (5) = - 15 / 2 ζ (5) π -5 i$ . Aquí, $ζ$ es la función zeta de Riemann, y $i$ es la unidad imaginaria. Leonhard Euler (Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) consideró estos números y calculó

{displaystyle {begin{aligned}p&={frac {3}{2pi ^{3}}}left(1+{frac {1}{2^{3}}}+{frac {1}{3^{3}}}+cdots right)=0.0581522ldots \q&={frac {15}{2pi ^{5}}}left(1+{frac {1}{2^{5}}}+{frac {1}{3^{5}}}+cdots right)=0.0254132ldots end{aligned}}}

Otra representación integral similar es

{displaystyle b(s)=-{frac {e^{sipi /2}}{2^{s}-1}}int _{0}^{infty }{frac {st^{s}}{sinh pi t}}{frac {dt}{t}}={frac {2e^{sipi /2}}{2^{s}-1}}int _{0}^{infty }{frac {e^{pi t}st^{s}}{1-e^{2pi t}}}{frac {dt}{t}}.}

La relación con los números de Euler y π

Los números de Euler son una secuencia de números enteros íntimamente relacionados con los números de Bernoulli. Comparando el Las expansiones asintóticas de los números de Bernoulli y Euler muestran que los números de Euler $E 2 n$ tienen una magnitud aproximada de $2 / π (4 2 n - 2 2 n)$ veces mayor que los números de Bernoulli $B 2 n$ . En consecuencia:

{displaystyle pi sim 2(2^{2n}-4^{2n}){frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}

Esta ecuación asintótica revela que $π$ se encuentra en la raíz común de los números de Bernoulli y Euler. De hecho, $π$ podría calcularse a partir de estas aproximaciones racionales.

Los números de Bernoulli se pueden expresar mediante los números de Euler y viceversa. Dado que, para impar $n$ , $B n = E n = 0$ (con la excepción $B 1$ ), basta considerar el caso cuando $n$ es par.

{displaystyle {begin{aligned}B_{n}&=sum _{k=0}^{n-1}{binom {n-1}{k}}{frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,ldots \[6pt]E_{n}&=sum _{k=1}^{n}{binom {n}{k-1}}{frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,ldots end{aligned}}}

Estas fórmulas de conversión expresan una conexión entre los números de Bernoulli y Euler. Pero lo que es más importante, existe una raíz aritmética profunda común a ambos tipos de números, que se puede expresar a través de una secuencia de números más fundamental, también estrechamente ligada a $π$ . Estos números se definen para $n > 1 como$

{displaystyle S_{n}=2left({frac {2}{pi }}right)^{n}sum _{k=-infty }^{infty }(4k+1)^{-n}qquad k=0,-1,1,-2,2,ldots }

y $S 1 = 1$ por convención. La magia de estos números radica en que resultan ser números racionales. Esto fue demostrado por primera vez por Leonhard Euler en un artículo histórico De summis serierum reciprocarum (Sobre las sumas de series de recíprocos) y ha fascinado a los matemáticos desde entonces. Los primeros de estos números son

S_n = 1,1,frac{1}{2},frac{1}{3},frac{5}{24}, frac{2}{15},frac{61}{720},frac{17}{315},frac{277}{8064},frac{62}{2835},ldots

()OEIS: A099612 / OEIS: A099617)

Estos son los coeficientes en la expansión de $sec x + tan x$ .

Los números de Bernoulli y los números de Euler se entienden mejor como vistas especiales de estos números, seleccionados de la secuencia $S n$ y escalado para su uso en aplicaciones especiales.

{displaystyle {begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor }[n{text{ even}}]{frac {n!}{2^{n}-4^{n}}},S_{n}&n&=2,3,ldots \E_{n}&=(-1)^{leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor }[n{text{ even}}]n!,S_{n+1}&n&=0,1,ldots end{aligned}}}

La expresión [ $n$ even] tiene el valor 1 si $n$ es par y 0 en caso contrario (corchete de Iverson).

Estas identidades muestran que el cociente de los números de Bernoulli y Euler al comienzo de esta sección es solo el caso especial de $R n = 2 S n / S n + 1$ cuando $n$ es par. Los $R n$ son aproximaciones racionales a $π$ y dos términos sucesivos siempre encierran el verdadero valor de $π$ . Comenzando con $n = 1$ , comienza la secuencia (OEIS: A132049 / OEIS: A132050):

2, 4, 3, frac{16}{5}, frac{25}{8}, frac{192}{61}, frac{427}{136}, frac{4352}{1385}, frac{12465}{3968}, frac{158720}{50521},ldots quad longrightarrow pi.

Estos números racionales también aparecen en el último párrafo del artículo de Euler citado anteriormente.

Considere la transformada de Akiyama–Tanigawa para la secuencia OEIS: A046978 ( $n + 2$ ) / OEIS: A016116 ( $n + 1$ ):

0	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	−5/8	−3/4
2	−1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	−7/2	−3/4	15/2
4	5/2	−11/2	−99/4
5	8	77/2
6	−61/2

De la segunda, los numeradores de la primera columna son los denominadores de la fórmula de Euler. La primera columna es −1/2 × OEIS: A163982.

Una vista algorítmica: el triángulo de Seidel

La secuencia S_n tiene otra propiedad inesperada pero importante: los denominadores de S_n divide el factorial $(n - 1)!$ . En otras palabras: los números $T n = S n (n - 1)!$ , a veces llamados números en zigzag de Euler, son números enteros.

{displaystyle T_{n}=1,,1,,1,,2,,5,,16,,61,,272,,1385,,7936,,50521,,353792,ldots quad n=0,1,2,3,ldots }

()OEIS: A000111). VéaseOEIS: A253671).

Por lo tanto, las representaciones anteriores de los números de Bernoulli y Euler se pueden reescribir en términos de esta secuencia como

{displaystyle {begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor }[n{text{ even}}]{frac {n}{2^{n}-4^{n}}},T_{n-1} &n&=2,3,ldots \E_{n}&=(-1)^{leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor }[n{text{ even}}]T_{n+1}&n&=0,1,ldots end{aligned}}}

Estas identidades facilitan el cálculo de los números de Bernoulli y Euler: los números de Euler $E n$ vienen dados inmediatamente por $T 2 n + 1$ y los números de Bernoulli $B 2 n$ se obtienen de $T 2 n$ mediante un cambio fácil, evitando la aritmética racional.

Lo que queda es encontrar una manera conveniente de calcular los números $T n$ . Sin embargo, ya en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicó un ingenioso algoritmo que simplifica el cálculo de $T n .$

{displaystyle {begin{array}{crrrcc}{}&{}&{color {red}1}&{}&{}&{}\{}&{rightarrow }&{color {blue}1}&{color {red}1}&{}\{}&{color {red}2}&{color {blue}2}&{color {blue}1}&{leftarrow }\{rightarrow }&{color {blue}2}&{color {blue}4}&{color {blue}5}&{color {red}5}\{color {red}16}&{color {blue}16}&{color {blue}14}&{color {blue}10}&{color {blue}5}&{leftarrow }end{array}}}

algoritmo de Seidel para

T n

Comience por poner 1 en la fila 0 y dejar $k$ denota el número de la fila que se está llenando
Si $k$ es extraño, luego poner el número en el extremo izquierdo de la fila $k - 1$ en la primera posición de la fila $k$ , y llenar la fila de la izquierda a la derecha, con cada entrada es la suma del número a la izquierda y el número a la parte superior
Al final de la fila duplica el último número.
Si $k$ es incluso, proceder similar en la otra dirección.

El algoritmo de Seidel es, de hecho, mucho más general (ver la exposición de Dominique Dumont) y fue redescubierto varias veces a partir de entonces.

De manera similar al enfoque de Seidel, D. E. Knuth y T. J. Buckholtz dieron una ecuación de recurrencia para los números $T 2 n$ y recomendó este método para calcular $B 2 n$ y $E 2 n$ 'en computadoras electrónicas usando solo operaciones simples en enteros'.

V. I. Arnold redescubrió el algoritmo de Seidel y más tarde Millar, Sloane y Young popularizaron el algoritmo de Seidel con el nombre de transformación de boustrophedon.

Forma triangular:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

Solo OEIS: A000657, con un 1, y OEIS: A214267, con dos 1, están en el OEIS.

Distribución con un 1 y un 0 suplementarios en las siguientes filas:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61−		−61−		−56−		46 -		−32		−16		0

Esto es OEIS: A239005, una versión firmada de OEIS: A008280. La diagonal principal es OEIS: A122045. La diagonal principal es OEIS: A155585. La columna central es OEIS: A099023. Sumas de filas: 1, 1, −2, −5, 16, 61... Consulte OEIS: A163747. Vea la matriz que comienza con 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 a continuación.

El algoritmo Akiyama–Tanigawa aplicado a OEIS: A046978 ( $n + 1$ ) / OEIS: A016116( $n$ ) produce:

1	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8
0	1	3/2	1	0	−3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	; 5 -	−15/2	1
5	5	−51/2
0	61
−61−

1. La primera columna es OEIS: A122045. Su transformada binomial conduce a:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	46 -
5	5	−56−
0	−61−
−61−

La primera fila de esta matriz es OEIS: A155585. Los valores absolutos de las antidiagonales crecientes son OEIS: A008280. La suma de las antidiagonales es −OEIS: A163747 ( $n + 1$ ).

2. La segunda columna es 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385.... Su transformada binomial produce:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
; 5 -	0	66	32
5	66	66
61	0
−61−

La primera fila de esta matriz es 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584.... Los valores absolutos de la segunda bisección son el doble de los valores absolutos de la primera bisección.

Considere el algoritmo Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS: A046978 ( $n$ ) / (OEIS: A158780 ( $n + 1$ ) = abs(OEIS: A117575 ( $n$ )) + 1 = 1, 2, 2, 3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32....

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	−3/2	3	25/4
2	−3	−27/2	−13
5	21	−3/2
−16	45
−61−

La primera columna cuyos valores absolutos son OEIS: A000111 podría ser el numerador de una función trigonométrica.

OEIS: A163747 es una autosecuencia del primer tipo (la diagonal principal es OEIS: A000004). La matriz correspondiente es:

0	−1	−1	2	5	−16	−61−
−1	0	3	3	,21 - 21	,45 - 45
1	3	0	−24−	−24−
2	−3	−24−	0
; 5 -	,21 - 21	24
−16	45
−61−

Las dos primeras diagonales superiores son −1 3 −24 402... = $(-1) n + 1$ × OEIS: A002832. La suma de las antidiagonales es 0 −2 0 10... = 2 × OEIS: A122045(n + 1).

−OEIS: A163982 es una autosecuencia del segundo tipo, como por ejemplo OEIS: A164555 / OEIS: A027642. De ahí la matriz:

2	1	−1	−2	5	16	−61−
−1	−2	−1	7	11	−77−
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	,92 - 92
5	−11 -	−88
−16	−77−
−61−

La diagonal principal, aquí 2 −2 8 −92..., es el doble de la primera superior, aquí OEIS: A099023. La suma de las antidiagonales es 2 0 −4 0... = 2 × OEIS: A155585( $n +$ 1). OEIS: A163747 − OEIS: A163982 = 2 × OEIS: A122045.

Una visión combinatoria: permutaciones alternas

Alrededor de 1880, tres años después de la publicación del algoritmo de Seidel, Désiré André demostró ser un resultado clásico del análisis combinatorio. Mirando los primeros términos de la expansión de Taylor de las funciones trigonométricas $tan x$ y $sec x$ André hizo un descubrimiento sorprendente.

{displaystyle {begin{aligned}tan x&=x+{frac {2x^{3}}{3!}}+{frac {16x^{5}}{5!}}+{frac {272x^{7}}{7!}}+{frac {7936x^{9}}{9!}}+cdots \[6pt]sec x&=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {5x^{4}}{4!}}+{frac {61x^{6}}{6!}}+{frac {1385x^{8}}{8!}}+{frac {50521x^{10}}{10!}}+cdots end{aligned}}}

Los coeficientes son los números de Euler de índice par e impar, respectivamente. En consecuencia, la expansión ordinaria de $tan x + sec x$ tiene como coeficientes los números racionales <span class="texhtml" S_n.

{displaystyle tan x+sec x=1+x+{tfrac {1}{2}}x^{2}+{tfrac {1}{3}}x^{3}+{tfrac {5}{24}}x^{4}+{tfrac {2}{15}}x^{5}+{tfrac {61}{720}}x^{6}+cdots }

André luego tuvo éxito por medio de un argumento de recurrencia para mostrar que las permutaciones alternas de tamaño impar están enumeradas por los números de Euler de índice impar (también llamados números tangentes) y las permutaciones alternas de tamaño par por los números de Euler de índice par (también llamados números secantes).

Secuencias relacionadas

La media aritmética del primer y segundo número de Bernoulli son los números de Bernoulli asociados: $B 0 = 1$ , $B 1 = 0$ , $B 2 = 1 / 6$ , $B 3 = 0$ , $B 4 = - 1 / 30$ , OEIS: A176327 / OEIS: A027642. A través de la segunda fila de su transformada inversa Akiyama-Tanigawa OEIS: A177427, conducen a la serie de Balmer OEIS: A061037 / OEIS: A061038.

El algoritmo Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS: A060819 ( $n + 4$ ) / OEIS: A145979 ( $n$ ) conduce a los números de Bernoulli OEIS: A027641 / OEIS: A027642, OEIS: A164555 / OEIS: A027642, o OEIS: A176327 OEIS: A176289 sin $B 1$ , denominados números de Bernoulli intrínsecos $B i (n)$ .

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35	5/84
−1/30	−1/30	−3/140	−1/105	0
0	−1/42	−1/28	−4/105	−1/28

De ahí otro vínculo entre los números intrínsecos de Bernoulli y la serie de Balmer a través de OEIS: A145979 ( $n).$

OEIS: A145979 ( $n - 2$ ) = 0, 2, 1, 6,... es una permutación de los números no negativos.

Los términos de la primera fila son f(n) = $1 / 2 + 1 / n + 2 . 2, f(n) es una autosecuencia del segundo tipo. 3/2, f(n) conduce por su transformada binomial inversa a 3/2 -1/2 1/3 -1/4 1/5... = 1/2 + log 2.$

Considere g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. La transformada de Akiyama-Tanagiwa da:

0	1/6	1/4	3/10	1/3	5/14	...
−1/6	−1/6	−3/20	−2/15	−5/42	−3/28	...
0	−1/30	−1/20	−2/35	−5/84	−5/84	...
1/30	1/30	3/140	1/105	0	−1/140	...

0, g(n), es una autosecuencia del segundo tipo.

Euler OEIS: A198631 ( $n$ ) / OEIS: A006519 ( $n + 1$ ) sin el segundo término (1/2) son los números de Euler intrínsecos fraccionarios $E i (n) = 1, 0, - 1 / 4, 0, 1 //span> 2, 0, - 17 / 8, 0,... La transformación de Akiyama correspondiente es:$

1	1	7/8	3/4	21/32
0	1/4	3/8	3/8	5/16
−1/4	−1/4	0	1/4	25/64
0	−1/2	−3/4	−9/16	−5/32
1/2	1/2	−9/16	−13/8	−125/64

La primera línea es $Eu (n)$ . $Eu (n)$ precedido por un cero es una autosecuencia del primer tipo. Está vinculado a los números de Oresme. Los numeradores de la segunda línea son OEIS: A069834 precedidos por 0. La tabla de diferencias es:

0	1	1	7/8	3/4	21/32	19/32
1	0	−1/8	−1/8	−3/32	−1/16	−5/128
−1	−1/8	0	1/32	1/32	3/128	1/64

Propiedades aritméticas de los números de Bernoulli

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann como $B n = - nζ (1 - n)$ para enteros $n \geq 0$ previsto $n = 0$ la expresión $- nζ (1 - n)$ se entiende como el valor límite y la convención $B 1 = 1 / 2 Se utiliza$ . Esto los relaciona íntimamente con los valores de la función zeta en números enteros negativos. Como tales, se podría esperar que tuvieran y tienen propiedades aritméticas profundas. Por ejemplo, la conjetura de Agoh-Giuga postula que $p$ es un número primo si y solo si $pB p - 1$ es congruente con −1 módulo $p$ . Las propiedades de divisibilidad de los números de Bernoulli están relacionadas con los grupos de clases ideales de campos ciclotómicos por un teorema de Kummer y su fortalecimiento en el teorema de Herbrand-Ribet, y con números de clases de campos cuadráticos reales por Ankeny-Artin-Chowla.

Los teoremas de Kummer

Los números de Bernoulli están relacionados con el último teorema de Fermat (FLY) y el teorema de Kummer, que dice:

Si la prima extraña

p

no divide ninguno de los numeradores de los números Bernoulli

B 2, B 4,... B p 3 - 3

entonces

x p + Sí. p + z p = 0

no tiene soluciones en enteros no cero.

Los números primos con esta propiedad se llaman primos regulares. Otro resultado clásico de Kummer son las siguientes congruencias.

Vamos

p

ser una prima rara y

b

un número tal que

p - 1

no divide

b

. Entonces para cualquier entero no negativo

k

{displaystyle {frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}equiv {frac {B_{b}}{b}}{pmod {p}}.}

Una generalización de estas congruencias se conoce con el nombre de $p$ -continuidad ádica.

Continuidad P-ádica

Si $b$ , $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m$ y $n$ no son divisibles por $p - 1$ y $m \equiv n (modificación p b - 1 (p - 1))$ , entonces

{displaystyle (1-p^{m-1}){frac {B_{m}}{m}}equiv (1-p^{n-1}){frac {B_{n}}{n}}{pmod {p^{b}}}.}

Ya que $B n = - nζ (1 - n)$ , esto también se puede escribir

{displaystyle left(1-p^{-u}right)zeta (u)equiv left(1-p^{-v}right)zeta (v){pmod {p^{b}}},}

Donde $u = 1 - m$ y $v = 1 - n$ Así que $u$ y $v$ no positivo y no congruente con 1 modulo $p - 1$ . Esto nos dice que la función Riemann zeta, con $1 - p - s$ sacada de la fórmula del producto Euler, es continua en los números p-adic en los números negativos impares enteros congruentes modulo $p - 1$ to a particular $a ≢ 1 mod p -1)$ , y así se puede ampliar a una función continua $Especificaciones p () s)$ para todos $p$ - enteros adictivos ${displaystyle mathbb {Z} _{p},}$ la función p-adic zeta.

Congruencias de Ramanujan

Las siguientes relaciones, debidas a Ramanujan, proporcionan un método para calcular los números de Bernoulli que es más eficiente que el dado por su definición recursiva original:

{displaystyle {binom {m+3}{m}}B_{m}={begin{cases}{frac {m+3}{3}}-sum limits _{j=1}^{frac {m}{6}}{binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{text{if }}mequiv 0{pmod {6}};\{frac {m+3}{3}}-sum limits _{j=1}^{frac {m-2}{6}}{binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{text{if }}mequiv 2{pmod {6}};\-{frac {m+3}{6}}-sum limits _{j=1}^{frac {m-4}{6}}{binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{text{if }}mequiv 4{pmod {6}}.end{cases}}}

Teorema de Von Staudt-Clausen

El teorema de von Staudt-Clausen fue propuesto por Karl Georg Christian von Staudt y Thomas Clausen de forma independiente en 1840. El teorema establece que para cada $n > 0$ ,

{displaystyle B_{2n}+sum _{(p-1),mid ,2n}{frac {1}{p}}}

es un número entero. La suma se extiende sobre todos los primos $p$ para los cuales $p - 1$ divide $2 n$ .

Una consecuencia de esto es que se da el denominador de $B 2 n$ por el producto de todos los primos $p$ para los cuales $p - 1$ divide $2 n$ . En particular, estos denominadores no tienen cuadrados y son divisibles por 6.

¿Por qué desaparecen los números impares de Bernoulli?

La suma

{displaystyle varphi _{k}(n)=sum _{i=0}^{n}i^{k}-{frac {n^{k}}{2}}}

puede evaluarse para valores negativos del índice $n$ . Hacerlo mostrará que es una función impar para valores pares de $k$ , lo que implica que la suma solo tiene términos de índice impar. Esto y la fórmula para la suma de Bernoulli implican que $B 2 k + 1 - m$ es 0 para $m$ par y $2 k + 1 - m > 1$ ; y que el término para $B 1$ se cancela con la resta. El teorema de von Staudt-Clausen combinado con la representación de Worpitzky también da una respuesta combinatoria a esta pregunta (válida para n > 1).

Por el teorema de von Staudt–Clausen se sabe que para impares $n > 1$ el número $2 B n$ es un número entero. Esto parece trivial si se sabe de antemano que el número entero en cuestión es cero. Sin embargo, aplicando la representación de Worpitzky se obtiene

1{text{ is odd}})}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2Bn=.. m=0n()− − 1)m2m+1m!{}n+1m+1}=0()n■1Es extraño.){displaystyle 2B_{n}=sum _{m=0}{n}(-1)}{m}{frac {2}{m+1}m!left{n+1 atop m+1}right}=0quad (n confianza1{text{ is odd})}1{text{ is odd}})}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac9fe56907a0593bf2169527aaeb8582c4cfbac" style="vertical-align: -3.005ex; width:57.803ex; height:6.843ex;"/>

como una suma de enteros, lo cual no es trivial. Aquí surge un hecho combinatorio que explica la desaparición de los números de Bernoulli en el índice impar. Sea $S n, m$ el número de sobreyectivas mapas de ${1, 2,..., n$ } a ${1, 2,..., m$ }, luego $S n, m = m! {n m}$ . La última ecuación solo se cumple si

2{text{ is even}}).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. extrañom=1n− − 12m2Sn,m=.. inclusom=2n2m2Sn,m()n■2Incluso).{displaystyle sum _{text{odddd }m=1}{n-1}{frac {2} {m} {2}}S_{n,m}=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ Estoy bien. {2}{m^{2}}S_{n,m}quad (n Conf2{text{ is even}}). }2{text{ is even}}).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee9a8213639d83d1102c398d273102155fe7e14" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.705ex; height:7.343ex;"/>

Esta ecuación se puede probar por inducción. Los dos primeros ejemplos de esta ecuación son

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3

n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40

Por lo tanto, los números de Bernoulli desaparecen en el índice impar porque algunas identidades combinatorias no obvias están incorporadas en los números de Bernoulli.

Una reformulación de la hipótesis de Riemann

La conexión entre los números de Bernoulli y la función zeta de Riemann es lo suficientemente fuerte como para proporcionar una formulación alternativa de la hipótesis de Riemann (RH) que usa solo los números de Bernoulli. De hecho, Marcel Riesz demostró que la RH es equivalente a la siguiente afirmación:

Por todos

ε ■ 1 / 4

existe una constante

C ε ■ 0

(dependiendo de

ε

Silencio R () x) TENIDO C ε x ε

como

x \to

Aquí $R (x)$ es la función de Riesz

{displaystyle R(x)=2sum _{k=1}^{infty }{frac {k^{overline {k}}x^{k}}{(2pi)^{2k}left({frac {B_{2k}}{2k}}right)}}=2sum _{k=1}^{infty }{frac {k^{overline {k}}x^{k}}{(2pi)^{2k}beta _{2k}}}.}

$n k$ denota la potencia factorial ascendente en la notación de D. E. Knuth. Los números $β n = B n / n$ aparecen con frecuencia en el estudio de la función zeta y son importantes porque $β n$ es un entero $p$ para primos $p$ donde $p - 1$ no divide n. Los $β n$ se denominan números de Bernoulli divididos.

Números de Bernoulli generalizados

Los números de Bernoulli generalizados son ciertos números algebraicos, definidos de manera similar a los números de Bernoulli, que están relacionados con valores especiales de funciones L de Dirichlet de la misma manera que los números de Bernoulli están relacionados con valores especiales de la función zeta de Riemann.

Sea $χ$ un módulo de caracteres de Dirichlet $f$ . Los números de Bernoulli generalizados adjuntos a $χ$ están definidos por

{displaystyle sum _{a=1}^{f}chi (a){frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=sum _{k=0}^{infty }B_{k,chi }{frac {t^{k}}{k!}}.}

Aparte del excepcional $B 1,1 = 1 / 2$ , tenemos, para cualquier carácter de Dirichlet $χ$ , que $B k, χ = 0$ si $χ (-1) \neq (-1) k$ .

Generalizando la relación entre los números de Bernoulli y los valores de la función zeta de Riemann en enteros no positivos, se tiene para todos los enteros $k \geq 1$ :

{displaystyle L(1-k,chi)=-{frac {B_{k,chi }}{k}},}

donde $L (s, χ)$ es el Dirichlet $L$ -función de $χ$ .

Número de Eisenstein-Kronecker

Los números de Eisenstein-Kronecker son análogos a los números de Bernoulli generalizados para campos cuadráticos imaginarios. Están relacionados con los valores L críticos de los caracteres Hecke.

Apéndice

Identidades variadas

El cálculo Umbral da una forma compacta de la fórmula de Bernoulli utilizando un símbolo abstracto $B$ :
${displaystyle S_{m}(n)={frac {1}{m+1}}((mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})}$
donde el símbolo $B k$ que aparece durante la expansión binomial del término paréntesis será reemplazado por el número Bernoulli $B k$ (y) $B 1 = + 1 / 2$ ). Más sugestiva y mnemonicamente, esto puede ser escrito como una integral definida:
$S_m(n) = int_0^n (mathbf{B}+x)^m,dx$
Muchas otras identidades de Bernoulli se pueden escribir compactamente con este símbolo, por ejemplo.
${displaystyle (1-2mathbf {B})^{m}=(2-2^{m})B_{m}}$
Vamos $n$ no negativo e incluso
${displaystyle zeta (n)={frac {(-1)^{{frac {n}{2}}-1}B_{n}(2pi)^{n}}{2(n!)}}}$
El $n$ el acumulativo de la distribución uniforme de probabilidad en el intervalo [−1, 0] $B n / n$ .
Vamos $n ? = 1 / n!$ y $n \geq 1$ . Entonces... $B n$ es el siguiente $() n + 1) \times n + 1)$ determinante:
${displaystyle {begin{aligned}B_{n}&=n!{begin{vmatrix}1&0&cdots &0&1\2?&1&cdots &0&0\vdots &vdots &&vdots &vdots \n?&(n-1)?&cdots &1&0\(n+1)?&n?&cdots &2?&0end{vmatrix}}\[8pt]&=n!{begin{vmatrix}1&0&cdots &0&1\{frac {1}{2!}}&1&cdots &0&0\vdots &vdots &&vdots &vdots \{frac {1}{n!}}&{frac {1}{(n-1)!}}&cdots &1&0\{frac {1}{(n+1)!}}&{frac {1}{n!}}&cdots &{frac {1}{2!}}&0end{vmatrix}}end{aligned}}}$
Así el determinante es $σ n 1)$ , el polinomio Stirling $x = 1$ .
Para números de Bernoulli incluso numerados, $B 2 p$ es dado por $() p + 1) \times p + 1)$ determinante:
${displaystyle B_{2p}=-{frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{begin{vmatrix}1&0&0&cdots &0&1\{frac {1}{3!}}&1&0&cdots &0&0\{frac {1}{5!}}&{frac {1}{3!}}&1&cdots &0&0\vdots &vdots &vdots &&vdots &vdots \{frac {1}{(2p+1)!}}&{frac {1}{(2p-1)!}}&{frac {1}{(2p-3)!}}&cdots &{frac {1}{3!}}&0end{vmatrix}}}$
Vamos $n \geq 1$ . Entonces (Leonhard Euler)
${displaystyle {frac {1}{n}}sum _{k=1}^{n}{binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}}$
Vamos $n \geq 1$ . Entonces...
${displaystyle sum _{k=0}^{n}{binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0}$
Vamos $n \geq 0$ . Entonces (Leopold Kronecker 1883)
${displaystyle B_{n}=-sum _{k=1}^{n+1}{frac {(-1)^{k}}{k}}{binom {n+1}{k}}sum _{j=1}^{k}j^{n}}$
Vamos $n \geq 1$ y $m \geq 1$ . Entonces...
${displaystyle (-1)^{m}sum _{r=0}^{m}{binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}sum _{s=0}^{n}{binom {n}{s}}B_{m+s}}$
Vamos $n \geq 4$ y
${displaystyle H_{n}=sum _{k=1}^{n}k^{-1}}$
el número armónico. Entonces (H. Miki 1978)
${displaystyle {frac {n}{2}}sum _{k=2}^{n-2}{frac {B_{n-k}}{n-k}}{frac {B_{k}}{k}}-sum _{k=2}^{n-2}{binom {n}{k}}{frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}}$
Vamos $n \geq 4$ . Yuri Matiyasevich found (1997)
$(n+2)sum_{k=2}^{n-2}B_k B_{n-k}-2sum_{l=2}^{n-2}binom{n+2}{l} B_l B_{n-l}=n(n+1)B_n$
Faber-Pandharipande-Zagier-Gessel identityPara $n \geq 1$ ,
${displaystyle {frac {n}{2}}left(B_{n-1}(x)+sum _{k=1}^{n-1}{frac {B_{k}(x)}{k}}{frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}right)-sum _{k=0}^{n-1}{binom {n}{k}}{frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).}$
Elegir $x = 0$ o $x = 1$ resultados en la identidad número Bernoulli en una u otra convención.
La siguiente fórmula es verdadera para $n \geq 0$ si $B 1 = B 1 1) 1 / 2$ , pero sólo para $n \geq 1$ si $B 1 = B 1 (0) = - 1 / 2$ .
${displaystyle sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{frac {B_{k}}{n-k+2}}={frac {B_{n+1}}{n+1}}}$
Vamos $n \geq 0$ . Entonces...
${displaystyle -1+sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}}$
y
${displaystyle -1+sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=delta _{n,0}}$
Una relación reciprocidad de M. B. Gelfand:
${displaystyle (-1)^{m+1}sum _{j=0}^{k}{binom {k}{j}}{frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}sum _{j=0}^{m}{binom {m}{j}}{frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={frac {k!m!}{(k+m+1)!}}}$

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